廣西七地市2025屆高三年級(jí)上冊(cè)摸底測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

廣西七地市2025屆高三上學(xué)期摸底測(cè)試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.若集合/={#>2},8={引2</<3},貝I」（）

A.=0B.A^\B=AC.A\jB=BD.A\JB=A

2.曲線y=在點(diǎn)（-3,-8）處的切線斜率為（）

A.9B.5C.-8D.10

3.若向量/B=（2,5）,AC=（m,m-hl）f且A,B,。三點(diǎn)共線，則加=（）

2233

A.—B.—C.—D.—

3322

4.在四棱錐尸一/BCD中，“3。//40”是“3。//平面尸/?！钡模ǎ?/p>

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

（兀..4KV37i..3Q、

5.cos—+isin——cos--Fisin——=（z）

I55人1010J

A.1B.iC.-1D.-i

22

6.已知雙曲線C:^--匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為《，F(xiàn)2,尸為C右支上一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

169

點(diǎn)，。為線段處;的中點(diǎn)，T為線段用上一點(diǎn)，且|。刀=|。。|,則出刀=（）

A.3B.V10C.4D.5

7.定義在R上的奇函數(shù)/（》）在（0,+。）上單調(diào)遞增，且=則不等式4區(qū)40的解

I”x-2

集為（）

c.[-V^,-；]U｛O｝U（A/5',+8）D.卜8,-行）UU；

b

8.若數(shù)列｛4｝、"｝滿足%=出=1，n=a?+i-n+\,+則數(shù)列｛/+4｝的

前50項(xiàng)和為（）

A.2500B.2525C.2550D.3000

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.廣西壯族自治區(qū)有7個(gè)市區(qū)的面積大于1.3萬平有千米，這7個(gè)市區(qū)為南寧市（22100

平方千米）、柳州市（18596平方千米），桂林市（27800平方千米）,百色市（36300平方千

米），河池市（33500平方千米），來賓市（13411平方千米），崇左市（17332平方千米），

這7個(gè)市區(qū)的面積構(gòu)成一組數(shù)據(jù)，則（）

A.這組數(shù)據(jù)的極差為22889平方千米

B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)對(duì)應(yīng)的市區(qū)為桂林市

C.這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)對(duì)應(yīng)的市區(qū)為柳州市

D.這組數(shù)據(jù)中，大于1.8萬平方千米的頻率為：

10.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂

點(diǎn)的曲率等于27t與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面

角.角度用弧度制表示.例如：正四面體每個(gè)頂點(diǎn)均有3個(gè)面角，每個(gè)面角均為:，故其各個(gè)

頂點(diǎn)的曲率均為如-3乂1=兀.如圖，在正方體44GA中，AB=&,則（）

A.在四面體N8C，中，點(diǎn)A的曲率為五

7兀

B.在四面體/8CR中，點(diǎn)2的曲率大于?

C.四面體N8C2外接球的表面積為12兀

D.四面體"CD1內(nèi)切球半徑的倒數(shù)為\+46+3收

6

11.已知函數(shù)/（尤）=卜山2司+854%,則（）

A./（X）的最大值為:

試卷第2頁，共4頁

B./⑺的最小正周期為]

C.曲線y=〃x)關(guān)于直線X=g(4ez)軸對(duì)稱

D.當(dāng)xe[O,可時(shí)，函數(shù)g(x)=16/(x)-17有9個(gè)零點(diǎn)

三、填空題

,1,1

12.lg-+lg-=.

13.(x+y)(x-y)6的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為,一貫項(xiàng)的系數(shù)

為.

14.兩條都與y軸平行的直線之間的距離為6,它們與拋物線V=4x和圓(x+4)2+r=4分

別交于點(diǎn)A,8和C,D,則H/.|C必的最大值為.

四、解答題

15.在V4BC中，。，6,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，^.a2+b2ab+c2,6csin/=sinC.

⑴求C;

(2)求c的最小值.

16.在六面體4BCZ)—44GA中，平面48CD,441//AS1〃CQ//。鼻，且底面4BCD

為菱形.

(1)證明：8。1平面/eq%.

7

⑵若AA,=CG=],ZBAD=60°,4B=BB、=2.求平面/0G2與平面ABCD所成二面角

的正弦值.

