解三角形中的最值及范圍問題（學生版）-2025年高考數(shù)學一輪復習學案（新高考）

第09講解三角形中的最值及范圍問題

（15類核心考點精講精練）

1%.考情探究.

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設題穩(wěn)定，難度較中等偏上，分值為13?15分

【備考策略】1會利用基本不等式和相關函數(shù)性質(zhì)解決三角形中的最值及范圍問題

2會利用正余弦定理及面積公式解決三角形的綜合問題

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容一般給以大題來命題、考查正余弦定理和三角形面積公式在解三角形中的應用，同

時也結合基本不等式和相關函數(shù)性質(zhì)等知識點求解范圍及最值，需重點復習。

核心考點考點8高線最值及范圍問題

考點9其他線段類最值及范圍問題

考點10外接圓及內(nèi)切圓半徑類最值及范圍問題

考點11角度類最值及范圍問題

考點12正余弦類最值及范圍問題

考點13正切類最值及范圍問題

考點14向量類最值及范圍問題

考點15叁數(shù)類最值及范圍問題

知識講解

解三角形最值及范圍問題中常用到的關聯(lián)知識點

1.基本不等式

a〉0,6〉0=>，石當且僅當a=b時取等號，其中"2叫做正數(shù)。，b的算術平均數(shù),

2,2

而叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)，通常表達為：a+b>14dj(積定和最小)，應用條件：“一正，二定,

三相等”

基本不等式的推論重要不等式

Va,beR=a?+b?Nlab

a>0,+(和定積最大)

4當且僅當。二b時取等號

當且僅當。=6時取等號

2.輔助角公式及三角函數(shù)值域

形如y=asinx+6cosx,(a>0)=>j；=^a2+b2sin(x+^).其中tanQ=，，(pG(一?

對于了=Nsin(m+e)+/z,y=Zcos(5+Q)+/z類函數(shù)，/叫做振幅，決定函數(shù)的值域，值域為

[-4Z],有時也會結合其他函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性來求解最值及范圍

3.三角形中的邊角關系

(1)構成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊

(2)在三角形中，大邊對大角，小邊對小角

(3)在三角形中,邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價關系：

即a>boZ>8u>sin幺>sin8=>cosA<cosB

注意：在銳角AABC中，任意一個角的正弦大于另一個角的余弦，如sinZ〉cos8。

事實上，由Z+8〉-nZ〉工—8nsinZ〉sin(工—5]=cos5,即得。由此對任意銳角

22(2J

AABC,總有sin^4+sin5+sinC>cosA+cosB+cosC。

考點一、面積類最值及范圍問題

典例引領

1.(2024?上海?三模)已知的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且6a=2csiiM.

⑴求sinC的值；

(2)若c=3,求A/8C面積S的最大值.

2.（2024?河北?模擬預測）在銳角A/8C中，a,b,c分別是角48,C的對邊，ctanfi=（2（a-c）tanC.

⑴求8；

（2）若6=6，求A48C的面積S取值范圍.

3.（2024?遼寧?模擬預測）如圖，在平面內(nèi)，四邊形/BCD滿足8,。點在4C的兩側，AB=1,BC=2,

為正三角形，設N4BC=a.

（2）當々變化時，求四邊形23。面積的最大值.

4.（23-24高三上?江西撫州,階段練習）已知在平面四邊形48CD中，AB=BC=CD=1,AD=2.

⑴求2cosZ-cos。的值；

（2）記△4BD與ACBD的面積分別為Si和邑，求S；+S；的最大值.

即0唧（

1.（2024?廣東茂名?一模）在AABC中，內(nèi)角4瓦。的對邊分別是。/,c,且6sin（2+C）=asin——.

⑴求8的大??；

（2）若。是4c邊的中點，且BD=2,求AA8C面積的最大值.

ACAV）

2.（2024?江蘇?模擬預測）在“8C中，點。在48邊上，且滿足W=

nCBD

⑴求證：ZACD=ZBCD；

（2）若tan/+tan5+百tan/tan2-6=0，CD=2,求的面積的最小值.

3.（2024?山東濟南?二模）如圖，已知平面四邊形中，AB=BC=2y[2,CD=2,AD=4.

⑴若四點共圓，求/C；

(2)求四邊形48CD面積的最大值.

4.(23-24高一下?吉林長春?期中)已知銳角三角形48c的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且

J^ccosN+csin/=6b.

