指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【11類題型】-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)突破（新高考專用）

熱點專題2-4指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

近3年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新高考I卷，第6題,5分

從近五年的高考情況來看，指數(shù)

年北京卷，第題分

20247,5運算與指數(shù)函數(shù)是高考的一個

2023年新高考I卷第4題，5分重點也是一個基本點，常與纂函

(1)指數(shù)賽的運算性質(zhì)

數(shù)、二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三

(2)指數(shù)函數(shù)的圖像與性

2023年乙卷第4題，5分角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比

質(zhì)

較和函數(shù)方程問題.在利用指數(shù)

2022年甲卷第12題，5分

函數(shù)的圖像與性質(zhì)應(yīng)用上，體現(xiàn)

2020年新高考n卷第11題，5

了邏輯推理與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

分

模塊一卜熱點題型解讀(目錄)

【題型1］指數(shù)賽的運算

【題型2】指數(shù)函數(shù)過定點問題

【題型3】求指數(shù)函數(shù)的解析式

【題型4】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【題型5】比較指數(shù)幕的大小

【題型6】解指數(shù)方程或不等式

【題型7】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

【題型8】指數(shù)型函數(shù)的值域問題

【題型9】指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用

【題型10］指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問題與恒成立綜合

【題型111指數(shù)函數(shù)的綜合性問題

【題型1］指數(shù)幕的運算

基礎(chǔ)知識

【方法技巧】

(1)靈活運用指數(shù)的運算性質(zhì)進行指數(shù)運算，根式形式需要化為分數(shù)指數(shù)賽形式去求解.

(2)運算的最終結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有負指數(shù)又有分母.

指數(shù)與根式的概念

1、n次方根的定義

(1)定義：一般地，如果x”=a,那么x叫做a的n次方根，其中〃>1,且〃eN*

(2)偶次方根的被開方數(shù)要為非負數(shù)

2、根式

(1)定義：式子標叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

(2)性質(zhì)：(n>l,且MN*)

lI-fa,〃為奇數(shù)，

(布)"=a;(折n)?為便將

間，〃為偶數(shù).

3、分數(shù)指數(shù)瓢的意義

(1)分數(shù)指數(shù)森的意義

正分數(shù)指數(shù)解：規(guī)定：口9=0/

11

負分數(shù)指數(shù)賽：規(guī)定：a"=—=(a>0,/7z,zieN*,M>l)

an7a

(3)性質(zhì)：0的正分數(shù)指數(shù)暴等于0,0的負分數(shù)指數(shù)露沒有意義

4、分數(shù)指數(shù)氟的注意事項：

m加

(1)分數(shù)指數(shù)森是指數(shù)概念的又一推廣，分數(shù)指數(shù)氟力?不可理解為一個1相乘，它是根式的一種

an

新的寫法.

在這樣的規(guī)定下，根式與分數(shù)指數(shù)恭是表示相同意義的量，只是形式不同而已.

(2)把根式?；煞謹?shù)指數(shù)賽的形式時，不要輕易對絲進行約分.

(3)在保證相應(yīng)的根式有意義的前提下，負數(shù)也存在分數(shù)指數(shù)森，

如(—5成=’(—5)2有意義,但(—5,=#(—57就沒有意義.

5、無理數(shù)指數(shù)幕

一般地，無理數(shù)指數(shù)森(。>0,々為無理數(shù))是一個確定的實數(shù).

有理數(shù)指數(shù)氟的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)幕.

【注意】(1)對于無理數(shù)指數(shù)賽，我們只需要了解兩點：

①它是一個確定的實數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)賽無限逼近的結(jié)果.

(2)定義了無理數(shù)指數(shù)賽之后，賽的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴充到了實數(shù)范圍.

6、實數(shù)指數(shù)暴的運算性質(zhì)

①aman=am+n(a>0/,s￡R).

②("")"=a""?(a>O,r,seR).

③(3=ambm(。>0,6>0,reR).

1.(1)信)+(0.1尸+(2$，-100TT°;

(2)已知無+y=ll,xy=9,求三的值.

Y+y2

J_2

【解析】(1)=+io2+f—V-i00=-+100+--100--.

