2023高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之函數(shù)講義

高考復(fù)習(xí)之函數(shù)小題總結(jié)

知識點一函數(shù)的概念

知識梳理

一、函數(shù)的有關(guān)概念

設(shè)A,8是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中任意一個數(shù)x,按照某種確

函數(shù)的定義定的對應(yīng)關(guān)系方在集合2中都有唯一確定的數(shù)V和它對應(yīng),那么就稱人

AfB為從集合A到集合B的一個函數(shù)

函數(shù)的記法y=Ax),x^A

定義域尤叫做自變量，尤的取值范圍川叫做函數(shù)的定義域

值域函數(shù)值的集合伏X)|xeA｝叫做函數(shù)的值域

同一個函數(shù)

一般地，函數(shù)有三個要素：定義域，對應(yīng)關(guān)系與值域.如果兩個函數(shù)的定義域相同,并

且對應(yīng)關(guān)系完全一致,我們就稱這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).

特別提醒：兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同就決定了這兩個函數(shù)的值域也相同.

三、函數(shù)的表示方法

四、分段函數(shù)

1.一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量X的不同取值范圍，有著不同的對

應(yīng)關(guān)系的函數(shù).

2.分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集;各段函

數(shù)的定義域的交集是空集.

3.作分段函數(shù)圖象時，應(yīng)分別作出每一段的圖象.

題型一函數(shù)概念的理解

方法規(guī)律:

1.判斷一個對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)，要從以下三個方面去判斷，即A,8必須是非空數(shù)集；A

中任何一個元素在3中必須有元素與其對應(yīng);A中任一元素在8中必有唯一元素與其對應(yīng).

2.函數(shù)的定義中“任一尤”與“有唯一確定的y”說明函數(shù)中兩變量尤,y的對應(yīng)關(guān)系是“一

對一”或者是“多對一”而不能是“一對多”.

例L可作為函數(shù)y=/（x）的圖象的是（）

例2.下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系y=f（無）的是（）

題型二函數(shù)概念的理解

方法規(guī)律:

相等函數(shù)一如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等.

①兩個函數(shù)是否是相等函數(shù)，取決于它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同，只有當兩個函數(shù)

的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同時，才表示相等函數(shù).

②函數(shù)的自變量習(xí)慣上用x表示，但也可用其他字母表示，如：兀1）=2%-1,g⑺=2廣1,

h（m）=2m-l均表示相等函數(shù).

例1.下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.f(x)=1與g(x)=x°B./(%)=國與g(%)=4^

2__________________

C.f(x)=x與g(x)=—D.=J/_]與g⑴=Jx+i.J%—]

JC

例2.下列選項中，表示的是同一函數(shù)的是()

A./(x)=V^,g(x)=(&『B./(x)=x2,g(x)=(x-2)2

c.y(x)=<',^(?)=|Z|D.y(x)=4x+l-4x-\-,g(-x)=Vx2-i

例3.在下列六組函數(shù)中，同組的兩個函數(shù)完全相同的共多少組()

①丁=Jx+2?Jx-2,y=J/_4②y=(五,,y=x

③y=2X+1(%ER+),y=|2犬+1|(%￡尺+)④y=(正了，y=x

@y=x2-2x-l,y=t2-2t-l?y=———寫，y=——

(%—2)x_2

A.2組B.3組C.4組D.5組

題型三已知函數(shù)解析式求值

方法規(guī)律：

解題時，（一）要注意審題，觀察分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（二）要注意一題多問時，有時前面問題的結(jié)論可作為后面問題的條件使用.

例1.若/(x)=f—2x,則⑴))=()

A.IB.2C.3D.4

例2.若函數(shù)f(x)=ad—1,a為一個正數(shù)，且f(f(—D)=—1,那么a的值是

例3.已知函數(shù)f(x—1)=(—3,則f(2)的值為()

A.-2B.6C.ID.0

例4.已知/(；x-l)=2x+3,f(ni)=6,則機等于()

A.-B.--C.-D.--

2244

例5.若滿足關(guān)系式/(%)+2/(-)=3%,則/(2)的值為

X

33

A.1B.—1C.D.一

22

例6.若/(九)對于任意實數(shù)x恒有2/(%)-/(-%)=3%+1,則/⑴的值為

題型四已知分段函數(shù)解析式求值

方法規(guī)律：

求分段函數(shù)函數(shù)值的方法

⑴先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.

(2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止.

當出現(xiàn)力/宙))]的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

]—%2]<]]

例1.設(shè)函數(shù)/(%)=2'—貝的值為.

例2.已知函數(shù)/(%)=]一2x,x?0,貝！(/⑴)=_______.

ln(-x),x<0

2

例3./(x)=<x=x<0,則〃y(_8))=()

log2x+l,x>0

A.3B.-3C.4D.-4

.._(s譏等。<0)

例4.若/(x)=6,則川(3)]=____________.

