圖形類解三角形綜合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第10講圖形類解三角形綜合

（核心考點精講精練）

1%.考情探究.

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為13-15分

【備考策略】1.熟練掌握正余弦定理及面積公式解三角形

2.在幾何圖形中能熟練使用相關(guān)定理求解

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容一般會在解答題中進行命題考查，考查學(xué)生的圖形轉(zhuǎn)化及計算能力，需重點備考復(fù)

習(xí)

知識講解

1.正弦定理

ahc

——=2R（其中火為A4BC外接圓的半徑）

sinAsinBsinC

2.余弦定理

222222222

a=b+c-2bccosA，b=c+a-2cacosB，c=a+b-labcosC

3.三角形的面積公式

^\ABC二萬S\ABC=—absmC=—acsmB~—besinA

222

考點一、圖形類解三角形綜合考查

典例引領(lǐng)

1.（江蘇,高考真題）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,c=V^,3=45。.

A

(1)求sinC的值；

4

(2)在邊BC上取一點。，使得COSN/DC=-M，求tan/ZMC的值.

【答案】(1)sinC=^^；(2)tanADAC=—.

511

【分析】(1)方法一：利用余弦定理求得6,利用正弦定理求得sinC.

(2)方法一：根據(jù)cosNADC的值，求得sinZADC的值，由1)求得cosC的值，從而求得sinADAC,cosADAC

的值，進而求得tanNEMC的值.

【詳解】(1)［方法一］:正余弦定理綜合法

由余弦定理得尸=/+°2_2碇儂8=9+2-2x3x后xJ=5,所以6=遙.

2

由正弦定理得^=—竺=sinC=回巨=@.

sinCsin5b5

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法

過點/作4E_LBC,垂足為￡.在RtZ\4BE中，由。=板,8=45°,可得/E=8E=1,又。=3,所以

EC=2.

在RtA/CE中，AC=ylAE2+EC2=V5-因止匕sinC=3=g.

（2）［方法一］:兩角和的正弦公式法

由于cosN/DC=-1,ZADC,所以sinNADC=J1一cos?/ADC=g.

由于NzLDC所以Ce（0,1^,所以cosC=Jl-sin?C=竽.

所以sinZDAC=sin（%一ADAC）=sin（Z^DC+ZC）

=sinNADC?cosC+cosZADC-sinC=-x^^~+f-—>Ix.

55［5525

由于RCe吧，所以儂皿八7?3^^二嚶.

sin/ZMC2

所以tan/￡UC=

cosZDACn

［方法二］【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法

44

在（1）的方法二的圖中，由cos乙4。。=-：,可得cos/ZQ￡=cos（乃—乙4。。）=—cos//DC=1，從而

?/八,廠//cl4/八,廠sinZDAE4

sin/DAE=cosZADE=—,tan/DAE=--------------=—

5cosNDAE3

「?、一/口,L/CEC小ll……―/tanAEAC-tanZEAD2

又由（1）可得tan/￡/C=----=2,所以tan/ZX4C=tan（/￡/4。一/￡4￡））=---------------------------------=一

AE1+tan/EAC?tan/EAD11

［方法三］:幾何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得/E=1,CE=2,NC=>A.

4Er-4

在RtAADE中，AD=------------=^5,ED=ADcosZADE=—

sinZADE3

2

所以CD=C￡—O￡=§.

在△/CD中，由正弦定理可得sin/￡MC=型6皿^二撞，

AD25

2

由止匕可得tan/ZX4C=—.

［方法四］:構(gòu)造直角三角形法

如圖，作4ELBC,垂足為E,作。GL/C,垂足為點G.

在（1）的方法二中可得46'=1,?！?2,力。=石.

由cosZADC=-y,可得cosZADE=1,sinZADE=71-cos2ZADE=1.

在放△NOE中，AD=-------------=-,DE=^AD2-AE2=-,CD=CE-DE=-.

sinZADE333

由（1）知sinC=@，所以在RtZ\C7X?中，DG=CD-sinC=拽,CG=dCD?-DG2=述,從而

51515

AG=AC-CG=^^-

15

DG2

在Rt/^ADG中,tan/D4G-——.

