軸對(duì)稱能力提升測試卷-2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)題型專練（含答案）

第13章軸對(duì)稱能力提升測試卷

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）

一.單項(xiàng)選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.如圖，已知A/5C3D5E,點(diǎn)。在/C上，3c與?！杲挥邳c(diǎn)P.若445￡=160。，

/DBC=3G°,則NCDE的度數(shù)為（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

2.如圖，△N8C中，4D為中線，點(diǎn)￡為48上一點(diǎn)，AD,CE交于點(diǎn)尸，且N￡=EE若

AB=5,則CP=（）

3.已知ZUSC,下列尺規(guī)作圖的方法中，能確定=的是（）

4.等腰三角形的一邊長為3cm,另一邊長為7cm,則它的周長為（）

A.13cmB.17cmC.22cmD.13cm或17cm

試卷第1頁，共8頁

5.如圖，在△45。中，。是4c的中點(diǎn)，且3。，/C,DE//BC,交AB于點(diǎn)E,

BC=7cm,AC=6cm,則的周長等于（）

A.12cmB.10cmC.7cmD.9cm

6.如圖，在△/BC中，AB=AC,/C=30°,點(diǎn)。是N8的中點(diǎn)；過點(diǎn)、D作DEJ.AB交BC

7.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線與NC所在直線的夾角為50。，則這個(gè)等腰三

角形的頂角為（）

A.40°B.50°C.40°或140°D.50°或130°

8.如圖，NB、/C的平分線相交于凡過點(diǎn)廠作。￡〃8C,交4B于D,交ZC于E,那

么下列結(jié)論正確的是①△瓦）足AC跖都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③的周長

為4B+4C；@BD=CE.（）

A.③④B.①②C.①②③D.②③④

9.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)月向下平移3個(gè)單位長度得到點(diǎn)省加,2）,則點(diǎn)耳關(guān)于＞軸的

對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)是（）

試卷第2頁，共8頁

A.(w,-l)B.(-w,-l)C.(加,5)D.

10.如圖，己知：NMON=30°,點(diǎn)4、4、4…在射線ON上，點(diǎn)片、&、層…在射線

上，△/由4、△/包4、△4層4…均為等邊三角形，若。4=1，則的邊長為（）

D.64

11.如圖，在四邊形/BCD中，40/8=130。,/。=a8=90。,M,N分別是CD,8c上的動(dòng)

點(diǎn).當(dāng)A4W的周長最小時(shí)，+的度數(shù)為（）

100°C.130°D.140°

12.如圖，在△/。3和△cor1中,04=OB,OC=OD,OA<OC,

ZAOB=ZCOD=36°.連接/C、BD交于點(diǎn)、M,連接ON.下列結(jié)論:

①//MS=36°;@AC=BD-③平分N/ftD；④MO平分

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（）個(gè).

A.4B.3C.2D.1

二.填空題（本題共6小題，每小題2分，共12分.）

13.如圖，點(diǎn)尸、M、N分別在等邊△4BC的各邊上，且MP_L/8于點(diǎn)P,NM工BC于

點(diǎn)M,PNLAC于點(diǎn)、N,若48=12cm,則CW的長為cm.

試卷第3頁，共8頁

A

N

14.等腰三角形的一條中線把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)周長相差4的三角形，若這個(gè)等腰三

角形的一邊長為8,則等腰三角形的周長為.

15.如圖，在△/BC中，42的垂直平分線分別交48、BC于點(diǎn)、D、E,NC的垂直平分線

分別交NC、BC于點(diǎn)、F、G,若48=52。，ZC=30°,則/E4G的度數(shù)為.

16.如圖，在折紙活動(dòng)中，小李制作了一張△A8C的紙片，點(diǎn)、D,E分別在邊48,/C上,

將△/BC沿著DE折疊壓平，A與4重合，若Zl+N2=130。，貝|乙4=

17.如圖。是長方形紙帶，將紙帶沿斯折疊成圖6,已知圖6中的NCPG=140。，則圖。

中的ZDEF的度數(shù)是度.