I9J{27J399

(2)因為x+y=ll,孫=9,

所以與+y7=Jx+y+21y=5ypf,f+y2=(x+y)-2xy=103,

￡J

所以小+W_后

x2+y2103

【鞏固練習(xí)1］化簡或求值:

13

⑵(O.25p-(-2)2x(23p+lO(2-73)--10x305；

(3)(7+4@3_8儼+32=一2乂3]3+蚯x4r;

/21AAj_i_A/j_5\

(4)2a^b2-6a2+-3/加(a>0且〃>0).

【答案】(1)112；(2)21；(3)4；(4)4a

(-方㈢/J1(型

【解析】(1)原式二213^x1+(23)4x24+23X32=2+244+22x33=112.

121-111

(2)(0.25尸-(-2)卬237+10(2-百)-—10x3。，=[(5力2-(-2)7x2-2+10x--^-10x32

=2-4x-+l0(2+V3)-10^=21.

4

2

13

⑶(7+4@5-8F+325-2x+癢4-3

I7

12_211Lr-

(34+(25p-2x(2-3)-3+x(22)3=2+石-g+8-8+2=4.

(21Y1CA2x(-6)型」3

(4)2a3b2]\-6a2b3k-3a6Z>6=—^-a326&236=4a.

1￡

【鞏固練習(xí)2】已知出+”2=3,求下列各式的值.

3_3

(1)a+小；(2)a2+a2；(3)*+—.

a2+a2+3

2

【答案】(1)7;(2)47;(3)1

【解析】(1)將CL兩TCI邊—平方，得<7+/+2=9,

所以a+〃T=7.

(2)將”+QT=7兩邊平方，得4+〃-2+2=49,

所以/+/=47.

[

(3)*.*I_1_n~2-o,a+cT=7,/+Q2=47,

3_3<￡\3,」\3(上_j_\

?，?/+a5=+a5=*+a(a-1+)=3x(7-1)=18,

33

???+a+2__1_8__+_2___2_?

/+〃2+347+35

【鞏固練習(xí)3】計算(一64放+[(—3)4,—(&一1)。+[3：=()

【解題思路】利用指數(shù)運算及根式運算計算即得.

[解答過程】(-64)3+[(-3)4]J-(V2-1)°+希=(-43)3+(34)1-1+[(|)3]5=-4+3-1+

3_1

2~2

故選：C.

【題型2】指數(shù)函數(shù)過定點問題

基礎(chǔ)知識

指數(shù)函數(shù)圖象都經(jīng)過點（0，1）,y=ax+m+n恒過定點（-m,?+1）.

2.已知函數(shù)>=2武2一3">0且"1）的圖象恒過定點P,則點尸的坐標為.

【答案】（2,-1）

【解析】令無一2=0,得x=2,貝I>=2。°一3=—1.

所以函數(shù)y=2優(yōu)"一3（。>0且arl）的圖象恒過定點尸（2,-1）.

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)/（"=。加+2（°>0且"1）的圖象恒過定點（加用，則等于.

【答案】2

【解析】由x+l=0,即x=-l,得y=3,所以"z=-l,〃=3,所以帆+〃=-1+3=2

【鞏固練習(xí)2】（2024?山東濟寧?一模）已知函數(shù)y=ax-\a>0且aW1）的圖象過定點A,且點A在

oq

直線〃優(yōu)+2利=8（加>0,〃>0）上，則9一言的最小值是_____.

mn2m

【答案】三9

16

［解析】函數(shù)y=ax~l（a>。且〃w1）的圖象過定點A（L1）,

貝1根+2〃=8,所以2〃=8—根，

fm>0

由"得0vmv8,

\2n=6-m>0

,83_163_32-3（8-m）_3m+8

mn2m2m2m（8-m）-2m2+16m

*_Q

令E=3M+8/￡（8,32）,則m=—^~,

839t

時，取等號,

839

所以-------的最小值是一.

mn2m16

【題型3】求指數(shù)函數(shù)的解析式

基礎(chǔ)知識

y二優(yōu)

0<6!<1a>\

1

圖

象

~~o\；一o]IX

①定義域R,值域(。，+8)

②〃=1,即時x=0,y=i,圖象都經(jīng)過(0，D點

性

③屋=a,即x=l時，V等于底數(shù)。

質(zhì)

④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

⑤元<0時，ax>1;無>0時，0</<iXV。時，Ova'vl;x>0時，ax>1

⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)

3.已知y=/(x)是指數(shù)函數(shù)，若=而，則.