試卷第3頁，共4頁

17.已知函數(shù)/(x)="-'+1nx.

a

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

⑵若/(x)存在最大值，且最大值小于0,求。的取值范圍.

18.甲、乙兩個(gè)口袋都裝有3個(gè)小球(1個(gè)黑球和2個(gè)白球).現(xiàn)從甲、乙口袋中各取1個(gè)小

球交換放入另外一個(gè)口袋(即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋)，

交換小球〃次后，甲口袋中恰有2個(gè)黑球的概率為P,,恰有1個(gè)黑球的概率為4“.

(1)求。1，%;

(2)求心，見；

〃31

(3)求數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式，并證明W>-￡<方.

i=\520

19.若一個(gè)橢圓的焦距為質(zhì)數(shù)，且離心率的倒數(shù)也為質(zhì)數(shù)，則稱這樣的橢圓為“質(zhì)樸橢圓”.

⑴證明：橢圓生+三=1為“質(zhì)樸橢圓”.

22554

22

(2)是否存在實(shí)數(shù)加，使得橢圓|^+\=1(0<機(jī)<36)為“質(zhì)樸橢圓”？若存在，求加的值；

若不存在，說明理由.

22

⑶設(shè)斜率為2的直線/經(jīng)過橢圓C:芯+方=1(0<6<3)的右焦點(diǎn)，且與C交于A,B兩點(diǎn),

|/兇=號(hào)，試問C是否為“質(zhì)樸橢圓”，說明你的理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DABCBCDCACDABD

題號(hào)11

答案BC

1.D

【分析】首先判定集合A和集合3的關(guān)系，再根據(jù)集合的運(yùn)算確定/口8=3,A[]B=A.

【詳解】由題意可得，集合3是集合A的一個(gè)真子集，

則/口3=8,A]JB=A,

故選：D.

2.A

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得解.

【詳解】由已知y=；/+l,則了=x?,

當(dāng)x=-3時(shí)，了=（一3丫=9,

即切線斜率1=9,

故選：A.

3.B

【分析】由題意可得下〃衣，根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：由A,8,C三點(diǎn)共線，

得萬〃就，

2

得2（機(jī)+1）-55=0,解得〃？=§.

故選：B.

4.C

【分析】利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合充分、必要條件的定義進(jìn)行判定.

【詳解】

答案第1頁，共12頁

R

D

/，-----\-\->/c

///\\//

///\、//

AB

由3C7//。，5cz平面尸40,4Du平面尸得BC//平面尸4D.

由5C7/平面尸40,3Cu平面平面/BCDCl平面尸4。=4。，得BC//AD.

故“BC//4D”是“BCII平面PAD”的充要條件.

故選：C.

5.B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,結(jié)合三角恒等變換可得解.

【詳解】^cosy+isin^￥cos)71..3疝

—+ism——

010J

(兀..7iV3兀..3

=cos—+isin—cos——+ism-

I55大10lioj

7i3兀.兀.3兀/.兀3兀兀.3兀、

=cos—cos------sin—sin------bi:sin—cos—+cos-sin—

510510\510510j

(713兀)..(713兀、

=cos—+——+isin—+——

(510)(510)

兀..兀

=cos—+1sin—

22

=1，

故選：B.

6.C

【分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線的定義，可得問題答案.

【詳解】如圖:

因?yàn)镻為C右支上一點(diǎn)，所以|尸耳|-忸閭=20=2/=8.

答案第2頁，共12頁

因?yàn)镺為坐標(biāo)原點(diǎn)，。為線段尸耳的中點(diǎn)，所以=尸閭，\FtQ\=~\PFt\,

則陽T|=\FtQ\-\QT\=\FtQ\-\OQ\=1(|^|-|^|)=4.

故選：C

7.D

【分析】首先根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，判斷/(0)=0,/(》)在(-雙。)上單調(diào)遞增，且

'1:=°'再結(jié)合函數(shù)/(x)的單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】由題意可得，〃0)=0,/⑺在(-雙。)上單調(diào)遞增，

由男”得/W<0廠（無"0

"_2<0'

X2-2>0

???/（無）40時(shí)，x<-1,或Owg,

又/一2>0,即尤<—y[2，或x>,

故[4T：，解得x<一行，

[x—2>0

「/(x)>0時(shí)，—或1之§，

XX2-2<0,即-夜<x〈收，

故，4!，解得-：4x40,或

，-2<033

則不等式，^40的解集為：xe(-^-V2)u-1,0o$/j,

故選：D.

