湖南省長(zhǎng)沙市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)調(diào)研考試（一）數(shù)學(xué)試題

長(zhǎng)郡中學(xué)2025屆高三第一次調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

本試題卷共4頁(yè).時(shí)量120分鐘，滿分150分.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合4=卜仆3*°}，3=卜信--2<0},則4n吟)

A.{0,1}B.{-1,0}C.{0,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】A

【解析】

【分析】由因式分解分別求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的運(yùn)算得出兩個(gè)集合的交集。

【詳解】,.?%3-x=%(兀+1)(%-1)=0

?1.A={-l,0,l}

%2—x—2=(x—2)(x+l)<0

.??5=(-1,2)

.-.AnB={0,l}

故選：A

2.已知加，〃是兩條不同的直線，名萬(wàn)是兩個(gè)不同的平面，則加〃￡的一個(gè)充分條件是()

A.m//n,n//aB.m//(3,a//p

C.ml.n,nl.a,m(^aD.mr\n=A,n//a,m(^a

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由空間中線面關(guān)系以及線面平行的判定定理逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,由加〃上〃〃a可得mua或m〃a,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由M〃民e〃夕可得mua或加〃e,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由可得機(jī)〃a,故C正確；

對(duì)于D,由"，C"=可得774a相交或加〃a，故D錯(cuò)誤；

故選：C

的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(

A.第673項(xiàng)B.第674項(xiàng)

C.第675項(xiàng)D.第676項(xiàng)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合通項(xiàng)公式，即可求解.

【詳解】由二項(xiàng)式的展開式為乙=Co25(石產(chǎn)5T(--)「=(-2)，C0251丁

675

令2025-3r=0,解得r=675,止匕時(shí)T616=(-2).C意，

/八2025

所以二項(xiàng)式標(biāo)-』的展開式的常數(shù)項(xiàng)為第676項(xiàng).

故選：D.

4.銅鼓是流行于中國(guó)古代南方一些少數(shù)民族地區(qū)的禮樂器物，已有數(shù)千年歷史，是作為祭祀器具和打擊樂

器使用的.如圖，用青銅打造的實(shí)心銅鼓可看作由兩個(gè)具有公共底面的相同圓臺(tái)構(gòu)成，上下底面的半徑均為

25cm,公共底面的半徑為15cm,銅鼓總高度為30cm.已知青銅的密度約為8g/cm2),現(xiàn)有青銅材料

1000kg,則最多可以打造這樣的實(shí)心銅鼓的個(gè)數(shù)為()(注：71?3.14)

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)圓臺(tái)的體積公式計(jì)算求解銅鼓的體積，然后根據(jù)材料體積求解即可.

【詳解】依題意圓臺(tái)的上底面半徑為15cm,下底面半徑為25cm,高為15cm,

所以銅鼓的體積V=2x1x(152+252+15x25)7ixl5工38465(cm3),

又1000000工3.25,故可以打造這樣的實(shí)心銅鼓的個(gè)數(shù)為3.

38465x8

故選：C

5.己知定義在(0,+。)上的函數(shù)〃％)滿足〃x)<Mr(x)T)(/'(%)為“X)的導(dǎo)函數(shù))，且

/(1)=0,則()

A.f(2)<2B.f(2)>2

C.f(3)<3D,f(3)>3

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得令g(x)=/@—inx,可得g(x)在(0,+S)上單調(diào)遞增，進(jìn)而

XXX

可得/(3)>31n3,/(2)>21n2,可得結(jié)論.

【詳解】由題意可得靖(力―/(%)>x,即：叫/(#〉L

XX

令g(x)=/fcLlnx,則

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，因?yàn)?⑴=0,所以8⑴:/⑴—lnl=0,

所以g(3)>g(l)=0,所以勺1—in3〉0,所以〃3)>31n3>3,

所以g(2)>g⑴=0,所以qi—in2〉0,所以〃2)>21n2,

又21n2<2,故/'(2)與2的大小關(guān)系不確定.

故選：D.