圖a圖6

18.如圖，在△NBC中，/C=30。，點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，DEJ.AC交BC于E,點(diǎn)、。在DE

上,OA—OB,OD=2,OE=4,則BE的長為

試卷第4頁，共8頁

c

汽L

A-------箝

三.解答題（本題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.）

19.AB,C。是兩條公路，E、廠是兩個(gè)村莊，通訊公司要在兩公路之間建一座信號(hào)基站,

要求到兩條公路距離相等，并且到兩村莊距離之和最小，請(qǐng)你用尺規(guī)作圖幫通訊公司確定符

合要求的位置點(diǎn)尸（保留作圖痕跡，不寫做法）

20.如圖，A/BC中，/2=11,AC=5,/A4c的平分線力。與邊的垂直平分線DG相

交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。分別作。DFA.AC,垂足分別為E、F,求的長度.

（1）作的平分線8D,交NC于點(diǎn)。，作8C的垂直平分線，分別交/8、8c于點(diǎn)￡、

F.（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；

（2）求證￡是48中點(diǎn).

22.已知：如圖，/2/C角平分線與BC的垂直平分線。G交于點(diǎn)。，DEJ.AB,

試卷第5頁，共8頁

DF1AC,垂足分別為E、F.

⑴求證：BE=CF；

(2)若48=8,AC=6,求BE的長.

23.如圖1,在等邊△/BC中，點(diǎn)尸，。分別是2c上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，點(diǎn)P從頂

點(diǎn)，，點(diǎn)。從頂點(diǎn)8同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同，連接CP交于

(1)當(dāng)點(diǎn)尸，0在邊3c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求/QMC的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P,0在射線48,8c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線CP交于點(diǎn)求NQMC的度數(shù).

24.己知：如圖，△，8。工(券￡都是等邊三角形，AD、8E相交于點(diǎn)。，點(diǎn)”、N分別是線

段8E的中點(diǎn).

⑵求乙DOE的度數(shù)；

(3)求證：A兒WC是等邊三角形.

25.課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：

如圖，USC中，若48=8,AC=6,求2C邊上的中線ND的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過

試卷第6頁，共8頁

合作交流，得到了如下的解決方法：延長/。到點(diǎn)E,使DE=AD,請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考:

(1)由已知和作圖能得到“DC沿AEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范圍是.

A.6<AD<SB.6<AD<8C.\<AD<1D.\<AD<1

【感悟】

解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已

知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中.

【方法應(yīng)用】

(3)如圖，在四邊形4BCL?中，/8〃CZ),點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)，若/￡是/歷的平分線,

試猜想線段/8、AD、。。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

【拓展延伸】

(4)如圖，已知點(diǎn)E是5c的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段4E上，ZEDF=ZBAE,若

AB=5,CF=2,求出線段。尸的長.

試卷第7頁，共8頁

26.已知，在等邊三角形23c中，點(diǎn)E在N3上，點(diǎn)。在的延長線上，且ED=EC.

A

(1)【特殊情況，探索結(jié)論】

如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡為48的中點(diǎn)時(shí)，確定線段4E與。8的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AE

DB(填“〈”或“=

(2)【特例啟發(fā)，解答題目】

如圖2,當(dāng)點(diǎn)E為N8邊上任意一點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)判斷線段/￡與。8的大小關(guān)系，并說明理由.(提

示：過點(diǎn)E作斯〃8。，交NC于點(diǎn)尸)

(3)【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】

在等邊三角形/8C中，點(diǎn)E在直線48上，點(diǎn)。在線段C8的延長線上，且ED=EC,若

△ABC的邊長為1,AE=2,則線段CD的長.

