湖北省武漢市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上冊10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

湖北省武漢市漢陽一中、江夏一中2024-

2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.已知2（1,1,1）,8（1,0,1）,元=（1,-1,1）,則點(diǎn)Z到直線5c的距離為（）

3333

2.若直線歹="+4（無>0）與曲線y=有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（）

A.（V3,+oo）B.[G,+OO）C.[G,2]D.（V3,2]

oi

3.已知°>0,6>0,直線4：（a—l）x+y—l=04：x+2如+1=0,且4LG貝）一+」的最小

ab

值為（）

A.2B.4C.8D.9

4.若圓/+/+4尸令―]0=o上至少有三個不同的點(diǎn)到直線/：G+勿=o的距離為

20,則直線/的斜率的取值范圍是（）

A.[2-V3,2+V3]B.[-2-73,-2+73]C.[-2-73,2+V3]D.[-2-73,2-V3]

5.某射擊運(yùn)動員連續(xù)射擊5次，命中的環(huán)數(shù)（環(huán)數(shù)為整數(shù)）形成的一組數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為

8,唯一的眾數(shù)為9,極差為3,則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）

A.7.6B,7.8C.8D,8.2

6.已知圓0：/+/=4,從圓上任意一點(diǎn)拉向x軸作垂線段〃N,N為垂足，則線段的中

點(diǎn)尸的軌跡方程為（）

222222

A.二+/=1B4+匕=1C.土+匕=1D.土+匕=1

44164416

2

7.已知橢圓C:\+/=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,直線y=x+加與。交于48兩

點(diǎn)，若△片4B面積是△鳥48面積的2倍，則加=（）

B.—U.------D-

3t

8.已知點(diǎn)P在以片，鳥為左、右焦點(diǎn)的橢圓0：￡+工=1伍〉6〉0）上才解圓內(nèi)存在一點(diǎn)

a1b2

。在尸鳥的延長線上，且滿足。片，。尸,若sin/公尸0=|廁該橢圓離心率取值范圍是（）

、

D.

47

二、多項選擇題

9.下列說法正確的是（）

A.若有空間非零向量則存在唯一的實(shí)數(shù)2，使得3=蘇

84民。三點(diǎn)不共線,空間中任意點(diǎn)。,若赤=』方+工礪+工反,則尸4民。四點(diǎn)共面

488

C.a=(x,2,l),b=(4,-2+x,x)，若a//b,則x=-2

10.已知實(shí)數(shù)燈滿足曲線C的方程/+/—2》_2=0,則下列選項正確的是（）

A.x2+y2的最大值是6+1

B.2±l的最大值是2+逐

X+1

C.|x-y+3]的最小值是2行一6

D.過點(diǎn)（0,/）作曲線C的切線，則切線方程為x—g〉+2=0

11.設(shè)橢圓C:[+[=l的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,坐標(biāo)原點(diǎn)為。.若橢圓C上存在

一點(diǎn)P,使得|OP|=S，則下列說法正確的有（）

A.cosZFlPF2=—B.PFXPF2=5

C.zXF/g的面積為2口.△公尸月的內(nèi)切圓半徑為3-1

三、填空題

12.已知空間向量￡=（2,1,2）,3=（1,則々在加上的投影向量的坐標(biāo)是-

13.已知橢圓c.二+金=1的左、右焦點(diǎn)分別為片、鳥〃為橢圓C上任意一點(diǎn),P為曲

54

線E：+/一6丫—4歹+12=0上任意一點(diǎn)，則|必|+的最小值為.

14.已知產(chǎn)為直線歹=-2上一動點(diǎn)，過點(diǎn)尸作圓/+/=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為民。，則

點(diǎn)/(2,1)到直線的距離的最大值為.

四、解答題

15.設(shè)直線4:y=2x與直線(：x+y=3交于P點(diǎn).

(1)當(dāng)直線機(jī)過產(chǎn)點(diǎn)，且與直線％:x-2y=0垂直時，求直線機(jī)的方程；

(2)當(dāng)直線機(jī)過P點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線機(jī)的距離為1時，求直線機(jī)的方程.

16.從某學(xué)校的800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和19

5cm之間,將測量結(jié)果按如下方式分成八組:第一組[155,160),第二組[160,165),第八組

[190,195],下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與第八

組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人.

