2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平面向量與復(fù)數(shù)（含答案及解析）

第05講平面向量與復(fù)

（新高考專用）

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2024?北京?高考真題）設(shè)a,辦是向量，則”（五+—。）=0”是“五=一3或五=薩的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024?全國?高考真題）設(shè)向量d=（%+1,%）石=則（)

A.“X=-3”是41薩的必要條件B.“x=-3”是%〃加的必要條件

C."％=0”是*1"的充分條件D.“久=-1+行是“2〃薩的充分條件

3.（2024?全國?高考真題）已知向量需滿足同=1,|五+2畝=2,M(6-2a)1b,則國=()

A-B—C.當(dāng)D.1

a.22

4.（2024?全國?高考真題）已知向量五二二（0,1）石=（2,%）,若石1（石一4通，則％=（）

A.—2B.-1C.1D.2

5.（2023?北京?高考真題）已知向量出1滿足2+b=(2,3),a—6=：(-2,1),則同2—|印=()

A.-2B.-1C.0D.1

6.（2024?北京?高考真題）已知；=—-i,貝!Jz=()

A.-1—iB.-1+iC.1-iD.1+i

7.（2024?全國?高考真題）設(shè)z=V^i,則z-z=()

A.-2B.V2-c.—V2D.2

8.（2024?全國?高考真題）若z=5+i,貝1Ji(5+z)=()

A.10iB.2iC.10D.2

9.（2024?全國?高考真題）已知z=-lT,則|z|=()

A.0B.1C.V2D.2

10.（2024?全國?高考真題）若喜―1+i,貝H―（）

A.-1—iB.—1+iC.1-iD.1+i

11.（2023?北京?高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1八③，則z的共軌復(fù)數(shù)2=（)

A.1+V3iB.1—V^i

C.-1+V3iD.-1-V3i

12.（2023?全國?高考真題）已知向量2=（3,1）石=（2,2）,則cos&+強(qiáng)一動(dòng)=（）

AA-—17B17c—5D2近5

13.（2023?全國?高考真題）已知向量乙標(biāo)滿足同=|同=1,|引=魚，且五+石+2=6,貝Ijcos〈為一漏一小=

（）

4224

A.——B.——C.~D."

14.（2023?全國?高考真題）已知。。的半徑為1,直線PN與。。相切于點(diǎn)4直線尸2與O。交于3,C

兩點(diǎn)，。為2C的中點(diǎn)，若|PO|=VL則而?麗的最大值為（）

A1+但B1+2企

C.1+V2D.2+V2

15.（2023?全國?高考真題）已知向量五=（1,1）3=若（五+a刃），Q+〃5）,則（）

A.a+〃=1B.a+〃=—1

C.A/i=1D.A/i=-1

16.（2023?全國?高考真題）|2+i2+2i3|=()

A.1B.2c.VsD.5

5QS)_z)

17.（2023?全國?高考真題）(2+i)(2-i)-I)

A.-1B.1C.1-iD.1+i

18.（2023?全國?高考真題）設(shè)a€R,(a+i)(l—ai)=2,,則。二()

A.-1B.0C.1D.2

19.（2023?全國?高考真題）1+送+百則Z—（）

A.l-2iB.1+2iC.2-iD.2+i

20.（2023?全國?高考真題）已知z=W?則z—萬=()

A.-iB.iC.0D.1

21.（2023?全國?高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3T）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

22.（2022?全國?高考真題）已知向量@=（3,4）石=（1,0）,淳=五+竊,<a,c>=<b,c>,則t=（）

A.-6B.-5C.5D.6

23.（2022?全國?高考真題）已知向量不=（2,1）,B=（—2,4）,貝皿一石|（）

A.2B.3C.4D.5

24.(2022?全國?高考真題)2知向量值/滿足回=1,向=遮,叵-2臼=3,則值?1=()

A.-2B.-1C.1D.2

25.(2022?全國?高考真題)在△A8C中，點(diǎn)。在邊45上，BD=2DA.記@5=訪，CD=n,則方=

()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

26.(2022?浙江?高考真題)已知ER,a+3i=(b+i)i(i為虛數(shù)單位)，則()

