2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之解答題：函數(shù)概念與性質(zhì)（10題）

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題(解答題)：函數(shù)概念與性質(zhì)(10

題)

一.解答題(共10小題)

1.(2024?安溪縣校級模擬)固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊

布尼茨等得出懸鏈線的方程為y=,其中c為參數(shù).當(dāng)c=l時，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù),

記為coshx=U^,懸鏈線的原理常運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.已知三角函

數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：出嗎'=cosx；②二倍角公式：cos2尤=2cos2尤-1；③平方關(guān)系：sin2x+cos2x

((cos%)=—sinx

=1.定義雙曲正弦函數(shù)為011b=絲4.

(1)寫出sinhA,coshx具有的類似于題中①、②、③的一個性質(zhì)，并證明該性質(zhì);

(2)任意x>0,恒有sinhx-日>0成立，求實數(shù)上的取值范圍;

(3)正項數(shù)列｛斯｝(nEN*)滿足〃r=a>Lan+i=2a^-1,是否存在實數(shù)a,使得〃2024=n?若存在,

求出〃的值；若不存在，請說明理由.

(4—(x>0)

2.(2024?昔陽縣校級模擬)已知函數(shù)/(%)=R(%=0).

U-2x,(%<0)

(1)求/(7(3))的值；

(2)當(dāng)-4WxV3時，求/(x)的值域.

3.(2024?昔陽縣校級模擬)在①函數(shù)/(%)=〃-(b-1)鼠1是定義域為R的奇函數(shù)且/(1)=*②函

數(shù)/(x)=x如汁在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程為y=4x+l,(§y(x)=(〃-2)2*+2-Z?是指數(shù)

函數(shù)三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.

已知函數(shù)g(X)=loga(Z?+X)+10ga(b-X)(。>0,且〃Wl,/?>0).

(1)試確定g(%)的奇偶性；

(2)已知,求不等式g(x)的解集.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

4.(2024?昔陽縣校級模擬)對于函數(shù)fi(x),fi(%),如果存在實數(shù)a,b,使得函數(shù)F(x)=a9fi(x)

+b?fi(x),那么我們稱/(x)為力(x),fl(x)的“HC函數(shù)

(1)已知力(x)=x-3,fi(x)=-2x+l,試判斷F(%)=5x-5是否為fi(x),fl(%)的aHC函

數(shù)”.若是，請求出實數(shù)a,b的值；若不是，請說明理由；

(2)已知力(x)=2X,fi(x)=4X,F(x)為力(x),fi(x)的"HC函數(shù)”且a=2,b=l.若關(guān)于

x的方程E(x)=m-fi(x)+1有解，求實數(shù)機(jī)的取值范圍；

(3)在后續(xù)學(xué)習(xí)中，我們將學(xué)習(xí)如下重要結(jié)論：“對于任意的正實數(shù)a,b都有等當(dāng)且僅當(dāng)

a=6時，式中的等號成立”.我們將這個結(jié)論稱為“基本不等式”.

請利用“基本不等式”解決下面的問題：

1

已知力(x)=x,fi(x)=-,F(%)為力(x),fi(x)的“HC函數(shù)”(其中。>0,b>0),F(%)的

定義域為(0,+8),當(dāng)且僅當(dāng)冗=2時，F(xiàn)(x)取得最小值4.若對任意正實數(shù)xi,X2,且XI+%2=2,

不等式/(xi)+F(X2)三機(jī)恒成立，求實數(shù)機(jī)的最大值.

5.(2024?紅谷灘區(qū)校級模擬)若存在xoE。使得/(x)勺(%o)對任意在。恒成立，則稱xo為函數(shù)/(x)

在。上的最大值點(diǎn)，記函數(shù)/(x)在。上的所有最大值點(diǎn)所構(gòu)成的集合為

(1)若/(%)=-/+2%+1,D=R,求集合M；

(2)若/(嗎=小舞，D=R,求集合M；

(3)設(shè)〃為大于1的常數(shù)，若/(%)=x+〃sinx,D=[Q,b],證明，若集合”中有且僅有兩個元素，

則所有滿足條件的b從小到大排列構(gòu)成一個等差數(shù)列.

一2

6.(2024?潮陽區(qū)校級三模)已知函數(shù)/'(久)=bur-4久，g(x)=—,a去0.