AG11

2

所以tan/D4C=H.

【整體點評】（1）方法一：使用余弦定理求得6=追，然后使用正弦定理求得sinC；方法二：抓住45。角

的特點，作出輔助線，利用幾何方法簡單計算即得答案，運算尤其簡潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：使用兩

角和的正弦公式求得/D/C的正弦值，進而求解；方法二：適當作出輔助線，利用兩角差的正切公式求解,

運算更為簡潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎(chǔ)上，使用正弦定理求得/D/C的正弦值，進而得解；

方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有的直角三角形，進而求解，也是很優(yōu)美的方

法.

2.（全國?高考真題）A48C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a/,c,已知sin/+6cos/=0,a=2V7/=2.

（2）設(shè)。為8c邊上一點，且4D_L/C,求AARD的面積.

27r

【答案】（1）y,4；（2）V3.

【詳解】試題分析：（1）先根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出tanN=-6從而可得A的值，再根據(jù)余弦定理

列方程即可求出邊長c的值；（2）先根據(jù)余弦定理求出cosC,求出CD的長，可得CD=：8C,從而得到

2

S^BD=^S^BC,進而可得結(jié)果?

2萬

試題解析：（1）,「sin/+VJcos4=0,「.tanZ=—g\,.,0<4<肛，/=-^-,由余弦定理可得

a1-b2+c2-IbccQsA,即28=4+片—2x,gpc2+2c-24=0,解得。=一6（舍去）或c=4,故

c=4.

.?.cos。-2AC=2Y

（2）,/c2=b2+a2-2abcosC,/.16=28+4-2x2^/7x2xcosC?y/l'cosC2,

正

:.CD=-BC,SMBC=^-AB-AC-sinZBAC=^x4x2x^-=243,---^=1^c=V3.

3.（四川?高考真題）如圖，A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角.

,?、、了口口m_或

⑴證明：

(2)若,4+C=18O11B=6,3C=3CD=4.10=5：求八卷母—畀—等的值

蜀彗蜀蜀

【答案】（1）詳見解析；（2）生叵.

3

.A

sin—2sin2-

A221-cosA

【詳解】（1）tan-=

sin/

cos—2sin—cos—

222

(2)由N+C=180°,得C=180°-4D=180°-反

由⑴,Wtan|+tanf+tan|+tanf

22

-----------1----------

sinAsin5

連結(jié)BD,

在AARD中，＜BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosA,

在A8CD中，有BD?=BC?+CD2-2BC-CDcosC,

所以AB2+AD2-2AB-ADcosA=BC2+CD2+2BC-CDcosA,

則cos/J乙,二BC-C,=6&-七4、3

2(ABAD+BCCD)2(6x5+3x4)7

于是sinA=71-cos2A=A/TO

連結(jié)AC,同理可得

AB1+BC1-AD1-CD162+32-52-421

COS5=

2(AB?BC+ADCD)2(6x3+5x4)-19,

76y/lQ

于是sin§=71-cos2B二

,19

所以tan——Ftan——Ftan——Ftan一

2222

22

=-----1----

sinAsinB

—--1-4--1__2_x_1_9

一2屈2V10

4VW

3

考點：本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、

推理論證能力，考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

4.（2024?山東濟南?二模）如圖，已知平面四邊形/BCD中，AB=BC=2y[2,CD=2,AD=4.

⑴若48,C,。四點共圓，求/C；

（2）求四邊形48CD面積的最大值.

【答案】（1）/C=3也

（2）377.

【分析】（1）在“8C、A/CD中分別利用余弦定理表示出再由四點共圓得到

cosZADC=-cosZABC,即可求出/C；；

1<?

