重慶市烏江新高考協(xié)作體2025屆高三年級(jí)上冊(cè)高考質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（含解析）

重慶市烏江新高考協(xié)作體2025屆高考質(zhì)量調(diào)研（一）

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z=l—i,則歸卜（）

A.-B.1C.2D.4

4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】：Z=1—i，，z2=l—2i—1=—2i，,團(tuán)=2,

故選：C

2.下列命題中的真命題是（）

A.互余的兩個(gè)角不相等B.相等的兩個(gè)角是同位角

C.若“2=^,則|°|=|切D.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角

【答案】C

【解析】

【分析】由兩角互余的概念可判斷A；可舉對(duì)頂角相等判斷B；運(yùn)用平方差公式，可判斷C；運(yùn)用三角形

外角的性質(zhì)可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,互余的兩個(gè)角可能相等，比如都為45°，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,相等的兩個(gè)角可以是對(duì)頂角，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若“2=從，則（a+9（a—力=。，即。=〃或。=—貝||。|=|切，故C正確；

對(duì)于D,三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，故D錯(cuò)誤；

故選：C

3.若向量M==1）,且方//k+2孫則同=（）

A.75B.2C.72D.1

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量線性坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線的坐標(biāo)表示求解》,再代入求模即可.

【詳解】由已知2=(九

得1+2B=(x,l)+2(1,-1)=(x+2,-l)，

因?yàn)榉?/（6+2石），所以一l=x+2,解得x=—1,

則同=’（-1）2+12=母,

故選：C.

4.以下關(guān)于統(tǒng)計(jì)分析的描述，哪一個(gè)是正確的？（）

A.樣本均值越接近總體均值，樣本的代表性越好.

B.樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

C.相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1,表示兩個(gè)變量的線性關(guān)系越弱.

D.決定系數(shù)R越接近1,模型的解釋能力越強(qiáng).

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)均值、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)的含義即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,樣本均值不能表示樣本的代表性，A錯(cuò)；

對(duì)于B,樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，B錯(cuò)；

對(duì)于C,相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1,表示兩個(gè)變量的線性關(guān)系越強(qiáng)，C錯(cuò);

對(duì)于D,決定系數(shù)昭越接近1,模型的解釋能力越強(qiáng)，D對(duì).

故選：D

5.已知雙曲線。：=-二=1（?！?,6〉0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,過點(diǎn)工且與漸近線垂直的直線與

ab

雙曲線C左右兩支分別交于AB兩點(diǎn)，若tanN片3g=（,則雙曲線的離心率為（）

A.B.C@D.72

552

【答案】A

【解析】

【分析】求得《到漸近線的距離為6,從而可求得sin4心的值，再在月《中利用正弦定理求出

\BF2\,然后結(jié)合雙曲線的定義和余弦定理求解即可.

—x的距禺為d=w

【詳解】由題意知，點(diǎn)耳（一。,0）到漸近線丁=2

aJa十62

ah

所以sinNBFF2二一,cosNBFF2=-，

cc

因?yàn)閠anNEBF^=（■>0,AFXBF2e（0,71）,所以/片

所以sinN43乙=\cosN耳B工,

22252

因?yàn)閟inZF{BF2+cosZF{BF2=1,所以不cos?ZFXBF2+cosAFXBF2=1,

125

得85/片3層二百，則sin/F；B^=R,

I阻

在耳瑪中，由正弦定理得

smZrjBr^sin/B耳E,

2c_忸2126

即a，得忸叫=彳。,

13c〉

由雙曲線的定義知忸耳卜忸閶=2a,

所以忸周=2a+忸閭=2a+ga=]a,

在△①譙中，由余弦定理得閨閶2=忸葉+忸忸娟|%|cosN4時(shí),

整理得,2=―/,即25c2=614,

25

所以離心率為e=￡=甄.

a5

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查雙曲線離心率的求法，熟練掌握雙曲線的定義與幾何性質(zhì)結(jié)合正、余弦

定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于較難題.

6.已知函數(shù)/■(x)=asin2au+cos2ftu(ft)>0)圖象的對(duì)稱軸方程為x=kit+—,(左eZ).則

R也

D.-------------C.五D.—y/2

2

【答案】C

【解析】

【分析】由函數(shù)的對(duì)稱軸可得T=2兀即可求得利用函數(shù)的對(duì)稱性可得/2E+3-x=/(x)，則

=/(O),即可求得。的值，得到函數(shù)解析式，代入即可求解.