U-2x(%>0)

2x,0<%<1,

例5.已知函數(shù)/(%)=<2,l<x<2,,則/的值為(

1,xN2,

I2

A.IB.2C.-3D.-

2

x+2,x<0/、

例6.已知函數(shù).“力=<12+小一2),x>0,則"A

例7.設(shè)/⑴=儼一2,久之1°,則了⑸的值為()

(/[/(%+6)],%<10

A.10B.11C.12D.13

%2+2(xV2)

~若/(xo)=8,則xo=.

{2x(%>2)

例9.已知函數(shù)/(%)=若f(m)=L則m=.

12%(%<0)乙

2%+1r<1

例10.已知函數(shù)〃%)={2'，若/(/(°))=4。,則實數(shù)4=

x+ax,x>l

14

A.-B.-C.2D.9

25

題型五已知函數(shù)解析式求定義域

方法規(guī)律:

定義域特指X的值。函數(shù)題的解答不能不考慮函數(shù)的定義域，拋棄函數(shù)的定義域解決

函數(shù)問題沒有任何意義。但大部分學(xué)生都會忽視這一問題，所以被稱為隱形殺手，一定要確

立定義域優(yōu)先的思想。

基本解題思路①注意"定義域優(yōu)先”；

②不要對解析式化簡變形；

③在解不等式組時要細心、快而準，分類討論要全面，取交集時需要借助數(shù)軸；

④要注意端點值或邊界值能否取到；

⑤定義域要用集合或者區(qū)間的形式寫出；

⑥換元法要注意新變量的取值范圍；

⑦注意對于指數(shù)不等式、對數(shù)不等式和分式不等式的解法的通用方法。

（一）單一函數(shù)經(jīng)過四則運算結(jié)合求函數(shù)的定義域。

1、基本函數(shù)定義域的要求：

（1）分式函數(shù)，分母不為0；

（2）偶次根式函數(shù)的被開方數(shù)為非負數(shù)；

（不要忘記等號）

⑶一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R；

⑷x°中的底數(shù)不等于0;

（X-中的底數(shù)也不等于0）

⑸指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)定義域為R,對數(shù)函數(shù)y=log。］定義域為％>0；

（注意a>0且awl）

（6）y=sinx、y=cosx的定義域為R；

y=tanx的定義域為｛x|xw左兀+―,左￡z｝；j=cotx的定義域為|%wMi,左￡z｝；

⑺實際問題應(yīng)考慮實際限制。

2、剝洋蔥原理T一層一層T交集(同時成立)T最后把求定義域轉(zhuǎn)化成解不等式。

1

例1.函數(shù)〃x)=Jl-2,的定義域為()。

■Jx+3

A、(—co,—3)U(—3,0]B、(—oo,—3)U(—3,1]C>(—3,0]D>(—3,1]

例2.函數(shù)/(x)=ln土也+二系的定義域為。

x

1

例3.函數(shù)〃尤)=——+)4-用的定義域為()0

ln(x+l)

A、[-2,2]B、[-2,0)U(0,2]C、(-1,2]D、(-1,0)U(0,2]

例4.函數(shù)/(x)=(x-2)°+XH—的定義域為()

Vx+1

A.(2,+CO)B.(-1,+OO)C.(-1,2)U(2,+OO)D.R

例5.若集合A={x|y=J2x-1},函數(shù)y=ln(2-x)的定義域為8,則4口5=(

A.—,2B.(2,+oo)C.—,2jD.[2,+co)

題型六未知(復(fù)合)函數(shù)解析式求定義域

方法規(guī)律：

(二)單一函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的相互轉(zhuǎn)換。

1、單一到復(fù)合，類比聯(lián)想，整體代入。

由,=/(%)的定義域為4求，=/[g(x)]的定義域?qū)嵸|(zhì)是g(x)eA,求x的取值范圍。

例L已知函數(shù)、=/(%)定義域是[一2,3],則y=/(2x—1)的定義域是()

A.0,—B.[—1,4]C.——,2D.[—5,5]

例2.函數(shù)，(x)=Jlogg(2—5%)則/(3x—2)的定義城是()

114、「1113

A.B.—，—c.—,—

155J[1515,15)

7(2%)

例3.已知函數(shù)f(x)的定義域為［3,6］,則函數(shù)的定義域為()

333■1

A.[-,+-)B.[-,2)C.(-,+-)D.[--2)

2222

2、復(fù)合到單一，方法：換元法。規(guī)避易錯點：新變量的取值范圍。

由y=/lg(尤)］的定義域A，求y=/(x)的定義域，實質(zhì)是xeA，求g(x)的取值范圍,

此取值范圍就是y=/(x)的定義域。實質(zhì)就是換元法。

例4.已知函數(shù)/(2x+l)的定義域為(―2,0),則/⑺的定義域為()