8.C

【分析】又已知可得知+i+a+i=%+6“+2,可知數(shù)歹為等差數(shù)列，進(jìn)而可得解.

ba

【詳解】因?yàn)椤?=1，n=n+l-?+1,所以4=。2-1+1=1,

又限=6“+”T，bn+\=an-n+3,

則an+x+bn+x=an+bn+2,

所以數(shù)歹式乙+，｝是首項(xiàng)為q+4=2,公差為2的等差數(shù)列,

答案第3頁，共12頁

所以=2+（〃-1>2=2〃,

貝I數(shù)歹?。荩?+4｝的前50項(xiàng)和為50x2+^j^x2=50xQ+49）=2550,

故選：C.

9.ACD

【分析】將這7個(gè)數(shù)從小到重新排列，求出極差判斷A；找出中位數(shù)判斷B；求出第40百

分位數(shù)判斷C；求出大于1.8萬平方千米的頻率判斷D.

【詳解】解：這組數(shù)據(jù)（單位：平方千米）按照從小到大的順序排列為13411,17332,18596,

22100,27800,33500,36300,

所以這組數(shù)據(jù)的極差為36300-13411=22889平方千米，故A正確；

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)22100平方千米，中位數(shù)對(duì)應(yīng)的市區(qū)為南寧市，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)?x40%=2.8,所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為18596平方千米，

所以第40百分位數(shù)對(duì)應(yīng)的市區(qū)為柳州市，故C正確；

這組數(shù)據(jù)中，大于1.8萬平方千米的有5個(gè)，

所以大于1.8萬平方千米的頻率為：，D正確.

故選：ACD.

10.ABD

【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)及四面體的內(nèi)切球與外切球的半徑算法，結(jié)合曲率的定義分別計(jì)

算各選項(xiàng).

7T

【詳解】在正方體中，易證A4CQ為正三角形，AB1AD,,NB4C=—,

4

（IT7T7T11Ijr

在四面體N5C2中，點(diǎn)A的曲率為2兀-3+5+了二石-,A選項(xiàng)正確；

/AD】B=/BDC，ADBZBD?=

在正方體ABCD-44GA中,?.?tan/X=tanX1

rr

:.0<ZADiB^ZBDlC<-,在四面體/BCR中，點(diǎn)口的曲率為

+Z.BD.C+y>2TT-4'）=［，B選項(xiàng)正確；

???四面體/3C2外接球的半徑即為正方體/3CD-44GA外接球的半徑為且=迪,

22

2

四面體/BCR外接球的表面積為4兀X二18兀，c選項(xiàng)錯(cuò)誤;

答案第4頁，共12頁

四面體ABCj的體積K=；xgx(指『又屈=庭，

四面體4BCR的表面積S=；x("『+；x&匹x2+%(jrj=3+6A￡+3夕,

3V3/66

，四面體內(nèi)切球的半徑y(tǒng)—-----------------------------__--------------------------.........................................

'-s-3+6>/2+3V3-1+2X/2+V3-八+6+4'

即Ln+4G+3區(qū)D選項(xiàng)正確;

r6

故選：ABD.

11.BC

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)的周期性與對(duì)稱性可判斷各選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義

可解得卜苗2厘=：土?，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【詳解】f(x)=|sin2x|+1-21sin2x12=-2f^in2x|-；29

+-

8

1Q

當(dāng)bin2x|=:時(shí)，/(x)取得最大值，且最大值為,，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)閥=|sin2x|,y=cos4x的最小正周期均為所以1⑴的最小正周期為］B選項(xiàng)正

確;

in2r卜cos4xGZ),所以曲線y=f(x)

關(guān)于直線、=寧(左￡Z)軸對(duì)稱，C選項(xiàng)正確;

令g(x)=16/(x)-17=0,得/(冷=\,貝牛由2乂=；土",

結(jié)合函數(shù);Hsin2x|(OWxW兀)的圖象，可知方程卜畝2耳=；±*在［。,可上有8個(gè)不同的實(shí)根,

D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：BC.