【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=cos2Gx,又函數(shù)對(duì)稱軸為不=配+：,(^eZ),

2冗i

則函數(shù)周期T=——=2TI,G=—,函數(shù)/(x)=cosx,對(duì)稱軸為l=?,keZ,與題干不符;

2。2

當(dāng)aW0時(shí)，=asin2a)x+cos2a)x=y/a2+1sm{2a)x+cp^,其中tan*=—,

由函數(shù)/(%)圖象的對(duì)稱軸方程為X=E+/丘Z),得/(%)的最小正周期丁=:=2兀，所以

1

CO--

2

所以/(x)=asinx+cosx,

由函數(shù)/(%)圖象的對(duì)稱軸方程為x=E+?左eZ),得/12?+'-xJ=/(x)(左eZ),

令％=0,得/(2而+、卜/⑼(keZ)即asinI2左兀+-|-1+cost2ht+'=l(keZ)得。=1,

71

所以/(x)=sinx+cosx-^2sinXH---

4

故選：C.

7.三棱錐S—ABC的側(cè)棱5A是它的外接球的直徑，且SA=8,43=1,30=3,4。=抽，則三棱錐

S—ABC的體積為(

Ry/35A/3A/3

3223

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)SA是三棱錐S-ABC外接球的直徑，先找到垂直條件，求出SC,SB,再作出三棱錐

S—A5C的高SO,在VA3C中，用余弦定理求得再結(jié)合垂直關(guān)系求得N05C,設(shè)S0=〃，

表示出3。。。，在△03C中，用余弦定理列等式求得〃，再套入三棱錐體積公式求解即可.

取S4的中點(diǎn)Af,則三棱錐S-ABC的外接球是球“，半徑為』SA=4,

2

因?yàn)镾A是球M的直徑，氏。在球”的球面上，所以5。，4。,55,45,

SC=，8~=V51>SB=A/S2—I2=A/63=3用，

過點(diǎn)5作5。，平面ABC,垂足為。，連接3。,。。，

因?yàn)镾O,平面ABC,ABu平面ABC,所以SOLAB，

又SO,S3u平面SOB,SO^\SB=S,所以AB,平面SOB,

又BOu平面SOB,所以A3L80,

在VA5C中，由余弦定理cosNAEC」'——（如）=1，

2x1x32

所以NABC=120。，ZOBC=120°-90°=30°,設(shè)SO=〃，

因?yàn)镾O,平面ABC,5O,COu平面ABC,所以SO，50,SO，CO,

BO=y/SB2-SO2=yl63-h2,CO=^SC2-SO2=551—J,

63-/I2+32-（51-/I2）J3

在AOBC中，由余弦定理cosZOBC=---------/'-------=cos30°=—，

2xV63-/z2x32

解得=,匕=lxSABCx/2=-x-xlx3xsinl20°x^^^^.

30-/1DC-3△/1DC3232

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于底面三角形運(yùn)用余弦定理的處理，以及三棱錐高的求解.

,、ln(x+l),x>0

8.已知在函數(shù)〃X)=\、八的圖像上存在四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的平

ax\x+b),x<G

行四邊形，則一定有：()

Aab>lB./(-2)>0C./(x)>-1D.b<2冊(cè)

【答案】C

【解析】

【分析】通過對(duì)稱性將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)的問題，因?yàn)樽兞勘容^多，構(gòu)造的函數(shù)較復(fù)雜，我們可以先計(jì)算

較較簡(jiǎn)單選項(xiàng)，然后利用排除法即可.

【詳解】由題可知，原點(diǎn)線段AC,3D中點(diǎn)，

不妨設(shè)A(%，％),5(々，%)，。(一兀2，—%)，。(一七，一%)，%>°，兀2>0

則有bI=ln&+1)fy2=ln(x2+l)

［一為=-abX［［一％=內(nèi);-abx2

分別相加得ln(x］+1)+高-abxy=0,ln(x2+1)+ax；-abx2=0

相當(dāng)于方程ln(x+l)+ar2-abx=Q,在(0,+8)有兩個(gè)不同的根，

即/z(x)=ln(x+l)+ar2-成r在(0,+8)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

