湘教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊期末知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)+各章節(jié)典型例題

第一章二元一次方程

【知識(shí)點(diǎn)歸納】

1.含有個(gè)未知數(shù)，并且項(xiàng)的次數(shù)都是的方程叫做二元一次方程。

2.把個(gè)含有未知數(shù)的二元一次方程（或者一個(gè)二元一次方程，一個(gè)一元一次方程）聯(lián)立起來組成

的方程組，叫做二元一次方程組。

3.在一個(gè)二元一次方程組中，使每一個(gè)方程兩邊的值都的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方

程組的解。

4.由二元一次方程組中的一個(gè)方程的某一個(gè)未知數(shù)用含有的代數(shù)式表示，再代入另一方程，便得到

一個(gè)一元一次方程。這種解方程組的方法叫做消元法，簡稱代入法。

5.兩個(gè)二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)或時(shí)，把這兩個(gè)方程相減或相加，就能消去這個(gè)未知數(shù)，從

而得到一個(gè)一元一次方程。這種解方程組的方法叫做消元法，簡稱加減法。

6.列二元一次方程組解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是尋找。

【典型例題】

1.已知關(guān)于x,y的方程組[3x+5尸2m的解滿足*+2丫=2.

[x+y=m-l

（1）求m的值；（2）若a2m,化簡：|a+l|-|2-a|.

2.己知二元一次方程組的解為x=a,y=b,求a+b的值.

l-3x+2y=21

3.解方程組：

'x+4y=14

①[3x-2尸6

l2x+3y=17

3~^12

4.為了響應(yīng)市委和市政府“綠色環(huán)保，節(jié)能減排”的號(hào)召，幸福商場用3300元購進(jìn)甲、乙兩種節(jié)能燈共計(jì)100只,

很快售完.這兩種節(jié)能燈的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如下表：

進(jìn)價(jià)（元/只）售價(jià)（元/只）

甲種節(jié)能燈3040

乙種節(jié)能燈3550

（1）求幸福商場甲、乙兩種節(jié)能燈各購進(jìn)了多少只？（2）全部售完100只節(jié)能燈后，商場共計(jì)獲利多少元?

5.隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的到來，一種新型打車方式受到大眾歡迎，該打車方式的總費(fèi)用由里程費(fèi)和耗時(shí)費(fèi)組成，其

中里程費(fèi)按x元/公里計(jì)算，耗時(shí)費(fèi)按y元/分鐘計(jì)算（總費(fèi)用不足9元按9元計(jì)價(jià)）.小明、小剛兩人用該打車方式出

行，按上述計(jì)價(jià)規(guī)則，其打車總費(fèi)用、行駛里程數(shù)與打車時(shí)間如表：

時(shí)間（分鐘）里程數(shù)（公里）車費(fèi)（元）

小明8812

小剛121016

（1）求x,y的值；（2）小華也用該打車方式，打車行駛了11公里，用了14分鐘，那么小華的打車總費(fèi)用為多少？

第二章整式的乘法

【知識(shí)點(diǎn)歸納】

1.同底數(shù)早相乘，不變，相加。a"a=（m,n是正整數(shù)）

2.塞的乘方，不變，相乘。（an）=（m,n是正整數(shù)）

3.積的乘方，等于把，再把所得的累o（ab）三（n是正整數(shù)）

4.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的、分別相乘。

5.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用單項(xiàng)式，再把所得的積,a(m+n)=

6.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘,再把所得的積

(a+b)(m+n)=__________________________

7.平方差公式，即兩個(gè)數(shù)的與這兩個(gè)數(shù)的的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差(a+b)(a-b)=

8.完全平方公式，即兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的,加(或減)它們的積的0

(a+b)2=,(a-b)。

9.公式的靈活變形：

(a+b)2+(a-b),(a+b)2-(a-b):,a2+b2=(a+b)2-,

a2+b2=(a-b)2+,(a+b)2=(a-b)2+,(a-b)2=(a+b)2-?

【典型例題】

1.已知a*=5,ax+y=25,求a*+ay的值.

2.a-a(a>0且aWl,m,n是正整數(shù))，則m=n.