A.(—2,0)B.(-4,0)C.(—3,1)D.-,1J

例5.已知函數(shù)f(2-r)的定義域是［-1,1］,則函數(shù)/(x)的定義域為。

例16.已知函數(shù)〃，-2x+2)的定義域是［0,3］,則函數(shù)/(x)的定義域為。

3、復(fù)合到復(fù)合，找到"橋梁"。

由,=/［＜?(%)］的定義域A，求y=/［"?］的定義域5，須先求y=/(%)的定義域C。

例7.己知函數(shù)y=/(x+2)的定義域是［―2,5),則函數(shù)y=/(3x—1)的定義域為()

/1o-I-］8、

A.［-7,14)B.(-7,141c.一,一D.一,一

L7v」(33」［33)

例8.若/（x+1）的定義域是［-g,2］,則函數(shù)/（/）的定義域為。

例9.已知函數(shù),=/（2工）的定義域是［-1,1］,則函數(shù)〃皿3尤）的定義域是（）

A.[—1,1]B.一,3c.[1,3]D.[6,9]

3

題型七根據(jù)定義域求參數(shù)

方法規(guī)律:

1.不等式ax2+bx+c>0的解是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是:

當。=0時，QO,c>0；

a>0

當awO時，<

A<0

2.不等式ax2+bx+c<0的解是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是

當。=0時，QO,c<0；

a<0

當awO時，<

A<0

例L若函數(shù)f（x）=j2，+2ka_］的定義域為R,則a的取值范圍為.

x-4

例2.若函數(shù)/（x）=的定義域是H,則實數(shù)加的取值范圍是O

mx2+47ra:+3

(0,|]B.[0,|]C.,|)D.(0,|)

A.[0

例3.若函數(shù)/（%）=I21=的定義域為尺，則實數(shù)，的取值范圍是（）

7ax-2ax+2

A.0<〃V2B.0<<7<2C.0<<2D.Q<a<2

題型八求函數(shù)的解析式

方法規(guī)律：

(-)已知函數(shù)類型，可設(shè)參，用待定系數(shù)法求解析式。

若已知函數(shù)形式(一次函數(shù)y=,左wO；二次函數(shù)>=辦2+b%+c,a。0；反比

例函數(shù)y=2,awO；指數(shù)函數(shù)y=。"，a>0且〃關(guān)1；y=log1x,。>0且awl；幕函

數(shù)y=%〃)，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(組),

通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進而求出函數(shù)解析式。

已知函數(shù)圖象，也用待定系數(shù)法求解析式。如果圖象是分段的，要用分段函數(shù)表示。

例L［多選］已知函數(shù)/(x)是一次函數(shù)，且/"(切=4%+3,則/(%)的解析式為()o

A、f(x)=—2x—3B>f(x)=—2x—lC>/(%)=2x+lD、/(x)=2x+3

例2.已知二次函數(shù)/(%)滿足/(0)=l,>f(x+l)-/(x)=2x,則的解析式為()o

A、/(x)=%2-x-lB、/(x)=x2-x+1

C、/(x)=x2+x-lD>f(x)=x2+x+l

(二)方程組法求函數(shù)解析式。

若出現(xiàn)f(x)與/(-)的關(guān)系式、/(X)與/(-%)的關(guān)系式或一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的關(guān)系

X

式，可構(gòu)造另一個等式，通過解方程組求解。

(1)互為倒數(shù)：/(x)+/(-)=g(x)；

X

(2)互為相反數(shù)：/(%)+/(-x)=g(%)或尸。)=/(%)+g(%)"(X)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù))。

例3.已知/(兄)+2/(-X)=3%一2,則/(%)的解析式為()o

2222

A、f(x)=-3x——B>/(x)=-3%+—C>/(x)=3x--D>/(x)=3x+—

例4.己知/(x)+2/(—)=3x,則f(x)的解析式為。

x

例5.設(shè)/(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，/(x)+g(x)=」一，求/(x)與g(x)的解析式。

x+1

(三)已知/(X)求復(fù)合函數(shù)f［g(x)］,或已知復(fù)合函數(shù)/［§(%)］的解析式求/(X)的解析式，

可用換元法、配湊法。

即令g(x)=r,反解出X,然后代入/［g(x)］中求出/⑺，從而求出/(X),注意新變量

的取值范圍。

2

例6.已知/(*-1)=2工，則f(x)的解析式為。

x

例7.己知f(6+l)=x+2?,則/(x+1)的解析式為。

(四)賦值法：當題中所給變量較多，且含有"任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”

