6第六章-梁的應(yīng)力詳解

第六章梁的應(yīng)力1§6-1梁的正應(yīng)力正應(yīng)力σ切應(yīng)力τ內(nèi)力在橫截面上的分布剪力FS：彎矩M：MFSστ2

純彎曲

━━梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上無剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對應(yīng)的正應(yīng)力。MeM3

橫力彎曲

━━梁的橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)地，橫截面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。4Ⅰ.純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力計算公式的推導(dǎo)

(1)

幾何方面━━找出與橫截面上正應(yīng)力相對應(yīng)的縱向線應(yīng)變在該橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律。表面變形情況在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁：彎曲變形5

1.彎曲前畫在梁的側(cè)面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb(圖b)，在梁彎曲后成為弧線(圖a)，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；6

2.相鄰橫向線mm和nn(圖b)在梁彎曲后仍為直線(圖a)，只是相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，且與弧線aa和bb保持正交。7

根據(jù)表面變形情況，并設(shè)想梁的側(cè)面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側(cè)表面的交線，可作出如下推論(假設(shè))：平面假設(shè)梁在純彎曲時，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設(shè)已為彈性力學(xué)的理論分析結(jié)果所證實。8橫截面的轉(zhuǎn)動使梁凹入一側(cè)的縱向線縮短，凸出一側(cè)的縱向線伸長，從而根據(jù)變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層

(圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時橫截面繞著它轉(zhuǎn)動的軸━━中性軸

。（f)9令中性層的曲率半徑為r，則有縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律

考察相距dx的兩橫截面之間的梁段，在梁彎曲變形后的情況。兩個原來平行的橫截面繞中性軸相對轉(zhuǎn)動了角dq，梁的橫截面上距中性軸z為任意距離y處的縱向線應(yīng)變?yōu)?10即梁在純彎曲時，其橫截面上任一點處的縱向線應(yīng)變e與該點至中性軸的距離

y成正比。(c)彎曲變形11小變形時純彎曲情況下可假設(shè)梁的各縱向線之間無擠壓，認(rèn)為梁內(nèi)各點均處于單向應(yīng)力狀態(tài)。

(2)物理方面━━由縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律找出橫截面上正應(yīng)力的變化規(guī)律。梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉、壓彈性模量相同，則有這表明，梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化。12還有兩個問題沒有解決：1、中性軸位置在哪？2、中性層的曲率半徑ρ=？橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律13

(3)靜力學(xué)方面━━找出確定中性軸位置的條件以及橫截面上正應(yīng)力的計算公式。梁的橫截面上與正應(yīng)力相應(yīng)的法向內(nèi)力元素sdA

不可能組成軸力，也不可能組成對于y軸的內(nèi)力偶矩，只能組成對于中性軸z的內(nèi)力偶矩，即14將代入上述三個靜力學(xué)條件，有(a)(b)(c)以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關(guān)的幾何量，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)，而15其中為截面對于z軸的靜矩。為截面對于y軸和z軸的慣性積。為截面對于z軸的慣性矩。16由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而該兩式要求：

1.橫截面對于中性軸z的靜矩等于零，；顯然這是要求中性軸

z通過橫截面的形心；

2.橫截面對于

y軸和

z軸的慣性積等于零，；在對稱彎曲情況下，y軸為橫截面的對稱軸，因而這一條件自動滿足。(a)(b)(c)17由式(c)可知，直梁純彎曲時中性層的曲率為上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。顯然，由于純彎曲時，梁的橫截面上的彎矩M不隨截面位置變化，故知對于等截面的直梁位于中性層內(nèi)的梁的軸線將彎成圓弧。將上式代入式即得彎曲正應(yīng)力計算公式：(c)18

應(yīng)用此式時，如果取y軸向下為正，則在彎矩M按以前的規(guī)定其正負(fù)的情況下，所得正應(yīng)力的正負(fù)自動表示為拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。但實際應(yīng)用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應(yīng)力之點在中性軸的哪一側(cè)來判別正應(yīng)力為拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力；在此情況下可以把式中的y看作求應(yīng)力的點離中性軸z的距離。19