你能利用上面的結(jié)論解決下面的2個(gè)問題嗎？試試看，相信你一定行!

①如果2X8*X16*=222,求x的值；②如果(271)=38,求x的值.

2.已知y=2,尸=3,求(x2m)3+(ym)6-(x2y)的值.

12.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.

(1)求xy的值.(2)求x°+3xy+y2的值.

運(yùn)用乘法公武荷便計(jì)算:

例1.(993)：

=(1000-2>

-1000000-400(H4

096004

例2.197*203

=(200-3)(200+3)

-200:-3:

=40000-9

-3999]

4.請你參考黑板中老師的講解，用乘法公式簡便計(jì)算;

(1)6992(2)20192-2017X2021

5.先化簡，再求值：(x+3y)"-(x+3y)(x-3y),其中x=3,y=-2.

第三章因式分解

【知識(shí)點(diǎn)歸納】

1.把一個(gè)多項(xiàng)式表示成若干個(gè)的形式，稱為把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。（因式分解三注意：1.乘積形式；2.

恒等變形；3.分解徹底。）

2.幾個(gè)多項(xiàng)式的稱為它們的公因式。

3.如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到外面，這種把多項(xiàng)式因式分解的方法叫做提公因

式法。am+an=a（）

4.找公因式的方法：

找公因式的系數(shù)：取各項(xiàng)系數(shù)絕對值的o

確定公因式的字母：取各項(xiàng)中的相同字母，相同字母的的。

5.把乘法公式從右到左的使用，把某些形式的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的方法叫做公式法。

a2-b2=,a2+2ab+b2=,a2-2ab+b2=。

【典型例題】

1.已知二次三項(xiàng)式2x、3x-k有一個(gè)因式是（2x-5）,求另一個(gè)因式以及k的值.

2.已知ab?=6,求ab(a2b5-ab'!-b)的值.

3.因式分解：

(1)3ax2-6axy+3ay2(2)(3x-2)2-(2x+7)

(3)-2m2+8mn-8n2(4)a2(x-1)+b2(1-x)

(5)(m2+n2)-4m2n2(6)9a"(x-y)+4b^(y-x)

第四章相交線與平行線

【知識(shí)點(diǎn)歸納】

1.同一平面內(nèi)的兩條直線有、、（或平行）三種位置關(guān)系。

2.在同一平面內(nèi)，沒有的兩條直線叫做平行線。（記作a〃b）

3.過直線外一點(diǎn)有直線與這條直線平行。

4.平行于同一條直線的兩條直線（平行線的性）-

5.有共同的,其中一角的兩邊分別是另一角的兩邊的線，這樣的兩個(gè)角叫做對頂角。對頂

角0兩條直線相交，有2對對頂角，n條直線相交于一點(diǎn)，有n（n-1）對對頂角。

6.同位角：在“三線八角”中，位置相同的角，在,同一側(cè)的角，是同位角。

7.內(nèi)錯(cuò)角：在“三線八角”中，夾在兩直線，位置____________角，是內(nèi)錯(cuò)角。

8.同旁內(nèi)角：在''三線八角”中，夾在兩直線,在第三條直線的角，是同旁內(nèi)角。

9.平移不改變圖形的和,不改變直線的,一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應(yīng)

點(diǎn)的連線（或在同一直線上）。

10.平行線的性質(zhì)：

（1）兩直線平行，角相等；（2）直線平行，相等；（3）兩直線平行，角互補(bǔ)。

11.平行線的判定：

（1）角相等，兩直線平行；（2）角相等，兩直線平行；（3）角互補(bǔ)，兩直線平行。

12.兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是角時(shí)，這兩條直線叫做互相垂直，它們的交點(diǎn)叫做o

(記作a，b)

13.在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線o

14.在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線垂直于0

15.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)一條直線與已知直線垂直。

16.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，最短，從直線外一點(diǎn)到這條直線的的長度，叫

做點(diǎn)到直線的距離。

17.兩條平行線的所有都相等。兩條平行線的公垂線段的叫做兩條平行線間的距離。

【典型例題】

1.如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)0,0A平分NE0C.