的變量進行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。

例8.已知/(0)=1,對于任意實數(shù)無、y,/(x-y)=/(x)—y-(2x—y+l)恒成立，則/(x)的

解析式為。

題型九求函數(shù)的值域

方法規(guī)律：

(一)直接法

1＞觀察法：通過觀察如/(x)=Jor+6+c,/(x)nor?+6或/(%)=—^_等函數(shù)的定義

x"+a

域及性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的解析式，應(yīng)用不等式性質(zhì)，可直接求得函數(shù)的值域。

例L函數(shù)/(無)=3+j2—3x的值域為()o

A、［0,+oo)B、［l,+oo)C、［2,+oo)D、［3,+co)

例2.函數(shù)/(x)=X2—8x+4在［1,8］上的值域為()

A.[-12,-3]B.[-16,4]C.[-3,4]D.[-12,4]

例3.函數(shù)y=J-*—6x—5的值域為

A.[0,2]B.[o,4]c.（^O,4]D.[0,+OO）

2、數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于圖象的直觀性來求函數(shù)的值域，是一

種常見的方法，如何將給定函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的模型是解答此類問題的關(guān)鍵。

例4.函數(shù)=的值域為.

x+l,x<l

例5.函數(shù)/(X)=|X+1|+J(X—2)2的值域為()。

A、［0,+oo)B、［l,+oo)C、［2,+oo)D、［3,+oo)

例6.在實數(shù)的原有運算中定義新運算〃十〃如下：當時，a十b=a；當時，〃十匕=〃。

設(shè)函數(shù)/（%）=（1十??九一（2十兄），xG[-2,2],則/（x）的值域為（）o

A、[―4,—1]B、[—4,6]C、[—1,0]D、[0,6]

（二）利用分離常數(shù)法：

1、型如/。）=芻土《時，可化簡成/。）=左+-^的格式，?.?分母不為零，左。

ax+bax-\-b

Y—3

例7.函數(shù)/（%）==的值域為（）。

x+1

A、（—oo,—1]U[3,+oo）B、（—oo,—1）U（1,+8）C、（—oo,l）U（l,+oo）D、[2,+oo）

ax1+bx+c

2、型如y（x）=的函數(shù)，可化簡成/（力=左+—上-----的格式,再求值域。

dx1+ex+fdx+ex+f

12

例8.函數(shù)/(%)=—y的值域為()o

1+X

A>［-1,0］B、(-1,1］C、［l,+oo)D>［2,+co)

（三）利用基本不等式:

1、⑴型如/(x)=x+L①若x>0,則/(x)22(當且僅當％=L即當x=l時取

XX

②若x<0,則/(%)<-2(當且僅當X=工即X=—1時取"=")；

b

(2)型如f(x)=ax-\-一(a>0,Z?>0)：

x

①若%>0，則/(x)>2y/ab(當且僅當ax=—即x=時取

xVa

②若%<0,則/(x)<-14ab(當且僅當ax=—即x=-J—時取“=〃)；

%Va

4

例9.函數(shù)/(%)=1+—的值域為()o

x

A、(一*T]U[4,+oo)B、(-co,-2]U[2,+oo)

C、(—oo,—l]U[3,+oo)D、(—oo,0)U(0,+oo)

4

例10.函數(shù)/(x)=x+-----的值域為()o

x+2

A、(-oo,-6]U[2,+oo)B、(-oo,-4]U[4,+oo)

C、(—co,—2]U[2,+oo)D、(—co,—l]U[3,+oo)

2

2、型如/(x)=x時,應(yīng)先應(yīng)用分離常數(shù)法化簡成/(x)=a(x+b)+上+d的格

x+bx+b

式，再利用均值不等式求值域。

尤2+2無+2

例n.函數(shù)/(x)=的值域為()。

X+1

A、(一oo,T]U[4,+oo)B、(-co,-2]U[2,+oo)

C、(―8,—1]U[3,+8)D、(—00,0)U(0,+OO)

3、型如/(無)=—■如一時，應(yīng)討論x=0時/(x)的值域，再討論xwO化簡成

x+mx+n

f(x)=—號—型，最后利用均值不等式求值域。

x-\---\-m

x

例12.函數(shù)=的值域為(),,

廠+1

A、(—oo,-2]U[2,+oo)B>(―00,—1]U[l,+oo)C、(—co,——]U[―,+oo)D、[一小三|

2222

(四)利用換元法：型如f(x)=ax+b±dcx+d型,可用此法求其值域。

例13函數(shù)/(%)=X—J1—2%的值域為()o

A、(—oo,—l]B>(—co,—]C、(—oo,—l]U[1,+°°)D、(—co,——]U[~

例14.函數(shù)=2x-5+J15-4x的值域為()。

A、(—oo,—2]U[4,+8)B、(—co,3]C、(—oo,0]D、[2,+oo)