中性軸z

為橫截面對稱軸的梁(圖a，b)其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸z不是橫截面對稱軸的梁(圖c)，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。dzyo(b)

yc,max

yt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyo(a)20中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值smax為式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)，其單位為m3。hbzyodzyo21中性軸

z不是橫截面的對稱軸時(參見圖c)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為22簡單截面的彎曲截面系數(shù)(1)矩形截面Cbzyh23而彎曲截面系數(shù)為根據(jù)對稱性可知，圓截面對于形心軸z和y的慣性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iyoyz(2)

圓截面24(3)

空心圓截面由于空心圓截面的面積Ａ等于大圓的面積AD減去小圓(即空心部分)的面積Ad故有式中，。dOyzD25根據(jù)對稱性可知：思考：

空心圓截面對于形心軸的慣性矩就等于大圓對形心軸的慣性矩減去小圓對于形心軸的慣性矩；但空心圓截面的彎曲截面系數(shù)并不等于大圓和小圓的彎曲截面系數(shù)之差，為什么？而空心圓截面的彎曲截面系數(shù)為dOyzD26型鋼截面及其幾何性質(zhì)：參見型鋼表需要注意的是，型鋼規(guī)格表中所示的x軸是我們所標(biāo)示的z軸。27Ⅱ.純彎曲理論的推廣工程中實際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，此時梁的橫截面由于切應(yīng)力的存在而發(fā)生翹曲。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓。因此，對于梁在純彎曲時所作的平面假設(shè)和縱向線之間無擠壓的假設(shè)實際上都不再成立。但彈性力學(xué)的分析結(jié)果表明，受分布荷載的矩形截面簡支梁，當(dāng)其跨長與截面高度之比大于5時，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應(yīng)力其誤差不超過1%，故在工程應(yīng)用中就將純彎曲時的正應(yīng)力計算公式用于橫力彎曲情況，即28

例題

圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應(yīng)力smax和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處(圖b)的正應(yīng)力sa。29

解：在不考慮梁的自重()的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險截面，相應(yīng)的最大彎矩值為30由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面于是有危險截面上點a處的正應(yīng)力為31該點處的正應(yīng)力sa亦可根據(jù)直梁橫截面上的正應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按直線變化的規(guī)律，利用已求得的該橫截面上的smax=160MPa來計算：32顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為而危險截面上的最大正應(yīng)力為遠(yuǎn)小于外加荷載F所引起的最大正應(yīng)力。如果考慮梁的自重(q=1.041kN/m)則危險截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)?3等直梁橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，而且在這些邊緣處，即使是橫力彎曲情況，由剪力引起的切應(yīng)力也等于零或其值很小(詳見下節(jié))，至于由橫向力引起的擠壓應(yīng)力可以忽略不計。因此可以認(rèn)為梁的危險截面上最大正應(yīng)力所在各點處于單向應(yīng)力狀態(tài)。于是可按單向應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件形式來建立梁的正應(yīng)力強度條件：式中，[s]為材料的許用彎曲正應(yīng)力?！?-2梁的正應(yīng)力強度條件及其應(yīng)用34對于中性軸為橫截面對稱軸的梁，上述強度條件可寫作由拉、壓許用應(yīng)力[st]和[sc]不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁，為充分發(fā)揮材料的強度，其橫截面上的中性軸往往不是對稱軸，以盡量使梁的最大工作拉應(yīng)力st,max和最大工作壓應(yīng)力sc,max分別達(dá)到(或接近)材料的許用拉應(yīng)力[st]和許用壓應(yīng)力[sc]。35三類常見的強度計算問題1強度校核2設(shè)計截面3確定梁所能承受的最大荷載36例一矩形截面簡支木梁上作用有均布荷載（如圖），已知：l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，木材的彎曲許用正應(yīng)力為[σ]=10MPa，試對梁進行強度校核。37解：梁中的最大正應(yīng)力發(fā)生在跨中彎矩最大的截面上，最大彎矩為彎曲截面系數(shù)為最大正應(yīng)力為將l、b、h、q的數(shù)值代入上式得所以滿足強度要求l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，[σ]=10MPa38