⑴求角C的大?。?/p>

(2)若c=2,角A與角8的內(nèi)角平分線相交于點。，求△N3D面積的最大值.

5.(23-24高三上?江西?期末)如圖，在△/8C中，AB=BC=2,。為"8。外一點，AD=2CD=4,記

⑴求2cosa-cos￡的值;

(2)若A4AD的面積為S-ASCZ)的面積為邑，求S；+S；的最大值.

考點二、周長類最值及范圍問題

典例引領

A

1.(2024?安徽淮北?二模)記"BC的內(nèi)角4尻。的對邊分別為。，仇c,己知c-Z^Zcsin：

⑴試判斷。BC的形狀；

(2)若c=l,求周長的最大值.

2.(2024?四川南充?模擬預測)在。BC中，.翌。sin：sm/

sinZ+sin5smz?+sinC

⑴求A；

(2)若8C=3,求“8C周長的最大值.

3.(2024?湖南常德?一模)己知。8C的內(nèi)角4瓦C的對邊分別是出上c,且」一=26.

cosC

⑴判斷。8C的形狀；

(2)若^ABC的外接圓半徑為夜，求03c周長的最大值.

c

4.(2024?山西?三模)已知AA8C的內(nèi)角N,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足2cos/cos8=Zsir?萬.

⑴試判斷“BC的形狀；

(2)若“8C的外接圓半徑為2,求周長的最大值.

電，即時性測

1.(2024高三下?全國?專題練習)在“BC中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,

sin2B+(cosA+cosC)(cosA-cosC)=sin(4+B)sin(Z+C).

(1)求4;

(2)設a=4V§，求“8C周長的最大值.

2.(2024?湖南衡陽?模擬預測)在A/BC中，內(nèi)角43,C所對的邊分別為a,4c,已知向量云)滿足

而=(2〃,-病)，n=^y/2sinB,b^,且/_L^.

⑴求角A；

(2)若。3C是銳角三角形，且。=3,求周長的取值范圍.

3.(2024?四川綿陽?模擬預測)已知在。8C中，。為3C邊的中點，且/。=布.

⑴若A48c的面積為2,cosZADC=—,求B；

5

(2)若/爐+/。2=18,求雙8C的周長的最大值.

4.(2024?貴州貴陽?三模)已知A/8C的內(nèi)角/、B、C所對的邊長分別為b、c,且滿足

COSC=c-cc°s'.請回答下列問題：

a

⑴證明:“3C為等腰三角形；

⑵若AABC的外接圓直徑為1,試求A48C周長的取值范圍.

5.(2024?云南曲靖?二模)在“8C中，角4民C的對邊分別為。，4c,且acosC+&siM=b+c.

⑴求角B的取值范圍；

(2)已知^ABC內(nèi)切圓的半徑等于@,求“8C周長的取值范圍.

2

考點三、邊長類最值及范圍問題

典例引領

1.(2024?陜西西安?一模)已知A43C為鈍角三角形，它的三個內(nèi)角/、B、C所對的邊分別為a、b、c,且

sin2C=sin2B+sin(—+B)cos(—+8),a<c,b<c.

36

⑴求tan(/+B)的值；

(2)若A48C的面積為12石，求c的最小值.

2.(2024?貴州遵義?一模)記。8C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知

yj3b-asinC=V3acosC■

⑴求

⑵若。8C為銳角三角形，c=2,求6的取值范圍.

3.(2024?山西晉中?三模)在“BC中,角4及C的對邊分別為4c,已知/+族+歷=八

⑴求tan4；

(2)若6=(若+l)c,在邊上(不含端點)存在點。，使得/。=1,求。的取值范圍.

1.(2024?全國?模擬預測)已知。8C的三個內(nèi)角4瓦。所對的邊分別為。也。，滿足

(Z)+c)(sinC-sinS)=2acosC(sin4-sin8).

⑴求角C.

(2)當“8C面積的最大值為4百時，求。的值.

2.(2024?四川?三模)三角形/8C中，角43,C的對邊分別為a,b,c,且l+sin28+co：28=走

sin28+2siir83

⑴求B；

(2)若/C邊上的中線長為2,求6的最小值.

3.(2024?全國?模擬預測)記銳角三角形N8C的內(nèi)角48,C的對邊分別為a,6,c,已知

(a+c)-(a-cP]tanB=2abe(sinA+sinC).

(1)求8的大小.

(2)若。8C的面積為2g，求6的取值范圍.