題型十已知值域求參數(shù)

「25~

例1.若函數(shù)y=必一3犬一4的定義域為[0,機],值域為-■-,-4,貝！|加的取值范圍是

()

-251「3-3

A.(0,4]B.4,—C.-,3D.—,+co

_4J12_2

例2.己知函數(shù)y=J(a-1)尤2+公+1的值域為[0,+8),求a的取值范圍為

A.a>lB.a>lC.?<1D.。<1

例3.若函數(shù)y=^gL(ax--4x+a-2)值域為R,則實數(shù)。的取值范圍是

2

題型十一分段函數(shù)與不等式的應(yīng)用

例1.已知函數(shù)/'（x）=—：一j，，則滿足不等式/（3—%2）<"2”的x取值范圍為

X—1,X<（J

（）

A.[-3,0）B.（-3,0）C.（-3,1）D.（-3,-1）

例2.設(shè)函數(shù)/（x）=，—，則滿足了（%+6）</（2尤）的x的取值范圍是（）

—1,x<10

A.（-QO,5]B.[5,6）C.（-oo,6）D.（4,6）

知識點二函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

知識梳理

一、增函數(shù)與減函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)五功的定義域為/,區(qū)間。U/：

⑴如果Vxi，X2^D,當X1<X2時，都有八尤1）勺（X2）,那么就稱函數(shù)/U）在區(qū)間D上單調(diào)遞增,

特別地，當函數(shù)式X）在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們稱它是增函數(shù).

（2）如果Vxi，X2^D,當X1<X2時，都有兀H）次尤2），那么就稱函數(shù)/U）在區(qū)間D上單調(diào)遞減,

特別地，當函數(shù)兀0在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們稱它是減函數(shù).

二、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y=Ax）在區(qū)間。上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=Ax）在這一區(qū)間具有（嚴

格的）單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=*x）的單調(diào)區(qū)間.

三、函數(shù)的最大（?。┲导捌鋷缀我饬x

最值條件幾何意義

①對于Vxe/,都有於在M，②WoG/,

最大值函數(shù)y=/"）圖象上最高點的縱坐標

使得心o）=M

①對于VxG/,都有心,'0^/，

最小值函數(shù)y=/3）圖象上最低點的縱坐標

使得"o）=M

四、函數(shù)奇偶性的幾何特征

一般地，圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)稱為偶函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)稱為直函數(shù).

五、函數(shù)奇偶性的定義

1.偶函數(shù)：函數(shù)兀0的定義域為/,如果Vxd/,都有一xd/,且外一x）=*x）,那么函數(shù)/（x）

就叫做偶函數(shù).

2.奇函數(shù)：函數(shù)式x）的定義域為/,如果\/尤6/,者B有一XG/,且1一冬=一8尤）,那么函數(shù)/（x）

就叫做奇函數(shù).

六、奇（偶）函數(shù)的定義域特征

奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱.

題型一無參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性

方法規(guī)律：

1.（單調(diào)性不能混合乘除）組合函數(shù)的單調(diào)性

①增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；

②增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；

③如果/（X）是增函數(shù)（/（x）wO）,那么總是減函數(shù)，-/（X）也是減函數(shù)。

2.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：

（1）定義法，步驟為：取值，作差，變形，定號，判斷.利用此方法證明抽象函數(shù)的單調(diào)

性時，應(yīng)根據(jù)所給抽象關(guān)系式的特點，對X1或馬進行適當變形，進而比較出/（%）與/（9）

的大小.

（2）利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系，若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函

數(shù)；若兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡稱“同增異減”.

(3)圖象法：從左往右看，圖象逐漸上升，則單調(diào)遞增；圖象逐漸下降，則單調(diào)遞減.

(4)利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

(5)性質(zhì)法：

2.在利用函數(shù)的單調(diào)性寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先應(yīng)注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)是函數(shù)定義

域的子集或真子集，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先確定函數(shù)的定義域；其次需掌握一次函數(shù)、二

次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

例L函數(shù)F(x)=1一—一()

X—1

A.在(一1,+8)上單調(diào)遞增B.在(1,+8)上單調(diào)遞增

C.在(-1,+8)上單調(diào)遞減D.在(1,+8)上單調(diào)遞減

例2.函數(shù)f(x)=X?—2x—3的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-oo,l)B.(-05,2)C.(l,oo)D.(2,+oo)

例3.函數(shù)f{x}^x-2\-x的單調(diào)減區(qū)間是()。

A、[1,2]B、[-1,0]C>[0,2]D>[2,+oo)

例4.下列函數(shù)在區(qū)間(一g,0)上為增函數(shù)的是()