6.已知過拋物線C:y2=2px(">0)的焦點(diǎn)E且傾斜角為，的直線交C于兩點(diǎn)，M是A3的中

點(diǎn)，點(diǎn)尸是C上一點(diǎn)，若點(diǎn)河的縱坐標(biāo)為1,直線/:3尤+2y+3=0,則P到C的準(zhǔn)線的距離與尸到/的

距離之和的最小值為（）

A3岳口5V13-3713n9713

26261326

【答案】D

【解析】

【分析】首先聯(lián)立與拋物線方程，結(jié)合已知、韋達(dá)定理求得P,進(jìn)一步通過拋物線定義、三角形三邊

關(guān)系即可求解，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.

【詳解】由題得C的焦點(diǎn)為（多。],設(shè)傾斜角為2的直線AB的方程為丁=》-多

與C的方程/=2px（聯(lián)立得y2-2py-p2^Q,

設(shè)40i，yi）,B（X2，y2），則%+%=2。=2,夕=1,故C的方程為/=2x,b]；,0].

由拋物線定義可知點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)尸到焦點(diǎn)F的距離，

聯(lián)立拋物線C：V=2x與直線/:3x+2y+3=0,化簡(jiǎn)得9/+10%+9=0，

由△=100—4x9x9=—224<0得。與/相離.

Q,S,R分別是過點(diǎn)尸向準(zhǔn)線、直線/:3光+2y+3=0以及過點(diǎn)/向直線/：3%+2丁+3=0引垂線的垂

足，連接

所以點(diǎn)尸到C的準(zhǔn)線的距離與點(diǎn)尸到直線I的距離之和|尸。|+|尸S|=|PF|+|PS|>\FS\習(xí)NR|,等號(hào)成立當(dāng)

且僅當(dāng)點(diǎn)尸為線段用與拋物線的交點(diǎn)，

所以尸到C的準(zhǔn)線的距離與尸至IJ/的距離之和的最小值為點(diǎn)/,o）到直線/：3x+2y+3=0的距離，即

3x-+0+3

\FR\=29屈.

'1A/32+2226

故選：D.

7.已知函數(shù)〃x)=2sin(0x+e“o〉O,|a<|J,對(duì)于任意的xwR,

+/x=0都恒成立，且函數(shù)八%)在-0上單調(diào)遞增，則。的值為()

A.3B.9C.3或9D.@

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性先確定周期的取值范圍，從而縮小。的取值范圍，結(jié)合正弦型三角函數(shù)

的對(duì)稱性可得符合的。的取值為0=3或9,分類討論驗(yàn)證單調(diào)性即可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)函數(shù)/(x)的最小正周期為丁，因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在-2,0上單調(diào)遞增，所以

T2兀7T

《彳，得—=TN—,因此OVGKIO.

2co5

由/—知，(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，則。方+。=左1"+_|,勺eZ①.

由/(x)+/|j|-xJ=O知/(X)圖象關(guān)于點(diǎn)］：,oj對(duì)稱，則01+0=42兀/2eZ②.

JTJT

②一①得。一二(左2—左J?！?，左］,左2^Z,令k=k2一%,則G=6左一3,左wZ,

62

結(jié)合0<G<10可得G=3或9.

當(dāng)0=3時(shí)，代入①得夕=(+左兀,6eZ,又|d<g,所以夕=：,

此時(shí)/(x)=2sin〔3x+：］,因?yàn)椤?lt;3x+：<?故“X)在$,0上單調(diào)遞增，符合題意;

當(dāng)=9時(shí)，代入①得夕=—7+左兀，匕eZ,又網(wǎng)〈不，所以夕=—/,

此時(shí)/(x)=2sin^9x-^,因?yàn)橐?lt;9x—：<—￡,

故/(%)在［-彳,。)上不是單調(diào)遞增的，所以0=9不符合題意，應(yīng)舍去.

綜上，。的值為3.

故選：A.

