矩形的折疊問(wèn)題-2023年中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)講練（原卷版）

第16講矩形的折疊問(wèn)題

：利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，結(jié)合方程思想求值

矩形折*

結(jié)合相似或者三角函數(shù)求值

?題型一：利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，結(jié)合方程思想求值

IEBI例題精講：

【例1】如圖，一張寬為3,長(zhǎng)為4的矩形紙片力BCD,先沿對(duì)角線BD對(duì)折，點(diǎn)C落在。的位置，BC,交AD于

G,再折疊一次，使點(diǎn)。與點(diǎn)4重合，得折痕EN,EN交AD于M,那么ME=.

【對(duì)稱(chēng)性質(zhì)】

①線段相等：CD=C'D=AB,BC=BC',EA=EDNA二ND八M二DM;

②角相等：NC'BD二NCBD,/C'DB=/CDB;

③全等三角形：△CBD04CBD,AABG=△CDG

④垂直平分：BD垂直平分CC',NE垂直平分AD;

困真題演練：

1.〔2022?遼寧營(yíng)口?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形48CD中，點(diǎn)M在4B邊上，把△BCM沿直線CM折疊，使

點(diǎn)2落在力。邊上的點(diǎn)E處，連接EC,過(guò)點(diǎn)B作BF1EC,垂足為R假設(shè)CD=1,CF=2,那么線段AE的

長(zhǎng)為（）

11

A.V5-2B.V3-1D.

32

2.（2022?山東濟(jì)寧?校考二?！橙鐖D，矩形。4BC中，OA=4,AB=3,點(diǎn)。在邊BC上，且CD=3D8,點(diǎn)E是

邊04上一點(diǎn)，連接DE,將四邊形力BDE沿DE折疊，假設(shè)點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4恰好落在邊。C上，那么。E的長(zhǎng)為

3.[2022?河南鄭州?鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？寄M猜測(cè)）如圖，在長(zhǎng)方形紙條力BCD中，點(diǎn)G在邊BC上,BG=2CG,

將該紙條沿著過(guò)點(diǎn)G的直線翻折后，點(diǎn)C、D分別落在邊8c下方的點(diǎn)￡、尸處，且點(diǎn)￡、F、B在同一條直

線上，折痕與邊力D交于點(diǎn)H,與BG交于點(diǎn)設(shè)4B=t,那么AGHM的周長(zhǎng)為〔用含f的代數(shù)

4.（2022?山東泰安?校考二模）在矩形48CD中，AB=4,2E=2,點(diǎn)G、F、H、E是分另U邊4B、BC、DC、AD

上的點(diǎn)，分別沿HE,GF折疊矩形恰好使DE、BF都與EF重合，那么2D=

5.（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABC。沿CE折疊，使點(diǎn)8落在邊AO上的點(diǎn)尸處.假

設(shè)點(diǎn)E在邊AB上，AB=3,BC=5,那么AE=

6.[2022?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABC。中，點(diǎn)E在8c邊上，將ACDE沿。E翻折得

至IjAFDE,點(diǎn)P落在AE■上.假設(shè)CE=3cm,AF=2EF,那么4B=cm.

7.〔2022?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）如圖，對(duì)折矩形紙片力BCD,使得力。與BC重合，得到折痕EF,把紙片

展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4落在EF上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,得到折痕BM.連接MF,假設(shè)

MF1BM,AB=6cm,那么4D的長(zhǎng)是cm.

