山東省2024-2025學年高三年級上冊第一次備考監(jiān)測聯(lián)考（10月）數(shù)學試題

山東省第一次備考監(jiān)測聯(lián)考

數(shù)學

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語，不等式，函數(shù)與導數(shù)，三角函數(shù)，解三角形，

平面向量.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合加={—3,—1,1,3,5},N={HX2+X—620卜則MnN=()

A.{-3}B.{3,5}C.{-3,3}D.{-3,3,5}

2.已知函數(shù)/(x)=e*—則()

A-7⑴=-]B-/⑵='—eC./”)=—■!D-r(2)=e2-e

3.已知函數(shù)/(x)=(x—2)",〃eN*,貝廣九=1”是"/(x)是增函數(shù)”的(

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

已知函數(shù)/（%）=；1211（5-0）（69〉0,0<0<兀）的部分圖象如圖所示,

4.貝IJ儂9=(

71

D.

6

5.若對任意的x,yeR,函數(shù)/（%）滿足+，則〃4）=（）

A.0B.2C.4D.6

6.某公司引進新的生產(chǎn)設(shè)備投入生產(chǎn)，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤s（單位：百萬元）與新設(shè)備運行

的時間單位：年，teN*）滿足s=1—：廠+50/-98,/<8,當新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤最

-?+10?2-2?J>8,

大時，新設(shè)備運行的時間/=（）

A.5B.6C.7D.8

7.如圖，在ZXABC中，N8AC=120。,A3=2,AC=1,0是靠近5點的三等分點，E是邊5C上的動點，

則赤?①的取值范圍為（）

8.已知函數(shù)/（X）=%3+3X+1,若關(guān)于x的方程/儂11。+/（m+（208^）=2有實數(shù)解，則他的取值范圍

為（）

A.[-B.[-C.[-1,1]D.[。,1]

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列結(jié)論正確的是（）

A.“ic>0,lnx—x<0”的否定為“V尤>0,lnx—x20”

B.在Z\ABC中，若6C>AC,則sinA>sin（A+B）

C.若tan[。+：]=—3,則tan。=2

D.若。=工，則4+4Z?2>4

b

10.由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到19世紀.直到1872年，德國數(shù)學家戴德金從連續(xù)性的定義出發(fā)，

用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)被認為“無

理”的時代.所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空的子集E與尸，且滿足

EUb=Q,En^=0,E中的每個元素都小于廠中的每個元素，稱（￡,尸）為戴德金分割.下列結(jié)論正確

的是（）

A.E={尤eQ|尤<1},R={xeQ|尤>1}是一個戴德金分割

B.存在一個戴德金分割（E,尸），使得E有一個最大元素，/沒有最小元素

C.存在一個戴德金分割（￡尸），使得￡有一個最大元素，廠有一個最小元素

D.存在一個戴德金分割（瓦尸），使得￡沒有最大元素，廠也沒有最小元素

11.已知。=2I叫而,b=lnW,c=W,貝U（）

930

A.a>bB.c>aC.c>bD.b>a

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知非零向量萬萬滿足,卜—萬]萬=0,則乙與B的夾角為.

13.若?"且cos2a=cos[a-則二=.

14.已知正實數(shù)。力滿足加+38=2,則J?！淖畲笾禐開________.

-a2+2b+4

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）

已知向量。=(&,J5sinx),函數(shù)/(冗)=a-b+—.

（1）求/（%）的單調(diào)遞減區(qū)間;

（2）若/（x）在區(qū)間-加上的最大值為3,求7〃的最小值.

16.（15分）

記AABC的內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,已知小sinB+cosB=包也.

C

（1）求C；

（2）若C。是ZWC的中線，且CD=J7,AABC的面積為2退，求"BC的周長.

17.（15分）

已知函數(shù)/(x)=^x-(2a+3)e'+3ax.

(1)當a=3時，求曲線y=/(x)在(O,/(O))處的切線方程；

(2)求函數(shù)y=/(x)的極大值.