8.如圖，已知長(zhǎng)方體A5CD—AB'C'D'中，AB=BC=2,AA=JJ，。為正方形ABC。的中心點(diǎn)，

將長(zhǎng)方體A5CD-A'5'C'D'繞直線O￡>'進(jìn)行旋轉(zhuǎn).若平面1滿足直線OD'與1所成的角為53°,直線

43

則旋轉(zhuǎn)的過程中，直線A3與/夾角的正弦值的最小值為()(參考數(shù)據(jù)：sin53°?j,cos53°?-)

A4幣-303后—4小373+3「4^+3

10101010

【答案】A

【解析】

【分析】求出直線O。'與C'。'的夾角，可得C'D'繞直線O。'旋轉(zhuǎn)的軌跡為圓錐，求直線與/的夾角,

結(jié)合圖形可知，當(dāng)/與直線曾'石平行時(shí)，C'。'與/的夾角最小，利用三角函數(shù)知識(shí)求解即可.

【詳解】在長(zhǎng)方體A5CD—A'5'C'D'中，AB//CD',則直線與/的夾角等于直線C'。'與/的夾角.

長(zhǎng)方體ABCD—A'5'C'D'中，AB=BC=2,A￥=也，。為正方形ABC。的中心點(diǎn)，

(J22+22Y7/-\2

則OD'=OC'=----------+(72)=2.又C'D=2,

所以△OC'。是等邊三角形，故直線ODr與CD的夾角為60。.

則C'。'繞直線QD'旋轉(zhuǎn)軌跡為圓錐,如圖所示，zc/no=60°.

Df

/i。Y

因?yàn)橹本€O。'與a所成的角為53°,Z±a,所以直線8'與/的夾角為37°.

在平面CI/O中，作ZXE,D'F-使得NODE=NOOK=37°.

結(jié)合圖形可知，當(dāng)/與直線曾'石平行時(shí)，C'D與/的夾角最小，為NCZ>'E=60°—37°=23°,

易知ZC'D'F=60°+37°=97°.

設(shè)直線C'D'與/的夾角為。，則23”eV90°,故當(dāng)0=23。時(shí)sin0最小,

而sin23°=sin（60°-37°）=sin60°cos370-cos60°sin37°

=sin60°sin53°-cos60°cos53°?--，

10

故直線AB與l的夾角的正弦值的最小值為

10

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題中在平面C'DO中，作DE,D'F，使得NOD'E=NOD'F=37。,結(jié)合圖形

可知，當(dāng)/與直線曾'石平行時(shí)，C'D'與/的夾角最小，為NCZ>'E=60°—37°=23°是關(guān)鍵.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某機(jī)械制造裝備設(shè)計(jì)研究所為推進(jìn)對(duì)機(jī)床設(shè)備的優(yōu)化，成立A3兩個(gè)小組在原產(chǎn)品的基礎(chǔ)上進(jìn)行不同

方向的研發(fā)，A組偏向于智能自動(dòng)化方向，3組偏向于節(jié)能增效方向，一年后用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法各抽

取6臺(tái)進(jìn)行性能指標(biāo)測(cè)試（滿分：100分），測(cè)得A組性能得分為：91,81,82,96,89,73,3組性能得分

為：73,70,96,79,94,88,則（）

A.A組性能得分的平均數(shù)比B組性能得分的平均數(shù)高

B.A組性能得分的中位數(shù)比B組性能得分的中位數(shù)小

C.A組性能得分的極差比3組性能得分的極差大

D.3組性能得分的第75百分位數(shù)比A組性能得分的平均數(shù)大

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)計(jì)算公式分別計(jì)算A3兩個(gè)小組的平均數(shù)、中位數(shù)、極差、第75百分位數(shù)，再對(duì)各選項(xiàng)逐一

判斷即可.

