高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 函數(shù)的概念及其表示講義

第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示

【課標(biāo)要求】

1.在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系

刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中

的作用。了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域。

2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、

解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用。

3.通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用。

教學(xué)目標(biāo)：

1.理解函數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的定義域和值域.

2.理解函數(shù)的表示，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、

解析法)表示函數(shù)，會求函數(shù)解析式

3.了解分段函數(shù)、抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)，并會簡單應(yīng)用.

教學(xué)重點：函數(shù)的概念及表示，分段函數(shù)

教學(xué)難點：函數(shù)概念的理解

教學(xué)過程：

一.知識梳理：

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中任何一個數(shù)X,按照

某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y與之對應(yīng)，那么就稱f：

A玲B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x),x回A淇中集合A叫作函數(shù)

的定義域，｛/(x)|xeA｝叫作函數(shù)的值域。

2.函數(shù)的三要素

(1)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.

⑵如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相

等.

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖像法和列表法.

4.分段函數(shù)

函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表

示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).

分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域是各段定義域的____值域是各段值域的.

5.基本函數(shù)的理解

解析式圖像定義域值域?qū)?yīng)特點

一次函數(shù)——對——

二次函數(shù)二對一

反比例函——對——

數(shù)

一次分式y(tǒng)="X+"(ex+dH0)——對——

cx+d

函數(shù)

募函數(shù)——對、

二對一

b

對勾函數(shù)y=ax+—(a>Q,b>0)——對——

X

指數(shù)函數(shù)——對——

對數(shù)函數(shù)——對——

二.考點強化

考點一：函數(shù)的概念

例1.（人教A版教材必修一P74第17題改編）

（1）請寫出滿足定義域相同，值域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同的兩個函數(shù)

（2）請寫出滿足值域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同的兩個函數(shù)

例2.（1）函數(shù)f（x）=/1+ln（3x-1）的定義域為______________;

V1-4%2

（2）已知f（2，）的定義域為[1,2],則丫=/1。81九）的定義域為.

答案：例1⑴例如f（X）=x2,xG（0,+CO）；g（X）=x3,xG（0,+00）

⑵例如f(x)=x2,xe[0,l];g(x)=x2,xG[1,1].答案不唯一

答案：例2.⑴層］；(2)［昌］

方法總結(jié)：

L給定解析式求定義域問題，就使解析式有意義的自變量取值集合，所以要了解解析式限制

解析式限制條件

整式(如一次、二次函數(shù))無限制

分式(如反比例函數(shù))分母不為0

根式C〃為偶數(shù)，a20；"為奇數(shù),aeR

指數(shù)式優(yōu)a>O.aw1,xwR

對數(shù)式log.Xa>O.aw1,x>0

xeR

三角式sinx.cosx

tanxx^—+K71.kEZ

2.求復(fù)合函數(shù)的定義域

①若f(x)的定義域為［m,n］,則在f(g(x))中，由mWg(x)Wn解得x的范圍即

為f(g(x))的定義域.

②若f(g(x))的定義域為［m,n］,則由mWxWn得到g(x)的范圍，即為f(x)的

定義域.

對點練習(xí)：1.(教材P66例3改編)下列函數(shù)中與函數(shù)y=x是同一個函數(shù)的有

2

(1)y=(2)u=\l^(3)y=(4)m=—

n

(5)y=(6)y=ln靖

2.①(2020?北京卷)函數(shù)/(x)=」一+lnx的定義域是.

x+1

②函數(shù)y="logo_5(4x2—3九)的定義域為;

③若函數(shù)的定義域是[0,2],則函數(shù)g(x)=噌的定義域是

X1

答案：1.(2)(6)2.①(0,+oo)；②-；,0卜]；,1；③[0,1)

考點二：函數(shù)的表示方法

例3.已知函數(shù)/(x)=/,求函數(shù)/(x-l),/(2x),并說出/(x)與/(x-1),/(%)

與/(2x)的關(guān)系。

變式：1.已知函數(shù)/(X-1)=正，求/(X)；

2.已知/(x)是二次函數(shù)，</(x+1)+/(x-1)=2x2-4x,求

7

3.已知函數(shù)/(x)滿足2/(x)+/(—x)=3x+4,求/(x)的解析式；

4.已知函數(shù)/(x)=%2與y=g(x)的圖象關(guān)于點(2,3)對稱，求g(x).

答案：例3./(x-l)=(x-l)2,/(2x)=4x2

變式：1.f(x)=y/x+l(x>-1)；2./(x)=%2-2x-l3.f(x)=3x+4

4"(x)=-%2—8x—10

方法總結(jié)：l"(x)與/(x+a),/(x)與/(ax)圖象之間關(guān)系；

2.求函數(shù)解析式的常用方法：

i.換元法(注意新元的取值范圍)

iL待定系數(shù)法(已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等)

iii.整體代換(配湊法)

iv.構(gòu)造方程組(如自變量互為倒數(shù)、已知f(x)為奇函數(shù)且g(x)為

偶函數(shù)等)

3.求函數(shù)的解析式應(yīng)指明函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域是使式子有意義的

的取值范圍，同時也要注意變量的實際意義。

4.理解軌跡思想在求對稱曲線中的應(yīng)用。

對點練習(xí)：1.請寫出3個不同函數(shù)y=/(x)的解析式，滿足/⑴=1.7?⑵=4.