顯然力(0)=0,即M%)=In(%+1)+依?—必為在［0,+。)有三個(gè)不同的交點(diǎn),

^#/z(x)=ln(x+l)+or2-a/zx示意圖

叫

由示意圖可知該函數(shù)需要在(0,+8)有兩個(gè)極值點(diǎn)

求導(dǎo)/=2ax2+(2"-孫+1-"

即導(dǎo)函數(shù)需要在(0,+8)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

當(dāng)〃<0時(shí)，顯然=+在(0,+8)單調(diào)遞減，故不可能在(0,+8)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),

當(dāng)〃>0時(shí),

〃(%)=]+lax-ab=2加+(2”"卜+1一"有兩個(gè)不同零N

')x+1x+1

即2改2+(2。一")1+1-"=0在(0,+8)有兩個(gè)不同的根工3，工4，

止匕時(shí)(2〃一〃人)2一8々(1一々人)>0n々(2+6)2-8>0

,.,、TE—心l-ab八ab-2bb-2八

由韋達(dá)t定理可知七/=----->0,x+x=------=---->0

2a342a2

得ab〈l,b>2,故AD錯(cuò)誤；

因?yàn)閍>。，b>2

f(-2)=4a-2ab=2a(2-b)<0,故B錯(cuò)誤；

由題可知，當(dāng)入20時(shí)，/(x)=ln(x+l)>0

當(dāng)％<0時(shí)，/(x)=or(x+/?),因?yàn)椤?gt;0,b>2

得〃x)2/H=q-〉一；xlx2=_g,故C正確.

故選：C

【點(diǎn)睛】先利用對(duì)稱性，將對(duì)稱問題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題，最后轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，因?yàn)闃?gòu)造的函數(shù)有三

個(gè)零點(diǎn)且連續(xù)，所以有兩個(gè)極值點(diǎn)，然后討論其導(dǎo)函數(shù)的解的問題，先判斷簡(jiǎn)單選項(xiàng)，再判斷復(fù)雜選項(xiàng)

即可.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得2分.

9.設(shè)〃eN*，曲線y=x,,+1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率為廄，與尤軸的交點(diǎn)為(匕,0)，與y軸的交點(diǎn)為(0,%),

則()

A.kn+yn=-1

B.y?=-knxn

1

c.再馬…乙丁

D-k*2…kg=(—1)”"％%…%

【答案】BC

【解析】

【分析】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷A,結(jié)合數(shù)列的基礎(chǔ)運(yùn)算判斷B.C,D.

【詳解】由于y'=("+l)九"，所以女"="+1,切線方程為y=("+l)x-〃，從而％=」一，%=-〃.

n+1

%〃+%=1,A錯(cuò)誤；

kX

yn=~nn>B正確;

左…《-1=2x3x…x"=加，=(-1)"xlx2x…X”=(-1)”川，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知圓GXx—iy+V=2的動(dòng)弦AB,圓

G"X—a『+(y—也『=8,則下列選項(xiàng)正確的是()

A.當(dāng)圓G和圓C2存在公共點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為［-3,5］

B.AABG的面積最大值為1

C.若原點(diǎn)。始終在動(dòng)弦AB上，則礪.礪不是定值

D.若動(dòng)點(diǎn)尸滿足四邊形Q4PB為矩形，則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為26兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)兩圓位置關(guān)系列不等式求解實(shí)數(shù)。的范圍判斷A,根據(jù)三角形面積結(jié)合正弦函數(shù)可求出面積

最大值判斷B,分類討論，設(shè)直線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合數(shù)量積數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求解判斷C,先根據(jù)矩

形性質(zhì)結(jié)合垂徑定理得到點(diǎn)尸的軌跡，然后利用圓的周長(zhǎng)公式求解判斷D.

【詳解】對(duì)于A,圓G：(x—1)2+V=2的圓心為(1,0),半徑為血，

圓C2:(x-a了+(y-及/=8的圓心為(a,應(yīng))，半徑為20，

當(dāng)圓G和圓C?存在公共點(diǎn)時(shí)，2后一行W區(qū)2行+J5,

所以虛K(a—1)2+J?<3夜，解得—3WaW5,所以實(shí)數(shù)口的取值范圍為［—3,5］，正確；

對(duì)于B,AABC1的面積為SABC］=|xV2xV2xsinZAQB=sinNAJB<1,

jr

當(dāng)NAG3=5時(shí)，AABG的面積有最大值為1,正確；

對(duì)于C,當(dāng)弦A3垂直X軸時(shí)，A(O,-1),5(0,1),所以礪?礪=0+1x(-1)=一1,

當(dāng)弦AB不垂直無軸時(shí)，設(shè)弦AB所在直線為y=H,

與圓￡:(》—1)2+丁2=2聯(lián)立得，(1+二)尤2一2左一1=0,

設(shè)4（孫％）,B（x2,y2）,

-1XjX+yy=%1%+IcXyX^=（i+k^x^=（1+女？）x——：

貝i|XROAOB=2x22=-1,

1+k2J.Ift

綜上麗?麗=-1,恒為定值，錯(cuò)誤;