【答案】亞

【解析】設(shè)y=/(%)=a"(a>O,awl),

因為/1-g卜揖，即/=43，解得〃=/=；,所以=f^-^=2^=42.

312

【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)/⑺=x聲寶住ez)，若"X)為偶函數(shù)，且在(0,+8)是增函數(shù),求〃X)的

解析式

【答案】/(x)=x2

q1

【解析】=/⑶在他+⑹上增函數(shù)，：.-+k--k2>0,解得一1〈女v3.

又?：keZ,：.k=b,l,2,

由f(x)為偶函數(shù)知左二1,.?./(%)=X2；

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)〃尤)是奇函數(shù)，且當x>0時，〃x)=10'+x+l,那么當x<0時，的

解析式是()

A.-^―+x-l

B.FX-1C.JV+1D.———x+1

10"10尤10%10x

【答案】B

【解析】當x<0時，則一x>0,所以〃-x)=l(TX—x+l,

又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以一/(-x)=/(x),

所以當x<0時/(X)=-IO-1+x-l=+.

【題型4】指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

基礎(chǔ)知識

對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過伸縮、平移、對稱

等變換得到，當時，指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)的圖像呈上升趨勢；當0<QV1時，指數(shù)函數(shù)y=a"的

圖像呈下降趨勢.

4.(2024?黑龍江?二模)已知函數(shù)、=彳：，+6的圖象經(jīng)過原點，且無限接近直線>=2,但又

不與該直線相交，則必=()

A.-1B.-2C.-4D.-9

【答案】C

【解析】因為函數(shù)y=/(%)=a(g)W+b圖象過原點，所以。(；)°+匕=0,

得a+b=0,又該函數(shù)圖象無限接近直線y=2,且不與該直線相交，

所以人=2,貝|〃=—2,所以〃/?二一4.

5.函數(shù)①y=〃"；②y=b"；?y=cx；④丁二罐的圖象如圖所示，a,b,c,d分別是下列四個數(shù):

G，!，；中的一個，則a，b,c,d的值分別是()

43/

【答案】C

【解析】直線％=1與函數(shù)圖象的交點的縱坐標從上到下依次為c,d,a,b,而

所以〃，b,c,d的值分別是:，—,6,—,故選：C.

234

【鞏固練習(xí)1］函數(shù)〃切=優(yōu)一"的圖像如圖所示，其中。，人為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.a>l,b<0B.a>l,b>0C.0<a<l,b>0D.0<tz<l,b<0

【答案】D

【解析】由函數(shù)/(x)=a9的圖像可知，

函數(shù)/(x)=o""在定義域上單調(diào)遞減，

.-.0<a<l,排除AB選項；

函數(shù)/(刈="-〃圖像是由>=優(yōu)向左平移所得,

:.-b>0,.,.bvO.故D選項正確.

【鞏固練習(xí)2］若函數(shù)"x)="+b的圖象如圖所示，且〃-1)=0,則實數(shù)“，匕的值可能為()

A.a=3,b=—3B.tz=—,b=——C.4=2,b=--D.a=—,b=—2

3322

【答案】C

【解析】由函數(shù)〃力="+6的圖像，可得函數(shù)〃無)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以

又由/(T)=0,可得°一+6=0,可得=

結(jié)合選項，只有C項適合.故選：C.

【鞏固練習(xí)3】如圖，曲線①②③④分別是指數(shù)函數(shù)y=〃，y=bx,y=cx,>=優(yōu)的圖像，則實

A.a<b<c<dB.b<a<d<cC.d<c<b<a；D.c<d<a<b.

【答案】B

【解析】作出直線x=l,此時與各函數(shù)的交點的縱坐標即為對應(yīng)的底數(shù)，如圖，

【題型5】比較指數(shù)森的大小

基礎(chǔ)知識

比較指數(shù)賽的大小

常用方法有：

(1)對于底數(shù)相同，指數(shù)不同的兩個賽的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷；

(2)對于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個賽的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律來判斷；

(3)對于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的賽的大小比較，可先化為同底的兩個賽，或者通過中間值來比

較.

22J_

6.若a==則火Ac的大小關(guān)系是()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】A

211

【解析】因為y=/在(0,+8)上單調(diào)遞增，且

22

所以,j>(：3,即心"，

因為y=在R上單調(diào)遞減，且■!>；,

2

所以,即c>“，

所以c>a>6,即6<a<c,故選：A

7.（2024?四川?模擬預(yù)測）設(shè)a=0.5/4,b=0.411,c=1.1%則（）

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合與特殊值1的比較，即可得到答案.