討論：

(1)本題中如果q未知，欲確定所能承受的q的最大值。則變?yōu)榇_定最大荷載問題。取b=100mm,則h=150mm。

(2)如果b、h未知，但知h/b=3/2，欲確定b、h。則本題變?yōu)榻孛嬖O(shè)計問題。39(a)(b)

例題

圖a所示工字鋼制成的梁，其計算簡圖可取為如圖b所示的簡支梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力[s]=152MPa

。試選擇工字鋼的號碼。40解：在不計梁的自重的情況下，彎矩圖如圖所示41強度條件要求：此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以選用56b工字鋼。由型鋼規(guī)格表查得56b號工字鋼的Wz為42此時危險截面上的最大工作應(yīng)力為其值超過許用彎曲應(yīng)力約4.6%。工程實踐中，如果最大工作應(yīng)力超過許用應(yīng)力不到5%，則通常還是允許的。如果計入梁的自重，危險截面仍在跨中，相應(yīng)的最大彎矩則為43例

已知一處于平面彎曲的鑄鐵梁的橫截面如圖示，材料的許用拉應(yīng)力為[σt]=30MPa，許用壓應(yīng)力為[σc]=80MPa，試確定此梁所能承受的最大彎矩。44分析：橫截面上、下邊緣與中性軸的距離不相等，若

1材料的抗拉、壓能力相同452材料的抗拉、壓能力不同，即[σt]≠[σc]則應(yīng)分別對拉、壓應(yīng)力進行計算設(shè)全梁最大正彎矩為M1，最大負(fù)彎矩為M2（絕對值）拉應(yīng)力強度條件：

壓應(yīng)力強度條件：46解：(1)求橫截面的形心C的位置47(2)求截面對中性軸的慣性矩

(3)求抗彎截面系數(shù)48

為保證梁的安全，梁所能承受的最大正彎矩為：[M1]=39.45kN·m

(4)確定容許正彎矩M1

拉應(yīng)力強度條件：壓應(yīng)力強度條件：故不需要計算49

(5)確定容許負(fù)彎矩

M2為保證梁的安全，梁所能承受的最大負(fù)彎矩為：壓應(yīng)力強度條件：拉應(yīng)力強度條件：50

例題鑄鐵梁橫截面為槽形截面，該截面對于中性軸z的慣性矩Iz=5493×104mm4。已知b=2m，鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa

。試求梁的許可荷載[F]。(a)(b)51

解：

1、作彎矩圖確定危險截面B、C為危險截面。彎矩圖52顯然，B截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁拉應(yīng)力的強度。B截面：C截面：拉應(yīng)力強度計算彎矩圖53由B截面上最大拉應(yīng)力不得超過材料的許用拉應(yīng)力[st]的條件來求該梁的許可荷載：由此得F≤19200N=19.2kN。彎矩圖54顯然，B截面上的壓應(yīng)力最大。B截面：C截面：壓應(yīng)力強度計算彎矩圖55由B截面上最大壓應(yīng)力不得超過材料的許用壓應(yīng)力[sc]的條件來求該梁的許可荷載：彎矩圖由此得F≤36893N=36.8932kN。故該梁的許可荷載為[F]=19.2kN。而由拉應(yīng)力強度求得F≤19.2kN。56§6-3梁的合理截面形狀及變截面梁設(shè)計梁的截面時，既要滿足安全可靠，還要考慮經(jīng)濟合理。安全可靠就是要滿足強度條件：經(jīng)濟合理就是要節(jié)約材料。即荷載和材料（M和）一定的條件下，應(yīng)使Wz盡量大。57

(1)盡可能使材料分布在距離中性軸較遠(yuǎn)處，以使彎曲截面系數(shù)Wz增大。例：由四根100mm×80mm×10mm不等邊角鋼按四種不同方式焊成的梁(角鋼的長肢均平放，故四種截面的高度均為160mm)，他們在豎直平面內(nèi)彎曲時橫截面對于中性軸的慣性矩Iz和彎曲截面系數(shù)Wz如下：一、

合理的截面形狀58圖a所示截面圖b所示截面圖c所示截面圖d所示截面59例：比較矩形、正方形、圓形截面的合理性設(shè)三者的橫截面積相同（均為A），圓的直徑為d，正方形的邊長為a，矩形的高和寬分別為h和b，且h>b。矩形截面方形截面圓形截面矩形截面好于正方形，圓形截面最差。60dzyO(b)

yc,max

yt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyO(a)