對(duì)于D,設(shè)POo，%),。尸中點(diǎn)(段，與J，該點(diǎn)也是中點(diǎn)，且AB=OP=Jx；+y；，

'所以2卜-13—1]+々="x；+y；,

化簡(jiǎn)得(%—I)?+y：=3,所以點(diǎn)P的軌跡為以(1,0)為圓心，半徑為有的圓，

其周長(zhǎng)為長(zhǎng)度為2后，正確.

故選：ABD

V-2+1

11.已知函數(shù)/(x)=--^\g(x)=^+bx+c,則下列說法正確的有()

X-1

A.若g(x)=0有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)y=cx+僅2—4c+l)經(jīng)過一二四象限

B.7(%)的圖象和一個(gè)以(1,0)為圓心，1為半徑的圓沒有交點(diǎn)

C.7(%)可以—12Wx40時(shí)取到最小值20—2

D.若g(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，設(shè)這兩個(gè)零點(diǎn)分別為巧、x2(均在％的左邊)在％>1時(shí)，若"X)的最

小值等于％,則6=c是不可能成立的

【答案】BC

【解析】

【分析】由g(x)=0有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，得出片=4cN0,取c=0即可判斷A；由兩點(diǎn)之間距離公式

及基本不等式即可判斷B；由基本不等式即可判斷C；由基本不等式及韋達(dá)定理即可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若g(x)=0有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，則尸—4c=0，即/=4c20.

所以Z?2-4C+1=1,CN0,則函數(shù)y=cx+W-4c+l)=cx+l,

當(dāng)c=0時(shí)，函數(shù)y=l,圖象過一二象限，故A錯(cuò)誤;

X，+1

對(duì)于B,/(%)=:——-,x*l,設(shè)(1,0)為點(diǎn)A,

X-1

m2+1

設(shè)函數(shù)”力的圖象上一動(dòng)點(diǎn)尸坐標(biāo)為m,,mwl,

m-1

7

2

/21、2m2+1

則叢2=(根—1J+m+12

>(m-l)+——-——T

(m—1)2(m—1)

I2

2,當(dāng)且僅當(dāng)根=2或冽=0時(shí)，等號(hào)成立,

m—1)

/21、2

m+1

當(dāng)根=0時(shí)，PA2=(m-1)2+—2,PA=5/2,

)(7刀_i_1]___

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，PA2=(m-l)-+--=26,24=后，所以9>1,

>n—l,

所以/(%)的圖象和一個(gè)以(1,0)為圓心，1為半徑的圓沒有交點(diǎn)，故B正確;

f+1

對(duì)于C,當(dāng)一12<x<0時(shí)，/(x)=-^—設(shè)x—l=/e[—13,—1],X=t+1,

X1

則J+：+2―〉2,2存2,

2

當(dāng)且僅當(dāng)T=—7時(shí)，即/=—應(yīng)時(shí)等號(hào)成立，X=l—0，

所以/(%)可以在—12<x<0時(shí)取到最小值20-2,故C正確；

對(duì)于D,若g(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則方程9+區(qū)+C=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

所以/—4c>0，^+x2=-b,x1x2=c,

f4-1

在時(shí)，/(x)=------,設(shè)％-1=力>。，貝！Jx=1+1,

X1

所以/⑺"11+]J+；+2=/+”“收+2,

2__

當(dāng)且僅當(dāng)/=：,即/=0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)》=應(yīng)+1，則％=20+2,

若b=c,則一(玉+%)=%龍2,即—王—(2，^+2)=%(2j^+2),解得菁=2—2，^</，

則存在Z?=c=T,A=/—4c=16—4x(Y)=32>0,故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

Ss

12.設(shè)5”是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若《也=10,則瞪=.