考點四、邊長和差類最值及范圍問題

典例引領

1.(2024?全國?模擬預測)在“3C中，內(nèi)角42,C的對邊分別為。力,5且2cosc=空吧網(wǎng)9

S1IL4

⑴求角A；

(2)若BD=?DC,且/。=2,求6+。的最小值.

b

8.8.2.(2024?上海嘉定?二模)在中，角A、B、。的對邊分別為。、b、。，

cos25-sin2B=~—.

2

⑴求角3,并計算sin13+e)的值；

(2)若6=6，且“8C是銳角三角形，求。+2c的最大值.

3.(2024?廣東湛江?一模)已知在一BC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且

acos(5-C)+ocosA-2A/3CsinBcosA-0.

⑴求4

(2)若A/8C外接圓的直徑為2百，求2c-b的取值范圍.

1.(2024?湖北?二模)已知AA8C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c(a<b),

c=2acosAcosB-bcos2A.

⑴求，；

(2)者8。=：8(?,卜4=2,求6+c的取值范圍.

2.(2024?江西?模擬預測)在“8C中，角A,B,C所對的邊分別記為。，b,c,且

,cossinC

tanA=----------.

cosC+sin5

(1)若8=￡,求C的大小.

6

(2)若a=2,求b+c的取值范圍.

3.(2024?山西呂梁?一模)設的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知

bcosC+2acos/=-ccosB.

(1)求A；

⑵設A的角平分線交8C于點M,AM=1,求b+4c的最小值.

4.(2024?陜西安康?模擬預測)記“BC的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,瓦c,已知

在①tan[N+：J=-2-A/§\②26-2acosC=c,③伍+c-a)(b+c+a)=3bc,這三個條件中任選一個填在

上面的橫線上，并解答問題.

(1)求角A；

⑵若^ABC的面積為1,求(6+1)2+(c+l＞的最小值.

2

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

考點五、邊長積商類最值及范圍問題

典例引領

■

1.(2024?湖北武漢?模擬預測)已知銳角。8C的三內(nèi)角4B,C的對邊分別是。，6,c,且

b~+c2-(b-cosC+c-cosfi)2=be,

(1)求角A的大?。?/p>

(2)如果該三角形外接圓的半徑為百，求be的取值范圍.

2.(2024?寧夏固原?一模)在銳角中，內(nèi)角C的對邊分別是。，4c,且

2siri8sinC+cos2C=1+cos24-cos2S.

⑴求證：B+C=2A；

(2)求*的取值范圍.

a

3.(2024?全國?模擬預測)在銳角三角形中，角4反。的對邊分別為。也c,且滿足

siih4+cosA_sin25

cosA-sirt4l+cos25

jr

(1)若c=],求A的大?。?/p>

(2)求二J的取值范圍?

a+b

1.(2024?陜西安康?模擬預測)記銳角”8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知

2siiiBsinC+cos2C=1+cos24-cos25.

⑴證明：B+C=2A；

⑵求？的取值范圍.

b

2.(2024?江蘇鹽城?模擬預測)在A/BC中，已知角A,B,C所對的邊分別為。，b,c

加3ab

asm120+i—=

222(Q+b+c)

⑴求角C的大?。?/p>

(2)若。8C為銳角三角形，求生的取值范圍.

C

3.(2024?山西朔州?一模)已知AABC的內(nèi)角4/C的對邊分別為a,6,c,向量

m=(a+b,c),n=(sirU-sinC,siib4-sinfi),且mlIn.

⑴求8；

(2)求上千的最小值.

a+c

考點六、中線最值及范圍問題

典例引領

1.(2024?四川?三模)在AZBC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且滿足

2csinBcosZ=6(sin4cosB+cos/sin5).

⑴求A；

(2)若AZBC的面積為16』，。為/C的中點，求皿的最小值.

2.(2024?陜西安康?模擬預測)在中，內(nèi)角4瓦。所對的邊分別為。，仇c,且

3

a(siih4-cosCsin5)-c(cos/sin5-sinC)=—asinC

⑴求cosB；

⑵設。為邊/C的中點，AC=2,求線段助長度的最大值.

sin5+sinCcosB+cosC

3.(2024?湖北?模擬預測)在。5C中，已知，。為的中點.

siiL4cosA

⑴求4;

(2)當5。=4時，求4。的最大值.