【詳解】由題意可得A組性能得分的平均數(shù)為91+81+82+96+89+73-85J,

6

小皿“.八3Tm皿二73+70+96+79+94+88⑺”

B組性能得分的平均數(shù)為-------------------------?83.3,

6

所以A組性能得分的平均數(shù)比B組性能得分的平均數(shù)高，A說(shuō)法正確;

QQ_i_QQ

A組性能得分73,81,82,89,91,96的中位數(shù)為2~—=85.5,

2

79+22

3組性能得分70,73,79,88,94,96的中位數(shù)為=83.5,

2

所以A組性能得分的中位數(shù)比3組性能得分的中位數(shù)大，B說(shuō)法錯(cuò)誤;

A組性能得分的極差為96—73=23,3組性能得分的極差為96—70=26,

所以A組性能得分的極差比3組性能得分的極差小，C說(shuō)法錯(cuò)誤;

B組性能得分70,73,79,88,94,96共6個(gè)數(shù)據(jù)，6x0.75=4.5,

所以8組性能得分的第75百分位數(shù)為94,比A組性能得分的平均數(shù)大，D說(shuō)法正確;

故選：AD

10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的莖或根上，使接在

一起的兩個(gè)部分長(zhǎng)成一個(gè)完整的植株.已知某段圓柱形的樹枝通過利用刀具進(jìn)行斜辟，形成兩個(gè)橢圓形截

面，如圖所示，其中AC,3。分別為兩個(gè)截面橢圓的長(zhǎng)軸，且A,C,民。都位于圓柱的同一個(gè)軸截面上,

AO是圓柱截面圓的一條直徑，設(shè)上、下兩個(gè)截面橢圓的離心率分別為,,,則能夠保證

)

AA1

/6/2B非

B6丁一

C.1&2用

Di4上

27i34

【答案】AD

【解析】

1r21//

【分析】根據(jù)勾股定理，結(jié)合離心率公式可得=-1=F，F(xiàn)—1=1,即可根據(jù)“2缶z得中一>2,

e1Tle2nl1i

逐一代入即可求解.

【詳解】設(shè)AD=2r,AB-2m.CD=2〃,且〃之，

故5D=A/AB2+AZ)2=2Vm2+r2,AC=y/CD2+AD2=2飛"十戶,

AC=&+/，%=前=7m2十戶

12-1—/Y2

由于“2虎加，故加2,故彳一=%-=勺22

_L_]rm

e；n2

-1--1

對(duì)于A,c=Y5,e,=正，滿足等一=2>2,故A正確,

1322J__i

4-i

對(duì)于B,，=；,62=半e24

-y-=-<2,故B錯(cuò)誤,

--13

對(duì)于B,外力,3=叵，[一==<2,故C錯(cuò)誤，

12740

e；

1一1

對(duì)于D,e[=顯0=顯，1—=￡〉2,故D正確，

1324±_12

e；

故選：AD

11.對(duì)于任意實(shí)數(shù)羽兒定義運(yùn)算“十”彳十了二,―y|+x+y,則滿足條件。十b=5十c的實(shí)數(shù)。,反。的值

可能為()

A.a=-log050.3,人=0.4°3,c=log050.4

B.0=0.4%/?=log050.4,c=-log050.3

,0」,10

C-.a=C0.M09>b=—T-r,c=In—

e019

D.ci=.,Z?=In—,c=0.09

e0nJ9

【答案】BD

【解析】

【分析】由a十b=5十c,可得|a—,+a+〃=|〃-c|+A+c,可得bNa,bNc,故只需判斷四個(gè)選項(xiàng)中的

)是否為最大值即可，利用函數(shù)函數(shù)y=logo$x為減函數(shù)，y=0.4,為減函數(shù)可判斷AB；構(gòu)造函數(shù)

A1y

〃x)=(l—x)eX,xe[0,l),利用單調(diào)性可得0.09<F，進(jìn)而再構(gòu)造函數(shù)人(同==+皿1—%),年[0,1),

ec

求導(dǎo)可得〃(x)=(；；:;,再構(gòu)造函數(shù)o(x)=(l—e"利用單調(diào)性可判斷CD.