試卷第8頁，共8頁

1.B

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得到4"=4D8E,AB=DB,ZA=NBDE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等

115°

腰三角形的性質(zhì)推出乙4=4以=/2￡)￡=；一,再根據(jù)平角的定義求解即可.掌握全等

三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???△NBC當(dāng)NABE=160°,ZDBC=30°,

ZABC=ZDBE,AB=DB,2A=NBDE,

/ABC-NDBC=NDBE-NDBC,//=NADB,

即ZABD=NCBE=-ZDBC)=1x(160°-30°)=65°,

i115°

ZA=ZADB=-x(180°-ZABD)=,

115°

ABDE=——，

2

115°115°

...ZCDE=180°-(ZADB+Z5Z)￡)=180°-----+----=65°,

22

.?./CDE的度數(shù)為65。.

故選：B.

2.B

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)?正確做出輔助線

構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

延長/。至點(diǎn)G,使。G=40,連接CG,證明A4RD0AGCD(SAS),再運(yùn)用全等三角形的

性質(zhì)可得/B=CG,NG=NEAF,然后運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)可得CG=C/，進(jìn)而求解即

可

【詳解】解：如圖，延長/。至點(diǎn)G,使。G=/。，連接CG.

答案第1頁，共25頁

因?yàn)?0=0,AADB=ZGDC,

所以“BZ涇AGCD(SAS).

所以/2=CG,ZG=ZEAF.

因?yàn)?E=EF,

所以NE4F=NEE4.

又因?yàn)?EE4=/C尸G,

所以/G=/GFC,

所以CG=CF.

所以/B=CB=5.

故選B.

3.D

【分析】本題考查作圖-基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線，角平分線，垂線的尺規(guī)

作圖方法.觀察各選項(xiàng)作圖痕跡，根據(jù)垂直平分線，角平分線，垂線性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、選項(xiàng)作圖痕跡可知，。為8C中點(diǎn)，不能確定/84D=/C4D,故本選項(xiàng)

不符合題意；

B、選項(xiàng)作圖痕跡可知，。在42的垂直平分線上，能確定=不能確定

ABAD=ACAD,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、選項(xiàng)作圖痕跡可知，AD是邊上的高，不能確定/B4D=NC4O,故本選項(xiàng)不符合題

忌；

D、選項(xiàng)作圖痕跡可知，。在NA4c的平分線上，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

4.B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)

鍵.

題目給出等腰三角形有兩條邊長為3cm和7cm,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)

行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【詳解】解：分兩種情況：

當(dāng)腰為3cm時(shí)，3+3=6<7,所以不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰為7cm時(shí)，3+7>7,所以能構(gòu)成三角形，周長是：3+7+7=17(cm).

答案第2頁，共25頁

故選：B.

5.B

【分析】本題考查了線段垂直平分的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，由。

是ZC的中點(diǎn)可得/O=；/C=3cm,進(jìn)而由8。L/C可得BD為/C的垂直平分線，得到

BA=BC=7cm,由三線合一得到,又由DE〃BC得/EDB=NCBD,即得

NEDB=NABD,得到=據(jù)此可得△/￡￡）的周長

=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD,即可求解，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：；。是NC的中點(diǎn)，AC=6cm,

.?.AD」/C=3cm,

2

又???BD工AC,

為/C的垂直平分線，

BA=BC=7cm,

."ABD=/CBD,

-DE//BC,

???ZEDB=ZCBD,

???ZEDB=/ABD,

???BE=DE,

.??△4￡。的周長=/￡+?！?4。=/￡+3￡+4。=45+/。=7+3=10（：111,

故選：B.

6.B

【分析】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì),

熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，理解在直角三角形中，30。的角所對(duì)

的直角邊是斜邊的一半是解決問題的關(guān)鍵.連接先求出NB=NC=30。，

ABAC=120°,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，BE=AE,由此得NB=NCME=30。，進(jìn)而

利用直角三角形的性質(zhì)得絲=2/宏=4,然后求出/。E=90。，再利用直角三角形的性質(zhì)

即可求出CE的長.

