人教版五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第十九講長(zhǎng)方體和正方體（二）（含答案）

第二課時(shí)長(zhǎng)方體和正方體（二）第一部分：趣味數(shù)學(xué)我得到了智慧今天吃過(guò)晚飯，爸爸把我拉到沙發(fā)前，對(duì)我說(shuō)：“我這兒有3個(gè)正方體的盒子，只要你答對(duì)了我出的題目，我就把盒子里面裝的東西送給你。”我聽(tīng)后，馬上興奮起來(lái)：“好啊，趕快出題吧?！卑种钢?個(gè)盒子說(shuō)：“這是3個(gè)棱長(zhǎng)為4厘米的正方體，把它們拼起來(lái)就變成了1個(gè)長(zhǎng)方體，變成長(zhǎng)方體后這3個(gè)盒子的表面積減少了多少平方厘米？”“這題目聽(tīng)著都暈，怎么入手呢？”我陷入了沉思?！坝辛?，先算出3個(gè)正方體的總面積，減去變成長(zhǎng)方體的表面積不就可以了嗎？”我跳了起來(lái)，告訴爸爸：“我知道怎么做了。首先，把正方體的一個(gè)面的面積算出來(lái)：4×4=16（平方厘米），再算出1個(gè)正方體的表面積：16×6=96（平方厘米）?！薄盀槭裁匆艘?呢？”爸爸裝作不懂地問(wèn)?！耙?yàn)檎襟w有6個(gè)面，然后再算出3個(gè)正方體的總表面積是96×3=288（平方厘米）。接著再算長(zhǎng)方體的表面積，首先長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是4×3=12（厘米），高和寬都不變。”爸爸又問(wèn)：“為什么？”我擺出老師狀：“因?yàn)槟惆?個(gè)盒子擺在一起，只是長(zhǎng)增加了，寬和高都沒(méi)變。長(zhǎng)方體的表面積就是（12×4+12×4+4×4）×2=144（平方厘米），再用三個(gè)正方體的盒子的總的表面積減去長(zhǎng)方體的表面積288-144=144（平方厘米）?！卑职贮c(diǎn)頭稱是：“不錯(cuò)，恭喜你答對(duì)了！”“耶！我的禮物呢？”我急忙打開(kāi)那3個(gè)正方體的盒子，怎么都空空如也？我疑惑地望著爸爸：“爸爸，你耍我！”“爸爸沒(méi)有耍你，你看，你得到的不是智慧嗎？”我突然明白地笑了。第二部分：奧數(shù)小練【例題1】有兩個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水箱，甲水箱里有水，乙水箱空著。從里面量，甲水箱長(zhǎng)40厘米，寬32厘米，水面高20厘米；乙水箱長(zhǎng)30厘米，寬24厘米，深25厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱，使兩箱水面高度一樣，現(xiàn)在水面高多少厘米？【思路導(dǎo)航】由于后來(lái)兩個(gè)水箱里的水面的高度一樣，我們可以這樣思考：把兩個(gè)水箱并靠在一起，水的體積就是（甲水箱的底面積+乙水箱的底面）×水面的高度。這樣，我們只要先求出原來(lái)甲水箱中的體積：40×32×20=25600（立方厘米），再除以兩只水箱的底面積和：40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后來(lái)水面的高度。練習(xí)1：1.一個(gè)密封的長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)4dm，寬1dm，高2dm，里面水深16cm?，F(xiàn)在把這個(gè)容器的左側(cè)面放在桌面上，這時(shí)水深多少厘米？2.一個(gè)長(zhǎng)方體容器，從里面量長(zhǎng)、寬均為2dm，向容器中倒入一些水，水深16cm。再把一個(gè)西紅柿放入水中（完全浸沒(méi)），這時(shí)量得容器的水深是17cm，這個(gè)西紅柿的體積是多少？3.一段鋼材長(zhǎng)15分米，橫截面面積是1.2平方分米。如果把它煅燒成一橫截面面積是0.1平方分米的鋼筋，求這根據(jù)鋼筋的長(zhǎng)?！纠}2】將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個(gè)鐵質(zhì)正方體熔成一個(gè)大正方體（不計(jì)損耗），求這個(gè)大正方體的體積。【思路導(dǎo)航】因?yàn)檎襟w的六個(gè)面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以這個(gè)正方體的棱是3厘米。