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第二課時長方體和正方體(二)第一部分:趣味數(shù)學(xué)我得到了智慧今天吃過晚飯,爸爸把我拉到沙發(fā)前,對我說:“我這兒有3個正方體的盒子,只要你答對了我出的題目,我就把盒子里面裝的東西送給你?!蔽衣牶螅R上興奮起來:“好啊,趕快出題吧?!卑种钢?個盒子說:“這是3個棱長為4厘米的正方體,把它們拼起來就變成了1個長方體,變成長方體后這3個盒子的表面積減少了多少平方厘米?”“這題目聽著都暈,怎么入手呢?”我陷入了沉思。“有了,先算出3個正方體的總面積,減去變成長方體的表面積不就可以了嗎?”我跳了起來,告訴爸爸:“我知道怎么做了。首先,把正方體的一個面的面積算出來:4×4=16(平方厘米),再算出1個正方體的表面積:16×6=96(平方厘米)?!薄盀槭裁匆艘?呢?”爸爸裝作不懂地問?!耙驗檎襟w有6個面,然后再算出3個正方體的總表面積是96×3=288(平方厘米)。接著再算長方體的表面積,首先長方體的長是4×3=12(厘米),高和寬都不變?!卑职钟謫枺骸盀槭裁矗俊蔽覕[出老師狀:“因為你把3個盒子擺在一起,只是長增加了,寬和高都沒變。長方體的表面積就是(12×4+12×4+4×4)×2=144(平方厘米),再用三個正方體的盒子的總的表面積減去長方體的表面積288-144=144(平方厘米)。”爸爸點頭稱是:“不錯,恭喜你答對了!”“耶!我的禮物呢?”我急忙打開那3個正方體的盒子,怎么都空空如也?我疑惑地望著爸爸:“爸爸,你耍我!”“爸爸沒有耍你,你看,你得到的不是智慧嗎?”我突然明白地笑了。第二部分:奧數(shù)小練【例題1】有兩個無蓋的長方體水箱,甲水箱里有水,乙水箱空著。從里面量,甲水箱長40厘米,寬32厘米,水面高20厘米;乙水箱長30厘米,寬24厘米,深25厘米。將甲水箱中部分水倒入乙水箱,使兩箱水面高度一樣,現(xiàn)在水面高多少厘米?【思路導(dǎo)航】由于后來兩個水箱里的水面的高度一樣,我們可以這樣思考:把兩個水箱并靠在一起,水的體積就是(甲水箱的底面積+乙水箱的底面)×水面的高度。這樣,我們只要先求出原來甲水箱中的體積:40×32×20=25600(立方厘米),再除以兩只水箱的底面積和:40×32+30×24=2000(平方厘米),就能得到后來水面的高度。練習(xí)1:1.一個密封的長方體容器,長4dm,寬1dm,高2dm,里面水深16cm。現(xiàn)在把這個容器的左側(cè)面放在桌面上,這時水深多少厘米?2.一個長方體容器,從里面量長、寬均為2dm,向容器中倒入一些水,水深16cm。再把一個西紅柿放入水中(完全浸沒),這時量得容器的水深是17cm,這個西紅柿的體積是多少?3.一段鋼材長15分米,橫截面面積是1.2平方分米。如果把它煅燒成一橫截面面積是0.1平方分米的鋼筋,求這根據(jù)鋼筋的長?!纠}2】將表面積分別為54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三個鐵質(zhì)正方體熔成一個大正方體(不計損耗),求這個大正方體的體積?!舅悸穼?dǎo)航】因為正方體的六個面都相等,而54=6×9=6×(3×3),所以這個正方體的棱是3厘米。用同樣的方法求出另兩個正方體的棱長:96=6×(4×4),棱長是4厘米;150=6×(5×5),棱長是5厘米。知道了棱長就可以分別算出它們的體積,這個大正方體的體積就等于它們的體積和。練習(xí)2:1.有一個長方體水箱,從面量長40厘米、寬30厘米、深35厘米,箱中水面高10厘米。放進一個棱長20厘米的正方體鐵塊。這時水面高多少厘米?2.有三個正方體鐵塊,它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米?,F(xiàn)將三塊鐵熔成一個大正方體,求這個大正方體的體積。3.把8塊邊長是1分米的正方體鐵塊熔成一個大正方體,這個大正方體的表面積是多少平方分米?【例題3】有一個長方體容器,從里面量長5分米、寬4分米、高6分米,里面注有水,水深3分米。如果把一塊邊長2分米的正方體鐵塊浸入水中,水面上升多少分米?【思路導(dǎo)航】鐵塊的體積是2×2×2=8(立方分米),把它浸入水中后,它就占了8立方分米的空間,因此,水上升的體積也就是8立方分米,用這個體積除以底面積(5×4)就能得到水上升的高度了。練習(xí)3:1.有一個小金魚缸,長4分米、寬3分米、水深2分米。把一塊假山石浸入水中后,水面上升0.8分米。這塊假山石的體積是多少立方分米?2.有一個正方體容器,棱長是24厘米,里面注滿了水。有一根長50厘米,橫截面是12平方厘米的長方形的鐵棒,現(xiàn)將鐵棒垂直插入水中。問:會溢出多少立方厘米的水?3.有一塊邊長是5厘米的正方體鐵塊,浸沒在一個長方體容器里的水中。取出鐵后,水面下降了0.5厘米。這個長方體容器的底面積是多少平方厘米?【例題4】有一個長方體容器(如下圖),長30厘米、寬20厘米、高10厘米,里面的水深6厘米。如果把這個容器蓋緊,再朝左豎起來,里面的水深應(yīng)該是多少厘米?