高考數(shù)學(xué)重難點突破訓(xùn)練：玩轉(zhuǎn)指對冪比較大?。ㄊ淮箢}型）（原卷版）

重難點突破01玩轉(zhuǎn)指對幕比較大小

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納總結(jié).................................................................3

題型一：直接利用單調(diào)性........................................................................3

題型二：引入媒介值............................................................................3

題型三：含變量問題............................................................................4

題型四：構(gòu)造函數(shù)...............................................................................4

題型五：數(shù)形結(jié)合...............................................................................5

題型六：特殊值法、估算法......................................................................6

題型七：放縮法.................................................................................6

題型八：不定方程...............................................................................7

題型九：泰勒展開...............................................................................7

題型十：同構(gòu)法.................................................................................8

題型十一：帕德逼近估算法......................................................................8

03過關(guān)測試.....................................................................9

方法技巧與總結(jié)

（1）利用函數(shù)與方程的思想，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性或極值，從而確定。，6,C的大小.

（2）指、對、幕大小比較的常用方法：

①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如小和小，利用指數(shù)函數(shù)y的單調(diào)性；

②指數(shù)相同，底數(shù)不同，如町和甘利用塞函數(shù)y=單調(diào)性比較大小;

③底數(shù)相同，真數(shù)不同，如log”看和loga超利用指數(shù)函數(shù)log”了單調(diào)性比較大小;

④底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，尋找中間變量0,1或者其它能判斷大小關(guān)系的中間量，借助中間量進(jìn)行大

小關(guān)系的判定.

（3）轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)

（4）特殊值法

（5）估算法

（6）放縮法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

（7）常見函數(shù)的麥克勞林展開式：

①e=l+x+—+...+—+

2!n[5+1)!

y52〃+l

②sinx=x-----+---------+(-1)〃----------+o(x2n+2)

3!5!(2n+l)!

x2462n

cosx=l-—+——r二r+???+(—1)〃-x-----+o(x2n)

2!4!6!(2n)!

~v3/+i

@ln(l+x)=x-—++(-ir^+^(xn+1)

23〃+1

⑤——=1+X+X2H----\~Xn+O(Xn)

1-x

⑥(l+犬)”=\+nx+^———x2+o(%2)

2!

題型歸贏總結(jié)

題型一：直接利用單調(diào)性

【典例1-1】記。=3°2,b=O.342,c=bgo2（）.3,則（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.b>a>c

c=log2V3,則實數(shù)。，Zbc的大小關(guān)系

【典例1-2]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知Q=306,^^log253

是（）

A.b>a>cB.a>b>cC.b>c>aD.a>c>b

3

【變式1-1】設(shè)a=f，b=]￡f，c=lnL6,則（）

A.c<a<bB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

【變式1-2]（2024?寧夏銀川?三模）已知〃=0.2°5,b=cos2c=lgl5,則（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

題型二：引入媒介值

_53

【典例2-1]（2024?甘肅蘭州?二模）故a=1匕=]：f

C=1°§3則b,C的大小順序是

）

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【典例2-2］（2024?高三?廣西?開學(xué)考試）己知a=sin￡,b=*,c=lo及6,則（）

6

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【變式2-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a=1%0.6,&=0.5°%c=2cos222.5°-b那么〃，b,c的

大小關(guān)系為（）

A.b<c<aB.a<b<cC.a<c<bD.b<a<c

【變式2-2]（2024?江西上饒?模擬預(yù)測）設(shè)（：）"=2,6=log]：,c=（!#,則有（）

j萬32

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

題型三：含變量問題

1

【典例3-1］（2024?陜西西安?統(tǒng)考一模）設(shè)。>6>0,“+6=1且》=-|,y=\ogLa,z=ab,則

x,y,z的大小關(guān)系是（

A.x<z<yB.z<y<x

c.y<z<xD.x<y<z

【典例3-2】（多選題）若貝Ij()

ba

A.a<bB.ab+\<a-\-b

C.產(chǎn)<曠”D.10ga(l+A)>10gb(l+Q)

