人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章 圓錐曲線的方程章末復(fù)習(xí)提升

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE1章末復(fù)習(xí)提升要點(diǎn)一數(shù)形結(jié)合思想“數(shù)形結(jié)合”指的是在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形有機(jī)結(jié)合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧結(jié)合，通過對(duì)規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到解決.〖例1〗雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若P為雙曲線上一點(diǎn)，且|PF1|＝2|PF2|，則雙曲線離心率的取值范圍為()A.(1，3) B.(1，3〗 C.(3，＋∞) D.〖3，＋∞)〖答案〗B〖解析〗如圖所示，由|PF1|＝2|PF2|知P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(16a2＋4a2－4c2,2×4a·2a)＝eq\f(5,4)－eq\f(c2,4a2)＝eq\f(5,4)－eq\f(e2,4)，∵0<∠F1PF2≤π，且當(dāng)點(diǎn)P是雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2＝π，∴－1≤cos∠F1PF2<1，∴－1≤eq\f(5,4)－eq\f(e2,4)<1，且e>1，解得1<e≤3.故選B.〖訓(xùn)練1〗拋物線y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點(diǎn)，F(xiàn)是它的焦點(diǎn)，若2|BF|＝|AF|＋|CF|，則()A.2x2＝x1＋x3 B.2y2＝y(tǒng)1＋y3C.2x3＝x1＋x2 D.2y3＝y(tǒng)1＋y2〖答案〗A〖解析〗如圖，過A，B，C分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，B′，C′，由拋物線定義知：|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|.∵2|BF|＝|AF|＋|CF|，∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.又∵|AA′|＝x1＋eq\f(p,2)，|BB′|＝x2＋eq\f(p,2)，|CC′|＝x3＋eq\f(p,2)，∴2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋eq\f(p,2)＋x3＋eq\f(p,2)，∴2x2＝x1＋x3，故選A.要點(diǎn)二分類討論思想分類討論思想是指當(dāng)所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，我們就需要對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每一類進(jìn)行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果得到整個(gè)問題的結(jié)果.如曲線方程中含有的參數(shù)的取值范圍不同，對(duì)應(yīng)的曲線也不同，這時(shí)要討論字母的取值范圍，有時(shí)焦點(diǎn)位置也要討論，直線的斜率是否存在也需要討論.〖例2〗如果雙曲線的兩條漸近線的方程為y＝±eq\f(3,4)x，求此雙曲線的離心率.解當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由已知可得eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，∵c2＝a2＋b2，∴e2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝eq\f(25,16)，∴雙曲線的離心率e＝eq\f(5,4)；同理，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可求得離心率e＝eq\f(5,3).故雙曲線的離心率為eq\f(5,4)或eq\f(5,3).〖訓(xùn)練2〗求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過點(diǎn)P(2，－6)；(2)橢圓過點(diǎn)P(2，0)，且e＝eq\f(\r(2),2).解(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0).由已知得a＝2b.①∵橢圓過點(diǎn)P(2，－6)，∴eq\f(4,a2)＋eq\f(36,b2)＝1或eq\f(36,a2)＋eq\f(4,b2)＝1.②由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,148)＋eq\f(y2,37)＝1或eq\f(y2,52)＋eq\f(x2,13)＝1.(2)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，∵橢圓過點(diǎn)P(2，0)，∴a＝2.又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴c＝eq\r(2).∴b2＝a2－c2＝2.此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，∵橢圓過點(diǎn)P(2，0)，∴b＝2.又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(2),2)，∴a2＝8.此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1.要點(diǎn)三函數(shù)與方程思想圓錐曲線中的許多問題，若能運(yùn)用函數(shù)與方程的思想去分析，則往往能較快地找到解題的突破口.最值問題是高中數(shù)學(xué)中常見的問題，在圓錐曲線問題中也不例外，而函數(shù)思想是解決最值問題最有利的武器.我們通?？捎媒⒛繕?biāo)函數(shù)的方法解有關(guān)圓錐曲線的最值問題.方程思想是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，通過聯(lián)想與類比，將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組，然后通過解方程或方程組使問題獲解，方程思想是高中數(shù)學(xué)中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.〖例3〗已知橢圓mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)與直線x＋y－1＝0相交于A，B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(2)，OC的斜率為eq\f(\r(2),2)，求橢圓的方程.解法一設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差，得m(x1＋x2)(x1－x2)＋n(y1＋y2)(y1－y2)＝0.