【解答過程】因為指數(shù)函數(shù)y=0.5,是單調(diào)減函數(shù)，所以0.5L1<0.5°，4<0.5°=1,

又由賽函數(shù)y=在(0,+8)上單調(diào)增函數(shù)，所以1=I11>0.511>0.411,

又因為指數(shù)函數(shù)y=1,y是單調(diào)增函數(shù)，所以>1.1°=1,

綜上可得：b<a<c

【鞏固練習(xí)1】（2024?云南?二模）若”=2~2/=6，。=21，則（）

A.b>a>cB.c>a>bC.a>b>cD.a>c>b

【答案】D

【解析］因為q=2>21=2,c_23<2,

所以a>c,因為6=6一|=（<1,C=2；>2°=1，

所以?！怠ǎ詀>c>b.

201920212019

【鞏固練習(xí)2】設(shè)皿產(chǎn)，仁產(chǎn)，c=（圖2產(chǎn)，則〃，A,c的大小關(guān)系是（）

（2022J^2022）（2022）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【答案】B

2019.出向』*（,乂.母a

【解析】因為v_Y赤在（0,+刃）上單調(diào)遞增，y2f019Y在R上單調(diào)遞減

"X（2022）

201920192021

所以（四1產(chǎn),坐產(chǎn),3產(chǎn)，故a>c>6.故選：B

（2022）（2022）（2022）

【鞏固練習(xí)3】已知a=2。//=0.33,c=0.3。/，則。也c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<c<aD.a<c<b

【答案】C

【解析】；y=0.3工是減函數(shù),3>0.1>0,所以0.33<0.3°」<1,

又：.b<c<a.故選：C.

【題型6】解指數(shù)方程或不等式

基礎(chǔ)知識

簡單指數(shù)不等式的解法

1、形如々/⑺>/（行的不等式，可借助y="的單調(diào)性求解

2、形如a”“）>》的不等式，可將》化為以。為底數(shù)的指數(shù)幕的形式，再借助>=優(yōu)的單調(diào)性求解

3、形如罐>，的不等式，可借助兩函數(shù)y=優(yōu)，y的圖象求解

8.（2024?河北邯鄲?一模）不等式10工-6,-3,21的解集為

【答案】［1,+s）

XXX

64

【解析】由10工一6*-3*21,可得I1+\<1

+W

XX

令"尤）=L1+6\+

W

因為y==均為R上單調(diào)遞減函數(shù)

則〃x）在R上單調(diào)遞減，且"1）=1,

.?./（x）</（l）,.-.Xfel

故不等式10'-6X-3'N1的解集為[1,+℃）.

【鞏固練習(xí)1】若x滿足不等式2"%I則函數(shù)y=2*的值域是（）

A.[-,2）B.[-,2]C.（-00,-]D.[2,+8）

888

【答案】B

[解析由2?+1<[j可得2?+1<=2"-2）,

因為y=2/在R上單調(diào)遞增，所以d+l<-2x+4即/+2%-3<0,解得：-34x41,

所以2-3vy=2"V2,即函數(shù)y=2'的值域是1,2,故選：B.

_8_

4

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)〃制=?，那么不等式/（2》-3）</（5）的解集為.

【答案】（一1,4）

4

【解析】已知函數(shù)/（力=/，可知函數(shù)是增函數(shù)，且是偶函數(shù)，不等式〃2%-3）<〃5）等價于

—5<2x—3<5—1<x<4.

【鞏固練習(xí)3]不等式9，-4*32+27<0的解集為.

【答案】[1,2]

【解析】不等式9'-4*3加+2740,可化為（3，『_12X3'+27W0,

即（3*-3）（3，-9）<0,解得343工49,

所以1WXW2,所以不等式9工一4'3恒+2740的解集為[1,2].

故答案為：口⑵.

【題型7】指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

基礎(chǔ)知識

判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的原則是“同增異減”.

解決步驟

第一步：求函數(shù)的定義域.

第二步：將函數(shù)分解成內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù).

第三步：判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性.

第四步：根據(jù)“同增異減”的原則確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.