【變式3-11（多選題）（2024?海南?？?模擬預(yù)測）己知無，》z都為正數(shù)，且2，=3y=6。貝U（）

111

A.xy>4z2B.-+C.x+y>4zD.x+y<5z

xyz

已知當(dāng)x>0時，-!-<ln(l+i)<-,貝。()

【變式3-2］（多選題）（2024?山西?模擬預(yù)測）

l+xXX

10I9

AA.—<e9<-B.In9<1H----F,?,H—<In10

9829

C.(—)9<9!D.+(請P+...+<e

e

【變式3?3］（多選題）（2024?湖北?模擬預(yù)測）已知正實數(shù)歷b,c滿足c"vb"vlvlog,",則一定有

)

A.a<\B.a<bC.b<cD.c<a

題型四：構(gòu)造函數(shù)

2

【典例4-1】設(shè)Q=log32,Z?=log43,c=-,d=log53,則()

A.a<b<c<dB.a<c<d<b

C.a<d<c<bD.c<a<b<d

【典例4-2】(2024?湖北武漢?二模)設(shè)4=(力=21!111115+855)0="|111《，則瓦c的大小關(guān)系是

()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【變式4-1】設(shè)。則下列關(guān)系正確的是（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【變式4?2】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知〃=505。，&=4951,c=5149,則（）

A.b<c<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<b<c

【變式4-3］已知。=log2986—log2985/=1—cos——,c=-----,貝I()

986985

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>b>a

題型五：數(shù)形結(jié)合

【典例5-1】（2024?高三?海南?期末）若。=1111.1,6=3，，=屈，則（）

e

A.a<b<cB.c<b<aC.a<c<bD.c<a<b

13

【典例5?2】（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）設(shè)。=$苗0.2/=0.16,0=^111；；,貝|（）

22

A.a>c>bB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

8a88

【變式5-1］已知。=0.8°-5+0.8—+0.8°9,Z,=0.6°-+0.7+0.8°,°=/+/+?，則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【變式5-2］（2024?四川廣安?二模）已知。，b,c均為正數(shù)，。=1+：-2。，Z72=4+^（2-34）,

4-2

-----r--=log（c+3）,則〃，b,。的大小關(guān)系為（）

c4

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【變式5-3］（2024?黑龍江哈爾濱?三模）己知2”Tog—,g］=log^,則下面正確的是（）

A.a>bB.〃<—

4

C.b>—D.\a-b\<-

22

【變式5-4】雅各布?伯努利（JakobBernoulli,1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士數(shù)學(xué)家，

他酷愛數(shù)學(xué)，常常忘情地沉溺于數(shù)學(xué)之中.伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一種常見的

不等式.伯努利不等式的一種形式為：Vx>-1,“eN*,則（l+x）"Nl+依?伯努利不等式是數(shù)學(xué)中的一

種重要不等式，它的應(yīng)用非常廣泛，尤其在概率論、統(tǒng)計學(xué)等領(lǐng)域中有著重要的作用.已知

a=log2024-log2023,b=l—cos—-—,c=—-—,則（）

2220242023

A.b>a>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

【變式5-5］（2024?高三?江蘇蘇州?期中）設(shè)。=1（?！，Z2=sin1,c=e-i,則a,b,c的大小關(guān)系為

（）.

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

【變式5?6】（2024?江西南昌?三模）若g）=log2〃，g［=〃，［=2-，，則正數(shù)。，仇0大小關(guān)系是

（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

題型六：特殊值法、估算法

【典例6-1】若都不為零的實數(shù)。力滿足。>>，則（）

A.—<7-B.-I—>2C.o，a~b>1D.Intz>InZ?

abab

【典例6?2】已知〃=2*，b=lnx,c=x3若貝!J〃、b、c的大小關(guān)系是（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD,c>a>b

【變式6?1］已知a=G，^=2；，c=log2eJ則〃，b，。的大小關(guān)系為（）

A,a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【變式6-2］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）若〃，瓦c滿足2a>2*log3C<0,則（）