(1)求第七組的頻率；

(2)估計該校的800名男生的身高的平均數(shù)和中位數(shù)；

(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽取兩名男生，記他們的身高分

別為X),事件E=^x-y\<5｝，求P(￡).

17.如圖,三棱柱48C-451G的底面為等邊三角形,441=ZC,點(diǎn)分別為NC,CG的

中點(diǎn),NCED=30°,AB=6BD=戈■

(1)求點(diǎn)4到平面ADE的距離;

(2)求二面角4-BE-。的余弦值.

18.在校運(yùn)動會上，有甲、乙、丙三位同學(xué)參加羽毛球比賽，約定賽制如下:累計負(fù)兩場

者被淘汰,另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，直至有一人被淘汰;當(dāng)

一人被淘汰后，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，甲、丙首先比賽,乙輪空.設(shè)每場比

賽雙方獲勝的概率都為

2

(1)求丙連勝四場的概率；

(2)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

(3)甲、乙、丙三人中誰最終獲勝的概率最大?請說明理由.

19.設(shè)片，耳分別是橢圓6￡+E=1伍〉6〉0)的左、右焦點(diǎn)，過￡作傾斜角為三的直

crb23

線交橢圓。于43兩點(diǎn)，片到直線48的距離為3,連接橢圓。的四個頂點(diǎn)得到的菱形面積

為4.

(1)求橢圓。的方程；

⑵已知點(diǎn)〃(-1,0),設(shè)E是橢圓。上的一點(diǎn)，過兩點(diǎn)的直線/交了軸于點(diǎn)C,若

屋=2前，求2的取值范圍；

(3)作直線4與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)尸,0,其中尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,0),若點(diǎn)N(0#是線

段P。垂直平分線上一點(diǎn),且滿足NP.NQ=4，求實(shí)數(shù)/的值.

參考答案

1.答案：c

解析：因為4（1,1,1）,5（1,0,1）,就=（1,—1,1）,所以詼=（0,1,0）,

BA-BC

所以就在元上投影的長度為d=

BC

所以點(diǎn)Z到直線的距離為

故選:C

2.答案：D

解析：如圖所示:

直線y=自+4（無>0）過定點(diǎn)N（0,4）,曲線y=六二7與%軸負(fù)半軸交于點(diǎn)8（-2,0）,

設(shè)直線ZC與曲線（半圓）相切于點(diǎn)C,

若直線y=Ax+4（左〉0）與曲線y=有兩個交點(diǎn)，

則kAC<k<kAB,

4-0

而

若歹="+4（左>0）與半圓一+必=4,520）（圓心。（0,0）,半徑尸=2）相切，

4

則圓心到直線的距離滿足d=~^==2，解得k=出腳鼠=6,

\lk2+1

故選:D.

3.答案：C

解析：因為4所以(a—l)xl+lx2b=0,即a+23=l,

因為a>0,6>0,所以2+[=已+1](4+29=2+2+竺+324+2、也上=8,當(dāng)且僅當(dāng)

ab\ab)ab\ab

竺=@，即q=：L/=J_時等號成立，

ab24

所以2+工的最小值為8.

ab

故選:C.

4.答案：B

2

解析：根據(jù)題意，圓X+/+4X-4J；-10=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-2)2=18淇圓心

為(-2,2)泮徑—3夜,

若圓/+/+4x—4y—10=0上至少有三個不同的點(diǎn)到直線/：ax+by的距離為20，

則圓心(-2,2)到直線/的距離"<3/-2/=VL

設(shè)直線/:ax+by-0的斜率為左，則k=，直線/的方程為y=0,

則有〈夜，

解得2-左4-2+6,即左的取值范圍是[-2-G,-2+G].

故選B.

5.答案：B

解析：依題意這組數(shù)據(jù)一共有5個數(shù)，中位數(shù)為8,則從小到大排列8的前面有2個數(shù)，后面

也有2個數(shù)，

又唯一的眾數(shù)為9,則有兩個9,其余數(shù)字均只出現(xiàn)一次,則最大數(shù)字為9,

又極差為3,所以最小數(shù)字為6,

所以這組數(shù)據(jù)為6、7、8、9、9,

所以平均數(shù)為6+7+8+9+9=7.8.