9.函數(shù)y=5*+4A3的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.[2,+co)B.(-oo,2]C.(-℃,1]D.

【答案】A

【解析】設(shè)〃=-V+4X-3,在(-8,2]單調(diào)遞增，在[2,+s)單調(diào)遞減，

y=5"在(-8,+co)單調(diào)遞增，

根據(jù)''同增異減”可得，函數(shù)y=5*+4A3的單調(diào)遞減區(qū)間是[2,+⑹故選：A.

10.(2024?遼寧.一模)若函數(shù)〃尤)=3-2/+口在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，則”的取值范圍是()

A.(-oo,4]B.[4,16]C.(16,+oo)D.[16,+(?)

【答案】A

【分析】利用''同增異減''判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)的取值范圍.

【詳解】設(shè)〃a)=3",〃=一2，+辦，貝廳(“)=3"在(-w,M)上單調(diào)遞增.

因為/(%)=3口5在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)u=-2/+6在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，

結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：-<1,解得a44.

11.(2024.福建福州.模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)f(x)=3"期在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是()

A.(-co,2]B.(-co,4]C.[2,+oo)D.[4,+oo)

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】函數(shù)y=3,在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/(力=3.必在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，

所以y=|2x—4在區(qū)間(1,2)單調(diào)遞減，所以弓22,解得aN4.

(1N2X2—3x+l

【鞏固練習(xí)1]函數(shù)g的單調(diào)遞減區(qū)間為()

“、r3i/八「3、

A.(1,+8)B.l-oo,-C.(-00,1)D.-,+ooI

【答案】D

【解析】因為函數(shù)y=2/一3x+l在區(qū)間，co,：)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

函數(shù)y=I在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù),

所以，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則“同增異減''得:

2

/]x2x—3x+l的單調(diào)遞減區(qū)間為?,+＜?）.故選：D

312

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)〃尤）=/+匕-優(yōu)eZ），若外力在（0,+?）上減函數(shù),求左的取值范圍.

【答案】{%歸＜-1或左＞3且％eZ}.

【解析】若〃力在（0,+8）上減函數(shù)，貝4左一;1左2＜。，

解得左＜一1或左＞3（%eZ）,

即左的取值范圍是{8％＜T或左＞3且％eZ}.

【鞏固練習(xí)3】（2023?重慶巴蜀中學(xué)高一?？迹┮阎瘮?shù)了（幻=G4'一（。-2）2'+1在（-2,+co）上單

調(diào)遞增，則。的取值范圍為（）

A.[0,4]B.（0,4]C.[2,+oo）D.{0}U[2,+oo）

【答案】A

【分析】令f=2",利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】令f=2、，貝'Jy=ut~—（a—2）f+1,

當xe（-2,+co）時，r=2,單調(diào)遞增，且//，

4

當a=0時，y=a/2-（（?-2）/+1=2/+1,當時單調(diào)遞增，

則函數(shù)/（尤）在（-2,+co）上單調(diào)遞增，符合題意；

Q—2

當〃＞0時，y=at2一（〃一2）/+1的對稱軸為t=----,

2a

a-21

由題意----0—=＞0＜。（4,

2a4

Z7—2

當。＜0時，y=〃/一（。一2"+1表示開口向下的拋物線，對稱軸為t=----,

2a

在野,+8上單調(diào)遞減，不符合題意，綜上，0WaW4.

【題型8】指數(shù)型函數(shù)的值域問題

基礎(chǔ)知識J

解決步驟

第一步：求函數(shù)的定義域，然后將復(fù)合函數(shù)分解成兩個函數(shù).

第二步：由自變量的范圍求內(nèi)層函數(shù)的值域.

第三步：由內(nèi)層函數(shù)的值域求外層函數(shù)的值域.

12.函數(shù)/（幻=2*3,尤e[0,3]的值域是（）

A.1,8B.S,8]C.D.（0,8]

【答案】A

【解析】令g（t）=f—2x,xe[0,3],則g⑺e[g⑴,g⑶卜[-1,3],則〃"?"曾卜8,

故選：A.

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)y=。1+2用的值域是.

4

【答案】（0,々]

16

【解析】依題意，X2+2X+3=（X+1）2+2＞2,當且僅當x=-l時取等號，而函數(shù)y=d『在R上單

4

調(diào)遞減，

因此0＜（[）,+2，+3＜（〈）2=上，

4416

所以函數(shù)y=（-）?+2x+3的值域是（0,—].