【詳解】由a十b=b十c,可得—闿+a+b=+〃+c,即，一4—忸一c|=c—a,

若aWb,cWb,可得,一百一也一4=c-a,符合題意，

若aWb,c>b,可得|a—4一我一c|=2/?—a-c,不符合題意，

若a>b,cWb,可得,一百一尼一4=a-c,不符合題意，

若a>b,c>b,可得|。一目一|人一(?|=c+a-2b,不符合題意，

綜上所述a—bWO,b-c>0,可得

故只需判斷四個(gè)選項(xiàng)中的》是否為最大值即可.

對(duì)于A,B,由題知一1080.5。.3=1080.51<1080.51=。，0<O,403<0.4°=1-

03

log050.4>log050.5=1,所以-logos。？<O.4<log050.4.

(點(diǎn)撥：函數(shù)y=logo_5X為減函數(shù)，y=0.4、為減函數(shù))，

對(duì)于A,a<b<c；對(duì)于B,c<a<b,故A錯(cuò)誤，B正確.

2i92=O.9e01=(1-0.1)e01,

對(duì)于C,D,

eai

(將0.9轉(zhuǎn)化為1-0.1,方便構(gòu)造函數(shù))構(gòu)造函數(shù)/(x)=(l-0爐,行[0,1),

則r(x)=re"因?yàn)樗?'(X)WOJ(X)單調(diào)遞減，因?yàn)椤?)=1,所以((0.1)<1,

1,所以0.09<餐.(若找選項(xiàng)中的最大值，下面只需判斷『與Ing的大小即可)

即O.9e01<

e

0.1,100.1,901

-xy—In—=—T-：—Inln—=—+ln(l-0.1)，

e019e0J+10e01I7

jr1-x1

構(gòu)造函數(shù)/i(x)=；+ln(l—x),xe[0,l),則"(x)=

cex1-xe'(l-x)

因?yàn)橛萫[O,l),所以e，(l—x)>0,令o(x)=(l—e*,則。'(x)=—2(1—x)—e，,

當(dāng)xe[O,l)時(shí)，H(x)<O,0(x)單調(diào)遞減,因?yàn)椤?0)=0,

所以。(x)W0,即"(x)W0,/z(x)單調(diào)遞減，又&(0)=0,所以〃(0.1)<0,

即—^y+ln(l—0.1)<0,所以FY<ln7-.

e,e9

綜上，0.09〈卑~<ln3.對(duì)于C,a<b<c\對(duì)于D,c<a<b,故C錯(cuò)誤，D正確.

e019

(提醒：本題要比較0.09與In當(dāng)?shù)拇笮￡P(guān)系的話可以利用作差法判斷，

9

即0.09-lnW=0.1x0.9-lnI=(l-0.9)x0.9+ln0.9,

9A

構(gòu)造函數(shù)g(x)=(1r)x+lnx,xe(0,f|,

_J_-2f+x+1=(2x+l)(-x+1)

則g'(x)=12r+=

XXX

因?yàn)閤e(O,l],所以之O,g(x)單調(diào)遞增,因?yàn)間⑴=0,所以g(0.9)<0,

即0.09—In—<0,所以0.09<ln—)

99

故選：BD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查定義新運(yùn)算類的題目，處理的方法一般為：根據(jù)新運(yùn)算的定義，將已知中的

數(shù)據(jù)代入進(jìn)行運(yùn)算，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性與最值比較數(shù)的大小.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2—7

12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,1）,則——=.

1+Z

13i

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得z=l+i，即可由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求解.

【詳解】由于復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（1,1），所以z=l+i,

故1+z2+i（2+i）（2-i）555;

故答案為：---

13.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②③的數(shù)列的通項(xiàng)公式為=.

①4_4是常數(shù)，且"ZW"；②g=2。5；③｛即｝的前〃項(xiàng)和存在最小值.

m-n

【答案】〃—4（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的特征，不妨選擇等差數(shù)列，然后根據(jù)題目條件利用等差基本量的運(yùn)算求解通項(xiàng)公

式，即得解.