A.y=lB.y=——+2C.y=—x2—2x—lD.y=l+x2

x

例5.(復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性)已知函數(shù)/(%)的圖象如圖所示，則函數(shù)且仁人心且工〃工)的

2

單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(-00,-3],[0,3]B.[-3,0],[3,+oo)C.(-0),-5),[0,1)D.(-1,0],(5,+00)

例6.(復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性)函數(shù)y=einx的單調(diào)增區(qū)間是

例7.(復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性)函數(shù)/(無)=1°8工(6-％—V)的單調(diào)遞增區(qū)間是—

2

例8.下列給定函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)是()o

A、于(x)=&B、g(x)=logi(尤+1)C、〃(x)=|x-l|D、w{x}=2X+1

2

題型二利用單調(diào)性求參數(shù)范圍

方法規(guī)律：

已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法：

(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性的定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)

區(qū)間比較求參數(shù)；(說白了就是題目所給的單調(diào)性范圍是函數(shù)本身單調(diào)性的一個子集)

(2)依據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性求解；

(3)要注意："函數(shù)/(x)的增區(qū)間是(a,b)”與“函數(shù)/(尤)在區(qū)間①，加上單調(diào)遞增”是

不同的，后者意味著區(qū)間(a,6)是函數(shù)/(x)的增區(qū)間的一個子集。

(4)已知復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，拆分復(fù)合函數(shù)，利用同增異減。

例1.函數(shù)y=(2加一l)x+b在R上是減函數(shù).則()

1111

A.m>—B.m<—C.m>——D.m<——

2222

例2.已知y=/+2(a-2)x+5在區(qū)間(4+8)上是增函數(shù)，則。的范圍是()

A.a<—2B.aN—2C.a>—6D.ci<-6

例3.如果函數(shù)/(x)=/+(a+6)x-1在區(qū)間(TO,1)上為增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是

例4.若函數(shù)“X)=—￡+2雙與g(x)=—吼在區(qū)間［1,2］上都是減函數(shù)，則a的取值范圍

A.(-1,O)U(O,1)B.(-l,o)u(o,l]c.(0,1)D.(0,1]

例5.函數(shù)/(x)=------------在(1,+s)上是減函數(shù)，則實數(shù)a的范圍是

x-a+3

例6.(復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性)函數(shù)y=正不在[0,2]上是減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是.

a+1

例7.(復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性)函數(shù)/(x)=log式6-奴)在[0,2]上為減函數(shù)，則。的取值范圍

是______

例8.(復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性)已知函數(shù)/(x)T°gJx2—依+3")在[1,+8)上單調(diào)遞減，

3

則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(^O,2]B.[2,+CO)C.,2D.——,2

題型三利用單調(diào)性解不等式

方法規(guī)律：

考查了解不等式，要設(shè)法把隱性劃歸為顯性的不等式求解，方法是：

⑴把不等式轉(zhuǎn)化為f[g(x)]>f[h(x)]的模型；

(2)判斷函數(shù)/(力的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式的函數(shù)符號脫掉，得

到具體的不等式(組)來求解，但要注意奇偶函數(shù)的區(qū)別.

例1.若函數(shù)/(x)是R上的減函數(shù)，則下列各式成立的是()

A.f(a)>/(2a)B.f(a2)<f(a)C.f(a2+2)<f(2?)D.f(a2+l)>f(a)

例2.已知/(x)是定義在H上的減函數(shù)，則關(guān)于x的不等式/(x2-%)-/(%)>0的解集為

A.(-00,0)U(2，+oo)B.(0,2)C.(-00,2)D.(2,+oo)

例4.己知函數(shù)/(x)在R上是減函數(shù)，且/(2)=-1,則滿足了(2x-4)>-l的實數(shù)x的取

值范圍是.

例5.已知函數(shù)〃力=：^1的定義域為[2,+8),貝|不等式/(無2+2)>/(尤2-2%+8)的

JL十X

解集為()

A.|,4^|B.[2,3)C.(f,3)D.(3,y)

例6.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且對任意的為，X2且X#X2都有

\f(xi)-f(%2)](xi-X2)>0成立，若f(~+1)>fCm2-m-1)對x^R恒成立，則實

數(shù)機的取值范圍是()

A.(-1,2)B.[-1,2]C.(-oo,-1)U(2,+oo)D.(-oo,-1]U[2,+00)

題型四搞定分段函數(shù)的單調(diào)性

方法規(guī)律:

(3a-l)x+4a,尤<1

例1.若函數(shù)/(x)=<,，是定義在R上的減函數(shù)，則。的取值范圍為()

-ax.x>l

L+00D.1

A.—,+00

8J3

一,x21

例2.若F(x)=彳%是A上的單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為一.