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/（耳=4'-2*+4,xe[-l.l],則函數(shù)y=〃x）的值域為（）.

1313

A.[3,+oo）B.[3,4]C.3,—D.—,4

【答案】B

【解析】依題意，函數(shù)f（x）=（2，）2_2x2，+4,%e[-l,l],

令2*=/,貝"=2工在上單調(diào)遞增，即

于是有y=/一2%+4=Q—1）2+3,當，=1時，＞min=3,此時X=0,7（X）疝11=3,

當/=2時，＞max=4,此時％=1,f（%）max=4,

所以函數(shù)丁=/（力的值域為[3,4].故選：B

【鞏固練習(xí)3]函數(shù)/（工）=9一“+]在上的值域為.

,.?X￡[-1,+OO）貝1令”II?0司

qf375

）=產(chǎn)+3，+^在（°，3]遞增，*'?yeI

【題型9】指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用

基礎(chǔ)知識

1、在自然科學(xué)中，指數(shù)函數(shù)常常用于描述增長或衰減的過程，比如生物群落的增長、放射性物質(zhì)的

衰變等。

2、在經(jīng)濟學(xué)中，指數(shù)函數(shù)也可以用來描述復(fù)利增長，即資金按比例增長的情況。

指數(shù)函數(shù)在數(shù)學(xué)和現(xiàn)實生活中都有重要的應(yīng)用，對于描述增長和衰減過程有著很好的表現(xiàn)能力。

13.心理學(xué)家有時用函數(shù)L（r）=250（l-e-）來測定人們在時間f（min）內(nèi)能夠記憶的單詞量入，其中

上表示記憶率.心理學(xué)家測定某學(xué)生在lOmin內(nèi)能夠記憶50個單詞，則該學(xué)生在30min從能記憶

的單詞個數(shù)為（）

A.150B.128C.122D.61

【答案】C

【分析】根據(jù)已知可求出「°*=g,再代入f=30即可求出.

【詳解】由題可得“10）=250（1-「儀）=50,則

所以L（30）=250（l—e-3"）=250l-fe-10"）3]=250x1-^=122,

即該學(xué)生在30min從能記憶的單詞個數(shù)為122.

14.（2024.安徽合肥?二模）常用放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間

被稱做半衰期，記為T（單位:天）.鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質(zhì)，其半衰期分別為工，4,開

始記錄時，這兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等，512天后測量發(fā)現(xiàn)乙的質(zhì)量為甲的質(zhì)量的:，則工區(qū)滿足

的關(guān)系式為（）

c512512c512512

B丁可

A?7=可-2+

C,512,512D.2+1%芋=1嗎半

C.-2+log2—=log2—

【答案】B

【分析】設(shè)開始記錄時，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1,可得512天后甲，乙的質(zhì)量，根據(jù)題意列出

等式即可得答案.

【詳解】設(shè)開始記錄時，甲乙兩種物質(zhì)的質(zhì)量均為1,

512512

則512天后，甲的質(zhì)量為：（；）不，乙的質(zhì)量為：（；）可，

512512512

由題意可得（好弓.（$不=$丁,

?C512512

所以2+^-=^^.

【鞏固練習(xí)1】已知某種果蔬的有效保鮮時間丫（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：℃）近似滿

足函數(shù)關(guān)系yne"“（。，6為常數(shù)，e為自然對數(shù)底數(shù)），若該果蔬在4（的保鮮時間為216小時,

在16℃的有效保鮮時間為8小時，那么在8。。時，該果蔬的有效保鮮時間大約為小時.

【答案】72

【分析】根據(jù)已知條件求得e，eb,進而求得正確答案.

4a+z,

f216=e31

【詳解】依題意69，兩式相除得27=ee=(L"),-=3,/=.，

Io—eD

則216=e4fl+"=e.?e"='?e'/=648,

3

21

所以當x=8℃時，y=eSa+b=e8a-e6=(e4fl)-e6=-x648=72d'.

【鞏固練習(xí)2】某種病毒的繁殖速度快、存活時間長，。個這種病毒在f天后將繁殖到ae〃個.已知

經(jīng)過4天后病毒的數(shù)量會達到原來的2倍.且再過m天后病毒的數(shù)量將達到原來的16倍，則加=（）

A.4B.8C.12D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)式的運算求解.