(1)求函數(shù)/(無)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(尤)Wg(x)恒成立，求a的最小值.

7.(2024?自貢二模)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+y)=/(無)+f(y)且/(I)=-3.

i1

(1)求f6),/?)的值;

(2)當(dāng)x>0時，有/(x)<0恒成立，求證：a+6<0時，有/(a)+f(ft)>/(-a)+于Q-b).

8.(2024?閔行區(qū)校級三模)設(shè)/>0,函數(shù)y=/(無)的定義域為R.若對滿足尤2-xi>r的任意無1、雙，均

有/(地)-/(xi)>t,則稱函數(shù)y=/(無)具有“P(f)性質(zhì)”.

(1)在下述條件下，分別判斷函數(shù)y=/(x)是否具有P(2)性質(zhì)，并說明理由；

①f(x)=|x；

?f(x)=10sin2x；

(2)已知/(x)=6ZX3,且函數(shù)y=/(x)具有尸(1)性質(zhì)，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)證明："函數(shù)y=/(x)-x為增函數(shù)”是“對任意t>0,函數(shù)y=/(無)均具有尸⑺性質(zhì)”的充

要條件.

9.(2024?格爾木市模擬)已知函數(shù)/(%)=\x-m\-\x-2m\.

(1)當(dāng)機(jī)=1時，求不等式/(%)〈咳的解集；

(2)若/(%)W渥-m-3恒成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

10.(2024?涼山州模擬)已知函數(shù)/(%)=|1-2x|+|2R的最小值為

(1)求實數(shù)〃的值；

18

(2)求一+——(久e(0,a))的最小值.

2CL

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題(解答題)：函數(shù)概念與性質(zhì)(10

題)

參考答案與試題解析

一.解答題(共10小題)

1.(2024?安溪縣校級模擬)固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊

X_x

布尼茨等得出懸鏈線的方程為y=4安三，其中c為參數(shù).當(dāng)c=l時，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，

記為cosh%="A，懸鏈線的原理常運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程.已知三角函

數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：出x),一cosx；②二倍角公式：cos2x=2cos2尤-1；③平方關(guān)系：sinA-+cosNx

t(cosx)=-sinx

__pXp—X

=1.定義雙曲正弦函數(shù)為sinhx=—2—.

(1)寫出sinhx,coshx具有的類似于題中①、②、③的一個性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；

(2)任意x>0,恒有sinhx-丘>0成立，求實數(shù)人的取值范圍；

(3)正項數(shù)列｛或｝(wCN*)滿足ai=a>l,斯+1=2忌一1,是否存在實數(shù)a,使得及024=孝？若存在，

求出。的值；若不存在，請說明理由.

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；正弦函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)列的應(yīng)用；數(shù)學(xué)歸納法；類比推理.

【專題】新定義；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸

納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)①導(dǎo)數(shù)，②二倍角公式，③平方關(guān)系；證明見解析；

(2)(-8,1].

1—1

(3)存在實數(shù)a=*(222022+222022),使得@2024=孝成立.

【分析】(1)①求導(dǎo)數(shù)，②用二倍角公式，③利用平方關(guān)系；證明即可；

(2)構(gòu)造函數(shù)/(x)=sinhx-fcc,求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求上的取值范圍即可；

(3)方法一、求出ai,a?03,猜想即，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

方法二、構(gòu)造數(shù)列｛%｝,根據(jù)a”=cosh(龍”)，利用遞推公式求解即可.