18.(17分)

在ZXABC中，設(shè)內(nèi)角A8,C所對的邊分別為瓦c.

(1)若b=a+2,c=a+4,是否存在正整數(shù)。，使得N*,且AABC為針角三角形?若存在，求出

a；若不存在，說明理由.

(2)若a=b=c=4,D為的中點，￡,歹分別在線段AB,AC上,且

ZEDF=90°,ZCDF=6>(0°<0<90°),求ADEF面積S的最小值及此時對應(yīng)的0的值.

19.(17分)

當一個函數(shù)值域內(nèi)任意一個函數(shù)值y都有且只有一個自變量x與之對應(yīng)時，可以把這個函數(shù)的函數(shù)值y作

為一個新的函數(shù)的自變量，而這個函數(shù)的自變量x作為新的函數(shù)的函數(shù)值，我們稱這兩個函數(shù)互為反函

數(shù).例如，由y=3x,xeR,得工=^?611,通常用x表示自變量，則寫成y=3，xeR,我們稱

y=3x,xeR與yU'l.xeR互為反函數(shù).已知函數(shù)/(%)與g(x)互為反函數(shù)，若兩點在曲線

y=/(x)±,C,。兩點在曲線y=g(x)上，以AB，四點為頂點構(gòu)成的四邊形為矩形，且該矩形

的其中一條邊與直線y=x垂直，則我們稱這個矩形為〃尤)與g(x)的“關(guān)聯(lián)矩形”.

(1)若函數(shù)=且點在曲線y=/(x)上.

(i)求曲線y=/(x)在點A處的切線方程；

(ii)求以點A為一個頂點的“關(guān)聯(lián)矩形”的面積.

(2)若函數(shù)/(x)=lnx,且〃尤)與g(x)的“關(guān)聯(lián)矩形”是正方形，記該“關(guān)聯(lián)矩形”的面積為S.證

明：S>2[五—g].(參考數(shù)據(jù)：V^-l-ln2<0)

山東省第一次備考監(jiān)測聯(lián)考

數(shù)學參考答案

1.D因為N={xX+x-620},所以N={x|xV—3時22},又M={—3,—1,1,3,5},所以

"AN={-3,3,5}.

2.B因為/(月=3—所以/'(x)=e、—/'⑴，則/''⑴=e—/'⑴，所以(⑴=]，則

f(x}=e-x,所以"I)=|/(2)=e2—,(2)=e2—e.

3.B由〃x)=(x—2)",得r(x)=〃(x—2產(chǎn)，則當”=2左+1,左eN時，/(x)=(x-2)”是增函數(shù),

故“〃=1”是“/(%)是增函數(shù)”的充分不必要條件.

JI'\I)JIJI

4.C由圖可知，“X)的最小正周期T=—=—,則0=2,——夕=—+E,左eZ,由0<°<兀，得

co232

兀E兀

(p=—,則09=一.

63

5.A令y=0,則由";y)=〃x)+〃y)，可得〃x)=—2/(0)為常數(shù)函數(shù)，令x=y=o,可得

/(0)=0,故"4)=0.

f98

c-2/--+50r<8

6.C由題意，新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤y=)=t''

t[-『+10”2/28.

Q8Q8

當/<8時，2t+型228,當且僅當￡=7時，等號成立，貝U—2f—B+50<22.當時，—/+

tt

10f-2=-?-5)2+23<14,當且僅當t=8時，等號成立.故當新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤最

大時，新設(shè)備運行的時間￡=7.