5

故選:B

6.答案：A

解析：設(shè)線段跖V的中點(diǎn)尸(x,y),〃(%,%))，

x=x0

x0=x

所以＜j0+0解得＜

2

y0=y

又點(diǎn)河在圓0：》2+「=4上,

2

則—+（24=4,即亍+產(chǎn)=1-

故選:A

7.答案：C

解析：設(shè)直線y=x+加與%軸交于點(diǎn)A/（-加,0），直線方程與橢圓方程聯(lián)立得

4v24/。\

-J—+2mx+m2—1=0,A=（2m）2—4---^m2—1）〉0,解得-2＜m＜2.

設(shè)耳（-夜,0）,耳（亞,0）到直線的距離分別為4，d2,由題意得，

2--\AB\-d2=~\AB\-di,所以[=2刈.由三角形相似可得，

攻=34」干+嘰2,解得m=一也或加=一3及.因為一2〈加＜2,所以

d2\F2M\IV2+m|3

m=,故選C.

3

8.答案：B

3

解析：因為。片，。尸,sinN片尸0=《，

不妨設(shè)I尸周=5,則陽0|=3,故|尸0|=4,

設(shè)|尸用=加，則2a=5+M，|QF2\=4-m,

因為點(diǎn)。在線段學(xué)的延長線上，且點(diǎn)。在橢圓內(nèi)，

所以功＜4且怩。|+|g。|=3+4-加＜2。=5+根,所以1＜加＜4,

I------------4

又cos/F、PQ=J1一sin?AFXPQ=—,

2

所以陽用=2c=^\PF^+\PF^\-2\PF]-\PF^co^AF}PQ=7m-8m+25，

2

2(2。丫m-8m+25_18m18

則離心率滿足e一(五J+10w+25~~m2+10m+25~一一一25，

'/mH----F1U

m

因為1〈加＜4,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得用+三+10e~,36,

mv4J

18門81,50/11、

所以可，所以'2=1-169,/

m-\------FlO'7mH-------1-26'7

mm

故選:B.

9.答案：ABC

解析：對于A:若有空間非零向量￡，B，Z//M則存在唯一的實(shí)數(shù)2，使得3=花,A正確;

對于B:赤=3厲+，礪+!玩=3（而+秒）+1（而+而）+』（而+定），

4884、,8、’8、）

即可=-LPB-LPC，故則尸45c四點(diǎn)共面,B正確；

66

4=2x

rx—一2

對于C:因為力后,則存在實(shí)數(shù)2，使3=疝即-2+x=24,解得，，C正確；

A=—2

x=A

對于D:若｛厲,無，玩｝是空間的一個基底，則。,4片C四點(diǎn)不共面,D錯誤.

故選:ABC.

10.答案：BD

解析：由圓Cd+j?—2x-2=0可化為（x-以+/=3，可得圓心（1,0），半徑為廠=G,

對于A中，由/+/表示圓C上的點(diǎn)到定點(diǎn)。（0,0）的距離的平方，

所以它的最大值為[^/（1-0）2+02+V3]2=4+2G，所以A錯誤；

對于B中,2±1表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)尸1）的斜率上設(shè)2±1=左，即＞+1=左（升1）,

x+lX+1

由圓心(1,0)到直線y+l=Mx+l)的距離4=箕工三百，解得2-&4左V2+幾，

“2+1

所以2±1的最大值為2+迷，所以B正確；

X+1

對于C中，由卜->+3|表示圓上任意一點(diǎn)到直線x-y+3=0的距離的表■倍，

4

圓心到直線的距離d==2V2，所以其最小值為V2(2V2-V3)=4-新，所以C錯誤;

則點(diǎn)C與圓心連線的斜率為kx=-V2,

所以切線方程為了一行。(x—0),即xf+2=0,所以D正確.

故選:BD.

11.答案：ACD

解析：法1：由題意得。=2也，|^|=2c=2V8^4=4,則片(-2,0),g(2,0).由對稱

性可設(shè)尸(x0>0,j0>0),\PFX\=m,\PF2\=n,ZFlPF2=0,由

22

遼+江=1fx=46

84,解得廣。7°,又大(-2,0),與(2,0),所以

后三=不必=1

m=7(V6+2)2+l2=711+476,n=7(V6-2)2+l2=711-476,所以

mn=yjl1+4^6,yjl1—4^6=yjlI2—(4y/6)2=5.由橢圓的定義得加+〃=2Q=4j^,在

△片尸修中，由余弦定理，得忸回2=/+”2—2加“COS。，即

42=(m+-2mn-2mncos0=(4A/2)2-2X5-2X5COS0,解得cos。，故A正確；

___.3

PF、?PF,=mncosB=5義一=3,故B錯誤；

'25

△耳隼的面積為S△4%=g機(jī)〃sin8=gx5xjl—D=2,故C正確；

設(shè)△公尸耳的內(nèi)切圓半徑為r,由△片尸耳的面積相等，得S△與根=g(祖+〃+怩刃)?即

2=1(4V2+4)r,解得廠=血-1,故D正確.故選ACD.