2.若函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式/(%)+2/(—)=3x,求f(x)o

3.設(shè)函數(shù)/Xx)=’的圖象為G，若函數(shù)g(x)的圖象C2與G關(guān)于％軸對稱，求

g(x)。

4.若函數(shù)/(x)=(x+a)(fcv+2a)(常數(shù)a,Z?eR)是偶函數(shù)，且它的值域為(ro,4卜

求解析式/(x)

91

答案：1.略2./(%)=---x3.g(x)=-----4./(x)=-2x2+4

x%+1

考點三：分段函數(shù)

工2—4x〉2

例4.(1)(2021?浙江高考題)已知〃￡火，函數(shù)/(九)='若

卜-3|+。/V2

/[/網(wǎng)=3,貝IJ。.

(2)(21新課標(biāo)1卷15)函數(shù)/(x)=|2x—1―21nx的最小值為

解：(1)/[/(V6)]=/(6-4)=/(2)=|2-3|+a=3,,故a=2.

(2)函數(shù)/a)=|2x—1|—21nx的定義域為(0,+oo).

上為減函數(shù),

所以/(x)min=￡)=21n2；

當(dāng)x〉g時，/(x)=|2x-l|-21nx=2x-l-21nx,

則7?'(x)=2—2=^^當(dāng)xejg,1時,

/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(l,+co)時，/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)%=1時f(x)取得最小值為f(l)=l<2ln2.

.??函數(shù)=——21nx的最小值為1.

方法總結(jié)：分段函數(shù)是完整的一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段定義域、

值域的并集；分段函數(shù)是在定義域的不同子集上對應(yīng)關(guān)系不同的函數(shù)，所以分段

函數(shù)的問題應(yīng)分段處理。

-x2-2ax-a,x<Q

對點練習(xí)：1.（24新課標(biāo)1卷6）（已知函數(shù)為7（x）二

ex+ln(x+l),x>0

在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

A.(oo,0)B.[1,0]C.[1,1]D.：0,+oo)

2.設(shè)函數(shù)/'(xb/'x"。，則滿足/(x+i)</(2x)的x的取值范圍是()

[l,x>0

A.(-oo,-l]B.(0,+oo)C.[1,0)D.(-oo,0)

3.(2018.全國(理))已知函數(shù)/(x)=je、，x<0,g(x)=/(x)+x+a

[inx,x>0

若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

答案：1.B2.C3.C

考點四：抽象函數(shù)

例5.(1)(2022?新高考n卷T8)若函數(shù)Ax)的定義域為R,f(x+y)+f(xy)=f(x)f(y),

22

f⑴=1,則X/(Z)=()A.3B.2C.0D.1

k=l

(2)(2023新高考I卷11)已知函數(shù)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),

則().

A./(0)=0B./(l)=0C."%)是偶函數(shù)D.尤=0為的極小

值點

解：(1)因為f(x+y)+f(xy)=f(x)f(y),令x=l,y=0可得，2f(1)=f(1)f(0),

所以f(0)=2,令x=0可得，f(y)+f(y)=2f(y),即f(y)=f(y),所以函數(shù)f(x)為

偶函數(shù)，令y=l得，f(x+l)+f(xl)=f(x)f(1),而f(1)=1,即有

f(x+2)+f(x)=f(x+l)f,從而可f(6)知f(x+2)=f(xl),f(xl)=f(x4),故

f(x+2)=f(x4),即f(x)=f(x+6),所以函數(shù)f(x)的一個周期為6.因為

f(2)=f(1)f(0)=1,f(3)=f(2)f(l)=2,f(4)=f(2)f(2)=1,f(5)=f(1)f(l)=l,f(6)=

f(0)=2,所以一個周期內(nèi)的f(1)+f(2)+.?.+f(6)

=0.由于22除以6余4,

22

所以?之f(k)=/⑴+/\2)+/(3)+/(4)=1-1-2-1=-3

k=\

故選：A.

(2)因為/(專0=丁"(%)+必/(丁)，

對于A,令x=y=0,/(O)=0/(0)+0/(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=—1,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(-1)=0,

令y=-1,/(-x)=/(x)+%2/(-1)=/(x),

又函數(shù)/⑴的定義域為R,所以/⑴為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,不妨令/(x)=0,顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故D錯誤.

方法總結(jié)：抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特

征式子的一類函數(shù)，常用賦值法了解函數(shù)相關(guān)性質(zhì)后解決問題。

對點練習(xí)：1.(24新課標(biāo)1卷10)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x)>f(xl)+f(x2),當(dāng)

x<3時，f(x)=x,則下列結(jié)論中一定正確的是()

A.f(10)>100B.f(20)>1000C.f(10X1000D.f(20)<10000

2.(2022?全國乙(理)T12)已知函數(shù)/(x),g(%)的定義域均為R,且

/。)+g(2—x)=5,g(x)—-4)=7.若y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，