2024-2025學(xué)年天津某中學(xué)高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年天津一百中高三(上)第一次月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.設(shè)全集U={-2,—1,0,1,2,3},集合4={-1,2},B={X\X2-4X+3=0},貝UCu(AUB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

2.在△48C中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則“4=B”是usinA=sinB”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

TT

3.記△4BC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,hc,若A=.,a=3,6=2,貝UsinB=()

A.乎B.4C*D.§

4623

i

4.已知a=log52,b=log83,c=-,則下列判斷正確的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

5.已知向重a,b滿足|a|=l,\a+2b\=2,M(6-2a)1b,則網(wǎng)=().

A.|C.§D.1

222

6.已知2a=5,log83=b,則4-3b=()

A.25B.5C.仔D.j

7-已知cos七:ina=3則tan(a+9=()

A.2A/3+1B.273-1C.日D.l-木

8.設(shè)函數(shù)f(X)=2s譏(ax+0),xGR,其中3>0,|刎<兀.若/'(粵)=2,/(當(dāng))=。，且/(尤)的最小正

周期大于2兀，貝)

.2wr2117r

A.3=-.(JO=適B.3=-,(p=--

c1117r「17〃

C.3=-,9=一刃D.3=§,(P=-

9.設(shè)函數(shù)f(%)=(%+a)ln(x+h),若/(%)>0,則砂+爐的最小值為()

A.1B.|C.1D.1

o4Z

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

第1頁(yè)，共8頁(yè)

10.已知s譏a=、，則cos怎+a)=.

11.函數(shù)/(%)=sin%-J^cos%在［0,兀］上的最大值是.

7T叵JI

12.已知sin(a+^)+sina=手,貝！Isin(2a—/)=.

13.已知1g(久+2y)=Igx+lgy,則空苫上空的最小值為

14.函數(shù)/(嗎=Asin(cox+租)(4>0,3>0,|如<$的部分圖象如圖所示，關(guān)于

函數(shù)/'(x)有如下結(jié)論：

①函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(―*0)對(duì)稱

②函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=-相對(duì)稱

③函數(shù)y=/(x)在［—尊—芻上單調(diào)遞減

④該圖象向右平移看個(gè)單位可得y=2s出2x的圖象

以上結(jié)論正確的是.

15.在四邊形4BCD中，AD//BC,AB=2避，AD=5,LA=30°,點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且

AE=BE,則說(shuō).族=.

三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

16.(本小題12分)

在A/BC中，內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.

(1)求cosB的值;

TT

(2)求sin(2B+q)的值.

17.(本小題12分)

已知函數(shù)/(x)=sin2x+2V^sinxcosx—cos2%+ni的最大值為3,

(1)若f(x)的定義域?yàn)椋?,捫，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若/'(￡)=￡，x0G［O,,求cos(2%o+合)的值.

18.(本小題12分)

已知四棱錐ABCD-AiBiCiDi中，底面力BCD為梯形，AB//CD,1平面ABCD,AD1AB,其中

AB=44i=2,AD=DC=1.N是的中點(diǎn)，M是。小的中點(diǎn).

(1)求證：DiN〃平面CB/；

第2頁(yè)，共8頁(yè)

(2)求平面CBiM與平面BBiCCi的夾角余弦值;

⑶求點(diǎn)B到平面CBiM的距離.

19.(本小題12分)

已知等比數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，2a5,a4,4a6成等差數(shù)列，且滿足a4=4送，等差數(shù)列｛0｝的前幾項(xiàng)和

Sn,必+久=6,54=10.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝和｛0｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)公=岳？；葭+3即，踐eN*,｛dra｝的前n項(xiàng)和rra,求證：Tn<|；

(3)設(shè)/=粽數(shù))，求數(shù)列｛0｝的前勿項(xiàng)和.

20.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(X)=x-lnx-2.

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(3)若對(duì)任意的x6(1,+8),都有xlnx+x>做久-1)成立，求整數(shù)k的最大值.

第3頁(yè)，共8頁(yè)

參考答案

l.D

2.C

3.D

4.C

5.B

6.C

7.B

8.4

9.C

10.^-

11.2

12--8

13.4A/2+4

14.①②④

15.~1

16.解：①在三角形力BC中，由正弦定理得一%=券，所以加inC=csinB,

SITIDbiriL,

又由3csm3=4asinC,

得3bsinC=4asinC,即3b=4a,

又因?yàn)閎+c=2a,得b=y,c=-y,

由余弦定理可得cosB=標(biāo)廣出

2ac

：a2+q21a2=1

——2a-|a——-4;

(II)由(I)得sinB=S-cos2B=逗

4

從而sin2B=IsinBcosB——衛(wèi)

8

7

22

cos2B=cos5—sin^=-o

第4頁(yè)，共8頁(yè)

故sin(2B+勺=sin2Bcos^+cos2Bsi痔

,5Zl_3G+7

■■—XT-8xX2--

17.1?：(1)將f(%)化簡(jiǎn)可得f(%)=避sin2%—cos2X+m=2sin(2%—勺+m,

因?yàn)閒(%)max=2+m=3，所以7H=1.