即0唧(

1.(2024?四川南充?二模)在①2。sin8cos/=b(sin4cos5+cos/sin5)；②

bsinB+csinC-asinA2..、、人人八」“、心

sin2B+sin2C+cos224-l=sin(^+5)sin(^+C)；③————蘇|…這二個條件中任選

一個，補充在下面的問題中，并解答問題.

在AA8C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且滿足

⑴求A；

(2)若。8C的面積為166,。為/C的中點，求8。的最小值.

2.(2024?河北?模擬預測)在18C中，角4尻。的對邊分別為。，dc,且

^siiL4-V3sinBja=(c-6)(sinC+sirL8).

⑴求角C的大?。?/p>

(2)若邊c=2,邊的中點為。，求中線CD長的最大值.

3.(2024?全國?模擬預測)在銳角“BC中,角4瓦。的對邊分別為a,6,c,且

acosC+y/iasinC-b-c=0.

⑴求角A的大小；

⑵若。是線段8c上靠近點B的三等分點，。=3,求/。的最大值.

考點七、角平分線最值及范圍問題

典例引領

1.(2023?浙江?二模)在銳角中，內(nèi)角4民。所對的邊分別為。，b,c,滿足

sin41sin2^4-sin2C口彳「

---------1=----------------，且

sinCsin2B

⑴求證：B=2C；

⑵已知5。是。的平分線，若。=4,求線段助長度的取值范圍.

2.(2024?陜西安康?模擬預測)已知銳角。中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,。，其中3=8,

a1sin2^4-sin2C口一

一=1+-----------------，且a。。.

csinB

⑴求證：B=2C；

⑵已知點M在線段4。上，且N/BM=NC9,求的取值范圍.

即時檢測

1.(2024?山東泰安?模擬預測)已知AA8C內(nèi)角4瓦。的對邊分別為a,6,c,Z>(sinB+sinC)=(o-c)(sinA+

sinC).

⑴求N;

⑵，的平分線4D交8C于。點，96+c=64,求4D的最大值.

2.(2024?廣東深圳?模擬預測)己知中內(nèi)角N,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足

y/3c+6sin/=y/iacosB■

(1)求角/的大??；

⑵若。是邊5C上一點，且4。是角4的角平分線，求;三的最小值.

AD

3.（2023?河南?三模）在銳角A48C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知3=一+」一廠，且

cb

（1）求證：B=2C；

（2）若//8C的平分線交/C于。，且。=12,求線段2。的長度的取值范圍.

考點八、高線最值及范圍問題

典例引領

1.（2024?全國?模擬預測）已知的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,a=l,

sin5+百6cos/=0.

⑴求角A；

（2）設MW?是AA8C的高，求⑷/的最大值.

2.（2023?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考一模）已知“BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c.若

6cos"+B=csiiiS.

2

⑴求角C;

（2）若C=VL求2C邊上的高的取值范圍.

即時檢測

71

L（2024?江蘇蘇州?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=sinCOXH---（-。＞0）在［0,小上單調(diào)遞增，在亍兀上單調(diào)

6

遞減，設伉,0）為曲線昨“X）的對稱中心.

⑴求不；

（2）記AABC的角A,B,C對應的邊分別為a,6,c,若cos/=co醬,6+c=6,求2C邊上的高AD長的最大值.

2.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學校?？家荒＃┰阡J角。3C中，設邊仇c所對的角分別為

A,B,C,且潦；-丁=加.

⑴求角B的取值范圍；

（2）若c=4,求中A8邊上的高〃的取值范圍.

3.（2023?全國?模擬預測）在銳角三角形48C中，sin/-sin/4CB=AB=\.

sin(Z5+ZT1C5)

⑴求—2.

(2)求邊上的高的取值范圍.

考點九、其他線段類最值及范圍問題

典例引領

1.(23-24高三下?河南周口?開學考試)在“8C中，角43c的對邊分別為

a,6,g1+cos2C=cos2/+cos25-2sirL4sin5.

(1)求角c；

(2)若c=5,。為邊上一點，NACD=/BCD,求CD的最大值.

2.2024?陜西安康?模擬預測)在。8C中，內(nèi)角48,C所對的邊分別為a,6,c,且。-百ta必)(1-6tanC)=4.

⑴求3;

(2)若b=,4=3,AD=DB,連接CD,求CD?的值.

4

3.(23-24高一下?吉林白山?階段練習)在。5C中，內(nèi)角4SC所對的邊分別為。也。，且

sin12-V3siib4sinB1

-------------------------=1.

