導數(shù)與函數(shù)極值與最值【8類題型】-2025年高考數(shù)學復習突破（新高考專用）

熱點專題3-4導數(shù)與函數(shù)極值與最值

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計考點分析考點要求

2024年I卷第10題，6分

導數(shù)與函數(shù)極值、最值是同考數(shù)

年卷第題，分

2024H165學的重要考點。函數(shù)極值每年必

2024年H卷第11題，6分考，題型多樣，難度適中。最值

問題則常作為熱點和難點，常與(1)求導判斷單調(diào)性

2024年甲卷第21題

函數(shù)單調(diào)性、方程和不等式相結(jié)(2)找極值點并分析性質(zhì)

合，考查綜合應用能力。高考常

2023年乙卷第21題(3)確定最值位置并求解

通過求函數(shù)在特定條件下的最值(4)結(jié)合不等式求參數(shù)范圍

2023年n卷第22題或根據(jù)最值條件求參數(shù)范圍來考(5)考察綜合運用能力

查學生的導數(shù)應用能力和解題技

2022年乙卷第16題，5分

巧。這類題型要求學生熟練掌握

2022年甲卷第6題，5分導數(shù)性質(zhì)，靈活應用函數(shù)性質(zhì)，

具有較強的邏輯思維和解題能力

2022年I卷第10題，5分

模塊一、熱點題型解讀(目錄)

【題型1】函數(shù)的極值與極值點

【題型2】利用圖像判斷極值

【題型3】由極值或極值點求參數(shù)的值

【題型5】利用導數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)

【題型7】求含參函數(shù)的最值

【題型6】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的值

【題型4】由極值，極值點求參數(shù)范圍【重點題型】

【題型6】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)范圍

【題型8】函數(shù)極值、最值的綜合應用

模塊二I核心題型?舉一反三

［題型1］函數(shù)的極值與極值點

基礎知識

1.極值點與極值的概念

極值與單調(diào)性一樣，都是函數(shù)的局部性質(zhì)

⑴極小值點與極小值

如圖，函數(shù)y=/(x)在點x=a的函數(shù)值/(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小，/⑷=0;而且

在點x=a附近的左側(cè)/(x)<0,右側(cè)/(x)>0,貝”把a叫做函數(shù)y=/(x)的極小值點，穴。)叫做函數(shù)丫=

人犬)的極小值.

(2)極大值點與極大值

如圖，函數(shù)y=/(x)在點尤=b的函數(shù)值式6)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大，7(6)=0；而且

在點x=b的左側(cè)了(尤)>0,右側(cè)、「(尤)<0,貝代把》叫做函數(shù)y=/(x)

的極大值點，年Z?)叫做函數(shù)y=<r)的極大值.極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點,極大值和極小值統(tǒng)稱

為極值.

2.求函數(shù)y=/(x)的極值的方法

解方程〃x)=0,當/(xo)=0時：

(1)如果在xo附近的左側(cè)了(x)>0,右側(cè)/(x)V0,那么"o)是極大值;

(2)如果在xo附近的左側(cè)了(x)<0,右側(cè)/(x)>0,那么/Uo)是極小值.

1.(2024?遼寧鞍山二模)/(耳=/b的極大值為.

2.(2024?陜西西安?模擬預測)函數(shù)〃尤)=(/-8)e*的極小值點為()

A.2B.-4e12C.-4D.8e-4

3.（23-24高三上.陜西咸陽?階段練習）函數(shù)〃尤）=3/一In%的（）

A.極小值點為!B.極小值點為正

66

C.極大值點為‘D.極大值點為逅

66

【鞏固練習1]（23-24高三?湖北孝感?階段練習）函數(shù)〃無）=31nx+J/-4龍的極大值為（）

57

A.—2B.—C.—3D.—

22

【鞏固練習2】（2024高三下?全國?專題練習）已知函數(shù)/（x）=oc3+6f+x+c,其導函數(shù)>=（（同

的圖象如圖所示，過點和（1,。）.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,極大值點

為.

【鞏固練習3】函數(shù)/（"=6+12尤-/的極小值點為.