(2)由(1)可得cosNNDC-cos/48C=—,再由面積公式得到sinNNOC+sinN/BC=—，將兩式平方再

44

1+S2

相力口得至!J2-2cos(ZADC+NABC)=,結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

16

【詳解】(1)在小8C中，由余弦定理得：AC2AB2+BC2-2AB-BCcosZABC

=8+8-2x8-cosZABC=16-16cosZABC,

在“CD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC

=16+4-2x8-cos^fADC=20-16cos^ADC,

因為48,C,。四點共圓，所以48C+/ADC=5T,因此COSN4DC=—COS/4BC,

上述兩式相加得：22c2=36,所以/C=3收（負值已舍去）.

（2）由（工）得：16-16cos//8C=20-16cos//OC,

化簡得COSAADC-cosNABC=一，

4

則cos2ZADC-2cosAADCcosZABC+cos2/LABC=-1-①，

16

四邊形ABCD的面積S=~AB-BCsmZABC+^AD-CDsinZADC

「x2行x2國n/ABC+-x2xAsinZADC

22

=4(sin/4DC+sin^ABC),

整理得sinZADC+sinNABC=-,

4

c?2

貝ljsir?ZADC+2sinZADCsin/ABC+sin2/ABC=——②

16

_1c2

①②相力口得：2-2(cosZADCcos/ABC-sinZADCsin/4BC)=----

16

1+S2

即2-2cos(/ADC+/ABC)

16

由于0<N4DC<7i,0</ABC<兀,

所以當且僅當NADC+NABC=兀時，cos(ZADC+NABC)取得最小值-1,

1Ic2

此時四邊形/BCD的面積最大，由上二=4,解得S=3后，

16

故四邊形ABCD面積的最大值為3行.

5.(23-24高三上?江西?期末)如圖，在AIBC中，AB=BC=2,。為3c外一點，AD=2CD=4,記乙B4D=a,

(1)求2cosa-cos￡的值；

(2)若A48。的面積為S-△BCD的面積為邑，求$；+%的最大值.

【答案】⑴:3

【分析】(1)利用余弦定理，進行轉(zhuǎn)換即可;

331

(2)根據(jù)題意，由(1)知2cosa-cos/7=7，求出S；+S；取得最大值，最大值為一.

22

【詳解】（1）在△45。中，由余弦定理，WBD2=AB2+AD2-2AB-coscr=20-16coscr,

在ABC。中，由余弦定理，得B。=BC?+CD?-2BC?CDcos。=8-8cos0,

所以20-16cosa=8-8cosy0,

所以8（2cosa-cos夕）=12,

c。

2cosa-cos//=—3.

（2）由題意知Sj=；432Osin/84D=4sina,52=-CDsinZBCD=2sin^,

所以S；+S；=16sin26r+4sin2；0=16^1-cos26z）+4（^l-cos2

=20-16cos之a(chǎn)-4cos之0

33（1、

由（1）矢口，2cosa-cosP=5,所以cosy0=2cosa—5，cosaJ，

所以S：+S；=20-16cos26Z-4^2cosof--1^=-32cos26Z+24cos6/+11

3丫3i

=-321coscc—H----,

I8j2

所以當cosa=|e[,l]時，S；+S；取得最大值，最大值為號.

即照測

1.(湖南?高考真題)如圖，在平面四邊形,必。＞中，

幽口工翱口飛機嬲口口簿，-BEC

⑴求血NCED的值;

⑵求BE的長

【答案】⑴浮(2)477

【分析】⑴在ACOE中已知兩邊與一角，利用余弦定理即可求出第三條邊DC的長度，再利用余弦定理即可求

出角CED的正弦值.

(2)由⑴三角形。EC的三條邊，根據(jù)正余弦直角的關(guān)系可得角DEC的余弦值(或者利用正余弦之間的關(guān)系也

可求的)，角/DEC,班之和為180°,其中兩個角的正余弦值已知，則可以利用余弦的和差角公式求的

角4EB的余弦值,4E■長度已知，利用直角三角形ZEB中余弦的定義即可求的BE長.