【詳解】由題可知，，所以e^=2,

經(jīng)過:〃+4天，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?6倍，即〃/（"+4）=16。，

44162

則有e"'"4）=i6=2=（e^『=e,解得相=12

【鞏固練習(xí)3】把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是4c,空氣的溫度是,那么rmin

后物體的溫度。（單位：。c）可由公式e=q+（a-功》必求得，其中左是一個隨著物體與空氣的接

觸情況而定的正常數(shù).現(xiàn)有63°。的物體，放在15°。的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是39P.要

使物體的溫度變?yōu)?1℃,還要經(jīng)過分鐘.

【答案】120

【分析】先把現(xiàn)有63℃的物體，放在15c的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是39℃代入公式

夕=%+(4-4》石，再列出此物體的溫度變?yōu)?1℃時的關(guān)系式，聯(lián)立二式組成方程組，解之即可求

得要使物體的溫度變?yōu)?1℃,還要經(jīng)過的時間.

【詳解】：現(xiàn)有63°。的物體，放在15℃的空氣中冷卻，60分鐘以后物體的溫度是39℃,

15+(63-15兒3=39,即十仇=：①，

要使物體的溫度變?yōu)?1℃,則15+48eq=21,即②，

8

e-6M=-

聯(lián)立①②，解得"180,

e一打=—

18

故還要經(jīng)過180-60=120分鐘.

【題型10］指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性問題與恒成立綜合

基礎(chǔ)知識

1、已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：

(1)函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，通常借助函數(shù)單調(diào)性求解；

(2)分離參數(shù)法：首先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值或值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的

圖象，再利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決.

2、指數(shù)函數(shù)常與其他函數(shù)形成復(fù)合函數(shù)問題，解題時要清楚復(fù)合的層次，外層是指數(shù)函數(shù)還是內(nèi)層

是指數(shù)函數(shù)，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等問題，則要按復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)規(guī)律

求解.

⑸已知函數(shù)^為定義在R上的奇函數(shù)，求實數(shù)如〃的值.

【答案】m=-l,n=l

【解析】由于/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(0)=建1=0,加=一1,所以〃切=2,+,

由于是奇函數(shù)，所以/(T)=-/(X),

所以同人，2「「11一2、二2"-1

以)Tx+nl+n-r2x+n'

1-2X1-2X2X-12x+l-2?2

---------=--------y所以/(%)=亦------1-----

l+n-2x2X+2X+12X+1

16.（2024?貴州畢節(jié)?三模）已知函數(shù)/（外=史二是奇函數(shù)，若了（2023）＞/（2024）,則實數(shù)。的值

cx+a

為（）

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，即函數(shù)的單調(diào)性解即可.

【詳解】因為函數(shù)〃%）=吐@是奇函數(shù)，

ex+a

e*—a1—ae”e"—aa-e”

所以/（一%）==-/w=-

e~x+a1+aexex+aex+a

解得a=±l,

rc,、e"—〃e"+a—2。.2a

又f(x)=-------=--------------=1----------,

ex+aex+aex+a

所以當a>0時，函數(shù)為增函數(shù)，當a<0時，函數(shù)為減函數(shù),

因為“2023)>“2024),

所以a<0,故a=—1.

17.已知函數(shù)/（力=4-公公伍＞0）是奇函數(shù)，且〃1）=：

⑴求a,左的值；

⑵若Vxe[l,2],不等式〃2x）+匈'（x"。恒成立，求加的取值范圍.

【解析】⑴?.?〃力="一小/是奇函數(shù)n/（0）=0nk=1,

經(jīng)檢驗當k=1時，f（^）=ax-a~x,f（-x）=ax-ax=一/（%）"（九）是奇函數(shù)符合題意，

311

又/⑴=5=a—na=2或a=-]（舍），

???小）=2，-2-，；

（2）/（2x）+"礦（x）20=2〃-廿+m（2v-2-v）＞0,

即m（2A-2-A）＞（2一工+2,（2--2V）,

又x且1,2],2,-2一，＞0,故相2-（2'+2一'）恒成立，

令”2',因為xe[l,2],故re[2,4],由對勾函數(shù)性質(zhì)可得g⑺=-1+"在re[2,4]上單調(diào)遞減,

■■■gOOmax=g（2）=m＞me-|,+?1

竺二二是奇函數(shù).