【答案】13

【解析】

【分析】利用等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式，結(jié)合已知求出q"=3,繼而化簡(jiǎn)白，即可求得答案.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4，由題意，顯然4〉0,4〉0且

q(W)

則乒==1+7=1°，解得/=3，

S2n)

i-q

%(1-產(chǎn))

所以親=L“\=1+小/'=1+3+9=13.

S”%(1-4)

i-q

故答案為：13

兀)(717C]

[0,—I,[-5，]卜且(1+8520(1+5m/7)=$11120(?5力，則2tan戊一tan/7的最小值

為.

【答案】73

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角公式以及差角公式可得cos】=sin(i—尸)，進(jìn)而得到尸=2。-然后

7T

2tan?！猼an/7中萬用2a-萬代換，化簡(jiǎn)后利用基本不等式求出最值.

【詳解】由(1+cos2a)(l+sin0=sin21cos齊得，2cos2a(l+sin/?)=2sin?cosacos/3,

又所以cosiwO,所以coso(l+sin/?)=sinocos/7,

所以cosa=sinacos尸-cosasin/?=sin(a—,

(兀)I7t7Ti

因?yàn)?/［。，萬)，/3elI,tana>0,所以cose=sin(e—/7)>0,

jrjr

則a—/?+a=2a-0=即/?=2a——,

2tana-tan/?=2tana-tan12a-松

sin2a——

o.I2Jc*-cos2a

2tana---------------1-2tana------------

(c7i)sinla

cos2a——

I2j

八l-2sin2a八1-tan2a

-2tanaH-----------------2tanaH----------------

2sinacos。2tana

3tan2dz+1

—3tana+------

2tana21tana

>—x2J3tana---=6

2Vtana

當(dāng)且僅當(dāng)tana=也時(shí)，即&=烏，尸=—四時(shí)等號(hào)成立.

366

故答案為：5

14.對(duì)于兩個(gè)事件M,N,若O<P（"）<1,O<P（M）<1,稱尸（M,N）=

P（MN）-P（M）P（N）

為事件M,N的相關(guān)系數(shù).在春暖花開、風(fēng)和葉翠的季節(jié)，小張、小李、小

《P（M）P網(wǎng)P（N）P（N）

王、小劉四人都計(jì)劃周末去踏青，現(xiàn)有四個(gè)可出游的景點(diǎn)：南湖、凈月、蓮花山和天定山，若事件M：

凈月景點(diǎn)至少有一人：事件M蓮花山和天定山兩個(gè)景點(diǎn)恰有一個(gè)景點(diǎn)無人，則事件M,N的相關(guān)系數(shù)為

【答案】嚅##嘉府

【解析】

【分析】先求事件“，N,的概率，再按定義求事件"，N的的相關(guān)系數(shù).

【詳解】事件事件M：凈月景點(diǎn)至少有一人，則事件而：凈月景點(diǎn)無人,

則F垓_QIi75

^LUP（M）=1-P（A?）=1--=—

事件M蓮花山和天定山兩個(gè)景點(diǎn)恰有一個(gè)景點(diǎn)無人，所以

C；?+C：x2+Cx22+C[x23）_65

4^-128

所以*）=1—P（N）=1一部=粽

事件MN：凈月景點(diǎn)至少有一人，蓮花山和天定山兩個(gè)景點(diǎn)恰有一個(gè)景點(diǎn)無人,

C〔C；（C；+C；+C；）+C?（C；+C；）+C4C2_10025

P（MN）=

4425664

2517565

所以P"N）=J（絲必必自31=64-256X12819后

」QP（M）P（M）P（N）P（N）啰匕義更義且一819

V256256128128

故答案為：吆叵.

819

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決組合綜合題目，要先分類，再分布.在求事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，按

凈月景點(diǎn)的人數(shù)為1,2,3分類，再選定蓮花山和天定山中一個(gè)景點(diǎn)無人，則另一個(gè)景點(diǎn)必須有人，按

人數(shù)分類，最后討論剩下的人員的安排.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.VABC的內(nèi)角ASC的對(duì)邊分別為。，4c，已知acosB—Z7cosA=Z?+c.

（1）求角A;

（2）若a=3,2sinC+sin3=,求VABC的面積.