【題型2】利用圖像判斷極值

基礎知識

利用函數(shù)圖像判斷極值的方法主要是觀察圖像在特定點附近的單調(diào)性變化。若圖像在某點由上升轉(zhuǎn)

為下降，則該點為極大值點；若由下降轉(zhuǎn)為上升，則為極小值點。通過比較該點與其鄰近點的函數(shù)

值大小，可進一步確認極值點的存在。這種方法直觀且有效，適用于可直觀觀察的圖像。

4.已知定義在R上的函數(shù)/（x）,其導函數(shù)尸（x）的大致圖象如圖所示，則下列敘述正確的是

y

aO

A./(/?)>/(<?)>/(c)

B.函數(shù)在尤=，處取得最大值，在x=e處取得最小值

C.函數(shù)“X）在x=c處取得極大值，在x=e處取得極小值

D.函數(shù)八%）的最小值為/（d）

【鞏固練習1】設函數(shù)“X）在R上可導，其導函數(shù)為/'（大），且函數(shù)y=。-x）/'（x）的圖象如圖所

示，則下列結(jié)論中一定成立的是（）

A.函數(shù)〃x）在（2,+8）上為增函數(shù)

B.函數(shù)〃力在（-2,1）上為增函數(shù)

C.函數(shù)“X）有極大值”2）和極小值/⑴

D.函數(shù)〃力有極大值〃-2）和極小值“2）

【鞏固練習2】如圖，可導函數(shù)y=/（x）在點尸（%,/（七））處的切線為/：y=g（x）,設

取尤）=/（尤）-g（無），則下列說法正確的是（）

A.HXGR,/i(x)>0

B.VxeR,hr(x)<0

C.〃(無o)=0,X=不是■>)的極大值點

D.〃(%0)=0,%=不是以x)的極小值點

【鞏固練習3】（23-24高三吉林長春?期中）（多選）已知定義在R上的可導函數(shù)“X）和g（x）的導

函數(shù)/'（X）、g'（x）圖象如圖所示，則關于函數(shù)Mx）=g（x）-“X）的判斷正確的是（）

A.有1個極大值點和2個極小值點B.有2個極大值點和1個極小值點

C.有最大值D.有最小值

【題型3】由極值或極值點求參數(shù)的值

基礎知識

由極值或極值點求參數(shù)值，通常需先對函數(shù)求導，找到極值點對應的導數(shù)等于零的方程。然后，將

極值或極值點的坐標代入原函數(shù)或?qū)?shù)方程中，解出參數(shù)值。

5.（2024.青海.模擬預測）已知函數(shù)/（工）=夕的極值點為〃，則〃0）=（）

A.-1B.0C.1D.2

6.（2024.四川.模擬預測）已知函數(shù)的導函數(shù)T（x）=（尤+D（/+4x+a）,若T不是〃尤）的

極值點，則實數(shù)。=.

7.（2024?寧夏銀川?一模）若函數(shù)/（x）=（，-ax-2）ex在x=-2處取得極大值，則的極小值

為（）

A.-6e2B.-AeC.-2e2D.-e

【鞏固練習1】（2024?遼寧?一模）已知函數(shù)/（力=/+依2+笈+/在》=—1處有極值則/⑴等

于.

【鞏固練習2】已知函數(shù)=-34+alru,若x=l是/（x）的極值點，求〃尤）的極值.

【鞏固練習3】（23-24高二上?天津濱海新?期中）函數(shù)/（動=4短一以2一2岳:+2在x=l處有極小值

-3,則匕—。的值等于（）

A.0B.-2C.-4D.6

【鞏固練習4】已知函數(shù)/（元）=加1^+』1+24元+。2-34在彳=1處取得極小值2,則2的值為_____

22a

【題型4】利用導數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）

基礎知識

利用導數(shù)求函數(shù)最值的詳細步驟如下：

1.求導數(shù)：首先，對給定的函數(shù)求導，得到其導數(shù)表達式。

2.找臨界點：

。令導數(shù)等于0,解方程找出所有使導數(shù)等于0的點，這些點稱為駐點或臨界點。

o檢查函數(shù)定義域內(nèi)是否有導數(shù)不存在的點（如分母為0的點），這些點也是臨界點。

3.判斷單調(diào)性：

。在每個臨界點之間及臨界點兩側(cè)選取測試點，代入導數(shù)表達式，判斷導數(shù)的符號。

o根據(jù)導數(shù)的符號變化，確定函數(shù)在這些區(qū)間上的單調(diào)性（增或減）。

4,求最值：

。在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)要么沒有最值（如果區(qū)間是開區(qū)間），要么最值出現(xiàn)在區(qū)間