12.-1

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式直接可得解.

答案第5頁，共12頁

【詳解】lgl+lgj=lg^=-l,

故答案為：T.

13.0-5

【分析】令尤=y=i可得展開式各項(xiàng)系數(shù)和，寫出展開式的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)求出Yj?

項(xiàng)的系數(shù).

【詳解】令x=〉=l,得(x+y)(x-y)6=0,即各項(xiàng)系數(shù)之和為0,

X(x+J)(x-J)6=X(X-J)6+J(X-J)6,

其中展開式的通項(xiàng)為&產(chǎn)re{0,1,2,3,4,5,6},

所以含x"的項(xiàng)為xC,(一y)3+yC*4(-y)2=一5/優(yōu)即//項(xiàng)的系數(shù)為-5.

故答案為：0；-5

14128G

,9

【分析】設(shè)直線CD方程為x=f,結(jié)合直線與圓相交可知年(-6,-2),則直線的方程為

x=f+6,根據(jù)直線與圓相交的弦長(zhǎng)及直線與拋物線相交得弦長(zhǎng)可得

|同|CD|=84+6)[4一《+4)1,設(shè)機(jī)=1+4<-2,2),結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得的最大值.

【詳解】設(shè)直線。方程為工=乙

由已知圓(x+4『+y2=4的圓心M(-4,0),半徑廠=2,

由直線CD與圓/相交，即點(diǎn)M到直線C。的距離〃寸+4]<2,解得-6<1<-2,

且=2yjr2-d2=2^4-(?+4)2;

直線45的方程為x=￡+6,設(shè)8(%2，丫2)，

聯(lián)立直線[；U：則乂=2E,y2——2諱+6,

KO\CD\=1^-J/2I=,

則朋.Q|=2j4_(+4y.4jZ?=8/+6)卜(+4J]f6<?<-2),

設(shè)加=/+4?_2,2),

答案第6頁，共12頁

則\AB\-\CD\=8J（加+2乂4-叫（-2<加<2）,

設(shè)f（冽）—（加+2乂4—%2）（_2<m<2）,

貝11fr（m）-（4一冽之）+（冽+2）?（-2冽）=-3m2-4m+4=-（3m-2）（m+2）,

令/'（加）>0,解得一2<加<§,令/'（加）<0,解得§（加〈2,

即/（加）在［-2,?上單調(diào)遞增，在［1,2）上單調(diào)遞減，

即當(dāng)機(jī)=g時(shí)，/（"）取得最大值為=等，

則|期?|CD|的最大值為8楞=笥叵，

故答案為：空8.

9

兀

15.（1）C=-

（2）1

【分析】（1）根據(jù)余弦定理直接可得角C；

（2）結(jié)合正弦定理邊角互化可知仍=1,則根據(jù)基本不等式可得最值.

【詳解】（1）因?yàn)?+〃=他+°2,所以cosC=>+」一廠

2ab2

因?yàn)镃e（0,7t）,所以C=5；

（2）因?yàn)閎csin/=sinC,

由正弦定理可知abc=c,

所以〃6=1,

由/+〃=ab+c2f

得。2=a2+b2-ab>lab-ab=ab=l

則cNl,

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=1時(shí)，等號(hào)成立.

所以。的最小值為1.

16.（1）證明見解析

0、3月

）13.

【分析】（1）先證NC18。，，2。，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明BD1平面ACC.A,.

答案第7頁，共12頁

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求二面角的三角函數(shù).

【詳解】(1)因?yàn)樗倪呅?BCD為菱形，所以/C18O.

又/4_L平面/BCD,8Ou平面A8CD,所以44]_LBZ).

因?yàn)?41,/Cu平面/CG4，

所以BD工平面/CG4.

(2)由題意得8。=2,AC=26

以菱形/3C。的中心。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，詼的方向分別為x,y軸的正方向，建立空間

直角坐標(biāo)系。孫z,如圖所示,

設(shè)平面481GA的法向量為4=(x,y,z),

x+s/3y--z=0

AB-^=0

XX2，令z=2,得，=(3,0,2).