用同樣的方法求出另兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)：96=6×（4×4），棱長(zhǎng)是4厘米；150=6×（5×5），棱長(zhǎng)是5厘米。知道了棱長(zhǎng)就可以分別算出它們的體積，這個(gè)大正方體的體積就等于它們的體積和。練習(xí)2：1.有一個(gè)長(zhǎng)方體水箱，從面量長(zhǎng)40厘米、寬30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。放進(jìn)一個(gè)棱長(zhǎng)20厘米的正方體鐵塊。這時(shí)水面高多少厘米？2.有三個(gè)正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米?，F(xiàn)將三塊鐵熔成一個(gè)大正方體，求這個(gè)大正方體的體積。3.把8塊邊長(zhǎng)是1分米的正方體鐵塊熔成一個(gè)大正方體，這個(gè)大正方體的表面積是多少平方分米？【例題3】有一個(gè)長(zhǎng)方體容器，從里面量長(zhǎng)5分米、寬4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。如果把一塊邊長(zhǎng)2分米的正方體鐵塊浸入水中，水面上升多少分米？【思路導(dǎo)航】鐵塊的體積是2×2×2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空間，因此，水上升的體積也就是8立方分米，用這個(gè)體積除以底面積（5×4）就能得到水上升的高度了。練習(xí)3：1.有一個(gè)小金魚缸，長(zhǎng)4分米、寬3分米、水深2分米。把一塊假山石浸入水中后，水面上升0.8分米。這塊假山石的體積是多少立方分米？2.有一個(gè)正方體容器，棱長(zhǎng)是24厘米，里面注滿了水。有一根長(zhǎng)50厘米，橫截面是12平方厘米的長(zhǎng)方形的鐵棒，現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問(wèn)：會(huì)溢出多少立方厘米的水？3.有一塊邊長(zhǎng)是5厘米的正方體鐵塊，浸沒(méi)在一個(gè)長(zhǎng)方體容器里的水中。取出鐵后，水面下降了0.5厘米。這個(gè)長(zhǎng)方體容器的底面積是多少平方厘米？【例題4】有一個(gè)長(zhǎng)方體容器（如下圖），長(zhǎng)30厘米、寬20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。如果把這個(gè)容器蓋緊，再朝左豎起來(lái)，里面的水深應(yīng)該是多少厘米？【思路導(dǎo)航】首先求出水的體積：30×20×6=3600（立方厘米）。當(dāng)容器豎起來(lái)以后，水流動(dòng)了，但體積沒(méi)有變，這時(shí)水的形狀是一個(gè)底面積是20×10=200平方厘米的長(zhǎng)方體。只要用體積除以底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。練習(xí)4：1.有兩個(gè)長(zhǎng)方體水缸，甲缸長(zhǎng)3分米，寬和高都是2分米；乙缸長(zhǎng)4分米、寬2分米，里面的水深1.5分米。現(xiàn)把乙缸中的水倒進(jìn)甲缸，水在甲缸里深幾分米？2.有一塊棱長(zhǎng)2分米的正方體鐵塊，現(xiàn)把它煅造成一根長(zhǎng)方體，這長(zhǎng)方體的截面是一個(gè)長(zhǎng)4厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形，求它的長(zhǎng)。3.像例題中所說(shuō)，如果讓長(zhǎng)30厘米、寬10厘米的面朝下，這時(shí)的水深又是多少厘米？【例題5】長(zhǎng)方體不同的三個(gè)面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？【思路導(dǎo)航】長(zhǎng)方體不同的三個(gè)面的面積分別是長(zhǎng)×寬、長(zhǎng)×高、寬×高得來(lái)的。因此，15×10×6=（長(zhǎng)×寬×高）×（長(zhǎng)×寬×高），而15×10×6=900=30×30。所以，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是30立方厘米。練習(xí)5：1.