【詳解】解：連接如圖：

答案第3頁，共25頁

在△/8C中，AB=AC,NC=30。，

NB=NC=30°,

ZBAC=180°-(ZS+ZC)=120°,

???點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，DEJ.AB,

DE是線段48的垂直平分線，

BE=AE,

NB=ZDAE=30°,

在RM/DE中，ZDAE=30°,DE=2,

AE=IDE=4,

???ABAC=120°,ZDAE=30°,

ZCAE=ABAC-ADAE=120°-30°=90°,

在Rt^GlE■中，ZC=30°,AE=4,

CE=2AE=8.

故選：B.

7.C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分類討論是正確解答本題的關(guān)

鍵.

根據(jù)題意分兩種情況，當(dāng)△/BC是銳角三角形時(shí)，當(dāng)△N3C是鈍角三角形時(shí)，討論求解即可;

【詳解】解：分兩種情況：

當(dāng)△NBC是銳角三角形時(shí)，如圖：

答案第4頁，共25頁

?;NAED=5。。,

ZA=900-ZAED=40°；

當(dāng)△/5C是鈍角三角形時(shí)，如圖：

由魯:DE是的垂直平分線，

-----

.'.AADE=90°,

■：ZAED=50°,

:.ZDAE=90°-NAED=40°,

ADAC=180°-ADAE=140°；

綜上所述：這個(gè)等腰三角形的頂角為40。或140。，

故選：C.

8.C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直

線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，及等角對(duì)等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)

鍵.由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和

性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】W：-：DE//BC,

NDFB=ZFBC,ZEFC=ZFCB,

???8尸是。的平分線，C尸是N/C8的平分線，

ZFBC=ZDFB,ZFCE=ZFCB,

ZDBF=NDFB,ZEFC=NECF,

:.ADFB,AFEC都是等腰三角形.故①正確，

.-.DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=BD+CE,故②正確，

.?.△/DE的周長=++故③正確，

BD,CE不一定相等，故④錯(cuò)誤，

故選：C.

9.D

【分析】此題主要考查了點(diǎn)的平移以及關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，直接利用平移的性質(zhì)得出對(duì)

答案第5頁，共25頁

應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而結(jié)合關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案，正確掌握橫坐標(biāo)的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：???將點(diǎn)月向下平移3個(gè)單位長度得到點(diǎn)見2),

；.邛(",2+3),即私5),

???點(diǎn)片關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)心(-加,5),

故選：D.

10.C

【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

以及平行線的性質(zhì)得出〃4鳥〃4名，以及4層=2耳4,得出453=叫4=4,

4劣=叫4=8,4&=16片4...進(jìn)而得出答案，根據(jù)已知得出4旦=444=4,

4紜=85,4=8,455=165,4進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，

=A2B,,/3=24=N12=60°,

.?.Z2=120°,

■.■ZMON=30°,

Zl=180o-120°-30o=30°,

又Z3=60°,

.-.Z5=180°-60°-30°=90°,

vAMON=Z1=30°,

：.OAX-AXBX=1,

答案第6頁，共25頁

??.=1,

???△4與4、△4質(zhì)4是等邊三角形，

.-.Zll=Z10=60°,Z13=60°,

???Z4=Z12=60°,

4耳//A2B2//A3B3,BXA2//B2A3,

??.N1=N6=N7=3O。，Z5=Z8=90°,

452=2514，B3A3=2BZ4,

???A3B3=4B]A?=4,

A4B4=844=8,

4區(qū)=1644=16

以此類推：4線=3244=32.

故選：C.

11.B

【分析】本題考查利用成軸對(duì)稱的特征進(jìn)行求解，作點(diǎn)/關(guān)于3。的對(duì)稱點(diǎn)H,關(guān)于。。的

對(duì)稱點(diǎn)/〃，連接〃與5C、的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)〃、N,利用三角形的內(nèi)角和定理和

三角形的外角的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：作點(diǎn)4關(guān)于3C的對(duì)稱點(diǎn)H,關(guān)于CZ）的對(duì)稱點(diǎn)則：

AM=A'M,AN=A"N.