8.〔2022?山東濰坊?中考真題）小瑩依據(jù)如下圖的步驟折疊A4紙，折完后，發(fā)覺(jué)折痕與A4紙的長(zhǎng)邊AB

恰好重合，那么A4紙的長(zhǎng)A3與寬的比值為

D'(D)5(5)

9.（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖,四邊形2BC0為矩形,AB=<2,AD=3,點(diǎn)E為邊BC上一點(diǎn)，將△DCE

沿DE翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作DE的平行線交4。于點(diǎn)G,交直線BC于點(diǎn)H.假設(shè)點(diǎn)G是邊力D

10.（2022?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，把一張矩形紙片沿對(duì)角線折疊，假設(shè)8C=9,CD=3,那么陰影

局部的面積為

H.（2022?吉林長(zhǎng)春?模擬猜測(cè)）【推理】

如圖1,在邊長(zhǎng)為10的正方形2BCD中，點(diǎn)E是CD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著B(niǎo)E折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，連結(jié)

BE,CF,延長(zhǎng)CF交AD于點(diǎn)G,BE與CG交于點(diǎn)M.

圖3

(1)求證：CE=DG.

【運(yùn)用】

(2)如圖2,在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交4。于點(diǎn)”.假設(shè)CE=6,求線段?！钡拈L(zhǎng).

【拓展】

(3)如圖3,在【推理】條件下，連結(jié)力M.那么線段4M的最小值為

12.(2022?河南鄭州?鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？寄M猜測(cè))如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形04BC的對(duì)角線AC=12,

ZXCO=30°

⑴求3、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);

⑵把矩形沿直線OE對(duì)折使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，DE與4C相交于點(diǎn)F,求四邊形4DCE的面積;

(3)假設(shè)點(diǎn)M在直線DE上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使以0、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？假設(shè)存在,

請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.〔2022?湖北荊門(mén)?統(tǒng)考中考真題)如圖，矩形ABC。中，AB=8,BC=x[0<x<8),將△ACB沿AC對(duì)

折到△ACE的位置，AE和CD交于點(diǎn)F.

(1)求證：ACEF義Z\ADF；

(2)求tan/ZM尸的值(用含x的式子表示).

14.(2022?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形ABC。為矩形4B=2^2,BC=4,點(diǎn)E在8c上,CE=AE,

將△ABC沿AC翻折至I]AAFC,連接EF.

D

⑴求EF的長(zhǎng);

(2)求sin/CEE的值.

15.12022?河南?統(tǒng)考中考真題)綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊〃為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).

(1)操作推斷

操作一：對(duì)折矩形紙片A8CD,使與8c重合，得到折痕EF,把紙片展平；

操作二：在AD上選一點(diǎn)P,沿8尸折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM,BM.

依據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)〃在斯上時(shí)，寫(xiě)出圖1中一個(gè)30。的角：.

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，連續(xù)探究，過(guò)程如下：

將正方形紙片A8CD依據(jù)〔1〕中的方式操作，并延長(zhǎng)交。于點(diǎn)。，連接8。.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)〃在EF上時(shí)，ZMBQ=°,ZCBQ=°；

②轉(zhuǎn)變點(diǎn)尸在A。上的位置〔點(diǎn)P不與點(diǎn)A,D重合)，如圖3,推斷與NC8Q的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明

理由.

(3)拓展應(yīng)用

在〔2〕的探究中，正方形紙片ABC。的邊長(zhǎng)為8cm,當(dāng)FQ=lcm時(shí)，直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng).

?題型二：結(jié)合相像或者三角函數(shù)求值

IEBI例題精講：

【例2】1.如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，ABCE沿8E折疊得到對(duì)應(yīng)的且點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸

落在力。上.假設(shè)tan/DFE=*BC=3,那么CE=

用真題演練:

16.（2022?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考中考真題）矩形紙片力BCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接力E,將AABE沿4E折疊得

到AAFE,連接CF.假設(shè)力B=4,BC=6,那么CF的長(zhǎng)是〔）

A.3B.—C.-D.—

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17.〔2022?浙江湖州?統(tǒng)考中考真題）如圖，2。是矩形A2CD的對(duì)角線，AB=6,8C=8,點(diǎn)、E,尸分別在邊

AD,BC上，連結(jié)BE,DF.將AABE沿翻折，將△OCT沿。尸翻折，假設(shè)翻折后，點(diǎn)A,C分別落在

對(duì)角線3。上的點(diǎn)G,H處,連結(jié)GH那么以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是（）