【解答】解：(1)①導(dǎo)數(shù)：(sinh(x))'=cosh(x),(cosh(x))'=sinh(x),證明如下：

(p—XpX_L_p—X

(sin/ix)/=(————y=——2——=coshx

pXp—Xpxp—X，

(coshxy=(——2——y=——2——=sinhx

②二倍角公式：cosh(2x)=2(coshx)2-1,證明如下：

?Z、2dn,e%+e—%、2Y?2%+2+e-2%2%-2%

2(cos/%)2—1=2X(————￥—1=-----2-------1=-e---+e2---=cosh(2x)；

③平方關(guān)系：(coshx)之-(sinhx)2=1,證明如下：

xx2x2x2x2x

(入、2,?入、2,e+e~\2,e-e~\2e+2+e~e-2+e~】

(cosrix)-(sinhx)=(————)一(——2——)=-----4-------------4-----=1；

(2)令/(x)=sinhx-kx,xE(0,+°°),F'(x)=coshx-k,

①當(dāng)ZW1時，由cos欣二之號一>Vex-e~x=1,又因為x>0,所以炭We',等號不成立，

所以/(x)=coshx-k>0,即尸(龍)為增函數(shù)，

此時尸(x)>F(0)=0,對任意x>0,sinhx>點(diǎn)恒成立，滿足題意；

②當(dāng)斤>1時，令G(x)=F'(x),xG(0,+8),則G，(x)=sinhx>0,可知G(x)是增函數(shù),

由G(0)=1-％<0與G(仇2k)=泰>0可知，存在唯一xoE(0,/曲)，使得G(xo)=0,

所以當(dāng)比(0,xo)時，F(xiàn)(x)=G(x)<GGo)=0,則/(工)在(0,xo)上為減函數(shù)，

所以對任意xE(0,xo),F(x)<F(0)=0,不合題意；

綜上知，實數(shù)％的取值范圍是(-8,1]；

pXip—X

(3)方法一、由〃函數(shù)cos加=——2——的值域為[1，+8),

對于任意大于1的實數(shù)41,存在不為。的實數(shù)相，使得coshm=41,

類比雙曲余弦函數(shù)的二倍角公式cosh(2x)—2(coshx)2-1,由coslvn=ai,

22n-1

a2=2(cos/im)—1=cosh(2m),a3=cosh(2Tn)9猜想：an=cos/i(2m),

1-1

由數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)n=l時，a1=a=cos/i(2m)=cos/i(?n)成立；

②假設(shè)當(dāng)九=%(人為正整數(shù))時，猜想成立，即以=。。5/1(2修1皿)，則

k12fc-1k

ak+1=2破—1=2[cosh(2~m)]—1=cosh(2x2m)=cosh(2m),符合上式，

n-1

綜上知，an=cos/i(2m)；

若02024=cos/l(22。237n)=#,設(shè)片？?。??冽,貝|cos加：=??一二g,解得：i=4或j

1—1

即/=土歷4,所以爪=士郎嘉，即的=cos/rni=竺歲二=:(222022+222022).

1—1

綜上知，存在實數(shù)a=^(222022+222022),使得。2024=成立.

方法二、構(gòu)造數(shù)列｛切｝(布>0),且〃“=cosh(xw),

2

因為a九+1=2忌—1,所以a九+i=2(cosftxn)—1=cos/i(2xn),則q〃+i=cosh(切+1)=cosh(2x?),

因為cosh(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以加+1=2初，即｛融｝是以2為公比的等比數(shù)列，

1

2023x2023

所以第2024=%122023,所以短2024=(e^i)2,所以=(e2O24)2,

1171

2024624X20242024

又因為。=COSh(X2024)=(^°+6~)=行，解得蠟-4或

1—11—1

所以a=a】=cosh(X1)另—+e-)另+4/商)司(2萍+2嚴(yán)5，

1—1

綜上知，存在實數(shù)a=g(222022+222022),使得@2024=#成立.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)與數(shù)列的應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是難題.

(4—%2,(%>0)

2.(2024?昔陽縣校級模擬)已知函數(shù)/(x)=b,(%=0).

[l-2x,(x<0)

(1)求/丁(3))的值;

(2)當(dāng)-4Wx<3時，求/(x)的值域.

【考點(diǎn)】函數(shù)的值域；函數(shù)的值.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)由題意可得了(3),然后再代入符合條件的解析式即可；(2)分別求得函數(shù)每段解析式的

值域，最后取并集即可.

【解答】解：(1)由題意可得了(3)=4-32=-5,

所以/(/(3))=/(-5)=1-2(-5)=11；

(2)由分段函數(shù)可知：

當(dāng)-4/x<0時，函數(shù)的解析式為y=l-2x6(1,9]；

當(dāng)x=Q時，y=2；

當(dāng)0<無<3時，函數(shù)的解析式為y=4-We(-5,4)；

故當(dāng)-4<x<3時，求了(無)的值域為：(-5,9]

【點(diǎn)評】本題為分段函數(shù)的考查，分別代入和求解是解決問題的方法，屬基礎(chǔ)題.