2

2

【答案】（1）A=-7l

3

⑵9-3、

4

【解析】

【分析】（1）由題意利用邊化角可得sinAcosB-sinjBcosAMsinB+sinC,再利用sinC=sin（A+5）

結(jié)合和差公式化簡(jiǎn)得cosA=-工，繼而即可求解.

（2）利用和差公式，由2sinC+sin5=邁可得cosB=^,繼而可得3=2，C=—

22412

由（1）的結(jié)論，結(jié)合正弦定理及。=3,可得b=&,根據(jù)sin烏=sin（巴-巴），利用和差公式可得

1234

sinC=逅二也，再由面積公式即可求解.

4

【小問1詳解】

acos3—Z?cosA=b+c,

由正弦定理得sinAcosB-sinBcosA=sin5+sinC,

即sinAcosB-sinBcosA=sinB+sin(A+B),

/.sinAcos5—sin5cosA=sin5+sinAcosB+cosAsin5,

-2sinBcosA=sin5,

?.,sin5w0,

cosA=--,

2

*/0<A<?r,

A=—兀.

3

【小問2詳解】

2sinC+sinB=2sinf臺(tái)+g+sinB

(1g)

=2——sinBH-----cos5+sinB

122J

=R°SB=9,

...cosB=^

2

=—,C=兀一A-3=7i----=—

43412

由〃a

=2A/3,

sinBsinA

得/?=2gsin8=2代x變=卡,

2

.71..7171..717171.71

,/sin—=sm(----)=sin—cos---cos—sin—

12343434

A/3VI1V2V6-V2

--X------X---=--------，

22224

S叢ABC-absmC=-x3xV6xsin—

2212

V6-V29-36

=—x3x^/6X-------=-------

244

16.設(shè)數(shù)列｛時(shí)｝的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足Sn+an=3.

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)勿=—4log2智，數(shù)列｛加｝的前〃項(xiàng)和為7；,若對(duì)任意的“wN*,7；<22—1恒成立，求彳的

取值范圍.

3

【答案】（1）??=-

(2)[5,+co)

【解析】

31

【分析】（1）根據(jù)s〃與巴之間的關(guān)系分析可知數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為萬，公比為5的等比數(shù)列，進(jìn)而可得通

項(xiàng)公式;

3〃+33〃+9

（2）由（1）可知：bn=——,利用錯(cuò)位相減法可得7；=9———,結(jié)合恒成立問題分析求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)?0=3,

3

當(dāng)〃=1時(shí)，由q+%=3,解得4=/；

當(dāng)〃22時(shí)，則Sn+an=3,S,T=3,

an1

兩方程相減得2%-%_]=0,即---=—；

a?-i2

31

可知數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為萬，公比為5的等比數(shù)列,

所以g=3尸3

2"

【小問2詳解】

由⑴可知：—咋2?=3幾十3

T

69123〃+3

則(=

222232"

69123n+3

~Tn域+了+下+…+k

3

1-

4

兩式相減得=3++aL3〃+3r3n+3

=3+

2”一+曰2"12向

可得—]T==Q—3_ri+Z9,即7=9—￡3n_+9乙

222n+12"

3n+123〃+93幾+6八

因?yàn)?+i—(,=9-^--ir->0，

T2"1

可知{北}是單調(diào)遞增數(shù)列，且券2〉0,可得(=9-爍2<9,

因?yàn)閷?duì)任意的〃eN*,7；<24—1恒成立，可得9<2X—1,解得425,

所以X的取值范圍為［5,+8).

17.已知函數(shù)/(x)=ox—lnx—a(aeR),且/(x)?0恒成立.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值集合；

(2)證明：e'2X?+(e—3)X+2+1ILV.

【答案】⑴{1}

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由題可知只需證明/(XL?！?,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最小值即可;

(2)先利用(1)InxW九-1進(jìn)行放縮，再構(gòu)造函數(shù)證明即可.

【小問1詳解】

①當(dāng)aW0時(shí)，/'(力<0J(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

當(dāng)1>1時(shí)，/(x)</(l)=O,這與/(力》0矛盾，不合題意.

②當(dāng)a>0時(shí)，

由((%)<0得0<%<,；由((%)>0得%>工，

aa

則/(X)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

x=:時(shí)，函數(shù)八可取得唯一極小值即最小值.

又?."(x)?0且f(l)=0

.-.1=L解得。=1,故實(shí)數(shù)。的取值集合是{1}.