-x+3a,x<1

八/、ax,x<0,(羽)

例3.已知函數(shù)/(x)=%.，「滿足對任意石片々，都有''"‘'〃<()

(〃一3)%+4〃,%2。%—％2

成立，則〃的取值范圍是

ax.x>0

例4.已知函數(shù)/(%)=?！惆耍瑵M足對任意，都有成立，那么XW九2，都有

ax+3a-Q,x<0

“石)一/(々)>0成立,那么實數(shù)a的取值范圍是.

題型五函數(shù)奇偶性的判斷

方法規(guī)律：

(一)奇、偶函數(shù)的定義

1、奇函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x,都有—xw。,

且/(f)=-/(彳)，則這個函數(shù)叫做奇函數(shù)。

2、偶函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域為。，如果對。內(nèi)的任意一個X,都有-xwD,

且g(-x)=g(x),則這個函數(shù)叫做偶函數(shù)。

(二)奇、偶函數(shù)的性質(zhì)

奇函數(shù)偶函數(shù)

定義域關(guān)qF原點對稱

/(一%)=-f(x)/(一X)=f(x)

y隨x的變號而變號y隨尤的變號而不變號

圖象關(guān)于原點對稱圖象關(guān)于y軸對稱

在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同在原點兩側(cè)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反

若/(x)在x=0處有定義，貝4/(0)=0/(x)=/(-x)=/(|x|)

/。)=0是既奇又偶函數(shù)

1、定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；函數(shù)/(X)是奇函數(shù)是函數(shù)

/(X)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形的充分且必要條件；函數(shù)g(x)是偶函

數(shù)是函數(shù)g(x)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形的充分且必要條件。

2、〃x)=0除外的所有函數(shù)奇偶性滿足：

奇函數(shù)土奇函數(shù)=奇函數(shù)奇函數(shù)x奇函數(shù)=偶函數(shù)奇函數(shù)士偶函數(shù)=非奇非偶

奇函數(shù)x偶函數(shù)=奇函數(shù)偶函數(shù)土偶函數(shù)=偶函數(shù)偶函數(shù)x偶函數(shù)=偶函數(shù)

3、任意/(x)都可寫成一個奇函數(shù)(p(x)=,⑴—八一二和一個偶函數(shù)w(x)=八刈+/J-

的和。

4、常見的奇函數(shù)：々＞0且"W1

⑴f(x)=ax-a-x；(2)f(x)=xn(n為奇數(shù))；⑶/(%)=sin%；

Xlx1X,—x2x

a—aa—1a+aa+1

(4"(x)=tanx；(5)/(x)=，(x)=2x；

ax+a~xa2x+l'ax-a~xa-l

(6)/(x)=^—f(x)=；(6)/(x)=logfl(^—^),/(x)=log“(^^)；

1+a1-a1+x1-x

(7)/(x)=log。(7X2+1+x),f(x)=log”(7X2+1-x)，f(x)=log。(^/(^)2+1+bx),beR。

5、常見的偶函數(shù)：(1)/(%)=優(yōu)+。一"；⑵/(%)=|九|；

(3)f(x)=xn(n為偶數(shù))；(4)f(x)=msxo

例1.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()。

A、/(x)=x2+x+lB、g(x)=x3C>/z(%)=e*D、w(x)=ln(x2-1)

例2.下列函數(shù)中，為偶函數(shù)的是()

A.y=(x+1)2B.y=2~xC.y=|sinx|D.y=lg(x+1)+/g(x-1)

例3.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為()

A.y=j(?-x^B.y=\x-1|C.y=-3/+亦.y=4^

21+1

例4.已知函數(shù)/(x)=r——,g(x)=2x,則下列結(jié)論正確的是()

2^-1

A./(x)g(x)為奇函數(shù)8?/(%)g(x)為偶函數(shù)

C./(%)+g(%)為奇函數(shù)D-/(x)+g(%)為非奇非偶函數(shù)

例5.設(shè)函數(shù)/(x),g(x)的定義域為R,且/(九)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中

正確的是()

A./(x)g(x)是偶函數(shù)B.|/(x)|g(x)是奇函數(shù)

C./(x)lg(x)l是奇函數(shù)D.|/(%)g(%)|是奇函數(shù)

例6.函數(shù)/(x),g(x)在區(qū)間［-a,a］上都是奇函數(shù)，有下列結(jié)論：

①/(無)+g(無)在區(qū)間［-a,a］上是奇函數(shù)；

@f(x)-g(x)在區(qū)間［-a,a］上是奇函數(shù)；

@f(x)(無)在區(qū)間La,a］上是偶函數(shù).