A.BD=10B.HG=2C.EG||FHD.GF±BC

18.〔2022?四川達(dá)州?統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)E在矩形4BCD的AB邊上，將AADE沿DE翻折，點(diǎn)A恰好落

在BC邊上的點(diǎn)尸處，假設(shè)CD=3BF,BE=4,那么力。的長(zhǎng)為（）

C.15D.18

19.（2022?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）如圖是一張矩形紙片/BCD,點(diǎn)石為AD中點(diǎn)，點(diǎn)方在BC上，把該紙片

沿EF折疊，點(diǎn)A,3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4,B',4E與BC相交于點(diǎn)G,94的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)C假設(shè)會(huì)=j那

GC3

AA.2QVW2Bo.-4-V-1--0-Cc.—20nD.-8

573

20.〔2022?浙江寧波?校考一模）如圖，在矩形紙片48CD中，點(diǎn)E、尸分別在矩形的邊4B、2。上，將矩形紙

片沿CE、CF折疊，點(diǎn)B落在H處，點(diǎn)。落在G處，點(diǎn)、C、H、G恰好在同始終線上，假設(shè)48=9,AD=6,BE=3,

那么。F的長(zhǎng)是（）

C.券D.3

21.12022.遼寧盤(pán)錦?中考真題）如圖，四邊形ABC。為矩形，AB=3,AD=4,AC,2。為矩形的對(duì)角線,

E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是CD上一點(diǎn)，連接EF,將△￡>￡/沿EF折疊，當(dāng)點(diǎn)G落在矩形對(duì)角線上時(shí)，那

么折痕所的長(zhǎng)是

22.〔2022?遼寧沈陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABC。折疊，折痕為MN,點(diǎn)M,N分別在邊A。，

BC上，點(diǎn)C,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別在E,尸且點(diǎn)E在矩形內(nèi)部,的延長(zhǎng)線交BC與點(diǎn)G,EF交邊BC于點(diǎn)H.EN=

2,4B=4,當(dāng)點(diǎn)反為GN三等分點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為.

23.12022?江蘇蘇州.統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABC。中黃=|.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A動(dòng)身，沿邊A。向點(diǎn)。

勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B動(dòng)身，沿邊BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，連接MN.動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)動(dòng)身，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的

速度為U1，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的速度為〃2，且藥<〃2.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，M,N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程

中，將四邊形MA5N沿MN翻折，得到四邊形MA夕N.假設(shè)在某一時(shí)刻，點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)?恰好在CD的中

點(diǎn)重合,那么手勺值為一

24.（2022?遼寧丹東??？级＃┤鐖D，矩形4BCD中，4B=12,BC=13,點(diǎn)E為2D上一點(diǎn)，且乙4BE=30°,

將AABE沿BE翻折，得到△48E,連接C4并延長(zhǎng)，與4。相交于點(diǎn)心那么。尸的長(zhǎng)為

25.[2022?浙江寧波??？既＃┤鐖D，在矩形4BCD中Q4D>4B）,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),

連結(jié)4凡DE.將AABF沿著2F翻折，使點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所恰好落在線段DE上.假設(shè)三點(diǎn)共線，那么

cosNB字C的值為；假設(shè)4D=4,且這樣的點(diǎn)才有且只有一個(gè)時(shí)，那么DE的長(zhǎng)為

26.〔2022?山東濟(jì)南?統(tǒng)考模擬猜測(cè)）如圖，矩形紙片2BCD,4D:4B=/:1,點(diǎn)E,F分別在AD,BC上,

把紙片如圖沿EF折疊，點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4,夕，連接44并延長(zhǎng)交線段C。于點(diǎn)G,那么三的值為

27.12022?河南信陽(yáng)??？家荒＃┤鐖D，在菱形4BCD中，ADAB=45°,=4,點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)P作PE14B交力。于點(diǎn)E,沿PE將乙4折疊，點(diǎn)4的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，連接EF、DF、CF,當(dāng)△CDF為等腰

三角