【詳解】由題意，不妨取數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為q，公差為d,

由②可知線=q+5d=2%=2（?+4d）,則q=-3d,又％~%=1是常數(shù)，滿足①，

m-n

由③｛an｝的前〃項(xiàng)和存在最小值，故等差數(shù)列｛即｝單調(diào)遞增，取d=l,則q=-3,

故此時(shí)當(dāng)〃=3或〃=4時(shí)，｛即｝的前〃項(xiàng)和取到最小值為—6,

所以同時(shí)滿足條件①②③的數(shù)列｛an｝的一個(gè)通項(xiàng)公式4=〃-4.

故答案為：〃—4（答案不唯一）

14.清代數(shù)學(xué)家明安圖所著《割圓密率捷法》中比西方更早提到了“卡特蘭數(shù)”（以比利時(shí)數(shù)學(xué)家歐仁?查理

?卡特蘭的名字命名）.有如下問題：在“x〃的格子中，從左下角出發(fā)走到右上角，每一步只能往上或往右

走一格，且走的過程中只能在左下角與右上角的連線的右下方（不能穿過，但可以到達(dá)該連線），則共有

多少種不同的走法？此問題的結(jié)果即卡特蘭數(shù)如圖，現(xiàn)有3x4的格子，每一步只能往上或往右

走一格，則從左下角A走到右上角3共有種不同的走法；若要求從左下角A走到右上角5的過

程中只能在直線AC的右下方，但可以到達(dá)直線AC,則有種不同的走法.

B

【答案】①.35②.14

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由組合數(shù)的意義即可得到結(jié)果，結(jié)合卡特蘭數(shù)的定義，即可得到結(jié)果.

從左下角A走到右上角3共需要7步，其中3步向上，4步向右，

故只需確定哪3步向上走即可，共有C；=35種不同的走法；

若要求從左下角A走到右上角3的過程中只能在直線AC的右下方(不能穿過，但可以到達(dá)該連線)，

則由卡特蘭數(shù)可知共有C；-C；=14種不同的走法，

又到達(dá)右上角。必須最后經(jīng)過3,所以滿足題目條件的走法種數(shù)也是14.

故答案為：35；14

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

15.已知M為圓好+y2=9上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，垂直X軸，垂足為M。為坐標(biāo)原點(diǎn)，△酸V的重心為G.

(1)求點(diǎn)G的軌跡方程；

(2)記(1)中的軌跡為曲線C,直線/與曲線C相交于A、2兩點(diǎn)，點(diǎn)Q(O,D,若點(diǎn)"(百刀)恰好是

的垂心，求直線/的方程.

2

【答案】(1)?+)?=1(孫H0)

(2)y=A/3X——

【解析】

X=a

【分析】⑴設(shè)6（蒼?。?"（為,為），根據(jù)6為/2郵的重心，得＜,代入x；+*=9,化簡(jiǎn)即

y"

-3

可求解.

（2）根據(jù)垂心的概念求得左=6,設(shè)直線/方程，與橢圓聯(lián)立韋達(dá)定理，利用A〃_L5Q得

上?亨一，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可求解.

【小問1詳解】

設(shè)G（x,＞）,川（%,%）,則N（%,0）,因G為的重心,

'—33xx2

故有：《，解得X0=彳,%=3y,代入x；+y：=9,化簡(jiǎn)得土+/=i,

24

v=A

-3

又Xo%wO,故孫H0,所以G的軌跡方程為、+/=1（邛/0）.

【小問2詳解】

因“為AAH。的垂心，故有ABLHQ.AHLBQ,

又七。=上%=—且，所以勺=JL故設(shè)直線/的方程為y=Gx+力（加Hl）,

0—A/33

與7+V=1聯(lián)立消去y得：13x?+8y/3mx+4m2-4=0,

由A=208—16??>0得機(jī)2<13,

設(shè)4(%,%),5(%2，%),則%+x2=8fm,不々二4.34

由A〃J_3Q,得一一=一1，所以++機(jī))(括與+m-1)=0,

X]v*2

2

所以4玉％+V3(m-l)(x1+x2)+m-m=0,

2

)-24m(m-l)+13(m-m)=0,化簡(jiǎn)得5M?+llm-16=0-

解得m=1（舍去）或〃z=—3（滿足△＞（））,故直線/的方程為y=岳-

55

16.如圖，四邊形A3DC為圓臺(tái)Ga的軸截面，AC=2BD,圓臺(tái)的母線與底面所成的角為45。，母線長(zhǎng)

為近，E是3。的中點(diǎn).