A.CL=l,b=-3B.a=-l,b=3C.a=—l,b=-3D.a=l,b=3

27.(2022?全國?高考真題)(2+2i)(l—2i)=()

A.-2+4iB.-2—4iC.6+2iD.6—2i

28.(2022?全國?高考真題)設(shè)(l+2i)a+b=2i,其中a,6為實(shí)數(shù)，則()

A.a=l,b=-1B.a=l,b=1C.a=-l,b=1D.a=-l,b=-1

29.(2022?全國?高考真題)若z=l+i.則|iz+32|=()

A.4V5B.4V2C.2V5D.2V2

30.(2022?全國?高考真題)若z=—1+gi,則喜=()

A.-1+V3iB.-1-V3iC.-1+^i

uD，--3--3i

31.(2022?北京?高考真題)若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3-4i,則|z|=()

A.1B.5C.7D.25

32.(2022?全國?高考真題)若i(l-z)=1,則z+”()

A.-2B.-1C.1D.2

二、填空題

33.(2024?上海?高考真題)已知kGR,a=(2,5)%=(6,fc),且0/反貝赫的值為_____.

34.(2024?天津?高考真題)在邊長為1的正方形4BCD中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=^DEjE=ABA

+面,則4+〃=;F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為ZF中點(diǎn)，則萬?赤的最小值為

D.------------牛，C

B

35.（2024?上海?高考真題）已知虛數(shù)z,其實(shí)部為1,且z+|=m（nieR）,則實(shí)數(shù)相為.

36.（2024?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（乃+i）?（遙-2i）=.

37.（2023?全國?高考真題）已知向量憶君滿足同一同=8，艮+引=|2五一引,則同=

38.（2023?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡常的結(jié)果為.

39.（2022?天津?高考真題）在△ABC中，CA=a,CB=。是/C中點(diǎn)，面=2BE,試用五石表示詼為

若麗1赤，則“CB的最大值為.

__k,

40.（2022?浙江?高考真題）設(shè)點(diǎn)尸在單位圓的內(nèi)接正八邊形①公…4的邊4遇2上，則B^+P42+-+PAI

的取值范圍是.

41.（2022?全國?高考真題）已知向量五=（成3）石=（1即+1）.若互1B,則m=.

42.（2022?全國?高考真題）設(shè)向量五，石的夾角的余弦值為,且同=1,|瓦=3,則（2Zi+B）-B=.

43.（2022?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡需的結(jié)果為.

第05講平面向量與復(fù)數(shù)(2022-2024高考真題)

(新高考專用)

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2024?北京?高考真題)設(shè)a,辦是向量，則”(五+，)?(]一|)=0”是"五=乩或五=薩的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知G+B){3-3)=o等價(jià)于同=同，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【解答過程】因?yàn)?五+辦)?(五一刃)=」—「=0,可得由=鏟,即同=同,

可知(五+b)-(a—b)=0等價(jià)于同=\b\,

若五二刃或五二一反可得同=國,即0+刃＞0—吊=0,可知必要性成立；

若(五+b)-(2—&)=0,即同=\b\,無法得出五=加或2=—b,

例如五=(1,0)3=(0,1),滿足同=|同，但五H刃且五H一刃，可知充分性不成立；

綜上所述，“(五+b]?(a-h)=0”是%W加且不工一戶的必要不充分條件.

故選：B.

2.(2024■全國?高考真題)設(shè)向量為=(x+l,x)E=(x,2),則()

A.“乂=-3”是“21點(diǎn)的必要條件B.“久=-3”是％〃針的必要條件

C.“x=0”是唱1戶的充分條件D."x=—1+遮”是“2〃薩的充分條件

【解題思路】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【解答過程】對(duì)A,當(dāng)/_1_辦時(shí)，則小3=0,

所以x?(x+1)+2x=0,解得x=0或一3,即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)％=0時(shí)，3=(0,2),故五/=0,

所以五±幾即充分性成立，故c正確；

對(duì)B,當(dāng)五〃刃時(shí)，貝U2(x+1)=X2,解得X=1土遮，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)％=-1+8時(shí)，不滿足2(x+l)=%2,所以勿/行不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

3.(2024?全國?高考真題)已知向量都滿足同=1,忖+2M=2,且@一23)1丸則囚=()

A.|B.mC.乎D.1

【解題思路】由(刃-2五)JLb得了=2a-bf結(jié)合同=1,|五+2同=2,得1+4方?5+4石=1+66=4,由此

即可得解.

