平面解析幾何-2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習

(8)平面解析幾何——2025高考數學一輪復習易混易錯專項復習

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

22

1.已知小E是橢圓。：=+與=1(?！?〉0)的兩個焦點，尸為C上一點，且

ab

/阜第=60。,|尸周=5|p閭，則C的離心率為()

A.叵B.克C.1D.2

6223

2.已知圓C:(x-3)2+(y+2)2=9,過直線/:3x+4y+19=0上一點P向圓C作切線，

切點為0,則|PQ|的最小值為()

A.5B.2幣C.V7D.2石

3.為了增強某會議主席臺的亮度，且為了避免主席臺就座人員面對強光的不適，燈光

設計人員巧妙地通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線達到了預期的效果.如圖，從雙曲線右

焦點工發(fā)出的光線的反射光線的反向延長線經過左焦點耳.已知雙曲線的離心率為

0,則當怩P|與閨閶恰好相等時，cos/片8P=()

。存

4.已知拋物線。：/=2”K?>0)的焦點為-準線為/,點A,3在拋物線C上，且

滿足3尸.設線段A3的中點到準線的距離為力則四1的最小值為()

d

A.逑B.V3C.—D.6

22

22

5.已知點P是雙曲線C:寧-(=1上的動點，K，工分別是雙曲線C的左、右焦

點，。為坐標原點，則歸:黑閭的取值范圍是（）

A.[0,6]B.(2,V6]

二、多項選擇題

6.拋物線C：V=4x的準線為/,P為C上的動點.對尸作。人：必+（丁-4>=1的一條切

線，Q為切點，對P作/的垂線，垂足為氏則（）

A./與0A相切B.當P,A,3三點共線時，|PQ|=&?

C.當|依|=2時，PA±ABD.滿足|PA|=|P5|的點尸有且僅有2個

直線/:y=-gx+根與橢圓C交于

3

M,N兩點，且線段MN的中點為P,。為坐標原點，直線0P的斜率為士，則下列結

2

論正確的是（）

A.橢圓C的離心率為工

2

九2

B.橢圓C的方程為^+>2=1

C.若m=1,則|MN|=￥

D.若機=L，則橢圓C上存在E,R兩點，使得E,R關于直線/對稱

2

三、填空題

22

8.已知橢圓。:乙+乙=1的左、右頂點分別為A,B,尸是圓爐+產=8上不同于A,

86

3兩點的動點，直線P3與橢圓C交于點。若直線以斜率的取值范圍是[1,2],則直線

QA斜率的取值范圍是.

9.設耳，工是雙曲線f—產=4的兩個焦點，。是雙曲線上任意一點，過耳作

8平分線的垂線，垂足為則點“到直線x+y-30=0的距離的最大值是

四、解答題

10.已知拋物線C的頂點為坐標原點。，焦點口在坐標軸上，且過4（2,2五），

A/2^兩點.

（1）求C的方程；

（2）設過點R的直線/與C交于M,N兩點，P,。兩點分別是直線AM,BN與x軸

的交點，證明：IOPIJOQI為定值.

參考答案

1.答案：A

22

解析：在橢圓C:1T+力=l(a〉6〉0)中，由橢圓的定義可得歸制+|?閭=2a,因為

歸耳|=5歸閭，所以戶用=/，|尸用=(.在42月心中，山閭=2c,由余弦定理得

閨研=閥「+閘「_2附卜熙爾/平第，即4c2=與+。一%=半，所以

4=--所以C的離心率e=$=亙.故選A.

a36a6

2.答案：C

記圓心C(3,-2)到直線/:3x+4y+19=0的距離為d,則d=小3+4><(-2)+⑼=4

V32+42

因為1。。1=:。尸|2_|。。|2='］。/|2—9,所以當直線/與垂直，即|QD|=d=4

時，|PQ|最小，故IP。1mm="2-9=如.故選C.

3.答案：A

解析：,離心率6=工=收，

a

c='Jia.

又閨P卜忻閶=2c=242a,則根據雙曲線的定義可知,

\F2P\=\FlP\-2a=(2V2-2)a,

|尸片「+閨閭2_附「

cosNF/2P=

21P閭J耳閭

_(2夜-2)24+8/—8/_垃_1_2-立

2(272-2)?-2A/2G2724

故選A.

4.答案：D

解析：如圖，設線段的中點為M,分別過點A,B,M作準線/的垂線，垂足分別

為C,D,N.

設|AR|=a,\BF\=b,則|AC|=a,\BD\=b.