的端點或臨界點處。

o對于閉區(qū)間，還需要檢查區(qū)間端點的函數(shù)值。

。比較所有候選點的函數(shù)值，確定函數(shù)在該區(qū)間上的最大值和最小值。

注意：對于實際應用問題，還需要考慮函數(shù)的實際定義域和約束條件。

8.（23-24高三.河南商丘?期末）已知函數(shù)〃力=2依3-3》2+6在入一=1處取得極小值1,則在

區(qū)間［-1,2］上的最大值為（）

A.2B.4C.6D.8

9.（2024?浙江杭州.二模）函數(shù)C（x）=2的最大值為.

【鞏固練習1］（23-24高三?湖南益陽?期中）已知/（%）=2d—6%2+〃（〃為常數(shù)）在［—2,2］上有最

大值3,則此函數(shù)在［-2,2］上的最小值是（）

A.-37B.-29C.-5D.-8

1°

【鞏固練習2］函數(shù)—（e—l）x—elnx的最小值為.

【題型5】求含參函數(shù)的最值

基礎知識

求含參函數(shù)最值步驟：先對參數(shù)分類討論，再對每類求導找極值點，結(jié)合邊界點比較確定最值。

10.已知函數(shù)/（x）=（x-左T）e”（ZeR）.

⑴當左=1時，求〃x）在（0,-2）處的切線方程；（2）討論“X）在區(qū)間［0,3］上的最小值.

【鞏固練習1】已知函數(shù)/（x）=e*-依—1.

（1）當“=1時，求/（X）的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）求/（?在［1,+8）上的最小值.

【鞏固練習2】已知函數(shù)/（力=/一依一1.

⑴當4=1時，求/（X）的單調(diào)區(qū)間與極值；⑵求“X）在［1,+8）上的最小值.

【題型6】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)的值

基礎知識

根據(jù)最值條件建立方程，解方程求參數(shù)，驗證解符合題意。

11.若函數(shù)/（犬）=》3-萬.#+4在區(qū)間口，2］上的最小值為0,則實數(shù)。的值為（）

A.12B.-1C.2

【鞏固練習1】已知函數(shù)/（司=-_?+3/+9彳+。（。為常數(shù)），在區(qū)間［-2,2］上有最大值20,那么

此函數(shù)在區(qū)間［-2,2］上的最小值為（）

A.-37B.-7C.-5D.-11

【鞏固練習2］若函數(shù)/（九）二三—九2—X+2機在區(qū)間［0,2］上的最大值是4,則機的值為（）

A.3B.1C.2D.-1

【鞏固練習3】已知"0,若函數(shù)/（尤）=1>2戶+2尤>-1有最小值，則實數(shù)。的最大值

為.

【題型7】由極值，極值點求參數(shù)范圍【重點題型】

基礎知識

一、根據(jù)極值或極值點個數(shù)求參數(shù)范圍

首先需對函數(shù)求導并分析其導數(shù)。根據(jù)導數(shù)等于零的解的個數(shù)，結(jié)合二階導數(shù)判斷極值點類型（極

大值或極小值）。然后，利用給定的極值個數(shù)或極值點個數(shù)條件，建立關于參數(shù)的不等式或方程。最

后，解這些不等式或方程，得到參數(shù)的取值范圍。注意，解可能需分類討論，確保全面覆蓋所有情

況。

二、根據(jù)函數(shù)有（無）極值點求參數(shù)范圍

函數(shù)有無極值，需分析其一階導數(shù)。首先求導，觀察導數(shù)是否可能為零。若方程ra）=o無解或解

不滿足極值條件（如二階導數(shù)為零），則無極值；若有解且滿足極值條件，則有極值。根據(jù)有無極值

的條件，建立關于參數(shù)的不等式或方程。解不等式或方程，得到參數(shù)的取值范圍，區(qū)分出函數(shù)有無

極值的情況。

三、函數(shù)在某區(qū)間上存在極值點求參數(shù)范圍

函數(shù)在某區(qū)間上存在極值點，需先求導并令其為零，轉(zhuǎn)化為/'（x）=0在該區(qū)間上有解，建立關于參

數(shù)的不等式或方程。解這些不等式或方程，得到參數(shù)的取值范圍，確保函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)存在極值