①∵A，B為直線x＋y－1＝0上的點(diǎn)，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－1.由已知得eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝kOC＝eq\f(\r(2),2)，代入①式可得n＝eq\r(2)m.直線x＋y－1＝0的斜率k＝－1.又|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(2)|x2－x1|＝2eq\r(2)，∴|x2－x1|＝2.聯(lián)立mx2＋ny2＝1與x＋y－1＝0可得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，且由已知得x1，x2是方程(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0的兩根，∴x1＋x2＝eq\f(2n,m＋n)，x1x2＝eq\f(n－1,m＋n)，∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n,m＋n)))eq\s\up12(2)－4·eq\f(n－1,m＋n).②將n＝eq\r(2)m代入②式，解得m＝eq\f(1,3)，∴n＝eq\f(\r(2),3).∴所求橢圓的方程是eq\f(x2,3)＋eq\f(\r(2),3)y2＝1.法二由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx2＋ny2＝1，,x＋y－1＝0))得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(2n,m＋n)，x1x2＝eq\f(n－1,m＋n)，且直線AB的斜率k＝－1，∴|AB|＝eq\r(（k2＋1）（x1－x2）2)＝eq\r(（k2＋1）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\r(2)·eq\f(\r(4n2－4（m＋n）（n－1）),m＋n).∵|AB|＝2eq\r(2)，∴eq\f(\r(2)·\r(4n2－4（m＋n）（n－1）),m＋n)＝2eq\r(2)，∴eq\f(\r(m＋n－mn),m＋n)＝1.①設(shè)C(x，y)，則x＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(n,m＋n)，y＝1－x＝eq\f(m,m＋n).∵OC的斜率為eq\f(\r(2),2)，∴eq\f(m,n)＝eq\f(\r(2),2)，將其代入①式得，m＝eq\f(1,3)，n＝eq\f(\r(2),3).∴所求橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(\r(2),3)y2＝1.〖訓(xùn)練3〗若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a>0)的離心率為eq\f(5,3)，則a＝________.〖答案〗3〖解析〗由離心率公式，有eq\f(a2＋16,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))eq\s\up12(2)(a>0)，得a＝3.故填3.要點(diǎn)四化歸與轉(zhuǎn)化思想將所研究的對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對(duì)象的思想方法稱之為化歸與轉(zhuǎn)化思想.一般將有待解決的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之成為大家熟悉的或容易解決的問題模式.轉(zhuǎn)化與化歸思想在圓錐曲線中經(jīng)常應(yīng)用，如把求參數(shù)的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為解不等式(組)問題，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，需要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.〖例4〗已知點(diǎn)A(4，－2)，F(xiàn)為拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)，當(dāng)|MA|＋|MF|取最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A.(0，0) B.(1，－2eq\r(2)) C.(2，－4) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2))〖答案〗D〖解析〗過點(diǎn)M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為E，則由拋物線定義知|MF|＝|ME|.當(dāng)點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，|MF|＋|MA|的值在變化，顯然M移到M′，使AM′∥Ox即A，M，E共線時(shí)，|ME|＋|MA|最小，把y＝－2代入y2＝8x，得x＝eq\f(1,2)，∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－2)).〖訓(xùn)練4〗如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2＝4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上.(1)設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；(2)若P是半橢圓x2＋eq\f(y2,4)＝1(x<0)上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAB面積的取值范圍.(1)證明設(shè)P(x0，y0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)yeq\o\al(2,1)，y1))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)yeq\o\al(2,2)，y2)).因?yàn)镻A，PB的中點(diǎn)在拋物線上，所以y1，y2為方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y＋y0,2)))eq\s\up12(2)＝4×eq\f(\f(1,4)y2＋x0,2)，即y2－2y0y＋8x0－yeq\o\al(2,0)＝0的兩個(gè)不同的實(shí)根.所以y1＋y2＝2y0，所以AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為y0，因此PM垂直于y軸.(2)解由(1)可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝2y0，,y1y2＝8x0－yeq\o\al(2,0)，))所以|PM|＝eq\f(1,8)(yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2))－x0＝eq\f(1,8)〖(y1＋y2)2－2y1y2〗－x0＝eq\f(3,4)yeq\o\al(2,0)－3x0，|y1－y2|＝eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝2eq\r(2（yeq\o\al(2,0)－4x0）).因