【詳解】如圖設(shè)=e

(1)在ACDE中，由余弦定理可得EC?+。爐-2＜7)力EcosNEDC,于是又題設(shè)可知7=。)？+I+Q),即

。2+。￡>-6=0,解得8=2(。。=-3<0舍去),

DECDCD-sin—2--用

在ACAE中，由正弦定理可得3__2=721,

sinZ.EDCsina=>sina=

EC

即sinNCED=回

7

2

⑵由題設(shè)可得0＜。＜弓，于是根據(jù)正余弦之間的關(guān)系可得cosa=71-sina=，而

NNEZ)=-a,所以cosN/EB=cos[-^--a\=coscosa+sin—sina=--cosa+--sin?

313)3322

1277V3V21小天“辦0H/R_EA_2

=—x-------1-----x------=,il：RDtNEAB中r,cosZ-AAEJ7B=-----=-----,

272714BEBE

考點：正余弦定理正余弦和差角公式直角三角形正余弦之間的關(guān)系

2.(湖南?高考真題)如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD=1,CD=2,AC=布.

(1)求cos/CAD的值；

(2)若cos/BAD=~,sinzCBA=,求BC的長.

146

【答案】⑴cosACAD=—(2)3

7

【詳解】試題分析：

⑴利用題意結(jié)合余弦定理可得cosZCAD=垣:

7

(2)利用題意結(jié)合正弦定理可得：BC=3.

試題解析:

（I）在△4QC中，由余弦定理得cos/。。=冬夕

7

(II)設(shè)N8/C=a，則a=

,/cosACAD=cosABAD=-

714

sinZCAD=^~

7

sin/BAD=^^~

4

..M

..sina=—

2

在A/BC中，由正弦定理,

BC/C

sinesinZCBA

故8C=3

點睛：在解決三角形問題中，面積公式S=gabsinC=y6csin/=gacsinB最常用，因為公式中既有邊

又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來.

3.（2024?青海海西?模擬預(yù)測）如圖，在四邊形N8CD中，

⑴求4C；

3

（2）若A/CD的面積為求CD.

【答案】（1）/C=20：

（2）CD=—

2

【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式及兩角和的余弦公式求出/C48,再由正弦定理得解;

（2）由三角形面積求出4D,再由余弦定理求出CD.

【詳解】（1）由cosB=^,cosNNCD=巫，

510

Vio|23M

則sinB==i^sin//CO=1-I10

5lo-

又由ZCAB=n-ZABC-ZACB,

所以)=也

cosZCAB=-cos(NABC+ZACB=一7,

又由NC48e(O,;r),可得=

BC

在。BC中，又由正弦定理得:

sinZBACsinZABC

所以sin4—2垂＞，可得4C=2女;

4亍

TTTT

(2)由=—,可得NC/D=-,

44

又由A/CD的面積為：，有1x2Vl4Oxsin；=I，可得=

22422

在A/CD中，由余弦定理有CD=+(2揚2_2xgx2&sin;=孚.

4.(2024?山東荷澤?二模)已知在“3C中，S3.無=_2,A42C的面積為百.

C

⑴求角C的度數(shù)；

(2)若8C=2,O,E是48上的動點，且/。CE始終等于30。，記NCED=c.當?！耆〉阶钚≈禃r，求a的

值.

【答案】⑴/C=120。；

(2)75°.

【分析】(1)設(shè)CA=b,CB=a,貝|a6cosC=-2,ga加inC=6求解即可；

DE________1_______

(2)根據(jù)三角形面積公式結(jié)合正弦定理得到.八“。、代，根據(jù)角的范圍求解即可.

sin(26r-60°)+—

【詳解】(1)設(shè)CA=b,CB=a,貝!JabcosC=-2,又;absinC=J§\因此tanC=-JJ,

由。為“BC的內(nèi)角，所以/C=120。.

（2）由（工）知，5"疝120。=/，又。=2,貝股=2,因此C/=CB=2,//==30。,

「Ar開i

在中，由正弦定理得——=一^鬲，即?！甓?/p>

smasm30sma

CEDE

在△CDE中,由正弦定理得

smZCDE~sin30°?