7.DAE-CD=|CD|-|AE|COS^,其中e為衣與C萬的夾角，且|AE|COS6?是正在麗方向上的投影

向量的模.如圖，過A點作的垂線，垂足為尸.由向量的投影可知，當E點與3點重合時，AECD

取得最大值，最大值為麗詼，當E點與。點重合時，樂?①取得最小值，最小值為

73AB|2+AC|2-|BC|21

-FCCD.ACsinl20(>=-mAF]=cosABAC=J--------......=——，

2111122ABAC2

歷

解得5C=V7,貝|AF=—.因為。是靠近8點的三等分點，所以

幽=￥，|網(wǎng)=小網(wǎng)2_冏2=第,從而頷E的最大值

同回=浮乂節(jié)=與.由=網(wǎng)_|網(wǎng)=手，則AECD的最小值

-四斗-斗、斗=4

3

8.A令g(x)=/(x)—l=/+3x,則g'(x)=3f+3>0恒成立，則g(x)在R上單調(diào)遞增，且g(x)

是奇函數(shù).由f(sinx)+/(m+cosx)=2,得f(sinx)-l=-(/(m+cosx)-1),即

g(sinx)=g(-m-cosx),從而sinx=-7n-cosx,即加=-sinx-cosx=-0sin[%+；)￡[—0,虛].

9.ACDA顯然正確.對于B,設(shè)JBC=Q,AC=5,因為〃>/?,所以sinA>sinB=sin(A+C),不一定

有sinA>sin(A+5)成立，B錯誤.

對于C,由tan[，+4]=tan)+l=_3,可得tan6=2,C正確.

I4)1-tan。

對于D,因為。=工，所以ab=l,所以a?+4b222a-2Z?=4,D正確.

b

10.BD對于A,因為EUb={xeQ|"l}wQ,所以A錯誤.

對于B,設(shè)石=卜6(2,41},F={xeQ|x>l},滿足戴德金分割，則￡有一個最大元素1,廠沒有最小

元素，所以B正確.

對于C,若E有一個最大元素，廠有一個最小元素，則不能同時滿足EU歹=Q,En歹=0，所以C錯誤.

對于D,設(shè)石=,€(3,<逐},F={XGQ|X>A/3},滿足戴德金分割，此時E中沒有最大元素，尸中

也沒有最小元素，所以D正確.

c"g4點1.11019(.1\,1(.11.

11.BCDa-2100=210=一,/?=In一=-In一=-1In1---\,a-b-----l-1ln1-.令

1091010J10I10j

1—丫

/(x)=x+ln(l-x),xG(0,l),貝ijy'(x)=l--------==一<0,〃x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以

1—X1—X

109,,,,10109

</(0)=0,即a<b.因為c=一，所cr以b-c=ln-----.令

130V91099\10

2

A(x)=]nx-y[x+—^,XG(l,+oo),貝()"(%)=L112^fx-x-1-(Vx-I)

33

y/Xx2222

10

在（1,內(nèi)）上單調(diào)遞減，所以〃</z(l)=0,即Z?vc.

因為I；之一5）?萬=0,所以萬.5二

12.-設(shè)n與B的夾角為e,則

6

a-b_i7T

cosd=X------------，解得。=二

wrIK坪6

2

71(z-sintz=^-(cos(z+sin(z).因為所以

13.—由cos2a=costa—：)，得cos21

12

V2—.由ae10,71兀3兀

cosa+sinawO,則cosa—sina=——,則cos]：，得a+色e,則

244?T

兀兀ATIZC3兀

a+—=—,解得a=一

4312

1ababab

14.—因為2a+3Z?=2,所以

26-a2+2Z?+4-a2+Z?(2tz+3/?)+(2a+3b)23a2+12b2+14ab

13aVLbic421

.又a>0,Z?>0,所以——?----22.----------12,當且僅當a=—力7二一時，春A節(jié)成

3a12b1baba77

——+——+14

ba

ab

立，則的最大值為

-a2+2b+426

15.解：（1）因為西=sin2x,cosx,5=isinx，

1-cos2x+V3sin2x

所以4B=sin2%+百sinxcosx==sin|2%T-C-I+-,

2262

則/(%)=sin12%-￡)+2.