(1)若/E0C=80°,求/BOD的度數(shù)；

(2)若/EOC=/EOD,求NB0D的度數(shù).

2.如圖，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，AABC的頂點(diǎn)A、B、C

的頂點(diǎn)上，將AABC向下平移4個(gè)單位、再向右平移3個(gè)單位得到△AJ3C

(1)在網(wǎng)格中畫出△AiBC；

(2)計(jì)算AAiBC的面積.

3.如圖，AB〃CD,EF平分NAEG,若/EGD=130°，求/EFG的度數(shù).

4.已知：如圖，AB〃CD,點(diǎn)E在AC上，ZA=115°,ZD=20°,求/AED的度數(shù).

5.如圖，已知/1=/2,ZB=100°,求/D的度數(shù).

6.如圖，BD是/ABC的平分線，ED//BC,/FED=/BDE,則EF也是/AED的平分線.完成下A

列推理過程：

證明：：BD是NABC的平分線(__________________________

ZABD=ZDBC(_____________________________)

VED//BC(_____________________________)

ZBDE=ZDBC(_____________________________)

???_______________________(_____________________________:)

又?.?NFED=NBDE(_____________________________)

..._______//________(_______________________________)

ZAEF=ZABD(_____________________________)

???NAEF=NDEF(_______)

；.EF是/AED的平分線(____________________________)

7.如圖，已知直線BC、DE交于0點(diǎn),OA、OF為射線，OA±BC,OF平分NCOE,ZC0F=17°.求N

ZA0D的度數(shù).

1一1

BC

D

8.如圖，AB與CD相交于0,0E平分NAOC,OF_LAB于0,OGJ_OE于0,若NB0D=40°,F

G\

支/ACF和ZROG的底和

C

第五章軸對稱圖形

【知識(shí)點(diǎn)歸納】

1.軸對稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線_____—，直線兩側(cè)的部分能夠________，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，

這條直線叫做它的________。等腰三角形有一一條對稱軸，等邊三角形有一條對稱軸，長方形有_____條對稱軸，正

方形有條對稱軸，圓有條對稱軸。

2.軸對稱變換不改變圖形的和（含長度、角度、面積等）。

3.成軸對稱的兩個(gè)圖形中，對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸=

4.一個(gè)圖形和它經(jīng)過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的相等，兩組對應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心的連線所

成的相等。旋轉(zhuǎn)不改變圖形的和。

【典型例題】

1.在等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、等腰直角三角形等特殊的三角形中，是軸對稱圖形的有個(gè).

2.在下列圖形中：等腰三角形、等邊三角形、正方形、正五邊形、平行四邊形，等腰梯形，其中有個(gè)旋轉(zhuǎn)對

稱圖形.一~~~~~~一

3.在圖中涂黑一個(gè)小正方形，使得圖中黑色的正方形成為軸對稱圖形，這樣的小正方形——

可以有個(gè).一■■■一

第六章數(shù)據(jù)的分析~~~~~~

【知識(shí)點(diǎn)歸納】

1.加權(quán)平均數(shù)：權(quán)數(shù)之和為O

2.中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是數(shù)，位于的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);

如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是數(shù)，位于中間的兩個(gè)數(shù)的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。

3.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)的數(shù)。

4.方差：一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)與其之差的平方的______值。即0

【典型例題】

1.物理興趣小組20位同學(xué)在實(shí)驗(yàn)操作中的得分情況如表:

得分（分）10987

人數(shù)（人）5843

①求這20位同學(xué)實(shí)驗(yàn)操作得分的眾數(shù)、中位數(shù).

②這20位同學(xué)實(shí)驗(yàn)操作得分的平均分是多少？

③將此次操作得分按人數(shù)制成如圖所示的扇形統(tǒng)計(jì)圖.扇形①的圓心角度數(shù)是多少？

筆試面試體能

甲858075

29.某公司需招聘一名員工，對應(yīng)聘者甲、乙、丙從筆試、面試、

乙809073

體能三個(gè)方面進(jìn)行量化考核.甲、乙、丙各項(xiàng)得分如下表：

丙837990

（1）根據(jù)三項(xiàng)得分的平均分，從高到低確定三名應(yīng)聘者的排序.