CN的周長=++=++

???當(dāng)/四點(diǎn)共線時(shí)，的周長最短，

連接與CD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)/、N,如圖：

?.-ZDAB=130。"=%=90°,

.?.42,4三點(diǎn)共線，424,三點(diǎn)共線,

ZA'+ZA"=180°-130°=50°,

答案第7頁，共25頁

由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：ZA'=ZBAM,ZA"=ZDAN

ZAMN+ZANM=/A'+NBAM+ZA"+ADAN=2(N4+N/")=100°

故選：B.

12.B

【分析】由SAS證明aAOC三ABOD,得到4OAC=NOBD,由三角形的外角性質(zhì)得：zAMB

+zOBD=zAOB+zOAC,得出NAMB=NAOB=36。，①正確；

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出/OCA=NODB,AC=BD,②正確；

作OG1AC于G,OH1BD于H,如圖所示：貝IJNOGC=NOHD=90。，由AAS證明

△OCG三△ODH(AAS),得出OG=OH,由角平分線的判定方法得出MO平分/4WD,?

正確；

由NAOB=NCOD,得出當(dāng)NDOM=NAOM時(shí)，OM才平分NBOC,假設(shè)NDOM=NAOM,

由△AOC三4BOD得出NCOM=NBOM,由MO平分NBMC得出NCMO=NBMO,推出

△COM三△BOM,得OB=OC,而OA=OB,所以O(shè)A=OC,而CM<OC,故③錯(cuò)誤；即

可得出結(jié)論.

【詳解】??2A0B=NC0D=36°,

???zAOB+zBOC=zCOD+zBOC,

即NAOC=NBOD,

在△AOC和ABOD中，

OA=OB

<NAOC=NBOD,

OC=OD

???AAOC=ABOD(SAS),

???ZOCA=ZODB,AC=BD,②正確；

.?ZOAC=NOBD,

由三角形的外角性質(zhì)得：NAMB+ZOBD=ZAOB+ZOAC,

.?.ZAMB=ZAOB=36°,②正確；

答案第8頁，共25頁

作OG_LAC于G,OH1BD于H,如圖所示:

則NOGC=NOHD=90。，

在aOCG和△ODH中，

AOCA=ZODB

<ZOGC=ZOHD,

OC=OD

.-.△OCG=AODH(AAS),

??.OG=OH,

???M9平分④正確；

vzAOB=zCOD,

???當(dāng)4DOM=zAOM時(shí)，OM才平分XBOC,

假設(shè)4DOM=/AOM

vAAOC=ABOD,

/.ZCOM=ZBOM,

vMO平分NBMC,

.?ZCMO=4BMO,

在△COM和aBOM中，

/COM=/BOM

<OM=OM,

ZCMO=ZBMO

.-.△COM=ABOM(ASA),

???OB=OC,

vOA=OB

/.OA=OC

與。/<oc矛盾，

二③錯(cuò)誤；

正確的有①②④；

故選B.

答案第9頁，共25頁

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識(shí);

證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

13.4

【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平角的意義，三角形全等的性質(zhì)與判定，

含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出=/尸九處=43?是本題的關(guān)鍵.

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出==進(jìn)而得出/MP3=/JWC=/m4=90。，再根

據(jù)平角的意義即可得出==即可證得APMN是等邊三角形；根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)得到P/=BM=CN,PB=MC=AN,從而求得BM+P8=48=12c〃?，根

據(jù)直角三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出2P8=8”,即可求得尸B的長，進(jìn)而

得出MC的長.

【詳解】解：???△/8C是等邊三角形，

NA=/B=NC=60°,

■：MPLAB,NMIBC,PN±AC,

ZMPB=ZNMC=ZPNA=90°,

NPMB=ZMNC=ZAPN=30°,

ZNPM=ZPMN=ZMNP=60°,

.?.△PAW是等邊三角形，

PN=PM=MN,

:.JBMAMCNWNAP(AAS),

:.PA=BM=CN,PB=MC=AN,

BM+PB=AB=12cm,

在R3BA0中，/PMB=3。。,

2PB=BM,

2PB+PB=12cm,

:.PB=4cm,

答案第10頁，共25頁

CM=4cm,

故答案為：4.