【解答過程】因?yàn)轶尽杷泽尽?2)7=0,即留=227,

又因?yàn)橥?l,\a+2b\=2,

所以1+4五7+43—1+6b—4,

從而同=當(dāng)

故選：B.

4.(2024?全國?高考真題)已知向量3=(0,1)3=(2,無)，若4初，貝詠=()

A.一2B.-1C.1D.2

【解題思路】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求x的值.

【解答過程】因?yàn)槿?仿一4刈，所以刃?色一4元)=0,

所以片—?刃=0即4+N—4%=0,故x=2,

故選：D.

5.(2023?北京?高考真題)已知向量2,3滿足2+9=(2,3),五一至=(-2,1),則同2—|郎=(

A.-2B.-1C.0D.1

【解題思路】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【解答過程】向量乙君滿足五+b=(2,3),2—辦=(-2,1),

所以|初2-向2=+b)-(a-b)=2x(-2)+3x1=-1.

故選：B.

6.(2024?北京?高考真題)已知?jiǎng)tz=()

A.—1—iB.-1+iC.1—iD.1+i

【解題思路】直接根據(jù)復(fù)數(shù)乘法即可得到答案.

【解答過程】由題意得z=i(-l—i)=l—i.

故選：C.

7.(2024?全國?高考真題)設(shè)z=?i,貝iJzD=()

A.-2B.V2C.-V2D.2

【解題思路】先根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義寫出?，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算.

【解答過程】依題意得，萬=—?i,故法=—2i2=2.

故選：D.

8.(2024?全國?高考真題)若z=5+i,貝亞(萬+z)=()

A.10iB.2iC.10D.2

【解題思路】結(jié)合共兜復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算直接求解.

【解答過程】由z=5+i=5=5-i,z+N=10,貝！|i(萬+z)=10i.

故選：A.

9.(2024?全國?高考真題)已知z=-l—i,則|z|=()

A.0B.1C.V2D.2

【解題思路】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式直接計(jì)算即可.

【解答過程】若Z=—1—i,則|Z|=J(—1)2+(—1)2=包.

故選：C.

10.(2024?全國?高考真題)若￡=l+i,貝物=()

A.—1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

【解題思路】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可求解.

【解答過程】因?yàn)榭?與苧=1+去=l+i，所以z=l+：=l—i.

故選：C.

11.(2023?北京?高考真題)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,、⑶，貝吻的共輾復(fù)數(shù)2=()

A.1+B.1—

C.-1+D.-1—V^i

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)z,然后利用共輾復(fù)數(shù)的定義計(jì)算.

【解答過程】z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(-1,何，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，z=-l+V3i,

由共輾復(fù)數(shù)的定義可知，z=-l-V3L

故選：D.

12.(2023?全國?高考真題)已知向量2=(3,1)3=(2,2),貝hos6+3/―訪=()

岳

AA-—17SB17c—5UD-25

【解題思路】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得B+M，|a-見Q+勵(lì)?0-刃，從而利用平面向

量余弦的運(yùn)算公式即可得解.

【解答過程】因?yàn)?=(3,1)石=(2,2),所以五+5=(5,3),五一」=(1,一1),

貝“五+b\=V52+32=V34,|a—b|=V1+1=V2,(a+h),(a—b)=5x1+3x(—1)=2,

(五+勵(lì)

所以cos(3+b,a—b)=26

|a+5||a-b|~V34xV2~

故選：B.

13.（2023?全國?高考真題）已知向量五萬1滿足同=同=L?=魚，且五+3+2=6,貝Ucos〈2—湘一"〉=

（）

4

D.

5

【解題思路】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.

【解答過程】因?yàn)?+石+1=6,所以d十1二一己

即五2+ft2+2方.b—茬2,即1+1+2a?6=2,所以五?&=0.