7T7T37r71Sir

由2+2E?2x—乃+2E,左eZ,得乙+EKX?H+E,左6Z,

26236

jr5兀

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為-+k7t,—+k7i,keZ.

JI//j[JIJI

(2)因為——<x<m,所以----<2x——<2m——.

4366

71上的最大值為3,所以sin[2x—V1+2W3,即sin12x—<1,

因為/(x)在區(qū)間一工，加

TTTTIf

所以2根—生之2,解得加之2,

623

7T

即機的最小值為一.

3

16.解：(1)因為也sinB+cosB=":,

c

所以gsinBsinC+cosBsinC=sin(B+C)+sinB,

即由sinBsinC+cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC+sinB.

因為sinBwO,所以J§sinC=cosC+l,

即2V3sin—cos—=2cos2—.

222

因為0<一<一,cos一〉0,所以tan—=—^―,解得C=―.

222233

(2)因為ZXABC的面積為2石，所以工。左由。=L。匕義且=26,解得ab=8.

222

因為是ZXABC的中線，豆CD=幣,所以2①=瓦+瓦，

兩邊平方得4同2=同+同+2國環(huán)

即28=/+/+2〃灰(九三，化簡得28=(〃+力2一"，解得〃+/?=6.

由余弦定理得c2=a2+b2—2abcos^=((2+Z?)2—3ab-12,解得c=2^3.

所以人鉆。的周長為6+2月.

17.解：(1)當a=3時，f(x)=e2j-9er+9x,f(0)=-8,

又因為/'(x)=2e2x-9ex+9,所以/'(0)=2,

所以曲線y=/(x)在(0,/(0))處的切線方程為y+8=2x,即2x—y—8=0.

(2)因為〃x)=e2x-(24+3爛+3-,

所以尸(x)=2e2x—(2a+3)e*+3a=(eA-fl)(2er-3).

①當a>|■時，y=/(x)在^-co,ln-1^上單調(diào)遞增，在^ln|-,lna^上單調(diào)遞減，在(lna,+w)上單調(diào)遞增，

所以y=/(%)的極大值為f［in.J=3flln|-3a-1.

②當a=1時，/'(x)20恒成立，無極大值.

③當0<。時，y=/(%)在(-co,lna)上單調(diào)遞增，在］lna,ln|J上單調(diào)遞減，在［ln|>+oo］上單調(diào)

遞增，所以丁=/(%)的極大值為/(Ina)=e2111a-(2a+3)elnfl+3alna=-a2-3a+3alna

④當aWO時，/(x)=2e2，—(2a+3)e*+3a=2(e，—a)卜—其符號與e*―：的符號一致，所以

)=/(#在［-8,1113上單調(diào)遞減，在「ng,上單調(diào)遞增，無極大值.

3393

綜上，當a>］時，y=/(x)的極大值為3aln1—3a—當0<a<1時，y=/(x)的極大值為

-a2-3a+3alna.

18.解：(1)假設(shè)存在正整數(shù)a滿足題設(shè).

因為a<〃<c,所以C為鈍角，

由_］<cosC—+(。+2)-(a+4)<0,得〃一44一i2<0,解得—2<a<6.

2a(a+2)

因為aeN*,&eN*,所以。=1或。=4,當。=1時，AABC不存在，故存在a=4滿足題設(shè).

A

cDB

（2）如圖，因為NED9=90°,NCDP=e（0°<6><90°），所以N5￡>E=90°—8.

DF2石

在△CD/中，因為------=—%-------,所以。尸二—

sin60°sin（6+60。7）sin（0+60°）

DE2出

在△fiDE中，因為------=-7----------7，所以。E

sin60°sin（150。—。）sin（150。-￡）?

1QA

訴V-_V________________________________>

（e+60o）sin（150。一e）―6+2sin26

當8=45°時，S取得最小值12—66.

19.(1)解：(i)因為點A1；，yj在曲線/(%)=&上,所以％=￡=?

由〃%)=石，得/。)=上，則/(j=l，

則曲線y=/(x)