COS%-cos2c

⑴求角C的大?。?/p>

⑵若“8C為銳角三角形，點尸為AASC的垂心，CF=6,求AF+8R的取值范圍.

A

4.(2024?廣東廣州?三模)在銳角中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且c=bsin^+acosB.

⑴求4

CD

(2)若。是邊2C上一點(不包括端點)，S.ZABD=ZBAD,求力的取值范圍.

即時檢測I

1.(2024?貴州貴陽?模擬預測)已知在"BC中,一sin4=0,

⑴求4;

⑵若點。是邊BC上一點,BD=2DC,AZBC的面積為6，求/。的最小值.

2.(22-23高一下?黑龍江哈爾濱?階段練習)已知A48c的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,

[b+c)(sin5-sinC)=(b-a)sinZ.

⑴求/C的大小；

⑵若c=3,。是邊上的一點，且2AD,求線段C￡＞的最大值.

3.(2024?遼寧沈陽?模擬預測)在AZBC中，內(nèi)角4,B,。所對的邊分別為Q,b,c,且

sin2C-sinCsin5

----2------7---=*'

cos5-cosA

(1)求角/的大小；

(2)若。8C為銳角三角形，點尸為。3c的垂心，AF=6,求CF+8尸的取值范圍.

4.(2024?河北衡水?一模)在中，內(nèi)角4屬C所對的邊分別是出上c,三角形面積為S,若。為4C邊

上一點，滿足=且/=-Rls+a6cosc.

3

⑴求角3；

⑵求三2+士1的取值范圍?

考點十、外接圓及內(nèi)切圓半徑類最值及范圍問題

典例引領

L(2024?吉林?二模)已知“8C的三個內(nèi)角4瓦。的對邊分別為的外接圓半徑為6,且

sin2B+sin2C-sinBsinC=sin2A-

⑴求a；

(2)求。8C的內(nèi)切圓半徑廠的取值范圍

2.(2024?全國?模擬預測)己知中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,

43b-csin4=43acosC■

⑴求角A的大?。?/p>

(2)若a=7,外接圓的半徑為R,內(nèi)切圓半徑為人求四的最小值.

r

2.

即時性測

1.(2024?全國?模擬預測)在A/8C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

.2,?2八sin2^4-sin25

sin/snB=-----------

4

⑴求C；

(2)若c=2,求“BC內(nèi)切圓半徑取值范圍.

R+「i

2.（2024?全國?模擬預測）在"①百acosC=9-csiIL4;②asinff=6sin］；③acos8+”=c”這三個

條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答.

在AA8C中，角48,。所對的邊分別為a,6,c,且______.

⑴求角A的大小；

（2）若a=4,廠表示內(nèi)切圓的半徑，求廠的最大值.

考點十一、角度類最值及范圍問題

典例引領

1.（2023?海南?？?校考模擬預測）在。8C中，角A、B、C所對的邊長分別為a,6,c,若a/,c成等比數(shù)

列，則角8的取值范圍為（）

A-「D八兀［B.兇/八兀］C.加「兀1D.加「兀、

2.（2024?山東荷澤?二模）己知在A/BC中，石.Q=-2,Z\4BC的面積為百.

C

⑴求角C的度數(shù)；

（2）若8。=2,。,￡是A5上的動點，且/DCE始終等于30。，記NCED=a.當?！耆〉阶钚≈禃r，求"的

值.

即時檢測

L（2023春?上海寶山?高一?？计谥校┤绻鸄A8C的三邊。、b、c滿足/=/，則角8的取值范圍

為.

2.（2024?上海奉賢?三模）已知三角形28c的三個角對應的邊分別為。、b、c

（1）求證：存在以sin4sin8,sinC為三邊的三角形；

（2）若以sin24sin28,sin2c為三邊的三角形為等腰直角三角形，求三角形ABC的最小角.

考點十二、正余弦類最值及范圍問題

典例引領

1.（2024?全國?模擬預測）記“BC的內(nèi)角4民。所對邊分別為。也c,已知“38$。-1）=。（1一3:：055）,

⑴證明：b+c=3a；

⑵求cos4的最小值.

2.(2024?全國?模擬預測)記。8C的內(nèi)角4及C的對邊分別是。，仇c,已知

sin2B-2sin^sinC=2sinCsin(4-3).