如圖,設(shè)瓦?=a^OB=b^OC=c,

由題知,04=0B=lf0C=VI△O4B是等腰直角三角形,

AB邊上的高。。=號(hào),AD=夸，

所以CD=C。+。0=魚+?=乎，

AD13

tanZTlCD=-=-,cosz4CD=^=,

cos(a—c,b—c)=cos/.ACB—cos2zXCD=2cos2Z.ACD-l

故選:D.

14.（2023?全國?高考真題）已知O。的半徑為1,直線P4與。。相切于點(diǎn)力,直線尸8與O。交于8,C

兩點(diǎn)，。為3C的中點(diǎn)，若|PO|=VL則可?麗的最大值為（）

A..B.一

22

C.1+V2D.2+V2

【解題思路】由題意作出示意圖，然后分類討論,利用平面向量的數(shù)量積定義可得可?麗=J-*sin（2a-2）,

N2\4/

或運(yùn)-PD=1+等in（2a+今）然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定而-方的最大值.

【解答過程】如圖所示，\0A\=1,|OP|=V2,則由題意可知:N4P0=；,

由勾股定理可得|P4|=V0P2—022=1

7T

當(dāng)點(diǎn)4。位于直線p。異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)40PC=a,0<a<~4,-

貝U：~PA-~PD=\PA\'|PD|COS(?+J)

=1xV2cosacos(a+/

V2

=V2cosctcosci——sincr

=cos2a—sincrcos(z

1+cos2a1

=----?------77sin2a

22

1V2./多

=———sinI2a——)

22I4，

o<a<7，則一

???當(dāng)2a-?=時(shí)，PA■而有最大值1.

當(dāng)點(diǎn)4。位于直線P。同側(cè)時(shí)，設(shè)NOPCa,0<a<a

則：E??PD=\PA\■|RD|cos(a-

=1xV2cosctcos(a—￡)

V2

=V2coscrcosa+—sina

=cos2a+sinacoscr

1+cos2a1

=----2----+2s,112a

=!+爭in(2a+。

0<?<7,則三2a+*<苧

.??當(dāng)2a+：=時(shí)，PA-而有最大值空I

4N2

綜上可得，刀?麗的最大值為噌.

故選：A.

15.(2023?全國?高考真題)已知向量五=(1,1)3=(1,-1),若Q+痛)1Q+而)，則()

A.a+〃=iB.A+〃=—1

C.A/z=1D.A/i=-1

【解題思路】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出3+4加2+而，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出.

【解答過程】因?yàn)?=(1,1)3=(1,—1),所以3+4=(1+41-2),a+fib=(1+fj.,

由(H+焉)1(a+〃刃)可得，Q+Afa),(a+lib)=0,

即(1+2)(1+4)+(1-;1)(1一4)=0,整理得：A/z=-l.

故選：D.

16.(2023?全國?高考真題)|2+i2+2i3|=()

A.1B.2C.V5D.5

【解題思路】由題意首先化簡2+i2+2i3,然后計(jì)算其模即可.

【解答過程】由題意可得2+i2+2i3=2-l-2i=l-2i,

貝力2+i2+2i3|=|l-2i|=V12+(-2)2=V5.

故選：C.

17.(2023?全國?高考真題)$2=()

A.-1B.1C.1-iD.1+i

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.

5(1+3)=5(1—i)=

【解答過程】(2+i)(2-i)-5—1

故選：C.

18.(2023?全國?高考真題)設(shè)aER,(a+i)(l—ai)=2,,則。=()

A.-1B.0C.1D.2

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等即可解出.

【解答過程】因?yàn)?a+i)(l—ai)=a—a2i+i+a=2a+(1—a2)i=2,

所以｛1,夏0，解得：a=L

故選：c.

19.(2023?全國?高考真題)設(shè)z=[^,則萬=()

1+K+13

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

【解題思路】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共輾復(fù)數(shù)的定義確定其共輾復(fù)數(shù)即可.

【解答過程】由題意可得—

則N=l+2i.

故選：B.

20.(2023?全國?高考真題)已知2=聶，貝以一萬=()

A.-iB.iC.0D.1

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z,再由共朝復(fù)數(shù)的概念得到2,從而解出.

【解答過程】因?yàn)閦==M寫言=子=一號(hào)，所以萬=手，即z—2=—i.