法2：設(shè)歸周=7",|尸引=〃，/耳尸乙=。.易知a=2亞，c=V8^4=2,由極化恒等

式，得兩?可［=|。尸/_|。制2=7_4=3,故B錯誤；由中線長定理得

療+/=2(］。尸「+.葉)=22,由橢圓定義得掰+〃=2。=4近，所以

pp.pp3

(掰+〃)2=加？+〃2+2加〃=22+2加〃=32,所以加〃=5,所以cos。=——----,故A

mn5

正確；

3I-----------41id

由cos8=一,得sin8=Jl-cos?。,所以=—mnsm3=—x5x—=2,故C正

55國2225

確；

設(shè)△片尸耳的內(nèi)切圓半徑為r,由△片PR的面積相等，得S△耳”=3(祖+〃+|耳月1)人即

2=1(4V2+4)r,解得廠=應(yīng)-1,故D正確.故選ACD.

12.答案：

(333j

解析：?-S=(2,1,2).(1,1,-1)=2+1-2=1,|^|=V1+1+1=73,

b_(U,-l)J43V3_叵

同-Ji+i+i-丁~Ty

故上的投影向量的坐標(biāo)

故答案為:ST］

13.答案：2^-1

22

解析:橢圓C：二+2=1中，右焦點(diǎn)月(1,0),圓E：(x-3)2+3-2)2=1的圓心E(3,2),半

54

徑r=1,

顯然橢圓C與圓E相離，由點(diǎn)P在圓E上，得

于是|"P|+19以ME|-1+1班閆％|=J（3-1）2+2?-l=2V2-b

當(dāng)且僅當(dāng)M尸分別是線段即與橢圓。、圓E的交點(diǎn)時取等號，

所以恢。|+\MF21的最小值為20-1?

故答案為：20一1

14.答案：1

2

解析：設(shè)PQo，%）,

過點(diǎn)尸引圓X?+/=1的兩條切線,切點(diǎn)分別為民C,

則切點(diǎn)在以。尸為直徑的圓上，

圓心（且為］,半徑西則圓的方程是［x-血］+1-比］=不+1，

U2；2I2）V2）4

22

整理為:x+y-xox-yoy=0,

又點(diǎn)用。在圓/+/=］上，

兩圓方程相減得到了0%+^^=1,

即直線BC的方程是與1+為夕=1，因為為=-2,

代入XoX+VoV=1得x0%-2）/=1，則直線5CT旦過定點(diǎn),

2=3

所以點(diǎn),（2,1）到直線5c的距離d<|ZN|=（0-2）2+

~2

所以點(diǎn)/（2,1）到直線的距離的最大值為g.

故答案好

15.答案：(1)2x+y—4=0

(2)1=1或3x-4y+5=0

解析：⑴由尸x，解得尸=1,即點(diǎn).(1,2).

x+y=3［j=2

由直線/0:x-2y=0可知:勺=；.

?.“,/。，.?.直線加的斜率加―k—「，又直線機(jī)過點(diǎn)P(l,2),

I。一

2

故直線加的方程為:y—2=——,即2x+y—4=0.

(2)因為直線加過點(diǎn)尸(1,2),

①當(dāng)直線次的斜率存在時,可設(shè)直線用的方程為y-2=左(1-1),SPkx-y-k+2=0.

由坐標(biāo)原點(diǎn)o到直線加的距離d=￡3=1,解得k=-,

因此直線機(jī)的方程為:0x—歹一；+2=0,即3x—4歹+5=0.

②當(dāng)直線用的斜率不存在時，直線加的方程為x=1,驗證可知符合題意.

綜上所述,所求直線機(jī)的方程為x=1或3、-4》+5=0.

16.答案：(1)0.06;

(2)平均數(shù)為174.1,中位數(shù)為174.5;

7

(3)尸(￡)=行.

解析：(1)第六組的頻率為巴=0.08,

50

.?.第七組的頻率為1-0.08-5x(0.008x2+0.016+0.04x2+0.06)=0.06.