【鞏固練習(xí)1】己知定義域為R的函數(shù)/(x)=

n+3x

(1)求加，"的值;

(2)若存在re[0,4],使/卜-2/)+/(4-2巧<0成立，求上的取值范圍.

【答案】(1)〃Z=1,M=l；(2)(-1,+℃).

【分析】(1)由"0)=0及/(-1)=—/⑴即可求解；

(2)求出函數(shù)f(x)的單調(diào)性，不等式可轉(zhuǎn)化為左>4今，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解.

【詳解】(1)因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0,

即"一=0,所以m=1,又因為=—/⑴，

〃+1

1

m-om-3

所以----=----1招?機=1代入，解得〃=1,

〃+,1一〃+3

3

經(jīng)檢驗符合題意，所以，m=l,n=l.

(2)由(1)知：函數(shù)/(%)=±±=二&⑴1^=_1+工，

XX

」1+31+31+3”

所以函數(shù)/(元)在R上是減函數(shù).

因為存在yo,4],使/伏一2巧+y(4-2產(chǎn))<0成立，

又因為函數(shù)/'(X)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以不等式可轉(zhuǎn)化為/(左-2/)</(2?-4f),

又因為函數(shù)/'(x)在R上是減函數(shù)，所以k-2產(chǎn)>2『-4r,

所以左>4產(chǎn)-4/,令g(/)=4產(chǎn)—4/,

題意可知：問題等價轉(zhuǎn)化為上〉g").,

又因為g(t)mM=g[g)=-l,所以％>—1,故左的取值范圍為(-1,+CO).

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/(力=加一2ax+b(a>0)在區(qū)間[0,3]上有最小值2和最大值10.

(1)求。，6的值；

⑵設(shè)g(x)=?，若不等式g(2*)+左220在xe[T,0]上恒成立，求實數(shù)上的取值范圍.

【解析】(1)/(%)=g2一2雙十6的對稱軸為X=1,因為〃〉0,

所以在區(qū)間[0,3]上最小值為/(1),最大值為〃3),

a—2a+b=2,a=2

解得

9a—6a+b=10,0=4

(2)由(1)可得g(x)=2尤+，一4,所以g(2*)+h2*N0可化為公2'2-2-2*-?+4,

化為％2—2—4/‘1+4--.令.=4貝1|左2-4〃+4r-2,

12VJ2，2

因為工￡[—1,0],故，E[1,2],記/?(?)=—4『+4，—2,

故如)3=MD=—2，所以實數(shù)上的取值范圍是[-2,內(nèi)).

【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)/(%)=-％2+3x+5,g(%)=2x+Q,若V再￡[0,2],Hx2￡[2,3],使得

/a)<g(%)，則實數(shù)〃的取值范圍是.

3

【答案】

4

【解析】當xe[0,2]時，/(了)=_苫2+3尤+5=-1無一]+彳，

.?.當彳=5時，/(Wmax=/[]J=7，

當xe[2,3]時，g(x)=2*+。為增函數(shù)，

所以x=3時，g(x)取得最大值g(3)=8+a,

:對e[0,2],3%2w[2,3],使得〃占)<8伍)，

/./(?max<g(x)max,

293

—<8+a,解得a>—.

44

【鞏固練習(xí)4]已知定義在R上的函數(shù)〃同=產(chǎn)-廣*+(%-1)3+尤,滿足不等式

f(2x—4)+/(2-3x)22,則x的取值范圍是.

【答案】(v,T]

【分析】由函數(shù)解析式可令〃(x)=f(x)T,且/z(x)是R上的增函數(shù)并關(guān)于點(1,0)成中心對稱，將

不等式變形即可求得〃(2X-4)2/7(3X),解得尤WT.

【詳解】易知函數(shù)y=eI,y=-eI,y=(尤-l)3,y=尤在R上為單調(diào)性遞增，

即可得/(x)=e^-e1-"+(x-Ip+x是R上的增函數(shù)，

々〃(x)=/(x)-l=ei-ei+(x-l)3+x-l,貝|/z(x)是R上的增函數(shù),

易知/z(2_%)=eir_exT+(l—x)3+]_%=—/z(x),可得力(2_%)+"(x)=0,

即MX)的圖象關(guān)于點(i,o)成中心對稱，

由)(2*—4)+)(2—3對22可得)(2彳一4)-