故選：A.

21.(2023?全國?高考真題)在復(fù)平面內(nèi)，(l+3i)(3-i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【解答過程】因?yàn)?1+3i)(3-i)=3+8i-3i2=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(6,8),位于第一象限.

故選：A.

22.(2022?全國?高考真題)已知向量不=(3,4)石=(1,0)1=a+房，<a,c>=<b,c>,貝n=()

A.-6B.-5C.5D.6

【解題思路】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得

【解答過程】解：5=(3+t,4),cos(a,c)=cos〈b,c)，即標(biāo)"=篙，解得t=5,

故選：C.

23.(2022?全國?高考真題)已知向量不=(2,1),B=(—2,4),則何―耳()

A.2B.3C.4D.5

【解題思路】先求得瓦然后求得只-瓦.

【解答過程】因?yàn)锧一6=(2,1)-(一2,4)=(4,-3),所以|五一臼=，42+(-3)2=5.

故選：D.

24.(2022?全國?高考真題)已知向量五萬滿足同=1,|臼=五一2臼=3,貝無?石=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解題思路】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【解答過程】解：,?,|五一2山2=1為『一42?石+4同1

又,?13|=l,\b\=y/3,\a-2b\=3,

??-9=1—4a?b+4x3=13—4a-b,

.*.a?b=1

故選：C.

25.(2022?全國?高考真題)在△ZBC中，點(diǎn)。在邊45上，BD=2DA.記g?=沆，CD=n,則方=

()

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【解題思路】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)。在邊45上，BD=2DA,所以前=2DX即前一詼=2(刀-詼)，

所以詼=3CD-2CA=3n-2m=-2m+3n.

故選：B.

26.(2022?浙江?高考真題)已知+3i=(b+i)i(i為虛數(shù)單位)，則()

A.a=l,b=-3B.a=—l,b=3C.CL=—l,b=-3D.a=l,b=3

【解題思路】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求a,b.

【解答過程】a+3i=—1+歷，而a力為實(shí)數(shù)，故a=-1力=3,

故選：B.

27.(2022?全國?高考真題)(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2—4iC.6+2iD.6—2i

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【解答過程】(2+2i)(l-2i)=2+4—4i+2i=6-2i,

故選：D.

28.(2022?全國?高考真題)設(shè)(l+2i)a+b=2i,其中a,6為實(shí)數(shù)，貝U()

A.CL=l,b=-1B.a=l,b=1C.a=—l,b=1D.a=-l,b=-1

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)相等的概念即可解出.

【解答過程】因?yàn)閍,beR,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得：a=l力=-l.

故選：A.

29.(2022?全國?高考真題)若z=1+i.貝!||iz+32|=()

A.4V5B.4V2C.2V5D.2V2

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，共軌復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可求出.

【解答過程】因?yàn)閦=l+i,所以iz+32=i(l+i)+3(l—i)=2-2i,所以|iz+32|="Tl=2&.

故選：D.

30.(2022?全國?高考真題)若z=-l+Bi,則言=()

A.-1+B.-1—V^iC.—~D.---

【解題思路】由共朝復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得解.

【解答過程】z=-1-V3i,zz=(-1+V3i)(-1-V3i)=1+3=4.

z-1+V3i1V3

---------------------=-------1-----i

zz-1333

故選：C.

31.(2022?北京?高考真題)若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3-4i,貝加z|=()

A.1B.5C.7D.25

【解題思路】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出z,再計(jì)算復(fù)數(shù)的模.

【解答過程】由題意有z=V=9清0=一4一3i，故|z|=J(-4)2+(—3)2=5.

故選：B.

32.(2022?全國?高考真題)若i(l—z)=l,貝!]z+2=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法可求z,從而可求z+之

【解答過程】由題設(shè)有l(wèi)-z=：=\=T,故z=l+i,故z+2=(1+i)+(1-i)=2,

故選：D.

二、填空題

33.(2024?上海?高考真題)已知=(2,5)3=(6,￡),且切/反則k的值為15.

【解題思路】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.

【解答過程】〃氏:2卜=5*6,解得k=15.

故答案為：15.