(2)該公司規(guī)定：筆試，面試、體能得分分別不得低于80分，80分，70分，并按60%,30%,10%的比例計(jì)入總分(不

計(jì)其他因素條件)，請你說明誰將被錄用.

30.甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊選撥賽，每人射擊10次，其中射擊中靶情況如下表:

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次第九次第十次

甲71081099108109

乙107109910810710

(1)選手甲的成績的中位數(shù)是分；選手乙的成績的眾數(shù)是分；

(2)甲的平均成績是分，方差是；

(3)已知選手乙的成績的方差是1.4,則成績較穩(wěn)定的是哪位選手？(直按寫出結(jié)果)

和、差、倍、分問題

公式：較大量=較小量+多余量，總量=倍數(shù)X倍量

1、某公園有東、西兩個(gè)門，開園半小時(shí)內(nèi)，東門售出成人票65張，兒童票12張，收票款568元；西門售出成人票81

張，兒童票8張，收票款680元。請你算一算，該公園成人票、兒童票單價(jià)分別為多少？

2、某校課外小組的學(xué)生分組外出活動(dòng)，若每組7人，則余下3人；若每組8人，則少5人。求課外小組的人數(shù)和應(yīng)分

成的組數(shù)。

3、2009年北京市生產(chǎn)運(yùn)營用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米，其中居民家庭用水比生產(chǎn)運(yùn)營用水的3倍還

多0.6億立方米。問生產(chǎn)運(yùn)營用水和居民家庭用水各多少億立方米？

產(chǎn)品配套問題

加工總量成比例

1、某廠共有120名生產(chǎn)工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)螺栓25個(gè)或螺母20個(gè)，如果一個(gè)螺栓與兩個(gè)螺母配成一套，那么

每天安排多名工人生產(chǎn)螺栓，多少名工人生產(chǎn)螺母，才能使每天生產(chǎn)出來的產(chǎn)品配成最多套？

2、一張方桌由一張桌面和四條腿做成，已知1立方米木材可做50個(gè)桌面或300個(gè)桌腿，現(xiàn)有5立方米木料，恰好能

做成方桌多少張？

3、某車間每天能生產(chǎn)500只甲種零件或者乙種600只，或者丙種零件750只，已知甲，乙，丙三種零件各一個(gè)配成一

套，現(xiàn)需要在30天內(nèi)生產(chǎn)出最多的配套成品，問甲，乙，丙三種零件各應(yīng)生產(chǎn)幾天？

行程問題

與路程問題有關(guān)的等量關(guān)系：路程=速度義時(shí)間，速度=路程+時(shí)間，時(shí)間=路程+速度

1、從甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路與一段3千米長的下坡，如果保持上坡每小時(shí)走3千米，平路每小時(shí)走4

千米，下坡每小時(shí)走5千米，那么從甲到乙地需90分，從乙地到甲地需102分。甲地到乙地全程是多少？

2、某班同學(xué)去18千米的北山郊游。只有一輛汽車，需分兩組，甲組先乘車、乙組步行。車行至A處，甲組下車步行,

汽車返回接乙組，最后兩組同時(shí)到達(dá)北山站。已知車速度是60千米/時(shí)，步行速度是4千米/時(shí)，求A點(diǎn)距北山的距離。

3、通訊員要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)某地，他每小時(shí)走15千米，則可提前24分鐘到達(dá)某地；如果每小時(shí)走12千米，則要

遲到15分鐘。求通訊員到達(dá)某地的路程是多少千米？和原定的時(shí)間為多少小時(shí)？

行程問題一一相遇問題

相遇問題:這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和=總路程。

1、甲、乙兩人從相距36米的兩地相向而行。如果甲比乙先走2小時(shí)，那么他們在乙出發(fā)后經(jīng)2.5小時(shí)相遇；如果乙

比甲先走2小時(shí)，那么他們在甲出發(fā)后經(jīng)3小時(shí)相遇；求甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米?