(2)對于由拉伸和壓縮許用應(yīng)力值相等的材料

(例如建筑用鋼)

制成的梁，其橫截面應(yīng)以中性軸為對稱軸。dzyO(b)

yc,max

yt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyO(a)

(3)對于在壓縮強度遠(yuǎn)高于拉伸強度的材料(例如鑄鐵)制成的梁，宜采用T形等中性軸不是對稱軸的截面，并將其翼緣置于受拉一側(cè)。61為充分發(fā)揮材料的強度，最合理的設(shè)計為因即62將梁設(shè)計為等截面，則浪費材料。考慮各截面彎矩不同可將梁局部加強或設(shè)計為變截面梁。1.5mF1F2

50kN

40kN

60kNCABFB1.5mFA1.5m1.5mzy9.51001032010D

二、

變截面梁63也可將梁的截面高度設(shè)計成隨各截面彎矩大小而變化的變截面梁。若使梁的各橫截面上的最大正應(yīng)力都相等，并均達(dá)到材料的許用應(yīng)力，則這種變截面梁稱為等強度梁。梁的每個截面上的材料都得到了充分應(yīng)用。魚腹梁64三、

合理配置梁的荷載和支座也可以節(jié)約材料6566對于狹長矩形截面可以假設(shè)：1.橫截面上各點處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行，方向同F(xiàn)S；2.橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)處的切應(yīng)力大小相等。zyy下面求截面上距離中性軸為y處的切應(yīng)力由于梁的側(cè)面為自由表面，其上無切應(yīng)力，故根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，橫截面上側(cè)邊處的切應(yīng)力必與側(cè)邊平行。對稱彎曲時，距中性軸等遠(yuǎn)處的切應(yīng)力大小相等?！?-4矩形截面梁的切應(yīng)力67dx從發(fā)生橫力彎曲的梁中取出長為dx的微段，如圖所示。hbzyO68由于m－m和n－n上的彎矩不相等，故兩截面上對應(yīng)點處的彎曲正應(yīng)力s1和s2不相等。從微段中用距離中性層為y的水平面將微段梁切開，取下部為脫離體。其兩個端面mm′A1A和nn′B1B上與正應(yīng)力對應(yīng)的法向內(nèi)力F*N1和F*N1也不相等。69它們分別為式中，為面積A*對中性軸z的靜矩；A*為橫截面上距中性軸z為y的橫線AA1（或BB1）以下部分的面積(陰影線部分)。70即由于，故縱截面AA1B1B上有切向內(nèi)力dF'S71根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，距中性層為y的縱截面AA1B1B上在與橫截面的交線AA1處各點的切應(yīng)力t′均與橫截面正交，且大小相等。至于t′在dx長度內(nèi)可以認(rèn)為沒有變化。這也就是認(rèn)為，縱截面AA1B1B上的切應(yīng)力t′

在該縱截面范圍內(nèi)是均勻分布的。于是有72以上式代入前已得出的式子得根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，梁的橫截面上距中性軸z的距離為y處的切應(yīng)力t必與t'互等，從而亦有73矩形截面梁橫力彎曲時切應(yīng)力計算公式zyyy1式中，F(xiàn)S為橫截面上的剪力；Iz為整個橫截面對于中性軸的慣性矩；b為矩形截面的寬度(與剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*為橫截面上求切應(yīng)力t的點處橫線以外部分面積對中性軸的靜矩，。上式就是矩形截面等直梁在對稱彎曲時橫截面上任一點處切應(yīng)力的計算公式。74橫截面上切應(yīng)力的變化規(guī)律矩形截面梁橫力彎曲時，在對稱彎曲情況下距中性軸等遠(yuǎn)處各點處的切應(yīng)力大小相等。現(xiàn)在分析橫截面上切應(yīng)力t在與中性軸垂直方向的變化規(guī)律（即沿y軸的變化規(guī)律

）。上述切應(yīng)力計算公式中，F(xiàn)S在一定的橫截面上為一定的量，Iz和b也是定值，可見t沿截面高度(即隨坐標(biāo)y)的變化情況系由部分面積的靜矩Sz*確定。75bhdy1yyzOy176可見：

1.

t

沿截面高度系按二次拋物線規(guī)律變化；

2.