⑴證明：2a2^3b2-2ac;

(2)若。3C為銳角三角形，求當?shù)娜≈捣秶?

sin/

3.(2024?河北滄州?模擬預測)已知在“8C中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,且

Qsin/—csinC=(Q—6)sinB.

⑴求c；

⑵求sin?N+sin?B的最大值.

4.(2023?全國?模擬預測)已知“BC的內(nèi)角42,。所對的邊分別為。,6。加3=有(<;-或：053).

⑴求角A的大?。?/p>

(2)求「蘇/的最小值.

sin25+sin2C

5.(23-24高三上?江蘇南京?期中)在“BC中，4B,C所對的邊分別為a,6,c,已知/=。(。+。).

(1)若8=一，求￡的值；

4a

(2)若AABC是銳角三角形，求若sin8+2cos2C的取值范圍.

即時他虬

1.(2024?陜西寶雞?二模)A3C中，。為BC邊的中點，40=1.

⑴若O8C的面積為2右，且N/DC=T，求sinC的值；

(2)若BC=4,求cos/氏4c的取值范圍.

2.(23-24高三上?山東棗莊?期末)在AA8C中，角4及。所對的邊分別為。,6,c.若

2a+bcosA-c=btanBsinA.

⑴求3；

(2)若。8C為銳角三角形，求任學西的取值范圍.

sinC

3.(2024?河南?一模)A48C中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足

⑴求證：8=2/；

sin(C-A)-sinB

(2)若。8C為銳角三角形，求的取值范圍.

sin/

73.(2024?全國,模擬預測)在443c中，內(nèi)角4,8,C的對邊分別為a,b,c,tan住-李=匕，|日

<42)sin25

⑴判斷。BC的形狀，并證明；

(2)求4-一四」的最小值.

c4ccos5

4.(2024?遼寧?一模)在A/3C中，內(nèi)角43,C所對的邊分別為見仇c,滿足b(b+a)=/.

⑴求證：C=2B-

(2)若^ABC為銳角三角形，求2sinC+cosB-sin5的最大值.

2c-l

5.(2024?廣東佛山模擬預測)在A/8C中，角4瓦。所對的邊分別為a/,c,其中。=1,cosA=——.

2b

⑴求角3的大?。?/p>

(2)如圖，。為皿外一點，八孫W,求彩成的最大值?

考點十三、正切類最值及范圍問題

典例引領

1-___________

1.(2024?山東荷澤?模擬預測)在A/3C中，角4及。所對的邊分別為a,6,c.已知次.就一防.而=彳礪,

⑴若彳=1,判斷“3C的形狀;

(2)若文=；,求tan(8-/)的最大值.

即時檢測

I________L__________

1.(2024?云南?二模)中，內(nèi)角/、B、C的對邊分別為a、b、c,3是A與C的等差中項.

(1)若六=*,判斷。BC的形狀；

b-ac

tan5

⑵若。5C是銳角三角形，求的取值范圍.

tanA+tanC

考點十四、向量類最值及范圍問題

典例引領

1.（2023?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預測）周長為4的“8C,若6,c分別是4且C的對邊，且

a2=bc,則冠.就的取值范圍為.

2.（23-24高三上?北京?階段練習）在“BC中，$吊（/+：卜11（2+：］=3/8$3.

⑴求C；

（2）若AB=4i，求而.麗的最小值.

3.（2024?湖南邵陽?一模）在“8。中，內(nèi)角A滿足#sin2Z-cos2Z=2.

⑴求角A的大小；

AD

（2）若發(fā)=2而，求的最大值.

BD

即時他虬

JT_

1.（23-24高一下?重慶?階段練習）如圖在“8C中，ZBAC=-,滿足詬=3麗.

（2）點又是線段。上一點，且滿足加=wK+g方，若。8C的面積為5求|而|的最小值.

2.（2024?重慶?模擬預測）在“BC中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.己知

兀A.BB

b=2ZJCOS2-tzsm—cos—

12222

⑴求角4的大小；

（2）若麗=定，且6+c=2,求4尸的最小值.

考點十五、參數(shù)類最值及范圍問題

典例引領

1.（2023?陜西榆林?統(tǒng)考一模）AABC的內(nèi)角4瓦。所對的邊分別為a,6,c,asmA+[b+Aa）sinS=csinC,

則幾的取值范圍為（）

A.（-2,2）B.（0,2）C.[-2,2]D.[0,2]

2.（2024?全國?模擬預測）在銳角三角形NBC中，角4民。所對的邊分別為,c,且

asinC=c（2sin8-cos^tanC）.