【思路導(dǎo)航】首先求出水的體積:30×20×6=3600(立方厘米)。當(dāng)容器豎起來以后,水流動了,但體積沒有變,這時水的形狀是一個底面積是20×10=200平方厘米的長方體。只要用體積除以底面積就知道現(xiàn)在水的深度了。練習(xí)4:1.有兩個長方體水缸,甲缸長3分米,寬和高都是2分米;乙缸長4分米、寬2分米,里面的水深1.5分米?,F(xiàn)把乙缸中的水倒進甲缸,水在甲缸里深幾分米?2.有一塊棱長2分米的正方體鐵塊,現(xiàn)把它煅造成一根長方體,這長方體的截面是一個長4厘米、寬2厘米的長方形,求它的長。3.像例題中所說,如果讓長30厘米、寬10厘米的面朝下,這時的水深又是多少厘米?【例題5】長方體不同的三個面的面積分別為10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。這個長方體的體積是多少立方厘米?【思路導(dǎo)航】長方體不同的三個面的面積分別是長×寬、長×高、寬×高得來的。因此,15×10×6=(長×寬×高)×(長×寬×高),而15×10×6=900=30×30。所以,這個長方體的體積是30立方厘米。練習(xí)5:1.一個長方體,不同的三個面的面積分別是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米,這個長方體的體積是多少立方厘米?2.一個長方體,不同的三個面的面積分別是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米,且長、寬、高都是質(zhì)數(shù),這個長方體的體積是多少立方厘米?3.一個長方體的體積是960立方厘米,并且長、寬、高是三個連續(xù)的偶數(shù)。這個長方體的表面積積是多少平方厘米?第三部分:數(shù)學(xué)史話長方體和正方體體積對于長方體和正方體體積的計算,在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》第五章商功中有這樣的記載:今有方堡壔方一丈六尺,高一丈五尺。問積幾何?答曰:三千八百四十尺。術(shù)曰:方自乘,以高乘之,即積尺。注:(壔:拼音:dǎo;意思:土堡)(丈:中國市制長度單位,等于十尺)參考答案:練習(xí)1此題要先計算出容器中水的體積,16cm=1.6dm,4×1×1.6=6.4dm3,無論容器怎樣放置,容器中水的體積不變,用容器中水的體積除以容器的底面積就得到水的高度:6.4÷(1×2)=3.2dm。2.把一個西紅柿放入水中后,上升部分水的體積就是西紅柿的體積。2dm=20cm20×20×(17-16)=400cm3。3.鋼材鍛造前后體積沒有發(fā)生變化,由此我們就可以求出這根鋼筋的長:1.2×15÷0.1=180(分米)。練習(xí)21.根據(jù)長方體的體積公式可以求出水箱內(nèi)水的體積;放進去棱長20厘米的正方形鐵塊后,鐵塊的頂面仍然高于水面,這時候水的體積沒變,但是水箱的底面積變小了,利用Ah=V÷S,從而可以求出水此時的高度,由此解決問題。水箱的底面積是40×30=1200(平方厘米),水的體積是1200×10=12000(立方厘米),鐵塊的底面積是20x20=400(平方厘米),放入鐵塊后,水箱的底面積變成了1200-400=800(平方厘米),這時水面高12000=800=15(厘米)。2.有三個正方體鐵塊,它們的表面積分別是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。這三個正方體每個面的面積分別是24÷6=4厘米、54÷6=9厘米、294÷6=49厘米,那么三個正方體的棱長分別是2厘米、3厘米、7厘米?,F(xiàn)將三塊鐵熔成一個大正方體,大正方體的體積就是三個小正方體體積和2×2×2+3×3×3+7×7×7=378(立方厘米)。3.把8塊邊長是1分米的正方體鐵塊熔成一個大正方體,體積沒變,1×1×1×8=8立方分米,這個大正方體的棱長就是2分米,表面積是2×2×6=24(平方分米)。練習(xí)31.假山石的體積是升高的水的體積4×3×0.8=9.6(立方分米)。2.溢出的水的體積就是鐵棒的體積50×12=600(立方厘米)。3.水下降的體積就是鐵塊的體積5×5×5=125(立方厘米),容器的底面積=125÷0.5=250(平方厘米)。練習(xí)4乙缸中水的體積4×2×1.5=12(立方分米)甲缸的水深:12÷(3×2)=2分米。煅造前后體積不變2×2×2=8(立方分米)長方體的長8÷(4×2)=1(分米)3.水的體積:30×20×6=3600(立方厘米)水深:3600÷(30×10)=12(厘米)練習(xí)51.長方體不同的三個面的面積是長×寬、長×高、寬×高得來的,因此25×18×8=(長×寬×高)×(長×寬×高),而25×18×8=3600=60×60。所以,這個長方體的體積是60立方厘米。2.一個

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