8

②函

3.(2024?昔陽縣校級模擬)在①函數(shù)無)=〃-(6-1)是定義域為R的奇函數(shù)且/(I)?3_

數(shù)/(x)=x/nx+or+b在點(diǎn)(1,/(D)處的切線方程為y=4x+l,(x)=(a-2)2斗2-6是指數(shù)

函數(shù)三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.

已知函數(shù)g(無)=loga(6+x)+loga(b-x)(a>0,且aWl,6>0).

(1)試確定g(x)的奇偶性；

(2)已知，求不等式g(x)W1的解集.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合；指數(shù)函數(shù)的概念；導(dǎo)數(shù)與切線的斜率；函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的奇偶性.

【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)偶函數(shù)；

(2)(-2,-1]U[1,2).

【分析】(1)由己知結(jié)合函數(shù)奇偶性定義，只要檢驗g(-無)與g(x)的關(guān)系即可判斷；

(2)結(jié)合所選條件求出6,進(jìn)而可求g(尤)，然后結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

22

【解答】解：(1)'''gQx')=loga(b+x)+loga(b-x)=loga(b-x),且6>0,定義域為(-b,b),

)=log*-x2)=g(x),

故函數(shù)g(x)為偶函數(shù)；

(2)若選擇①，?.?函數(shù)/(x)=優(yōu)-(6-1)晨、是定義域為R的奇函數(shù)，

(0)=a°-(b-1)a°=l-(6-1)=0,

一1R

：.b=2,又???/1)*

2

.??〃=3,g(x)=log3(4—%),

故g(x)W1可化為10%(4—％2)<1,即0<4-％2<3,故-2Vx<-1或1WXV2.

???不等式gG)W1的解集為(-2,-1]U[1,2)；

若選擇②，,:于(x)=xlwc+ax+b,

:?f(x)=lwc+\+a,

/.k=f(1)=1+。=4,即。=3,

V/(l)=3+6=5,

2

:.b=2,g(x)=log3(4—%),

故g(無)可化為/0。3(4-比2)w1,即0V4-/W3,故-2<尤W-1或lWx<2,

.,?不等式g(無)W1的解集為(-2,-1]U[1,2)；

若選擇③，(無)=(a-2)2工+2-b是指數(shù)函數(shù)，

北九二即｛二會

，9(久)=1。。3(4-/)，故g(x)W1可化為log3(4-x2)W1,即0<4-/W3,

故-2<xW-1或1。<2,

.,?不等式g(無)W1的解集為(-2,-1]U[1,2).

【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，還考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

4.(2024?昔陽縣校級模擬)對于函數(shù)力(x),fi(x),如果存在實數(shù)a,b,使得函數(shù)F(x)=a-fi(x)

+b-fi（無）,那么我們稱尸（無）為力（尤）,fl（無）的“HC函數(shù)”.

（1）已知力（x）=x-3,fi（無）=-2x+l,試判斷F（無）=5x-5是否為力（x）,fi（x）的“HC函

數(shù)”.若是，請求出實數(shù)。，。的值；若不是，請說明理由；

（2）已知力（x）=2工，力（x）=4%,F（x）為力（x）,fi（尤）的“HC函數(shù)”且。=2,b=\.若關(guān)于

x的方程/（x）=m-f2（x）+1有解，求實數(shù)機(jī)的取值范圍；

（3）在后續(xù)學(xué)習(xí)中，我們將學(xué)習(xí)如下重要結(jié)論：“對于任意的正實數(shù)a,b都有等2兩，當(dāng)且僅當(dāng)

a=6時，式中的等號成立”.我們將這個結(jié)論稱為“基本不等式”.

請利用“基本不等式”解決下面的問題：

1

已知力（x）=x,fi（x）=pF（x）為fi（x）,fi（無）的“HC函數(shù)"（其中。>0,6>0）,F（尤）的

定義域為（0,+°°）,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時，F(xiàn)（x）取得最小值4.若對任意正實數(shù)xi,xi,且XI+X2=2,

不等式/（xi）+F（X2）2相恒成立，求實數(shù)機(jī)的最大值.

【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；邏輯推理.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）若1（x）=5x-5是力（尤），及（彳）的"HC函數(shù)則尸（無）=5x-5=（a-2b）x-3a+b,

列出方程組，能求出a,b.