其中正確結(jié)論的個數(shù)是()

A.OB.IC.2D.3

例7.下列判斷正確的是

A.函數(shù)/(x)=x—2”是奇函數(shù)B.函數(shù)/(X)=龍+—1是非奇非偶函數(shù)

x-2

—x2+l,x>0

2

C.函數(shù)/(%)=<是偶函數(shù)D.函數(shù)/(幻=1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

1

—x9—1,x<0

2

例8.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)且在(0,+")上單調(diào)遞增的函數(shù)有()

A.y=sinxB.V=%C._y=2X-ID.y-x3

例9.下列函數(shù)中，既為奇函數(shù)又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是()

xr23

A.y=10-10"B.y=log2(x+1)C.y=xD.j=|sinx|

例10.函數(shù)/(%)=%-->()

X

A.奇函數(shù)，且值域為(0,+oo)B.奇函數(shù)，且值域為R

C.偶函數(shù)，且值域為(0,+oo)D.偶函數(shù)，且值域為R

題型六已知函數(shù)奇偶性求參數(shù)

方法規(guī)律：注意奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)，必要時可以套數(shù)字求解答案.

比如奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x),就可以令X=1或者其他在定義域內(nèi)的數(shù)，套進去從而

求出答案。切記定義域(a,b)一定要關(guān)于原點對稱，也就是a,b互為相反數(shù)即a+b=O

注意：若函數(shù)式尤)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有式0)=0,但若為偶函數(shù)，未必有人0)

=0.

例1.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［2a—3,a］上具有奇偶性，則a=.

例2.設(shè)函數(shù)/(x)=(x2+為奇函數(shù)，則a=o

-4x

例3.若/(x)=—a_-3x為奇函數(shù)，貝!|。=

2

例4.若函數(shù)/(x)=廠+("+1)"+"為奇函數(shù)，則實數(shù)。=()。

x

A、-1B.0C、1D、2

例5.若函數(shù)/(x)=癥+(2a2-a-1)x+1為偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為()

A.IB.-1C.1或一0

例6.若函數(shù)y=a.3'+：為偶函數(shù)，則。=.

例7.已知函數(shù)/(力二丁,？—2-x)是偶函數(shù)，則。=.

例&若函數(shù)/■(力=/咕4(4*+1)-丘為偶函數(shù)，則4=,f(0)=?

例9.若定義域為［2a—10,3a］的函數(shù)/(%)=5*+2阮—3a+1是偶函數(shù)，則a=,

b=.

例10.已知,(久)=(a-l)x3+b/是定義在［b,2+切上的偶函數(shù)，則/6等于.

題型七利用奇偶性求函數(shù)值

方法規(guī)律：

1.先判斷函數(shù)整體的奇偶性，通過奇偶性的性質(zhì)求出對應(yīng)的函數(shù)值.

2.若函數(shù)整體的奇偶性判斷不出，則去判斷局部函數(shù)的奇偶性，然后再求對應(yīng)

的函數(shù)值.

5/?

例1.已知/(%)=〃%----1-2(a,beR),且［(5)=5,則/(一5)=()。

x

A、—15B、—5C、—1D、1

例2.已知函數(shù)/(x)=/nl+依+4(其中加、〃是常數(shù))，且/'(2020)=3,貝(J

/(-2020)=.

例3.已知/00=x2021+以3—bsinx—7,/(—5)=4,則/(5)=.

例4.已知函數(shù)式無)=9+5皿X+10^10，若八°)=2,則八一4)=.

題型八利用奇偶性求解析式

方法規(guī)律：

已知區(qū)間［a,加上的解析式，求［一仇一切上的解析式

(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè).

(2)要利用已知區(qū)間的解析式進行代入.

(3)利用的奇偶性寫出一人一x)或八一此，從而解出

注意：若函數(shù)於)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有即)=0,但若為偶函數(shù)，未必有人0)

=0.

例1.函數(shù)4x)是定義域為R的奇函數(shù)，當x<0時，_/(x)=—x+1,求人x)的解析式

例2.設(shè)/(x)為奇函數(shù)，且當x>0時，f{x}=ex-\,則當x<0時，/(尤)=()

A.e-lB.e-x+\C.3-ID.—

例3.已知函數(shù)y=/(x)在R上為偶函數(shù)，且當時，/(無)=爐—2x,則當％<0時,

/(九)的解析式是.

例4.已知函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且當x<0時，/(x)=x2—2x+3.則/(x)在x>0上的

表達式為.

例5.已知/(x)為奇函數(shù)，當x>0時，f{x)=lm-3x,則/(-I)的值為.

例6.函數(shù)"%)是定義在H上的偶函數(shù)，且當x>0時，/(x)=2x-4,則1)=

例7.已知危)是奇函數(shù)，且當xvO時，危)=—e*若加12)=8,貝！J〃=.

題型九奇偶性結(jié)合單調(diào)性求解集

方法規(guī)律：

利用單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法：

⑴充分利用已知的條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為外1)次X2)或加1)勺/2)

的形式，再利