一個(gè)長(zhǎng)方體，不同的三個(gè)面的面積分別是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？2.一個(gè)長(zhǎng)方體，不同的三個(gè)面的面積分別是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？3.一個(gè)長(zhǎng)方體的體積是960立方厘米，并且長(zhǎng)、寬、高是三個(gè)連續(xù)的偶數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積積是多少平方厘米？第三部分：數(shù)學(xué)史話長(zhǎng)方體和正方體體積對(duì)于長(zhǎng)方體和正方體體積的計(jì)算，在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》第五章商功中有這樣的記載：今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺。問(wèn)積幾何？答曰：三千八百四十尺。術(shù)曰：方自乘，以高乘之，即積尺。注：（壔：拼音：dǎo；意思：土堡）（丈：中國(guó)市制長(zhǎng)度單位，等于十尺）參考答案：練習(xí)1此題要先計(jì)算出容器中水的體積，16cm=1.6dm，4×1×1.6=6.4dm3，無(wú)論容器怎樣放置，容器中水的體積不變，用容器中水的體積除以容器的底面積就得到水的高度：6.4÷（1×2）=3.2dm。2.把一個(gè)西紅柿放入水中后，上升部分水的體積就是西紅柿的體積。2dm=20cm20×20×（17-16）=400cm3。3.鋼材鍛造前后體積沒(méi)有發(fā)生變化，由此我們就可以求出這根鋼筋的長(zhǎng)：1.2×15÷0.1=180（分米）。練習(xí)21.根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式可以求出水箱內(nèi)水的體積;放進(jìn)去棱長(zhǎng)20厘米的正方形鐵塊后,鐵塊的頂面仍然高于水面,這時(shí)候水的體積沒(méi)變,但是水箱的底面積變小了,利用Ah=V÷S,從而可以求出水此時(shí)的高度,由此解決問(wèn)題。水箱的底面積是40×30=1200（平方厘米），水的體積是1200×10=12000（立方厘米），鐵塊的底面積是20x20=400(平方厘米),放入鐵塊后,水箱的底面積變成了1200-400=800(平方厘米),這時(shí)水面高12000=800=15(厘米)。2.有三個(gè)正方體鐵塊，它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。這三個(gè)正方體每個(gè)面的面積分別是24÷6=4厘米、54÷6=9厘米、294÷6=49厘米，那么三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別是2厘米、3厘米、7厘米。現(xiàn)將三塊鐵熔成一個(gè)大正方體，大正方體的體積就是三個(gè)小正方體體積和2×2×2+3×3×3+7×7×7=378（立方厘米）。3.把8塊邊長(zhǎng)是1分米的正方體鐵塊熔成一個(gè)大正方體，體積沒(méi)變，1×1×1×8=8立方分米，這個(gè)大正方體的棱長(zhǎng)就是2分米，表面積是2×2×6=24（平方分米）。練習(xí)31.假山石的體積是升高的水的體積4×3×0.8=9.6（立方分米）。2.溢出的水的體積就是鐵棒的體積50×12=600（立方厘米）。3.水下降的體積就是鐵塊的體積5×5×5=125（立方厘米），容器的底面積=125÷0.5=250（平方厘米）。練習(xí)4乙缸中水的體積4×2×1.5=12（立方分米）甲缸的水深：12÷（3×2）=2分米。煅造前后體積不變2×2×2=8（立方分米）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)8÷（4×2）=1（分米）3.水的體積：30×20×6=3600（立方厘米）水深：3600÷（30×10）=12（厘米）練習(xí)51.長(zhǎng)方體不同的三個(gè)面的面積是長(zhǎng)×寬、長(zhǎng)×高、寬×高得來(lái)的，因此25×18×8=（長(zhǎng)×寬×高）×（長(zhǎng)×寬×高），而25×18×8=3600=60×60。所以，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是60立方厘米。2.一個(gè)