【小問2詳解】

由(1)可知：a=l時(shí)，/(x)>0,即lnx<x-l對(duì)任意%>0恒成立.

.??要證明：e'N2+x?+(e—3)x+lrtv,

則只需要證明e—1+f+(e—2)%,

即e%-]-f_(e-2)xN0.

令/?(%)=I-l-爐-(e-2)x,x>0,/ir(x)=ex-2x-(e-2),

令M%)=e*_2%_(e_2),M(%)=e"_2,

令M(x)=e*-2=。，解得x=ln2.

當(dāng)N￡(0,ln2)時(shí)，M(%)v0,"(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)X￡(ln2,+8)時(shí)，”'(x)>0,單調(diào)遞增.

即函數(shù)/(可在(O,ln2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln2,+“)上單調(diào)遞增.

而“(O)=l—(e_2)=3_e>O,〃(ln2)v/z”)=O.

所以存在玉)￡(。,山2),使得〃(王^二。，

當(dāng)%e(0,而)時(shí)，〃(%)>0,%(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)天￡(%,1)時(shí)，"(x)vo,/z(x)單調(diào)遞減.

當(dāng)％€(1,+8)時(shí),單調(diào)遞增.

又〃(0)=1-l=O，Ml)=e-1-1-(e-2)=0,

對(duì)Vx>0,/z(x)20恒成立，即e'—1—x2—(e—2)x>0.

綜上可得e'N+(e-3)x+2+lux.

18.近年來，社交推理游戲越來越受到大眾的喜愛，它們不僅提供了娛樂和休閑的功能，還可以鍛煉玩家

的邏輯推理、溝通技巧和團(tuán)隊(duì)合作精神，增強(qiáng)社交能力和人際交往能力.某?！吧缃煌评碛螒蛏鐖F(tuán)”在一次

活動(dòng)中組織了“搜索魔法師”游戲，由1名“偵探”、6名“麻瓜”、4名“魔法師”參與游戲.游戲開始前，“偵

探”是公認(rèn)的，每個(gè)“麻瓜”和“魔法師”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戲過程中，由“偵探”對(duì)

“麻瓜”和“魔法師”逐個(gè)當(dāng)眾詢問并正確應(yīng)答，直至找出所有的“魔法師”為止.

(D若恰在第5次搜索才測(cè)試到第1個(gè)“魔法師”，第10次才找到最后一個(gè)“魔法師”，則這樣的不同搜索

方法數(shù)是多少？

(2)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法師”，則這樣的不同搜索方法數(shù)是多少？

(3)游戲開始，有甲、乙、丙三位同學(xué)都想爭(zhēng)取“偵探”的角色，主持人決定采用“擊鼓傳花”的方式來最

終確認(rèn)人員.三人圍成一圈，第1次由甲將花傳出，每次傳花時(shí)，傳花者都等可能地將花傳給另外兩個(gè)人

中任何一人.試問，5次傳花后花在甲手上的可能線路有多少種？

【答案】(1)103680

(2)576(3)10

【解析】

【分析】(1)(2)根據(jù)排列組合，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解，

(3)根據(jù)題意可得“eN*，即可根據(jù)遞推關(guān)系求解.

【小問1詳解】

先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有A：種不同的搜索方法，

再?gòu)?個(gè)“魔法師”中選2個(gè)排在第5次和第10次的位置上搜索，有A：種搜索方法，

再排余下4個(gè)搜索位置，有A：種搜索方法.

所以共有A：A；A：=103680種不同的搜索方法.

【小問2詳解】

第5次搜索恰為最后一個(gè)“魔法師”，

則另3個(gè)在前4次搜索中出現(xiàn)，從而前4次有一個(gè)“麻瓜”出現(xiàn)，

所以共有C；C；A：=576種不同的搜索方法.

【小問3詳解】

由于甲是第1次傳花的人，因此第2次傳花時(shí)，甲不能再次拿到花.

這意味著在第2次傳花時(shí)，花必須傳給乙或丙.

同樣，第3次傳花時(shí)，花不能回到前一次傳花的人手中.

因此，傳花的路線不能有連續(xù)兩次傳給同一個(gè)人的情況.

設(shè)與為經(jīng)過〃次傳花后花在甲手上的線路數(shù)，其中的=0.

則an+1為經(jīng)過n+1次傳花后花在甲手上的線路數(shù)，即經(jīng)過n次傳花后花不在甲手上的線