D“E—-C-^-s-in-3-00=------1-----=-------1-1=---

sinZCDE2sinasin(150°-a)sin6rcoscr+<3sin2a

____________1____________________1_______

1?°百)上邪?°rno\,'

一sm2a------cos2a+——sm(2a-60)+——

2222

顯然30。(04120。，則有0?2a-60。4180。，因此當sin(2a-60。)=1時，DE取到最小值,

此時2a-60。=90。，即a=75。，

所以。的值75。.

IN.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過關(guān)

1.23-24高三上?陜西漢中?階段練習(xí)）如圖，在“3C中，角48,C的對邊分別為a,6,c,AB=6,AC=2班,

5c=2而，點。在邊BC上，且//OC=60°.

⑴求sin8；

⑵求線段力。的長.

【答案】⑴立

3

(2)4

【分析】（1）利用余弦定理與三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得解;

（2）利用正弦定理即可得解.

【詳解】⑴根據(jù)題意得：cos八片+片一〃=（2碼+62―（2回=76,

2ac2X2A/6X63

又0<5<兀，所以sin5=Vl-cos2B=——.

3

（2）因為乙4。。=60。，所以N4O5=120。,

在中，由正弦定理嗯=-^g可得，"I；：：_^=4.

sin5sinZADBsmZADB也

2.（23-24高三上?湖北?期末）如圖，在。3C中，/5=/。=6,點。是邊5C上一點，且

opy__

AD_LAB,cos^CAD-.......,A,E-2EB

3

⑴求ABCE的面積;

⑵求線段的長.

【答案】（1）4&

（2）ND=3后

【分析】（1）根據(jù)ZBCE=；S.C求解即可；

（2）解法1：在AA8C中根據(jù)余弦定理求出BC,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求cosB,在△450中勾股定理求

AD即可；

=

解法2:由&ASCSAABD+S"cz）求得AD.

—?—?1

【詳解】⑴???/￡=2郎.?.S“=]S"5

而S/BC=gN8.NC?sin/2/C=gX6義6Xsin（NC/O+]）

=18cos/OLD=18x冬?=12"

3

S、BCE=]SJBC=4G.

（2）解法1：?.?cosZCAD=^^,ZCADe（0,7t）,.\smZCAD-71-cos2ZCAD=1,

cosNCAB=cosjZCAD+^\=-sinZCAD=-1,

在中，2c2=/22+/C2-2/BZC.cos/C/8=36+36-2x6x6x（-gj=96,

.?.8C=4n,.^.在等腰。BC中，〃產(chǎn)276灰,

BA63

中，cosB=-=1^-=-6-,:.BD=3y/6,

3BDBD

AD=^BD2-BA2=J54-36=372.

解法2：cosZCAD=^y-,ZCADe（O,7i）,.\smZCAD=71-cos2ZC^D=1,

由S4ABe=S&ABD+S&ACD得,

12近」x6xAD+』x6xNDsinNC皿

22

即12后=；*6./。+/（6/。）.；，

解得4。=3vL

3.（23-24高三上?寧夏銀川?階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形/BCD中，ZADC=90°,ZA=45°,AB=4,

⑴求cos/ADB；

（2）若△BCD的面積為4A，求2c.

【答案】（1）叵

5

（2）10

【分析】（1）先利用正弦定理求出sin//D8,再結(jié)合結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求解;

（2）先結(jié)合（1）及三角形面積公式求出DC,再根據(jù)余弦定理即可求解.

BDAB

【詳解】（1）在△48。中，由正弦定理得

sinZAsinZADB

46

即提解得sin/AD5=J

sin/ADB5

又0°<//。呂<90°,

所以cosZADB=sin2NADB=｛一.

(2)結(jié)合⑴可得cos/8OC=cos(90°-//D2)=sin/4)8=、-,

則sin/BDC=Vl-cosVfi/JC=孚,

又S.BCD=：DBDC.sinNBDC,即4歷=!xlO*DCx叵，解得。。=4公，

225

則由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD-DC-cosZBDC=100.

又BC>。,所以BC=10.

4.(2023?河南?模擬預(yù)測)如圖，在四邊形48co中，48，3C,NNOC=120。,48=C￡>=的面

積為?