K

（1）己知圓。2內(nèi)存在點(diǎn)G,使得DEL平面BEG,作出點(diǎn)G的軌跡（寫出解題過程）；

（2）點(diǎn)K是圓。2上的一點(diǎn)（不同于A,C）,2CK=AC,求平面A5K與平面CDK所成角的正弦

值.

【答案】（1）答案見解析

⑵①

35

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，過3作下底面的垂線交下底面于點(diǎn)G,過G作/狙的平行線，交

圓&于GrG2,即可求出結(jié)果；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件，求出平面ABK和平面CDK,利用面面角的向量法，即可求出結(jié)

果.

【小問1詳解】

?.?E是3。的中點(diǎn)，:.DELBE.

要滿足DE，平面BEG,需滿足DELBG,

又DEu平面BDE,平面BEG±平面BDE

如圖，過3作下底面的垂線交下底面于點(diǎn)G,

過G作班的平行線，交圓。2于G-G2,則線段G1G2即點(diǎn)G的軌跡.

【小問2詳解】

易知可以。2為坐標(biāo)原點(diǎn)，o2c,eq所在直線分別為丁，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

。2一盯Z,

???母線長(zhǎng)為&，母線與底面所成角為45。，AC=2BD,：.O2A^2,QB=1,OtO2=1,

取K的位置如圖所示，連接&K,

Z八

K

'：2CK=AC,二/。。2K=60°，即ZxQK=30°,

則K(61,0),4(0,—2,0),3(0,—1,1),C(0,2,0),D(0,l,l),

則次=(63,0),礪=(62,—1),球=(點(diǎn)—1,0),DK=(A/3,0,-1).

設(shè)平面ABK的法向量為而=(%,%,zj,

n-AK=0f-J3x,+3y,=0

則一，即廠1一，

n-BK=0[J?%+2%-Z]=0

令芯=G，則馬=1,%=—1,.,.折=(6,一1,1).

設(shè)平面CDK的法向量為沅=(w，%，Z2)，

m-CK=0\yj3x-y,=0

則_.，即廣27%,

m-DK=0[，3x,-z2=0

令々=也,則z?=3,y2=3,:.m=3,3).

設(shè)平面ABK與平面CDK所成的角為夕，則

?,In.-ml|V3X^+(-1)X3+1X3|

cos0\-?—j—；r=----------7=—7=-----------=--------，

降同75x72135

..AR-------FZ4屈

..sin0——cos0=------

35

17.素質(zhì)教育是當(dāng)今教育改革的主旋律，音樂教育是素質(zhì)教育的重要組成部分，對(duì)于陶冶學(xué)生的情操、增強(qiáng)

學(xué)生的表現(xiàn)力和自信心、提高學(xué)生的綜合素質(zhì)等有重要意義.為推進(jìn)音樂素養(yǎng)教育，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，

某校開設(shè)了一年的音樂素養(yǎng)選修課，包括一個(gè)聲樂班和一個(gè)器樂班，已知聲樂班的學(xué)生有24名，器樂班的

學(xué)生有28名，課程結(jié)束后兩個(gè)班分別舉行音樂素養(yǎng)過關(guān)測(cè)試，且每人是否通過測(cè)試是相互獨(dú)立的.

(1)聲樂班的學(xué)生全部進(jìn)行測(cè)試.若聲樂班每名學(xué)生通過測(cè)試的概率都為P設(shè)聲樂班的學(xué)

生中恰有3名通過測(cè)試的概率為/(p),求/'(2)的極大值點(diǎn)P。.