此時(shí)/(%)=2sin(2x—+1,

當(dāng)%G[0同時(shí)，2x-^E

人71c兀兀/口c7T

令一%<2x-g<2.得0<x<g,

A3TT.71WTI乙曰5兀>>

令5<2N乂一不<丁，得"Wx<n,

(2)由(1)知/Q)=2sin(2x-J)+1,

由/第=9，得2sin(%o—g+1=裝，

所以sin(久。一9=|,

又因?yàn)閤()e[o,所以久o—卷e[―看4]，

2

所以cos(久￡)_§=Jl-Sin(xo-^)=1,

所以sin[2(xo_§]=2sin(x0-^)cos(x0-=||，

所以cos(2%o+今=cos[2(x0-^)+^]=-sin[2(x0-^)]=

18.(1)證明：取CBi中點(diǎn)E,連接NE,ME,

由N是/Ci的中點(diǎn)，得NE//CC1，且NE=1ccv

由M是DD1的中點(diǎn)，得DiM且DiM〃CCi，

貝孫M〃NE,DrM=NE,

所以四邊形DiMEN是平行四邊形，

所以小N〃ME,

又MEu平面CBiM,DiNC平面CBiM,

第5頁(yè)，共8頁(yè)

故。1N〃平面CBiM.

(2)解：以a為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

有2(0,0,0),5(2,0,0),Bi(2,0,2),M(0,1,1),C(l,l,0),Q(l,l,2),

則函=(1,-1,2),CM=(-1,0,1),西=(0,0,2),

設(shè)平面CBiM的法向量為訪=(久i，yi，zD，

m-CBi=x—y+2z=0

111則m=(1,3,1),

m-CM=—%1+Zi=0

設(shè)平面B&CC］的法向量為元=(%2〃2/2)，

(夕CB\=x2—y2+2Z2=0

(n-BB]=2Z2=0則道=(1,1,0),

—m-n_______________2A/22

所以cos<m,n>=———

|m|?\n\JI+9+1x7m—

故平面C&M與平面B&CCi的夾角的余弦值為

(3)解:因?yàn)槲?(0,0,2),平面CBiM的法向量為方=(1,3,1),

所以點(diǎn)B到平面CBiM的距離為d=田:右加="+j+1=喑.

19.(1)解：由等比數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)公比為式q>0),

2a5，。4，4a6成等差數(shù)列，且滿足@4=4諼，

，｛晶藁5+3即｛需：需承/解得由斗弓,

.9國(guó)?&-1=(如，

設(shè)等差數(shù)列｛琥｝的公差為優(yōu)

2b

bb

2+4--4b

6,S410+6d-10,解得必=d=1,

則垢=1+(n-1)x1=n,即數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式為bn=n；

(2)證明：由(1)知an=&n,bn=n,

第6頁(yè)，共8頁(yè)

an2

得%=b2n+ib2n+3=(2n+l)(2n+3)'(萬(wàn))九二1(2九+1)?2"一(2九+3)?2九+/，

則T九=2[(3.2-5.4)+(5.4-7.8)+(7.8-9?16)((2九+1)?2九一(2九+3)?2九+1)〕

—2.ri—.....------1—1_---------

一乙L6(2九+3)?2九+1」-3(2n+3)-2n，

.1八.1__1.1.1

，(2九+3)2??§一(2九+3)?2九<§'暇/九'§；

由，作M為奇數(shù))『，(幾奪奇數(shù))

(3)解：由cn=5n.bn(n為偶數(shù))=[n.(1)",(n為偶數(shù))，

則數(shù)列｛%｝的前2n項(xiàng)和Mn=(1+3+…+2n-l)+(24+4?2+…+2n?否,

4-1O乙

由等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和可得：1+3+...+(2n-l)=(1+2廠1加=

令%=2[+4.2+…+2n.擊，①

得如n=2祗+4.專+…+2n-^77，②

2714

①一②得：/=2+(+...+會(huì)?-2n._L_=lL￡2_2n.-A—=|-+?

4

.[/_86n+81_86n+8

vn9—9?4九—9-9.4九,

故數(shù)列｛4｝的前2n項(xiàng)和Mn=於+

20懈：(1)函數(shù)/Q)=x—In比—2,求導(dǎo)得(。)=1—?jiǎng)t〃(1)=。，而/(1)=—1,

所以曲線y=/(>)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程是y=—1.

1

(2)函數(shù)f(x)=x-lnx-2的定義域是(0,+oo),f(x)=1--,

當(dāng)久6(0,1)時(shí)，廣(久)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，尸(嗎>