14.20或28或32

【分析】本題考查了等腰三角形的定義及三角形的構(gòu)成條件，根據(jù)等腰形的定義及等腰三角

形的一條中線把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)周長相差4的三角形，得這條中線不可能是底邊上

的中線，只能是等腰三角形的一腰上的中線，根據(jù)題意畫出圖形，如圖，中，

AB=AC,設(shè)8C=y,等腰三角形的腰長=/C=2x,進(jìn)而分A8=/C=8和3C=8兩

種情況討論求解即可.

【詳解】解：根據(jù)等腰形的定義及等腰三角形的一條中線把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)周長相

差4的三角形，得這條中線不可能是底邊上的中線，只能是等腰三角形的一腰上的中線，

根據(jù)題意畫出圖形，如圖，中，AB=AC,設(shè)2C=y,等腰三角形的腰長

AB=AC=2x,

A

???BD是腰上的中線，

AD=DC=x,

當(dāng)28=/C=8時(shí)，4D=CD=4,

^AB+AD+BD-BC-CD-BD=4,貝!|8+4-y-4=4

解得2C=y=4,此時(shí)A43c的周長為8+4+8=20；

^BC+CD+BD-AB-AD-BD=4,貝!|y+4—8—4=4解得8C=y=12,止匕時(shí)A/BC的周

長為8+12+8=28；

當(dāng)BC=8時(shí)，

^AB+AD+BD-BC-CD-BD=4,貝！12x+x-8-x=4

解得久=6,

AB-AC=2x=12,

此時(shí)“BC的周長為12+8+12=32；

答案第11頁，共25頁

若BC+CD+BD-AB-AD-BD=4,貝i|8+x-2x-x=4解得x=2,

.-.AB=AC=2x=4,

???4,4,8不符合三角形的條件，

??.此情形應(yīng)舍去，

故答案為：20或28或32.

15.16°

【分析】本題主要是考查了三角形內(nèi)角和、垂直平分線以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用三

角形內(nèi)角和與等腰三角形的性質(zhì)求解角的度數(shù)，利用垂直平分線證邊相等，是解決本題的關(guān)

鍵.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/助C,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到"=班，

GA=GC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到=NGAC=NC,再進(jìn)一步解答即可.

【詳解】解：=52。,ZC=30°,

.-.ABAC=180°-52°-30°=98°,

?：DE是AB的垂直平分線，

*'?EA—EB,

???NEAB=NB,

同理可得：GA=GC,

???/GAC=/C,

???/EAB+ZGAC=ZB+ZC=82°,

...ZEAG=ABAC-(ZEAB+ZGAC)=98°-82°=16°.

故答案為：16。.

16.65°

【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由折疊可得

NAED=N4ED=1,ZADE=ZA'DE=-AADA',進(jìn)而可得

22

Zl+Z2=360°-7.AAED-2AADE,結(jié)合//ED+//DE+//=180°,可得

Nl+N2=2N/=130。，即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???將△N8C沿著DE折疊壓平，A與4重合，

NAED=ZA'ED=-ZAEA',ZADE=NA'DE=-NADA',

22

.-.Zl+Z2=l80°-ZAEA'+180°-ZADA'^360°-2NAED-2NADE,

ZAED+ZADE+ZA=180°,

答案第12頁，共25頁

??.ZAED+/ADE=180。一/%，

Z1+Z2=360°-2(180°-Z^)=2ZA,

???Zl+Z2=130°,

.?.//=130°=65°,

2

故答案為：65°.

17.20

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NCFG=140。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出

ZD'EG=ZBGE=40°,再由折疊性質(zhì)即可求解.