（2）由題意知：F（x）=2?2*+4*=機(jī)?4*+1有解，令2'=/>0,則方程化為：2r+?=m?+l,從而關(guān)于

r的方程（川-1）尸-2f+l=0有正根，根據(jù)根=1,"ZTM,分類討論，能求出機(jī)的取值范圍.

（3）F（x）—ax+^,a>0,b>Q,xG（0,+°°）,由基本不等式知：F（x）=ax+\22vH尻列方程

.A.A.A.

組求出從而尸（％），則/（）+尸（）'加恒成乂，由基本

Q=l,Z?=4,=%+-XXIX2=+%2--%--]--1%2

不等式能求出m的最大值.

【解答】解：（1）若尸（無）=5x-5是力（x）,fi（尤）的“HC函數(shù)

貝ijF（無）=5x-5=a（x-3）+b（-2尤+1）=（a-2b）x-3a+b,

?,?一；2:：5解得q=i,Q-2.

I—3a+b=—5

（2）由題意知：F（x）=2?2%+4%=機(jī)?4%+l有解，

令2%=/>0,則方程化為：2/+於=相於+1,

*,?關(guān)于t的方程（m-1）金-2t+l—0有正根，

①加=1時，/=2，符合題意；

②mWl時，A=8-4m^0,解得mW2,設(shè)其根為ti,ft,

2i

1°mE(1,2]時，九+12=--->①tit2=---->0,

」m—1m—1

則t\,Z2>0,符合題意，

i

2°m<l,tit2=~―VO，則力，/2為一正一負(fù)，符合題意，

m—1

???MW2,且加#1,符合題意.

綜上，mE(-0°,2].

h

(3)F(x)=cix-\—，。>0,Z?>0,xE.(0,+8),

x

由基本不等式知：F(x)=ax+^,>2y/aby

a>0

b>0

4=2

2y[ab—4

解得4=1，b=4,!

A.A.A.

?'?F(x)=%+-，則/(XI)+F(X2)=%1+%2"I----1---之機(jī)恒成立，

X%-￡%2

8

又xi,x2>0,XI+X2=2,則/(xi)+F(及)=xi+x2=2d----->m.

由基本不等式知：

%1+-2=2之2"1%2,當(dāng)且僅當(dāng)X1=X2時，取等號，

.?.尤1X2W1,則E(xi)+F(X2)=2+-^->10,

???加W10,即m的最大值為10.

【點(diǎn)評】本題考查實數(shù)的取值范圍、最大值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算

求解能力，是中檔題.

5.(2024?紅谷灘區(qū)校級模擬)若存在xoeD使得/(%)W/?(尤o)對任意無6。恒成立，則稱無o為函數(shù)/(x)

在。上的最大值點(diǎn)，記函數(shù)/(x)在。上的所有最大值點(diǎn)所構(gòu)成的集合為

(1)若/(x)=-X2+2X+1,D=R,求集合A/；

(2)若汽x)=0號左，D=R,求集合M；

(3)設(shè)a為大于1的常數(shù)，若/(x)=x+asiiu-,。=[0,b],證明，若集合M中有且僅有兩個元素，

則所有滿足條件的b從小到大排列構(gòu)成一個等差數(shù)列.

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的最值.

【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)M={1}.

(2)M=[1,2}.

(3)證明見解答.

【分析】(1)配方得到當(dāng)且僅當(dāng)尤=1時，/(x)=-7+2x+l取得最大值，得到〃={1}；

(2)求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，求出當(dāng)x=l或2時，/(%)取得最大值，故〃={1,2};

(3)求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，并得到/(x+2n)=/(尤)，得到f(尻)=/(2/OT—兀―wccos》，結(jié)

合/(以+1)-f(bk)=2m得到從+L株為定值，故所有滿足條件的。從小到大排列構(gòu)成一個等差數(shù)

列.

【解答】解：(1)/(x)=-f+2x+l=-(尤-1)2+2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=l時，f(x)=-f+2x+l在R上取得最大值，故弘={1}；

(2)/(x)=*了)*定義域為R,

宇/(、_[(2x/n2—1)%+2X—x]4x—(2X—x)x-4xZn4

J⑺=

q72X

_(2X—2x)(1—%Zn2)

=?'

