常用邏輯用語（3大壓軸考法）原卷版-2024-2025學年人教版高一數學壓軸題攻略

專題02常用邏輯用語

目錄

解題知識必備....................................

壓軸題型講練........................................................2

題型一、充分必要條件的判斷及參數問題......................................2

題型二、充要條件的證明.......................................................3

題型三、常用邏輯用語與集合的綜合考查......................................4

壓軸能力測評（12題）...............................................5

說明：試題或者解析中區(qū)間的概念說明：設6是兩個實數，而且我們規(guī)定:

定義名稱符號

同〃<x<Z?!閉區(qū)間[a,b]

^x\a<x<b^開區(qū)間(a,b)

同〃<x<b^半閉半開區(qū)間[a,b)

yx\a<x<b^半開半閉區(qū)間(a,b\

X解題知識必備??

一、充分條件、必要條件、充要條件

1.定義

如果命題“若p,則4”為真（記作則p是4的充分條件；同時q是p的必要條件.

2.從邏輯推理關系上看

①若夕nq且44p，則.是4的充分不必要條件；

②若P4q且則p是q的必要不充分條件；

③若pnq旦qnp,則2是q的的充要條件（也說p和4等價）；

④若P44且44P'則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件.

注：對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實質：pnq,則p是q的充分條件，同時q是p

的必要條件.所謂“充分”是指只要p成立，“就成立；所謂“必要”是指要使得p成立，必須要“成立(即如果

q不成立，則p肯定不成立).

二、全稱量詞與存在童詞

1.全稱量詞與全稱量詞命題.短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示.含

有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對M中的任意一個x,有p(x)成立"可用符號簡記為

“VxeAf,p(x)”，讀作“對任意x屬于有p(x)成立

2.存在量詞與存在量詞命題.短語“存在一個”、“至少有一個“在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“于，表示.

含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在〃中的一個無。，使p(x0)成立“可用符號簡記為

5

-3x0eM,P(x0)\讀作“存在M中元素％,使p(x0)成立"(存在量詞命題也叫存在性命題).

三、含有一個量詞的命題的否定

1.全稱量詞命題p:X/x^M,p(x)的否定「p為lx。eM,->/?(x0).

2.存在量詞命題p:3x0GM,/?(X0)的否定「p為

常用結論

1.從集合與集合之間的關系上看：設4={4|0(%)},5={4|虱%)}.

(1)若AqB,則p是q的充分條件(pnq),q是"的必要條件；若A躡8,則口是q的充分不必要

條件，“是p的必要不充分條件，即2nq且q4p；

注：關于數集間的充分必要條件滿足：“小n大”.

(2)若則p是q的必要條件，q是p的充分條件；

(3)若4=5,則p與“互為充要條件.

2.常見的一些詞語和它的否定詞如下表

原詞語等于大于小于是都是任意至多至多

(=)(??)(所有)有一個有一個

否定詞語不等于小于等于大于等于不是不都是某個至少有一個都

(<)(>)兩個沒有

(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x證明其成立，要判斷全稱量詞

命題為假命題，只要能舉出集合"中的一個/，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個反例.

(2)要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合”中能找到一個為使之成立即可，否則這個存在量

詞命題就是假命題.

x壓軸題型講練2

【題型一充分必要條件的判斷及參數問題】

一、單選題

1.（23-24高一上?廣西南寧?階段練習）已知。：-2<^<10,q：l-m<x<l+mCm>0）,若夕是4的必要

不充分條件，則實數機的取值范圍為（）

A.0<m<3B.0<m<3

C.m<3D.m<3

2.（22-23高一上?河南新鄉(xiāng)?期末）"〃=）''是"4+。2+，="+灰+呢，，的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024高三上.全國?競賽）設a,6eR,集合4={〃,片+1},8=也為2+1}.則“4=夕，是“°=6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必

要條件

4.（23-24高一上?安徽安慶?階段練習）對于VxeR,用國表示不大于x的最大整數，例如：同=3,[-2』=-3,

則“國>[習”是“x>y”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、填空題

5.（23-24高一上?遼寧?階段練習）已知條件可：-3Vx<0,條件r：x>a,且q是P的充分不必要條件，

則。的取值范圍是.

6.（23-24高一上?遼寧阜新?階段練習）若。，6都是實數，試從①而=0；②a+6=0；③。（"+無）=0；

④/>0中選出滿足下列條件的式子，用序號填空：

（1）使a,b都不為0的充分條件是.

（2）使a,b至少有一個為0的充要條件是.

7.（23-24高三上?安徽合肥?階段練習）給出如下三個條件：①充要②充分不必要③必要不充分.請從中選擇

補充到下面橫線上.

已知集合2=卜卜14元45},S=[x\2-m<x<3+2m^,存在實數加使得“xeP”是“xeS”的條件

8.（23-24高一上.廣東佛山?階段練習）已知集合4={彳二|點（x-l,x-a）不在第一、三象限},集合

B={r|l<r<3},若“yeB”是“日A”的必要條件，則實數a的取值范圍是.