2

⑴求sinNC48；

（2）證明：NCAB=NCAD.

【答案】（1）叵

7

（2）證明見解析

【分析】（1）設(shè)CZ）=2/Z）=2q,Q>0,根據(jù)△4C。面積得到方程，求出。=1,在△/C。中，利用余弦定理

求出/C=J7,進而求出5C,從而求出sin/CZB的值；

（2）在△ZCQ中，由正弦定理得sin/C4D=叵，結(jié)合（1）中sin/C45=變，由角的范圍得到

77

/CAB=ZCAD.

【詳解】（1）^CD=2AD=2a,a>0,

因為△ZCZ）的面積為立,/4DC=120°,

2

所以工x2axqxsinl20°=，解得Q=1,

22

所以43=CQ=2,ZZ)=1.

在“CD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-240-CZ)cosl20。=l+4-2x2xlx，；j=7,

所以/C=J7.

在Rt^ABC中，ABIBC,AB=2,所以BC=J/C'-/爐=J7-4=5

5C_V3_V21

所以

sinNC48=~AC~4y~~

(2)由(1)可得CD=2,/C=V7,

CDAC

在A/C〃中,由正弦定理得

sinZCADsmZADC

所以./一八CDsmZADC2x~后,且0。</C/D<60。.

sinZC^D=-----------=—--------

AC7

由(1)可得sin/C45=X^,又0。</08<90。，

7

所以/C/5=/C4Z).

5.（2024?江西南昌?一模）如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊4。=10,

ITJT

ZBAC=-,ZDAC=-,BD交AC于點E.

⑴求8》；

(2)求NE.

【答案】(1)50+2573；

(2)573-5.

TTJT

【分析】（1）由銳角三角函數(shù)求出月8、AD,又/胡。=§+“利用兩角和的余弦公式求出cos/B/D,

最后由余弦定理計算可得；

（2）解法1：首先求出sin/歷1。，再由$.皿及=54班+邑3￡，利用面積公式計算可得；解法2：首先得到

管==再由/￡+=10計算可得.

匕C>pen3

【詳解】（1）由已知，48=/C-cos/B/C=10x；=5,

AD=AC-cos^DAC=10x—=5s/2,

2

jrjr

因為ABAD=NBAC+ADAC=NBAC=~+~,

所以cos/5/Z）=cos^y+=cosgeos；—singsin；

1V2V3V2V2-V6

=—X-------------------X--------=--------------------,

22224

所以在/\ABD中由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB?AD-cosZBAD

=25+50—2x5x5后義行一八

4

=50+256

（2）解法1：因為sin/5/D=sin[Z+=sin'cos'+cos至=

{34J34344

又因為SAZBO=S“BE+S4ADE，

所以L?/D-sinZBAD^-AB-AE-sin/BAE+--AE-AD-sinZEAD,

222

叫x5x5。早三瑛心圣白人》：

解得/￡=56-5.

解法2：因為Z8/Z>+Z8CZ>=7t,所以5沿/8/。=5M（兀一/867））=5詒/8。/）,

又AD=CD=56，5C=5V3,

—xAB-AD-sinZBAD—x5x5-V2sin^BAD國

所以在AT7=。c=2__________________=二__________________=也，

EC3

S-BCDLXBC-CDsm^BCD1x573x5VIsin^SCD

又因為NC=10,所以/E+EC=10,貝Ij/E+JI4E=1O,

所以N￡=5>A-5.

6.（23-24高三上?廣東江門?階段練習(xí)）己知/,B,C,。四點逆時針排列于同一個圓。上，其中

BC=2/8=4,△ABC的面積為2g,/ABC吟.

B

⑴求邊/C的長;

⑵當圓心。在40上時，求tan/C/Z).

【答案】(l)AC=2y/l.

喈

【分析】(1)由已知，結(jié)合三角形面積公式及余弦定理求解即得.

(2)由(1)的信息，結(jié)合圓的性質(zhì)求出即可得解.