由MN為梯形的中位線，得Q=|MN|=號，由斯可得|/,

,,|AB|2揚+62

故-=----;--

aa+b

因為片+〃2絲土2I,當且僅當a=b時取等號，

2

所以四i=RZ近之也更?=血，故選D.

da+ba+b

5.答案：B

解析：如圖所示，由雙曲線的對稱性，不妨設P(x,y)是雙曲線。右支上的一點,

^22

|尸耳『=（尤+。）2+>2=（%+c）2+匕2

=^-^-x2+2cx+c2-b2=^-x2+2cx+a2=（ex+a）2,所以|P凰=ex+Q,同理可得

a2a

［一尸片1+忸川ex+a+ex-alexy7nli二2//

閥I-所以.又因為L萬一4,

A/6所以"lex

~2

4i343

又因為好28,所以0<r<—,所以1W士—一1<,所以

%222%22丫2/2

2<i娓故選B.

B4

\2~x1

6.答案：ABD

解析：對于A,易知/:X=-1,故/與OA相切，A正確；

對于B,A(0,4),OA的半徑r=l,當P,A,3三點共線時，尸(4,4),所以|PA|=4,

IPQI=11叢F=狂-f=星,故B正確；

對于C,當|P5|=2時，P(l,2),3(-1,2)或P(l,-2),3(-1,-2),易知以與A3不垂

直，故C錯誤；

對于D,記拋物線C的焦點為E連接ARPF,易知尸(1,0),由拋物線定義可知

\PF\=\PB\,因為|PA|=|P5|,所以|R4|=|P7q,所以點P在線段AR的中垂線上，線

段AR的中垂線方程為y=；x+?,即x=4y-代入丁=4%可得

y2—16y+30=0,解得＞=8±后，易知滿足條件的點P有且僅有兩個，故D正確.故

選ABD.

7.答案：AC

X+%3

解析：設〃(七,必)，N(x2,y2),則p弋三，與久,即k=

OP2

冗1+x2

因為點M,N在橢圓C上，所以“，\兩式相減，

U2b2'

得（一+々）（％-々）+（M+%）（%-%）=0,即2+（x+%）（x—為）=0,

心b14/（玉+々）（再一々）

由題得人“'二21二運=一工，所以二—W=0,即又儲=〃+。2,

%一起2a4b4

所以°2=工”,則離心率e=f=L,故A正確.

4a2

因為橢圓C過點后李|，所以5+京=匕又由A選項知，〃=%，聯(lián)立解得

22

儲=4,〃=3,所以橢圓c的標準方程為L+2L=1,故B錯誤.

43

1,

,=丁+1，

若m=1,則直線/的方程為y=-；x+l,

由V,；得尤2_%-2=0,所以

土+匕=1,

143

2

%=_1,々=2,則|2W|=1+x|2+l|=—,故C正確.

2

若相=；,則直線/的方程為y=-gx+；.假設橢圓C上存在E,R兩點，使得E,F關

于直線/對稱，則設E（七,%），斤（%4，%），線段ER的中點為Q（尤0，%），則

f+4=2%,%+”=2%.因為E，R關于直線/對稱，所以左EF=2，且點。在直線/

22

五+&=1,

上，即％=-gx0+g.又E,R兩點在橢圓C上，所以＜43兩式相減，得

%+&=1,

[43

了3+*4,(%+%)(%-%)

=0,即+=0,所以

434

11

%=一曰+亍xo=4,

3；2解得.3即Q（4,-萬］.因

%+為=—，即治=-石仆?聯(lián)立,

8O%=一

%=一,/，2,

為了+普乙〉1,所以點Q在橢圓C外，這與。是弦的中點矛盾，所以橢圓C

上不存在E,R兩點，使得E,R關于直線/對稱，故D錯誤.

故選AC.

8.答案：4,4

l_42J

解析：由題可知4-2后,0),3(20,0),設則%=—%=,

x0+212

3=己萬’所以期.場=含.

因為微■+春=1，所以北=(4°，即左QT%B=-：?①

oo44

因為點P在圓上，所以八4LPB,所以勉?領=T?②

3「44一

結合①②可知，左0A=akPA,因為￡[1,2],所以左.

9.答案：5

解析：由雙曲線的方程可得°?=8,則c=2夜，

.?/(—20,0),6(2&,0).設M(%,%),

不妨設點尸在雙曲線右支上，延長交2心的延長線于點N,則N(2%+20,2%),

如圖.

由角平分線性質可知，|P4|=|PN|,由雙曲線的定義可得，|P周-|P閭=4,即

R|=4.

,（2%+2&—2夜『+（2%-0）2=4,

整理得x；+y：=4,即點M在以（0,0）為圓心，2為半徑的圓上.

???圓心（0,0）至U直線x+y—3&=0的距離1=萃=3>2,

V2

二直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離為2+2=5.

1