(2)器樂班采用分層隨機(jī)抽樣的方法進(jìn)行測(cè)試.若器樂班的學(xué)生中有4人學(xué)習(xí)鋼琴，有8人學(xué)習(xí)小提琴，

有16人學(xué)習(xí)電子琴，按學(xué)習(xí)的樂器利用分層隨機(jī)抽樣的方法從器樂班的學(xué)生中抽取7人，再?gòu)某槿〉?人

中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行測(cè)試，設(shè)抽到學(xué)習(xí)電子琴的學(xué)生人數(shù)為？，求，的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)-

8

(2)分布列見解析，若

【解析】

【分析】(1)根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求出概率，再利用導(dǎo)數(shù)求極值；

(2)先借助分層抽樣確定隨機(jī)變量，的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.

【小問1詳解】

24名學(xué)生中恰有3名通過測(cè)試的概率/(p)=Cl?p'(1-0廣，

則廣⑺=04[3/。_夕廣_21/。_020]=c.3".(1_02。。一8。)，0<P<1,

令/'(P)=O,得P=,

O

所以當(dāng)0<p<1時(shí)，f(p)>o,/(2)單調(diào)遞增；

8

當(dāng):<p<l時(shí)，f(p)<o,/(2)單調(diào)遞減，

8

故/(P)的極大值點(diǎn)Po=：?

8

【小問2詳解】

利用分層隨機(jī)抽樣的方法從28名學(xué)生中抽取7名，

則7名學(xué)生中學(xué)習(xí)鋼琴的有1名，學(xué)習(xí)小提琴的有2名，學(xué)習(xí)電子琴的有4名,

所以，的所有可能取值為0,1，2,3,

3「2rl

仁。）焉c=1N7=i）=*=12

J35,J35

「3

p（7=2）=*_184

，（）寸

-35P7=3

5J35

則隨機(jī)變量，的分布列為

c0123

p112184

35353535

L/八c1,12c18c412

E（7）=0x-----l-lx-----i-2x-----i-3x—=—.

',353535357

18.己知數(shù)列｛an｝為等比數(shù)列，｛%｝為等差數(shù)列，且4=乙=2,%=8%，

（1）求｛%｝,｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）數(shù)列]卦”山」|的前〃項(xiàng)和為S“，集合4="S"%2it,“eN*共有5個(gè)元

IJ〔"。,+2,

素，求實(shí)數(shù)?的取值范圍；

_log2a?（｝

-

（3）若數(shù)列｛%｝中，q=l,?1,2/->,求證：

4n

q+G?c,+C]?。2■G+…+G,02,%...........<2.

【答案】（1）an=T,b“=2n

147

（2）（25,—]

（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛即｝的公比為4,數(shù)列0?｝的公差為d,由已知易得/=8,々=2+71=16,可求

4，4；

（）（

2設(shè)數(shù)列d=—*/i]02，可求得%+服1+4,一2+%-3=128〃—48,S4n=

n\/n

S.?b,(32〃+8)(〃+2)

“a"1.進(jìn)而可得比n+==-Q—'可得/⑴<")>/⑶>/(4)>.->加)，可求

f的取值范圍為(25,——].

⑶qqq…y勺一正方,進(jìn)而計(jì)算可得不等式成立.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛5｝的公比為q,數(shù)列出“｝的公差為d,

則由。8=8%，/=8,所以4=2,所以4=QM〃T=2",

g=16,即々=2+72=16,所以2=2,

所以"〃=4+(〃_l)d=2+(〃-1)x2=2〃；

【小問2詳解】

設(shè)數(shù)列4=(―式虛8mH+1].年2,

則么?+%-1+d4a-2+%-3=%+-*_2-*_3=128”-48,

所以S4,]=(4+4+&+。4)+…+(〃4”-3+〃4"-2+4"-1+。4")=---------------------

="(64"+16),

邑〃也+2一(64〃+16)?2(〃+2)(32〃+8)("+2)

"％~F"r'

人〃、(32〃+8)(“+2)(32〃+40)(〃+3)(32〃+8)(〃+2)

令/⑺=-------------，/(?+1)-/(?)=----------x------------------------------

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