【題型二充要條件的證明】

一、解答題

1.（23-24高一上?廣東珠海?階段練習）設b,CGR,求證：關于%的方程?+bx+c=O有一個根為一1

的充要條件是〃-b+c=O.

2.（22-23高一上?陜西寶雞?階段練習）已知而。0,求證：—/—/=。是〃+人=1的充要條件.

3.（22-23高一上?廣東揭陽?階段練習）求證：方程以2+21+1=0有且只有一個負數根的充要條件為或

Q=1.

【題型三常用邏輯用語與集合的綜合考查】

一、解答題

1.（24-25高一上?上海?單元測試）己知命題p：x4-2或x210,命題q:無或x21+a,若P是4的充分

非必要條件，求實數。的取值范圍.

2.（23-24高一上?江蘇徐州?期末）已知集合A={x|尤2-5尤+6=。},B=1x|ar+l=O}.

（1）求A的真子集；

（2）若,求實數。的取值集合.

從以下兩個條件中任選一個補充在橫線上，并進行解答.

①“xeB”是“xeA”的充分條件；?A<JB=A.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

3.（23-24高一上?江西贛州?期末）已知集合尸={x|a—lWxVa+l},Q={x\-2<x<5].

⑴若a=3,求電尸）1。；

（2）若,求實數。的取值范圍.

請從①②③中選取一個作為條件補充到上面的橫線處，解答相應問題.

①尸uQ=Q；②"xe尸，是“xeQ”充分不必要條件；③PQ=0.

4.（23-24高一上.遼寧葫蘆島.期末）已知集合A={X尤2-4%-12=0},集合8={尤麻-1=0},集合

C={x|l-77z<x<l+/w},且=

⑴求實數。的值組成的集合;

（2）若。=-；，尤e（AB）是xeC的充分不必要條件，求實數機的取值范圍.

5.（23-24高一上?北京?期中）已知集合S.={1,2,3,-,2可0~川,""），對于集合S“的非空子集A,若S“中

存在三個互不相同的元素a,6,c,使得。+瓦6+c,c+a均屬于A,則稱集合A是集合S”的“期待子集”.

⑴試判斷集合A={3,4,5},4={3,5,7}是否為集合'的“期待子集”；（直接寫出答案，不必說明理由）

（2）如果一個集合中含有三個元素龍,y，z,同時滿足①x<y<z,②x+y>z,③x+y+z為偶數.那么稱該集合

具有性質P.對于集合S“的非空子集A,證明：集合A是集合S”的“期待子集”的充要條件是集合A具有性質

P.

“壓軸能力測評??

一、單選題

1.（23-24高一■上?廣東深圳?階段練習）己知命題〃：曲片0,命題4：1+6。w0,則命題P是命題4的（）

條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

2.（23-24高一上.重慶沙坪壩.階段練習）已知"是『的充分條件，4是r的充分不必要條件，s是r的必要條

件，P是s的必要條件，現(xiàn)有下列命題：①『是p的必要不充分條件；②r是S的充分不必要條件；③q是p

的充分不必要條件；④,是q的充要條件.正確的命題序號是（）

A.①B.②C.③D.@

3.（23-24高一上?上海閔行?階段練習）已知A是非空數集，如果對任意X,ylA,都有x+yeA,孫wA,

則稱A是封閉集.給出兩個命題：命題P：若非空集合4，4是封閉集，則4口4是封閉集；命題4：若非

空集合4，4是封閉集，且則Ac4是封閉集.則（）

A.命題P真命題4真B.命題。真命題4假

C.命題。假命題4真D.命題。假命題4假

二、多選題

4.（23-24高一上?安徽阜陽?期中）下列說法正確的是（）.

A.3xeR,X2-2x+l=0

B.VxeR,都有尤3>尤2

C.設尤,yeR,貝且y22”是“/+y24”的必要不充分條件

D.設a,6wR,則“awO”是“而工0”的必要不充分條件

5.（22-23高一上?黑龍江大慶?階段練習）有限集合S中元素的個數記作card（S）,設A,2都為有限集合,

下列命題中是假命題的是（）

A.Ac3=0的充要條件是B）=card（A）+card（B）''

B.“A=3”的充要條件是“card（A）Wcard（3）”

C."A=8”的必要不充分條件是“card（A）Wcard（3）-l”

D.“A=3”的充要條件是“card（A）=card（B）”

三、填空題

6.（23-24高一上?天津紅橋?期中）已知p:l〈x<4,4：x<a,若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值

范圍是.

7.（23-24高一上?湖北孝感.階段練習）已知A,Ba。，則“AB=A”是“稠的條件（從“充

分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”中選擇一個作答）.

8.（22-23高一上?河北石家莊?階段練習）已知命題P：關于x的方程9一4無+°=0有實根，若力為真命題

的充分不必要條件為。>3根+1,則加的取值范圍是.

四、解答題