【詳解】(1)在。8c中，2。=2/8=4公/5。的面積為26，

則Sm=9'8CsmN"2C=4sinN/8C=26'解得sm42c=9'

^ZABC>~,于是/ABC上,由余弦定理得4C=J/32+8C2-2/8-8CCOS@

23V3

=^22+42-2x2x4x(-1)=277.

27rjr

(2)由⑴知/42C=丁，而線段為圓。的直徑，則乙4助=—,

32

27r7T7T

因此NC4Z)=NC5D=--------=—，

326

所以tan/CAD=tan--.

63

7.(23-24高三上?江西?階段練習(xí))如圖，在梯形/3C。中，AD//BC,BD=5,ZCBD=60°.

⑵若AD=2,求cos/ABD.

【答案］⑴106

(2嚕

【分析】（1）利用正弦定理進行求解即可;

（2）利用余弦定理進行求解即可.

BDCD

【詳解】（1）在中，由正弦定理得

sinZBCDsinZCBD

BDsmZCBD5sin60°

=20x

貝1JsinZBCD~i-

4

(2)因為4Z)〃5C,所以N4DB=/C5D=60。.

由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD-AD-cosZADB=19,

則715=^25+4-2x5x2x1=719，

4B2+BD2-4D219+25-44M

所以cosAABD=

2ABBD2xMx5-19

8.（23-24高三上?安徽?期末）如圖，在。3C中,/C48的平分線交邊于點￡,點。在邊上,/￡=7,

spj

=3療,cos/G4E=△—.

14

⑴求N4DE的大?。?/p>

2兀

（2）若Z.ACB■，求△CZ）￡的面積.

【答案】（嗚

（2）短

4

【分析】（1）因為NE是/C48的角平分線，所以cosNC4E=cosND4E=±，在△4DE中利用余弦定理求

14

出DE的長,再次利用余弦定理即可求出ZADE的大小.

（2）在LACE中，由正弦定理求出CE的長,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為2?？傻玫絅CED+/。。=兀,從而求出

sinZCED的值,再利用三角形面積公式求解即可.

【詳解】（1）因為/￡是/G48的角平分線，所以cosNC4E=cosND4E=%^,

14

5Fl

在LADE中，根據(jù)余弦定理得DE2=AE2+AD2-2AEADcos/DAE=49+63-2x7x377x1=7,

14

所以。E=V7,

AD2+DE2-AE263+7-49_1

則cosZADE=

2ADDE2x377x77-2

因為//OEe（0,兀）,

IT

所以44QE二§.

（2）因為cosNCAE=出，所以sin/CAE=Jl—cos?/CAE=Jl—±=—

14'114J14

CEAECE7「廠片

------------=------------=>-"nCE=V7

在△4CE中,由正弦定理得sin/CZEsmZACE而百,

2冗71

在四邊形ADEC中，ZCED+ZCAD=2n-ZACB-NADE

所以sin/CED=sin/G4D=2sin/C4Ecos/CZE=2x些x@=在，

141414

則SeF=LcE-DE9nNCED=Lx5x5x^=^.

“CDE22144

9.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形48CD中，ABHCD,AD-sinD^y/3AC-cosZACD,

NA4c的角平分線與8C相交于點E,且/E=l,/8=6.

⑴求的大小;

（2）求8C的值.

【答案】⑴]7T

（2）1

【分析】（1）在“CD中利用正弦定理結(jié)合已知條件求出tan/NCD,即可得解;

冗

（2）依題意可得/R4C=§,由&胡求出4。，再在。中利用余弦定理計算可得.

4。AC

【詳解】（1）在△ZCQ中，由正弦定理得

sinAACDsin。

所以/ZbsinZ）=4C?sin/4CD,

又4D?sinD=拒AC?cosZACD,

所以2c?sinNACD=y/3AC-cosZACD，因為cosZACD豐0,

所以tanNHCD=6.

JT

因為0〈44co＜兀，所以//CD=—.

3

IT

(2)因為/3//CZ),所以的C=N/CD=§.

TT

因為/月平分NA4C,所以NBAE=NCAE=—.

6

因為S&BAE+SQE=S^BAC