此題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖：圖②是長方形紙帶沿跖折疊而成，

ZFEG=ZD'EF,CF//DG,AD'//BC,

：.ZDGF+ZCFG=1SO°,

vZCFG=140°,

：.NDGF=40°,

ZBGE=ZDGF=40°,

???AD///BC,

AD'EG=NBGE=40°,

???ZFEG=ZD'EF,

ND'EF=-ND'EG=20°,

2

即NDEF=20°,

故答案為：20.

18.8

【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30。的直角三角形

的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.如圖，連接OC,過。作。G,3c于G,先求解

答案第13頁，共25頁

CE-12,Z.OEG=60°,GE=—OE=2,證明O5=OC,GC=GB,求解

2

GC=G5=12—2=10,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接OC,過。作。GL5C于G,

ZACB=30°fOD=2OE=4,DE1AC,

/.DE=6,CE=2DE=12,ZOEG=60°,

NGO￡=90?！?0。=30。，

.\GE=-OE=-x4=2,

22

???點(diǎn)。是ZC的中點(diǎn)，DEIAC,

OA=OC,

???OA=OB,

OB—OC,

???OG±BC,

GC=GB,

???GC=CE-GE,

GC=GB=12-2=10,

:.BE=BG-EG=10-2=S.

故答案為：8.

19.見解析

【分析】本題考查了基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間，線段最短及角平分線的

性質(zhì)，作出ZAOD的角平分線OG,再作點(diǎn)F關(guān)于OG對(duì)稱的點(diǎn)，，連接EP交OG于點(diǎn)P,

點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的

距離相等以及兩點(diǎn)之間，線段最短.

【詳解】解：如圖所示，則點(diǎn)P即為所求：

答案第14頁，共25頁

【分析】連接CD,BD,由角平分線定理得到DF=DE,ZF=/DEB=90°,ZADF=ZADE,

由。G是3c的垂直平分線得到CD=80,由此證明RMC。bgRtABOE,推出8E=CF,

再根據(jù)48=11,/C=5即可求出答案.

【詳解】解：如圖，連接CO,BD,

???4D是/8/C的平分線，DEVAB,DF1AC,

：.DF=DE,ZF=ZDEB=90°,ZDAF=ZDAE,

ZDAF+ZADF=ZADE+NDAE=90°,

：-ZADF=ZADE,

-：DE±AB,DF1AC,

*'?AE—AF,

???QG是5C的垂直平分線，

；.CD=BD,

在Rt^CDF和RGBDE中,

JCD=BD

|DF=DE'

???RtACDF^RtA5WHL),

：,BE=CF,

??.AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,

答案第15頁，共25頁

■■AB=11,/C=5,

...5E=；x(ll-5)=3.

【點(diǎn)睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，等角的余角相等，角

平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用，此題輔助線的連接是解題的關(guān)鍵.

21.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的定義，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂

直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖：

(1)根據(jù)線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；

(2)先求出/C=90。，則由直角三角形的性質(zhì)得到=再證明

BF=-BC,ZBFE=90°,則N8E尸=30。，進(jìn)而得到班'=23尸，則BE=,即E

22

是4B中點(diǎn).

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所求；

.-.ZC=90°,

AB=2BC,

???E/垂直平分BC,

：.BF=-BC,ZBFE=90°,

2

ZBEF=30°,

BE=2BF,

.-.BE=BC=^AB,即E是N8中點(diǎn).

22.⑴見解析；

(2)BE=\.

答案第16頁，共25頁

【分析】（1）連接CD,先由垂直平分線的性質(zhì)得出2。=8,再由角平分線的性質(zhì)得出

DE=DF,然后由HL證得即可得出結(jié)論；

（2）由HL證得RtAAD￡絲RtA4D9，得出/E=/尸，貝i]4B-8E=/C+CF,推出

BE+CF=AB-AC=2,即可得出結(jié)果.