令q(x)=2%-2x,則/(x)=2xln2-2,

2

令，(x)=。得x=log2

X。出焉)22

(一00,1均7先放。。出京+8)

q,(X)0+

q(X)\極小值/

122

其中"2c("夜，Ine)=(2/1)，故(2，4),/。比瓦2),

可以看出q(1)=0,q(2)=0,

故9(x)有且僅有2個零點(diǎn)，分別為1和2,

1

令，(無)=0得比=而6(1,2)或1或2,

(-8,1①焉)1(焉，2)2(2,+8)

ln2

1)

f(X)+0-0+0-

f(x)/極大值、極小值/極大值\

1

其中/⑴=/(2)=本

故當(dāng)％=1或2時，f(x)取得最大值，故/={1,2}；

(3)f(x)=x+〃sinx,D=[0,b],a>l,

f(x)=l+〃cosx,D=[0,b],a>\,

,ll

令，(x)=0得％=2/C7T±arccos(—公)=2/C7T±(7T-wccosR,依Z,

當(dāng)OVTVTT—arccos石時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)7T—arccos、<k<7r+arccos、時，f(x)VO,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)7T+arccos、Vr<37r—arccos、時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)3兀一arccos￡Vr<3〃+arccos工時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)3TT+arccos&Vx<5兀-arccos&,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

.......,

由于，(龍+2TT)=l+acos(x+2n)=l+acosx=//(x),

故所有的單調(diào)遞增區(qū)間經(jīng)過適當(dāng)平移可重合，同理，所有的單調(diào)遞減區(qū)間經(jīng)過適當(dāng)平移可重合,

要想集合M中有且僅有兩個元素，

11

則需要f(bi)=f(ji-arccosg)或/(與)=f(3"-arccos-),

或/(久)=f(5TT—arccos-),.......,/(4)=f(2kir—TT—arccos-),

其中/(x+2n)=x+2Ti+asin(x+2n)=x+2n+〃siar,

f(x+2n)-f(x)=x+2Ti+Qsinx-x-〃sinx=2Ti,

11

又/(b/c+i)—f3k)—/(2/CTT+2〃一TT—arccos-)—f(2kTi—n—arccos-)=2TT,

所有的從均處在單調(diào)遞增區(qū)間上，

所以bk+\~以為定值，

故所有滿足條件的b從小到大排列構(gòu)成一個等差數(shù)列.

【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的最值和恒成立問題，屬于中檔題.

6.(2024?潮陽區(qū)校級三模)已知函數(shù)/(%)=仇]—a%,g(%)=—，aW0.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若/(尤)Wg(x)恒成立，求a的最小值.

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)當(dāng)。<0時，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),沒有單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a>0時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,》，單調(diào)遞減區(qū)間為+8)；

2

(2)—.

e3

【分析】(1)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對，>0與。<0分類討論即可得;

(2)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.

【解答】解：(1)因為/(%)=lnx-ax,x>0,

所以/■/(久)=］一a=(aWO),

當(dāng)a<0時，由于x>0,所以/(x)>0恒成立，從而/(%)在(0,+8)上遞增;

當(dāng)a>0時，當(dāng)OVxV：時，/(x)>0；當(dāng)X*時，/(%)<0,

從而得/(x)在(0,》上單調(diào)遞增，在弓，+8)上單調(diào)遞減；

綜上，當(dāng)a<0時，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),沒有單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)。>0時，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,%，單調(diào)遞減區(qū)間為。，+8).

(2)令/(%)=/(%)—g(x)=Inx—ax——,要使/(x)Wg(x)恒成立，

只要使//(x)WO恒成立，也只要使。(x)根女W0.

若〃>0,x>0,所以辦+1>0恒成立,

2

當(dāng)OVxV1時，h'(x)>0,當(dāng)一<^V+8時，h'(x)<0,

a

可知。(X)在(0,分內(nèi)單調(diào)遞增，在q,+8)內(nèi)單調(diào)遞減,

所以力(%)帽3=—340,解得：a>

2

可知。的最小值為f；

e3

若〃VO,x>0,所以〃x-2<0恒成立，

11

當(dāng)OVrV一石時，h'(x)<0,當(dāng)一&Vk<+8時，h'(%)>0,

可知/7(X)在(0,-6內(nèi)單調(diào)遞減，在(一},+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

所以/z(x)在(0,+°°)內(nèi)無最大值，且當(dāng)x趨近于+8時，h(x)趨近于+8,不合題意；

綜上所述：a的最小值為三.

e3

【點(diǎn)評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用及分類討論思想，屬于中檔題.