點o

12.（2024.遼寧葫蘆島.一模）已知函數(shù)/（x）=e=公2在R上無極值，貝也的取值范圍是（）

A.1-8,|B.）叫!）c.[0,e）D.0,1

13.（2024?河北秦皇島.三模）已知0是函數(shù)/口）=三+加+1的極大值點，貝心的取值范圍為

2

A.(一8,0)B.(0,+8)D.——,+oo

3

14.（2024?高三?陜西咸陽期中）若函數(shù)/（x）=alnx-工+4（亦0）既有極大值也有極小值，則。

XX

的取值范圍是（）

A.LB?\別C.（0,力D.㈣）

15.（23-24高三上.廣東潮州.期末）若函數(shù)/（x）=；x2-G+inx在（0,2）上有極值，則實數(shù)。的取值

范圍是（

B.C.⑵+8)D.(2,+8)

16.（2024高三.全國?專題練習）已知函數(shù)〃x）=x（lnx-Q）有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍

是()

A.\-0°,-C.(0,1)D.(0,+oo)

17.（2024?陜西西安?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=2hu+]2—3x有極值點在閉區(qū)間勿+2]上，則

f的取值范圍為（）.

A.[-1,2]B.[0,1]C,[0,2]D.[-1,1]

18.（2024?新高考2卷真題）已知函數(shù)/（x）=e*-?-/.

⑴當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1,/（1））處的切線方程;

⑵若/（X）有極小值，且極小值小于0,求。的取值范圍.

【鞏固練習1]（2024.重慶.模擬預測）若函數(shù)=有極值，則實數(shù)。的取值范圍是

（）

A.[唱B.國C.F]D,

【鞏固練習2】（2024.黑龍江哈爾濱?模擬預測）若函數(shù)/（x）=e*-也在區(qū)間（0,2）上有極值點，則

實數(shù)a的取值范圍是（）

A.B.l,yC.（l,e2）°。（°彳）

4b

【鞏固練習3】（2024.廣東佛山.二模）若函數(shù)〃尤）=alnx+1+y（。X0）既有極大值也有極小

值，則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.a<0B.b<0C.ab>—\D.a+b>0

【鞏固練習4】（2024?重慶?三模）（多選）若函數(shù)〃x）=alnx-2爐+笈既有極小值又有極大值，則

A.ab<0B.a<0C.b2+16<2>0D.\a-t^<4

【鞏固練習5］若函數(shù)/（x）=xe，-（機-De?，存在唯一極值點，則實數(shù)優(yōu)的取值范圍

是.

【鞏固練習6】（23-24高三?湖北武漢?期末）已知函數(shù)〃x）=xlnx-加-;貝『"⑴有兩個極

值”的一個必要不充分條件是（）

A.—1<a<1B.——<a<0C.——<a<0

42

【鞏固練習7】（23-24高三.廣東廣州?期中）函數(shù)〃x）=xlnx-"-x在定義域內(nèi)有兩個極值點，則

實數(shù)上的取值范圍為（）

—00,———oo,—

2e

【題型8】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)范圍

基礎知識

根據(jù)函數(shù)最值求參數(shù)范圍題型，關鍵在于建立最值條件與參數(shù)之間的不等式或等式關系。首先，需

明確函數(shù)在給定條件下的最值形式（如最大值、最小值等于某值）。然后，通過導數(shù)分析函數(shù)單調(diào)

性，找到可能的極值點，并結(jié)合定義域邊界點，確定最值的具體位置。最后，將最值條件轉(zhuǎn)化為關

于參數(shù)的方程或不等式，求解得到參數(shù)的取值范圍。此題型考察函數(shù)性質(zhì)、導數(shù)應用及不等式求解

能力。

19.若函數(shù)〃x）=2x+j+31ru在（a,2-3a）內(nèi)有最小值，則實數(shù)。的取值范圍是.

20.（2024?廣西南寧.一模）已知函數(shù)/（尤）=（尤-1河+加的最小值為一1,則實數(shù)。的取值范圍

【鞏固練習1］己知=在區(qū)間（〃6-機2）上有最小值，則實數(shù)