2、甲、乙兩人在周長為400m的環(huán)形跑道上練跑，如果同時(shí)、同地相向出發(fā)，經(jīng)過80秒相遇；已知乙的速度是甲速度

的2/3,求甲、乙兩人的速度.

行程問題一一追擊問題

追擊問題：其等量關(guān)系式是:兩者的行程差=開始時(shí)兩者相距的路程；

1、某站有甲、乙兩輛汽車，若甲車先出發(fā)lh后乙車出發(fā)，則乙車出發(fā)后5h追上甲車；若甲車先開出20km后乙車

出發(fā)，則乙車出發(fā)4h后追上甲車.求兩車速度.

2、甲乙兩人相距6km,兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，1小時(shí)相遇；同時(shí)出發(fā)同向而行，甲3小時(shí)可追上乙。兩人的平均速

度各是多少？

行程問題一一航行問題

航行問題：①船在靜水中的速度+水速=船的順?biāo)俣龋?/p>

②船在靜水中的速度一水速=船的逆水速度；

③順?biāo)俣纫荒嫠俣?2X水速。

1、兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時(shí)，逆流用20小時(shí)，求船在靜水中的速度和水流速度。

2、一條船順?biāo)旭?6千米和逆水行駛24千米的時(shí)間都是3小時(shí)，求船在靜水中的速度與水流的速度。

3、A市至B市的航線長1200千米，一架飛機(jī)從A市順風(fēng)飛往B市需要2小時(shí)30分，從B市逆風(fēng)飛往A市需要3小時(shí)

20分。求飛機(jī)的平均速度與風(fēng)速。

工程問題

公式：工作量=工作效率X工作時(shí)間，各部分工作總量=1

1、一家商店要進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個(gè)裝修組同時(shí)施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520元；若先請甲組單獨(dú)

做6天，再請乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問：甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？

2、小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下

的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元,若只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選

甲公司還是乙公司？請你說明理由.

3、甲、乙兩人同時(shí)加工一批零件，前3小時(shí)兩人共加工126件，后5小時(shí)甲先花了1小時(shí)修理工具，因此甲每小時(shí)比

以前多加工10件，結(jié)果在后一段時(shí)間內(nèi)，甲比乙多加工了10件，甲、乙兩人原來每小時(shí)各加工多少件？

增長率問題

公式：原量X（1+增長率）=增長后的量，原量X（1-減少率）=減少后的量

1、某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值一總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%,總支出比去年減少了10%,今

年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？

2、某儲(chǔ)蓄所去年儲(chǔ)戶存款為2300萬元，今年與去年相比，定期存款增加了25%,而活期存款減少了25%,但存款總

額增加了15%,問今年的定期、活期存款各是多少？

3、某中學(xué)現(xiàn)有學(xué)生500人，計(jì)劃一年后在校女生增加3%,在校男生增加4%,這樣，在校學(xué)生將增加3.6%,那么該

學(xué)校現(xiàn)有男生和女生人數(shù)分別是？

4、革命老區(qū)百色某芒果種植基地，去年結(jié)余500萬元，估計(jì)今年可結(jié)余960萬元，并且今年的收入比去年高15%,支

出比去年低10%,求去年的收入與支出各是多少萬元？

濃度問題

公式：溶液X濃度=溶質(zhì)

1、現(xiàn)有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3：7,乙種酒精溶液的酒精與水的比是4：1,今要得到酒精

與水的比為3：2的酒精溶液50kg,問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少？

2、要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水各需多少？

銀行利率問題

免稅利息=本金x利率X時(shí)間，稅后利息=本金X利率X時(shí)間一本金X利率X時(shí)間X稅率

1、小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反

復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行年利率

為2.70%.三年后同時(shí)取出共得利息303.75元（不計(jì)利息稅），問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？

利潤問題

公式：利潤=售價(jià)一進(jìn)價(jià)，利潤率=（售價(jià)一進(jìn)價(jià)）?進(jìn)價(jià)X100%

1、五.一期間，某商場搞優(yōu)惠促銷，決定由顧客抽獎(jiǎng)決定折扣，某顧客購買甲