1八

A.西B.…

C.ac>beD.a+c>be

題型七：放縮法

【典例7-1】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知〃_溫，6=l+sin三，c=lf,則a,b,。的大小關(guān)系為

a—c10

（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

3

【典例7-2】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知a=\og512,&=sin—,CJ1Y,貝ij（）

310（7）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【變式7?1】（2024?全國?模擬預(yù)測）已知。=lg2,b=lg5,則下列不等式中不思親的是（）

A.0<cib<1B.2a~b>—C.yfa+sfb>5/2D.—I—>4

2ab

、.313

【變式7?2】（2024?江西宜春?模擬預(yù)測）若〃_丁歷，/7=O.3e03,c=^lnl.3,則（）

a-c10

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

【變式7?3】（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）設(shè)Q=log615,fe=log820,c=log20122024,則。、b、-的

大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<b<a

【變式7?4】下列大小關(guān)系正確的是（）

2

A.——<ln2B.212>2,22

ln2

C.3,32>23>3D.3.34<433

題型八：不定方程

【典例8-1］已知a、b、c是正實數(shù)，且eZa-Ze.+e"-。，則。、b、c的大小關(guān)系不可能為（）

A.a=b=cB.a>b>c

C.b>c>aD,b>a>c

【典例8-2】設(shè)實數(shù)。，b滿足1001。+1010〃=2023。，1014"+1016B=2024",則4，b的大小關(guān)系為（）

A.a>bB.a=bC.a<bD.無法比較

【變式8-1］已知實數(shù)a、b,滿足a=log23+log64,3"+4"=5"，則關(guān)于a、6下列判斷正確的是（

A.a<b<2B.b<a<2C.2<a<bD.2<b<a

【變式8-2］已知實數(shù)a,6滿足。=log34+lo&29,5"+12。=13",則下列判斷正確的是（）

A.a>b>2B.b>a>2C.2>b>aD.a>2>b

【變式8-3］若。<4且4"=",6<5且5"=凡。<6且6°=。6,貝|（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

題型九：泰勒展開

3111

【典例9-1】已知a=—,Z?=cos-,c=4sin-,則（）

3244

【典例9-2】設(shè)。=60-2-1,6=1111.2,。=2,則a,瓦c的大小關(guān)系為.（從小到大順序排）

【變式9-1】設(shè)a=0.1e°i,b=g,c=-ln0.9,則（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【變式9-2]<7=21nl.01,Z?=lnl.02,c=A/L04-l,貝!I()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【變式9-3](2024?全國?模擬預(yù)測)已知“=0.99,6=0.99",c=sin9貝！|()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

題型十：同構(gòu)法

【典例10-1］（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）已知實數(shù)°,。滿足logs。+10863=1窕36+108.4,則下

列關(guān)系式中可能正確的是（）

A.36Z,Z?G（0,+OO）,使|a—R>lB.Z?e（0,+00）,使他=1

C.Vd:,Z?G（l,+oo）,有b<a<A?D.Vtz,Z?e（0,l）,有b〈a<加

【典例10-2］（多選題）已知。>0,匕>0且滿足"一26+bln（"）=e,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.ab>eB.ab<eC.ab>e2D.ab<e2

【變式10-1】（2024?高三?浙江?開學(xué)考試）已知。>1,匕>0,若G+log2a=b+log2），則（）

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a<b2

【變式10-2］（2024?重慶?模擬預(yù)測）已知正實數(shù)。，匕滿足2a=8”+log2—,則（）

a

A.a=bB.a<3bC.a=3bD.a>3b

【變式10?3】（多選題）（2024?遼寧撫順?模擬預(yù)測）已知實數(shù)〃，b滿足a>0,awl,b>09且

a—1

皿二一,則下列結(jié)論正確的是（）

A.當(dāng)Ovavl時，b<aB.當(dāng)時，b>a

C.logab>1D.logab>2

【變式10-4］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）若e2<廿>4/_/+1,則（）

A.4a2>b1B.4a2<b1

C.D.（：）。<（景

題型十一：帕德逼近估算法

【典例11-1］已知。=e°2-l,6=lnl.2,c=—,則（）

6

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【典例11?2】已知a=e°3,b=+c=JT3,貝（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