最大切應(yīng)力tmax在中性軸處(y=0)，截面上下邊緣τ＝0。77

例題某空心矩形截面梁，由四塊木板膠合而成。試求在橫力彎曲時膠合縫上的切應(yīng)力。梁的橫截面上剪力FS已知。78z解：79※§6-5工字形截面及其他形狀截面的切應(yīng)力1.腹板上的切應(yīng)力其中一、工字形截面80可見腹板上的切應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按二次拋物線規(guī)律變化。812.在腹板與翼緣交界處：在中性軸處：對于軋制的工字鋼，上式中的就是型鋼表中給出的比值。823.翼緣上的切應(yīng)力橫截面內(nèi)翼緣上平行于剪力FS的切應(yīng)力在其上、下邊緣處為零，在其它各處平行于FS的切應(yīng)力很小，故不予考慮。分析表明，工字形截面梁的腹板承擔(dān)了整個橫截面上剪力FS的95%以上。但是，橫截面內(nèi)在翼緣上有平行于翼緣長邊的切應(yīng)力τ1。83hdx

A*自由邊84圖中所示在橫截面內(nèi)，上、下翼緣左半部分和右半部分與腹板上的切應(yīng)力指向構(gòu)成了“切應(yīng)力流”。85

例題4-20

簡支梁由56a號工字鋼制成，試求梁的橫截面上的最大切應(yīng)力tmax和同一橫截面上腹板上a點處(圖b)的切應(yīng)力ta

。梁的自重不計。86圖d為該梁的剪力圖，最大剪力為FS,max，存在于除兩個端截面A，B和集中荷載F的作用點處C以外的所有橫截面上。(d)

解：由型鋼表查得56a號工字鋼截面的尺寸如圖b所示，且根據(jù)型鋼表有Ix=65586cm4和。前者就是前面一些公式中Iz，而后者就是我們以前在求tmax公式所。87(d)88其中：于是有：89二、

其他形狀截面(a)(1)T字形截面(2)薄壁環(huán)形截面仍用矩形截面切應(yīng)力公式計算。式中，A=2pr0d為整個環(huán)形截面的面積。90圓截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸z處，其計算公式為(3)圓截面梁91梁在荷載作用下，必須同時滿足正應(yīng)力強度條件和切應(yīng)力強度條件。在選擇梁的截面尺寸時，通常先按正應(yīng)力強度條件定出截面尺寸，再按切應(yīng)力強度條件校核。§6-6梁的切應(yīng)力強度條件92但是有三種情況需要考慮梁的切應(yīng)力強度：

1

梁跨度較短或在支座附近作用有較大的荷載對于工程中的大多數(shù)梁，切應(yīng)力都比較小，因而按正應(yīng)力強度條件選定截面后，不必再校核切應(yīng)力強度。9394

2組合薄壁截面（如焊接的工字形截面）工字形截面的剪力95%由腹板部分承擔(dān)3木材（順紋方向的抗剪能力較差）95梁內(nèi)最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力最大的橫截面的中性軸上，而中性軸上各點的正應(yīng)力為零，它們處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)，從而其切應(yīng)力強度條件應(yīng)按純剪切應(yīng)力狀態(tài)建立，即梁的切應(yīng)力強度條件為亦即式中，[t]為材料在橫力彎曲時的許用切應(yīng)力。梁的切應(yīng)力強度條件：96

例

圖示為一鋼軌枕木的受力簡圖，已知矩形截面尺寸的比例為，枕木的彎曲許用正應(yīng)力為，許用切應(yīng)力為，鋼軌傳給枕木的壓力，試為枕木選擇截面尺寸。97解：(1)根據(jù)最大正應(yīng)力設(shè)計截面尺寸

98(2)按最大切應(yīng)力進行校核即：原設(shè)計的截面尺寸不能滿足切應(yīng)力強度條件，須重新設(shè)計。99最后確定枕木的矩形截面尺寸為：100

例圖示吊車的起重量P=30kN，跨長l=5m。吊車梁由20