本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌

握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：連接8,

???￡)在8c的垂直平分線上，

：.BD=CD,

-DE±AB,DF1AC,4D平分NBAC,,

■.DE=DF,

ABED=NDFC=90°,

在RQBDE和RtACDF中,

fBD=CD

[DE=DF'

...RtBDE名RtACZ)F(HL),

；.BE=CF；

(2)解：在RMNDE和RtA/Ob中，

[AD=AD

[DE=DF'

Rt咨RtA^Z)F(HL),

AE=AF,

??.AB-BE^AC+CF,

答案第17頁，共25頁

.-.BE+CF=AB-AC=S-6=2,

-BE=CF,

?,BE=-x2=l.

2

23.(l)ZgA/C=60°

⑵N0A7C=12O。

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用.解決

問題的關(guān)鍵是：

(1)先判定一臺(tái)。絲△C4P,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/氏40=44c尸，從而得到

ZQMC=60°；

(2)先判定△Z30名尸，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/氏40=N/C尸，從而得到

ZQMC=120°,

【詳解】⑴解：???△45。是等邊三角形，

..ZABQ=ZCAP=60°,AB=CA,

又丁點(diǎn)尸、。運(yùn)動(dòng)速度相同，

/.AP=BQ,

在△ZB。與△C/P中，

AB=CA

<AABQ=ZCAP,

AP=BQ

:.^ABQ^CAP(SAS)；

/.NBAQ=NACP,

???NO"。是△/CM的外角，

ZQMC=ZACP+/MAC=ABAQ+/MAC=ABAC,

?.NBAC=60。,

ZQMC=60°；

(2)解：點(diǎn)尸、。在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線48、3C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，NQI/C不變.

理由：同理可得，AABQACAP,

:.ZBAQ=ZACP,

答案第18頁，共25頁

vZQMC是△APM的外角，

ZQMC=ZBAQ+ZAPM,

ZQMC=ZACP+ZAPM=180°-ZPAC=180°-60°=120°,

即若點(diǎn)尸、。在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線/8、3c上運(yùn)動(dòng)，NQMC的度數(shù)為120。.

24.(1)證明見解析；

⑵的度數(shù)是60。；；

(3)證明見解析.

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定

理等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出/C=8C,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,求出

ZACD=ZBCE,證"CD咨ABCE即可；

(2)根據(jù)全等求出=,求出N/DE+NBED的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求

出即可；

(3)求出4W=8N,根據(jù)SAS證△/CM多△8CN,推出CM=CN,求出/NCM=60。即

可.

【詳解】(1)證明：都是等邊三角形，

■.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

ZACB+ZBCD=NDCE+/BCD,

ZACD=ZBCE,

在A/CD和ABCE中

AC=BC

,NACD=aBCE,

CD=CE

；.AACD%BCE(SAS),

AD=BE；

(2)解：?：XACDQXBCE,

：.NADC=NBEC,

??,等邊三角形。C￡,

；,/CED=/CDE=600,

答案第19頁，共25頁

AADE+ABED

=/ADC+ZCDE+/BED

=ZADC+600+ZBED

=NCED+6。。

=60。+60。

=120°,

/DOE=180°-(/ADE+/BED)=60°,

???/OOE的度數(shù)是60。；

(3)證明：???"CD-BCE,

??.NCAD=/CBE,AD=BE,AC=BC,

又?:點(diǎn)M、N分別是線段/48￡的中點(diǎn)，

AM=-AD,BN=-BE,

22

AM=BN,

在△/CM和/\BCN中,

AC=BC

</CAM=/CBN,

AM=BN

/\ACM^ABCN(SAS),

???CM=CN,

ZACM=ZBCN,

又/ACB=6。。,

???/ACM+AMCB=60°,

??.ZBCN+ZMCB=60°,

ZMCN=60°f

??.△MAC是等邊三角形.

25.(1)B；(2)C；(3)AD=AB+DC,理由見解析；(4)DF=3.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、

三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問

題.

答案第20頁，共25頁

(1)根據(jù)三角形全等的判定定理即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)全等得出BE=/C=6,AE=2AD,由三角形三邊關(guān)系定理得出答案；

(3)AD=AB+DC,延長DC交于點(diǎn)尸，證明"8E%FEC