34.(2024?天津?高考真題)在邊長為1的正方形48C。中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=^DE^BE=ABA

+HBC,貝/+〃=_/_；尸為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，G為4F中點(diǎn)，則而?麗的最小值為—二擊

O

【解題思路】解法一：以｛瓦5,近｝為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求而，即可得4+4,設(shè)方=k就，求

AF^DG,結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求方?赤的最小值;解法二:建系標(biāo)點(diǎn),根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求戰(zhàn),即可得4+%

設(shè)F(a,-3a),ae[-，o],求而而，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求加?麗的最小值.

【解答過程】解法一：因?yàn)镃E=#>E,即CE=3B4則前=麗+無=頡1+而，

14

可得；1=W，〃=1,所以;1+〃=]；

由題意可知：\BC\=\BA\=-BC=0,

因?yàn)镕為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)麗==瓦l+k阮,ke[0,1],

則方=AB+~BF=AB+kBE=+kBC,

又因?yàn)镚為2F中點(diǎn)，則而^DA+AG=-BC+冠=+Qk-l)BC,

可得而.而=[(gk—l)耐+k園.[|(|fc-l)E4+(|fc-l)Bc]

1

X—T)+碓1"1

22

又因?yàn)閗e[0,1],可知：當(dāng)k=l時(shí)，赤,而取到最小值—電

解法二：以2為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則處一1,0)鳳0,0),C(0,l)刀(-(-Q),

可得瓦？=(—1,0),阮=(0,1),旗=*,1）

匕「,所以

因?yàn)檎f=4瓦？+四就=（—九〃），則

因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段=-3%%€[-|,o]±,設(shè)尸（見一3@）“[-1,o],

且G為4F中點(diǎn)，則G（?,—|a）,

可得4尸=(a+1,—3a),DG=，—ga—1),

則赤?麗=焙塵+（-3a）（-la-l)=5(a+^22__3_

25.~10

且ae[*,o],所以當(dāng)a=-g時(shí)，赤?而取到最小值為T；

故答案為：P一焉

D1O

2

35.（2024?上海?高考真題）已知虛數(shù)z,其實(shí)部為1,且z+w=rn（m6R）,則實(shí)數(shù)加為2.

【解題思路】設(shè)z=l+bi,bel<abK0,直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)分類即可得到答案.

【解答過程】設(shè)z=1+歷，且bHO.

則z+|=l+bi+巖=(鬻)

*1>=皿

=m

vm6/?,??:跌=0,解得6=2,

l+b2

故答案為：2.

36.（2024?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（遍+i）?（遙-2i）=_Z^VIi_.

【解題思路】借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可得.

【解答過程】（V5+i）,（V5-2i）=5+V5i_2V5i+2=7—y/^i.

故答案為：7—\/5i.

37.（2023?全國?高考真題）已知向量五，區(qū)滿足忖一畝=71，忖+同=|2花一同，則同=W.

【解題思路】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令之=之一刃，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)

算律運(yùn)算求解.

【解答過程】法一：因?yàn)閨五+山=|2?磯即Q+#2=（22—行廣

則次+23-&+fa2=4a2—4a-b+片，整理得五2—2五?d=0,

又因?yàn)閨五一刃|=市,即(五一行)2=3,

則五2—22?1+『=『=3,所以國=遮.

法二：設(shè)工=a—b,則?=V3,H+b=c+2b,2a—b=2c+6,

由題意可得：(c+2b)2=(2c+另)2,則工2+4苒.石+4石2=4c2+4c-b+fa2,

整理得：c2=b,Bp|h|=\c\=V3.

故答案為：V3.

38.（2023?天津?高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡黃的結(jié)果為_4±L

【解題思路】由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，分子分母同時(shí)乘以2-3"然后計(jì)算其運(yùn)算結(jié)果即可.

【解答過程】由題意可得數(shù)1(5114i)(2-3D=52113i=

(2+3i)(2-3i)13

故答案為：4+i.

3%（2022?天津?高考真題）在△4BC中，n=方,詼=瓦。是/C中點(diǎn)，CB=2BE,試用d石表示歷為一|

上爭_，若布，炭，則乙4cB的最大值為，.

【解題思路】法一:根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出赤,以近㈤為基底，表示出