(2)由直方圖得,身高在第一組［155,160)的頻率為0.008x5=0.04,

身高在第二組［160,165)的頻率為0.016x5=0.08,

身高在第三組［165,170)的頻率為0.04x5=0.2,

身高在第四組［170,175)的頻率為0.04x5=0.2,

由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5,

設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高中位數(shù)為機(jī)，則170（根<175,

由0.04+0.08+0.2+{m—170）x0.04=0.5得加=174.5，

所以這所學(xué)校的800名男生的身高的中位數(shù)為174.5cm,平均數(shù)為

157.5x0.04+162.5x0.08+167.5x0.2+172.5x0.2+177.5x0.06x5+182.5x0.08+187.5x0.06+

192.5x0.008x5=174.1-

（3）第六組[180,185）的抽取人數(shù)為4,設(shè)所抽取的人為名“cd,

第八組[190,195]的抽取人數(shù)為0.008x5x50=2,設(shè)所抽取的人為

則從中隨機(jī)抽取兩名男生有ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB^B^15種情況，

因事件￡={|x-y|45}發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，所以事件￡包含的基

7

本事件為心她共7種情況.所以尸（￡）

15

17.答案：（1）-

2

⑵@

1

解析：（1）連接/G,4。,設(shè)4。與DE交于點(diǎn)F,

由44]=ZC可知，側(cè)面NCG4為菱形，所以NC]±4。，

因為點(diǎn)。,E分別為ZC,CG的中點(diǎn)，所以DEHAG,則DE1A{C,

因為ZCED=30°，所以ZCQA=30°,

則AAXAC=2NCC[A=60°，又AC=AAX，所以△44C為等邊三角形，

由AABC為等邊三角形,BD=6，得AC=2,

連接NQ，則4。1AC,AiD=43,

又48=#,5。=G，所以4序=BD'+4獷，則4。1BD,

易知8。，NC,因為NCn4。=。,4Cu平面ACCXAX,A.Du平面ACC.A,,

所以8￡>J_平面NCG4，

又4。u平面NCG4,所以8。，4。，

因為ADn0E=。,80u平面8。瓦DEu平面8QE,所以4c1平面8QE,

所以AXF為點(diǎn)4到平面8QE的距離，

又AXF=（4C=|，故點(diǎn)4到平面BOE的距離為1.

（2）由（1）可知，AD,NC，4。兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線￡（民。。,。4分別為x,y/軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

（3

則0（0,1,0）,2（0,-1,0）,8（百,0,0），4（0,0,道），6（0,2,百）,￡0,-,^-

36

所以而二仲,-@,礪=不

-V3,-?—,=0,-廠力

l22）、

由（1）知平面ADE的一個法向量為禾=（0,1,—百卜

3-2=。

設(shè)平面4BE的法向量為3=（xj,z），則［絲J=°,即2—,

\^BE?n=0-s/3x+—y+^-z=0

12,2

取歹=1,則〃=,

41c,n1—3V7

于祠*2M=-7，

-BE-D的余弦值為也.

因為二面角4-5E-。為銳二面角，所以二面角4-

7

18.答案：（1）—

16

⑵1

4

（3）乙最終獲勝的概率最大，理由見解析

解析：（1）丙連勝四場的情況為:“丙勝甲負(fù)，丙勝乙負(fù)，丙勝甲負(fù)，丙勝乙負(fù)”,

所以丙連勝四場的概率:p=（1T=1；

⑴16

（2）根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場比賽，

而甲、丙連勝四場的概率為仕丫X2=L

乙上場后連勝三場獲勝的概率為巴=

⑺8

需要進(jìn)行第五場比賽的概率巴=1-工-'=1-工=3；

38844

（3）三人中乙最終獲勝的概率最大.理由如下：

記事件N為甲輸，事件8為丙輸，

記事件〃:甲贏,記事件N:乙贏，

貝U甲贏的基本事件包括:3。8。,幺5cBe4c

9

(I)32

由對稱性可知，丙最終獲勝的概率和甲最終獲勝的概率相等,

即丙最終獲勝的概率也是2,

32

所以乙贏的概率為尸（N）=l-2x2=2,

又2_>2，所以三人中乙最終獲勝的概率最大.

1632

2

19.答案：（1）土+/=1

4

7

(2)A<-2^/l>--