⑴求C；

（2）若方=/l而（2>0）,且求實數(shù)2的取值范圍.

即0唧（

1.（2023?全國?模擬預測）已知在A/BC中，角4瓦C所對的邊分別為見6,。，且

Z?cos|—+|+sin（7t+B）J-----------=0.

（2）17V1-COS2C

⑴求csiib4的值；

（2）若2（bsinC-atanC）=ctanC,且鼠詆上a，求實數(shù)4的取值范圍.

2.（2023?湖北咸寧?模擬預測）在AABC中,角4B,C所對的邊分別為0,瓦c,滿足6cosc+c=26,a=3.

⑴證明：外接圓的半徑為百；

（2）若2S.ABC4，+2b。+1/）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

12.好題沖關?

基礎.過關________

1.（2024?陜西寶雞?一模）在中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,已知

2acosA-cosB+bcos2A-拒c-b-

⑴求角4；

（2）若AABC的面積為1,求。的最小值.

2.（21-22高二下?山西?期中）在。8C中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且

bcos5=—QCOSC+—ccosZ.

22

⑴求角B；

(2)若6=6，c>b,求2c-a的取值范圍.

3.(23-24高三上,河南?期中)在銳角“3C中，角4及。所對的邊分別為。,6,c,已知

besinC=(c2+Z72-a2)-sin^5+.

⑴求A；

(2)若a=6,求A48C周長的最大值.

4.(22-23高二上?河南省直轄縣級單位?期末)已知。BC為銳角三角形，角4瓦。的對邊分別為仇c,且

(b2+c2-a2^tanA=乖>bc.

⑴求角A的大??；

(2)若.=&,求e-c的取值范圍.

5.(2023?全國?模擬預測)在銳角“BC中，角43,C所對的邊分別為。,仇。，已知a+6=6,且“BC的面

積S=ab-

4

⑴求C；

(2)求c的最小值.

6(2023?全國?模擬預測)在“8C中，角4&C所對的邊分別為a,6,e,已知

sinA_cosB+cosC

cosB-cosCsin/-sinB

⑴求c；

(2)若A/8C外接圓的半徑為地，求。3c的面積最大值.

3

7.(2024?廣西?模擬預測)記。3C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為〃，b,c,分別以〃，b,c為邊長的三個

丁一人m、r仁cc「心cosBcosC2cos4

正二角形的面積依次為Si,S2，S3.已知「一+----=------.

bca

⑴證明:2sLS2+S3；

(2)若。=3,求AA8C周長的最大值.

8.(200?安徽淮北?模擬預測)在AABC中，角4,B,C的對角分別為q,b,c且

bc

—cosC+—cos5=3cos5.

aa

⑴求sin5；

⑵若。為4C邊的中點，且3。=1,求△45。面積的最大值.

9.(2023?四川綿陽?模擬預測)在斜三角形/3C中，內(nèi)角4民。所對的邊分別為。也。，已知

cos(C-B)siiU=cos(C-24)sinfl.

⑴證明：A=B；

⑵若，=sinB,求二一!的最小值.

cca

10.(23-24高三上?山東威海,期末)在"8C中，角48,C所對的邊分別為a，b，c,記的面積為S,己

知百萬.就=2S.

(1)求角A的大??；

(2)若a=2百，求座+。2的最大值.

能力提列,

1.(2024?青海，模擬預測)已知的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且

2acos2B+2bcosAcosB=c?

⑴求5

c

(2)若b=4,小3C的面積為S.周長為2,求工的最大值.

2.(2024?山東濟南?二模)如圖，在平面四邊形/BCD中，BC1CD,AB=BC=^，N4BC=6,

120°46Ml80°.

⑴若。=120°,AD=3,求應4DC的大小;

(2)若CD二遙，求四邊形/BCD面積的最大值.

3.(2024?河南?模擬預測)在“8C中，角4及C的對邊分別為。、4c,且ccosB+2aco%+6cosC=0.

(1)求A；

TT

(2)如圖所示，。為平面上一點，與A/BC構成一個四邊形N8OC,且/BDC=§,若C=26=2,求/。的

最大值.

.a

4.（2024?重慶?三模）已知在數(shù)列（｛%｝中，01=19+1=虎1,

⑴求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列向｝的前〃項和I；

⑵在“8C中