7.(2024?自貢二模)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/G+y)=/(x)+f(y)且/(I)=-3.

(1)求/(》，的值；

(2)當(dāng)尤>0時，有無)<0恒成立，求證：a+b<0時，有/(a)+f(&)>/(-a)+于(-b).

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題.

【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理.

【答案】⑴f(1)=-|,渴)=T

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)題干已知關(guān)系式代數(shù)求解即可.

(2)通過已知關(guān)系式推導(dǎo)出要證明〃+。<0時，f(tz+Z?)>0即可.

【解答】解：(1)因為/(X+/)=/(%)4/(y),/(I)=-3,

1?11111

令A(yù)X=y=,,有：/(I)=/(-+-)=f(-)+f(-)=2f(-),

乙zzzzz

所以/(}=-f-

令x=y=0,有：/(0)=2于Q0),

所以7(0)=0.

令尸-X,有：/(0)=f(x)+/(-x)=0,

所以/(%)=-/(-%),即/(%)為R上的奇函數(shù).

人1-21

令工=產(chǎn)子有：/(-)=2f(-).

令.X=7—”=1,有:/(-1)=/(1).("()2,

。。

又因為/(一7分2

11

即：f(-)=-If(-)-3,

所以/弓)=-L

(2)因為/(-無)=-f(x),

所以/(-a)+于(-b)=-(/(a)+f(6))=-f(a+b).

即證：a+6<0時，有/(a+6)>-f(o+Z?)即可，

即證a+6<0時，于(a+b)>0即可，

因為當(dāng)尤>0時，f(x)<0恒成立，

則令t=-x(f<0),

所以尤=-t>0,

于是/(x)=/(-力=-/(t),因為此種情況/(無)<0,

即-/(t)<0,

所以/(力>0,

即當(dāng)z<0時，fG)>0,

從而當(dāng)x<0時，f(x)>0恒成立，

取x=a+6<0,此時有/(a+b)>0,

即a+b<0時，有/(a)+f(Z?)>/(-a)+f(-b).

【點(diǎn)評】本題考查抽象函數(shù)以及函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題.

8.(2024?閔行區(qū)校級三模)設(shè)，>0,函數(shù)y=/(x)的定義域為R.若對滿足X2-xi>r的任意xi、xi,均

有了(%2)-f(xi)>t,則稱函數(shù)y=/(x)具有“P(力性質(zhì)”.

(1)在下述條件下，分別判斷函數(shù)y=/(x)是否具有P(2)性質(zhì)，并說明理由；

①f(x)=|x；

@f(x)=10sin2x；

(2)已知/(x)="3,且函數(shù)y=/(x)具有尸(1)性質(zhì)，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)證明："函數(shù)y=/(x)-x為增函數(shù)”是“對任意f>0,函數(shù)y=/(x)均具有尸(力性質(zhì)”的充

要條件.

【考點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)；充分條件與必要條件.

【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)①是，②不是(2)a24.(3)見解析.

【分析】(1)代入尸(2)性質(zhì)直接計算即可.

07713

(2)將原式等價與當(dāng)機(jī)>1時，——>1恒成立的問題即可求解.

4

(3)由充要條件的概念以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷即可.