001

【變式11-1］已知a=擊,Z?=lnl.Ol,c=e-l,則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【變式11-2］己知a=21nl.O2,Z?=lnl.O5,c=—則（

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

1.（2024?江西萍鄉(xiāng)?二模）己知。===則這三個數(shù)的大小關(guān)系為（）

42ee2

A.c<b<aB.a<b<c

C.a<c<bD.c<a<b

2.（2024?寧夏銀川?三模）設(shè)"%b=30*c=31nl*則（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<c<bD.a<b<c

In0—4—In4

3.（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）設(shè)。=亭,6=111班?,c=+羋，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，貝|（）

2e

A.b<a<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<b<a

4.（2024?天津紅橋?二模）若〃=（$,^=log,|,。=3一二則為乩。的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.a<b<c

5.已知々=3%b=^6,c=5%d=6叫則在他-《，卜-川—HW，卜-4這6個數(shù)

中最小的是（）

A.\b-a\B.\c-b\C.\d-b\D.|c-a|

o32

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知。=sin西，b=In—,c=—,則〃也c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a

7.（2024?山西?模擬預(yù)測）已知實數(shù)a/,c滿足lna=g&=31og72,6-7,則（）

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>c>bD.a>b>c

173

8.（2024?湖北黃岡?二模）已知分別滿足下列關(guān)系：16"=151=log*16,logi5。=tan^,

w162

則a,。,Gd的大小關(guān)系為（）

A.a<b<c<dB.c<a<b<d

C.a<c<b<dD.a<d<b<c

9.（2024?青海西寧?模擬預(yù)測）己知。=ln3,b=~,=°\貝U（）

4ce

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

10.（2024?安徽?三模）已知"=9兀一3,/?=111（671—2e）,c=兀一2,則（）

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

5/7—

11.（2024?河南南陽?模擬預(yù)測）^ln—=0.2,Z?=0.96,e2=5,貝U（）

4

A.c<b<aB.c<a<b

C.a<c<bD.a<b<c

12.（多選題）已知11=12，“=12'-13,匕=10,則下列說法正確的有（）

A.a<0B.b<0C.a>bD.b>a

13.（多選題）已知a>0,efl（l-ln/?）=l,則（）

A.l<Z?<eB.a>InZ?C.ea-]nb<lD.b—a<\

14.（多選題）已知函數(shù)/（%）=爐+%-2（e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)）,g（x）=lnx+x-2,若

/（a）=g3）=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a+b=2B.a2+b2<3

C.ea+InZ?>2D.e'+lna>3

15.（多選題）（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）若正實數(shù)。，匕滿足〃>>，且lna」nb>0,則下列不等式一

定成立的是（）

A.logb>0B.a-->b~—

aba

C.2述+i<T+bD.ab~x<ba~x

16.（多選題）（2024?海南?？?模擬預(yù)測）已知“>0,6>0,a2+b2-ab^2,\a2-b2\<2,下面結(jié)論正

確的是（）

A.a+b^.2-$/2B.a-b<-^-

C.log2（2+log2/7<lD.log2tz+log23b>2

333

17.若a=ln4,b=-,c=sin-+tan-,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

244

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

2

3e+14

18.（2024?高三?四川成都?期末）已知。，b=I,則a,b,c的大小關(guān)系為

2e3

)

A.a<c<bB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

19.(2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)a=0.21nl0,b=0.99,c=0.9e°」，貝U()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

3@n2,e22.718…，則。，瓦c的大小關(guān)系是（）

20.已知°一ln20),b=WlnV,c

e21458

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.b>a>c

2

21.已知二個互不相等的正數(shù)〃力，。滿足a=e3,6=k）g23+log96,c=log(其中e=2.71828…是一

個無理數(shù)），則a,b,c的大小關(guān)系為（

A.a<b<c