則3

0G=0-X++—z—0

易知平面ABCD的一個(gè)法向量為%=(0,0,1),

/—*―472222^3-

貝Ucos伊1，n2)=....=-=一

|?1||?2|而X113

3V13

所以平面4B￡R與平面ABCD所成二面角的正弦值為J1-

13

17.(1)答案見解析;

答案第8頁，共12頁

(2)(-8,-1).

【分析】(1)求出函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)，再按。>0,。<0分類討論求出/(X)的單調(diào)區(qū)間.

(2)由(1)的信息，求出最大值，再建立不等式并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性求解即得.

【詳解】(1)顯然的定義域?yàn)?0,+8),求導(dǎo)得/(》)=。+[=生土1,

XX

當(dāng)。>0時(shí)，/(x)>0,/(x)在(0,-KO)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。<0時(shí)，由/'(x)>0,#0<x<--,令/'(x)<0,得x>-工，

aa

則在(0,-3上單調(diào)遞增，在(-L+8)上單調(diào)遞減，

aa

所以當(dāng)a>0時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,包)；

當(dāng)。<0時(shí)，/(無)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,-1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-L+8).

aa

(2)由(1)知，當(dāng)且僅當(dāng)。<0時(shí)，“X)存在最大值，且最大值為〃-工)=-1-工-111(-a).,

aa

11-11-/7/、

設(shè)g(?)=-l---ln(-?),求導(dǎo)得g,(?)=4-一=三>0,函數(shù)g(a)在(一叫0)上單調(diào)遞增,

cici—aa

又g(T)=0,則由g(")<0,得〃<-1,

所以。的取值范圍為(-”「1).

18.⑴Pi=|，%=:

1649

(2)p?=—g]，n%=—gj

⑶/=|-融-j,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)古典概型概率及互斥事件的概率公式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)條件概率與全概率公式計(jì)算即可；

(3)討論第〃(〃22)次換球后甲口袋中黑球的個(gè)數(shù)為1的情況下的三種情形，構(gòu)造等比數(shù)

列計(jì)算通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列求和公式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明即可.

【詳解】(1)第1次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球，即從甲口袋取出的為白球且從乙口袋取出

212

的為黑球，則)i=§x§=§.

第1次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球，即從甲、乙口袋取出的同為白球或同為黑球，得

22115

q、=—x—I—x-=一.

133339

(2)若第2次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球，

答案第9頁，共12頁

則當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球時(shí)，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球,

當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球時(shí)，第2次甲、乙口袋同取白球，

所以02=%X;X;+P]X—=—X--1——X—=—

3999381

若第2次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球，

則當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有0個(gè)黑球時(shí)，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球,

當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球時(shí)，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球,

當(dāng)?shù)?次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球時(shí)，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球，

2

所以/=。一/一R)x丁+孫義

(3)第〃(〃22)次換球后，甲口袋中的黑球個(gè)數(shù)為1的情形有：

①若第1次換球后甲口袋中有2個(gè)黑球，則第"次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；

②若第次換球后甲口袋中有1個(gè)黑球，則第〃次甲、乙口袋同取黑球或同取白球;

③若第1次換球后甲口袋中有0個(gè)黑球，則第"次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.

2

所以q”=A,-IX-+^?-IX

設(shè)4"+2=-§(或-1+2)("22),

則“1二一一彳一:"^,則一^2="|,得4=一

又%-1=-￡,所以數(shù)列1S3〕是以k2為首項(xiàng)，-51為公比的等比數(shù)列

-----------X—<——

,

1--2020920-

9

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)條件概率與全概率公式得出第n次換球后甲袋1個(gè)黑球的第”-1次

換球后甲袋中黑球個(gè)數(shù)的情形得出&Mi的關(guān)系式，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.

19.(1)證明見解析

(2)不存在實(shí)數(shù)機(jī)，理由見解析

(3)C為“質(zhì)樸橢圓”，理由見解析

答案第10頁，共12頁

【分析】（1）（2）根據(jù)橢圓的方程可得焦距與離心率，再根據(jù)“質(zhì)樸橢圓”的定義判斷即可;

（3）聯(lián)立直線與橢圓，根據(jù)韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可得6,進(jìn)而可判斷.

【詳解】（