Q

【解答】解：(1)①是，因為對任意X2-尤1>2,f(%2)-f(%!)=j(%2-%1)>3>2,

所以符合定義；

②不是，學(xué)生只需舉一組反例；

（2）顯然〃>0,所以設(shè)12-工1=機(jī)>0,

則/（X2）-f（XI）=0X1,

wam

當(dāng)％1=-2時，取/（%2）-/（%1）最小值一[一,

am

原問題等價于當(dāng)m>l時，---->1恒成立，

4

即a>冬恒成立，所以得a24；

（3）證明：充分性：

如果函數(shù)y=/（x）-X為增函數(shù)，則對任意的X2>X1,均有了（X2）-X2^f（XI）-XI,

即/（X2）-/（XI）》X2-尤1,因此，對任意t>0,若X2-XI>3

則/（雙）-/（xi）>t,函數(shù)y=/（無）具有尸（?）性質(zhì)，充分性得證；

必要性：

若對任意r>0,函數(shù)y=/（x）均具有PG）性質(zhì)，

假設(shè)函數(shù)y=/（x）-X不是增函數(shù)，則存在X2>X1,滿足了（X2）-X2<f（XI）-XI,

即/'（X2）-/（XI）<X2-XI,取0=/（》2）―/（彳1）+冷一X1,

則顯然了（眼）-f（XI）</0<X2-尤1,

即對于犯，存在但是/（X2）-/（XI）<t0,

與“對任意/>0,函數(shù)y=/（x）均具有尸G）性質(zhì)”矛盾，因此假設(shè)不成立，

即函數(shù)y=f（X）-尤為增函數(shù)，必要性得證.

所以“函數(shù)y=/（x）-x為增函數(shù)”是“對任意/>0,函數(shù)y=/（x）均具有產(chǎn)（力性質(zhì)”的充要條件.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷，應(yīng)注意充要條件的概念，屬于中檔題.

9.（2024?格爾木市模擬）已知函數(shù)/（x）=\x-m\-\x-2m\.

（1）當(dāng)機(jī)=1時，求不等式/⑺昱的解集；

（2）若/（%）?川-加-3恒成立，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；對應(yīng)思想；綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

7

【答案】（1）（-8,-];

4

（2）（-8,-V3]U[3,+00）.

【分析】(1)將機(jī)=1代入，去絕對值求解即可；

(2)由三角絕對值不等式可得/(x)W|m|,將問題轉(zhuǎn)化為\m\Wm1-m-3,即有

嚴(yán)正3曾？，求解即可.

(―(m—m—3)<m<m￡—m—3

i

【解答】解：(1)由題意可知，當(dāng)機(jī)=1時，原不等式即為-1|一-2|42，

當(dāng)xWl時，不等式為1—%-(2-乃耳，化簡為一1<匏成立，可得xWl；

當(dāng)l<x<2時，不等式為一(2-久)多，解得lWxW；；

當(dāng)龍》2時，不等式為久—1一(刀一2)W發(fā)化簡為1W號不成立；

綜上，不等式f(%)同的解集為(-8,-];

(2)因為-利-僅-2列-zn-(x-2m)\=\m\,

m

所以向WW-機(jī)-3,可得23竦2Q,

(―—m—3)<m<mz—m—3

f、1+713f/1-V13

可得『或m<有機(jī)》3或巾<—百，

[m>3豉n<—\/3

所以機(jī)的取值范圍是(-8,-V3]U[3,+co).

【點(diǎn)評】本題考查了絕對值不等式的解法、轉(zhuǎn)化思想及三角絕對值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

10.(2024?涼山州模擬)已知函數(shù)/(無)=|1-2x|+|2x|的最小值為a.

(1)求實數(shù)a的值；

18

(2)求一+—(%e(0,a))的最小值.

2OCCL

【考點(diǎn)】函數(shù)的最值.

【專題】整體思想；綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)1;

25

(2)——.

2

【分析】(1)利用絕對值的三角不等式計算即可；

(2)法一、利用基本不等式靈活運(yùn)用“1”計算即可；

法二、利用柯西不等式配湊即可；

法三、利用權(quán)方和不等式計算即可.

【解答】解：⑴f(x)=|1-2x\+\2x\^\l-2x+2x\=l,

當(dāng)04久時取等號，

??〃=1;

（2）法一：由（1）可知。=1,

原式=2+呂+S+居），（2%+2-2%）=表17+宏+卷）號*（17+

2—2%32%、—25

2~UTX2=2^二不

當(dāng)且僅當(dāng)愛=及,即時取得等號,

1825

所以丁+—（xe（0,砌）的最小值為彳;

乙Ct'Z

181116

法二：由柯西不等式得，一+----=_（一+-----）X（2%+2-2%）

2x1—x2k2x2—2，

T（咫2+（6^）2][（后）2+（短，溝>呼25

T'

當(dāng)且僅當(dāng)《=三時,即行押取得等號,

1825

所以丁+—（xe（0,a））的最小值為彳；

I*1242（1+4）225

法三：由權(quán)方和不等式得，—+——>-——

2%2—2%2%+2—2%2

當(dāng)：4即％=/時取得等號,

2-2%

1825

所