軸對稱能力提升測試卷-2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)上冊題型專練（含答案）

第13章軸對稱能力提升測試卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

一.單項(xiàng)選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.如圖，已知A/5C3D5E,點(diǎn)。在/C上，3c與。￡交于點(diǎn)P.若445￡=160。，

/DBC=3G°,則NCDE的度數(shù)為（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

2.如圖，△N8C中，4D為中線，點(diǎn)￡為48上一點(diǎn)，AD,CE交于點(diǎn)尸，且N￡=EE若

AB=5,則CP=（）

3.已知ZUSC,下列尺規(guī)作圖的方法中，能確定=的是（）

4.等腰三角形的一邊長為3cm,另一邊長為7cm,則它的周長為（）

A.13cmB.17cmC.22cmD.13cm或17cm

試卷第1頁，共8頁

5.如圖，在△45。中，。是4c的中點(diǎn)，且3。，/C,DE//BC,交AB于點(diǎn)E,

BC=7cm,AC=6cm,則的周長等于（）

A.12cmB.10cmC.7cmD.9cm

6.如圖，在△/BC中，AB=AC,/C=30°,點(diǎn)。是N8的中點(diǎn)；過點(diǎn)、D作DEJ.AB交BC

7.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線與NC所在直線的夾角為50。，則這個等腰三

角形的頂角為（）

A.40°B.50°C.40°或140°D.50°或130°

8.如圖，NB、/C的平分線相交于凡過點(diǎn)廠作?！辍?C,交4B于D,交ZC于E,那

么下列結(jié)論正確的是①△瓦）足AC跖都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③的周長

為4B+4C；@BD=CE.（）

A.③④B.①②C.①②③D.②③④

9.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)月向下平移3個單位長度得到點(diǎn)省加,2）,則點(diǎn)耳關(guān)于＞軸的

對稱點(diǎn)E的坐標(biāo)是（）

試卷第2頁，共8頁

A.(w,-l)B.(-w,-l)C.(加,5)D.

10.如圖，己知：NMON=30°,點(diǎn)4、4、4…在射線ON上，點(diǎn)片、&、層…在射線

上，△/由4、△/包4、△4層4…均為等邊三角形，若。4=1，則的邊長為（）

D.64

11.如圖，在四邊形/BCD中，40/8=130。,/。=a8=90。,M,N分別是CD,8c上的動

點(diǎn).當(dāng)A4W的周長最小時，+的度數(shù)為（）

100°C.130°D.140°

12.如圖，在△/。3和△cor1中,04=OB,OC=OD,OA<OC,

ZAOB=ZCOD=36°.連接/C、BD交于點(diǎn)、M,連接ON.下列結(jié)論:

①//MS=36°;@AC=BD-③平分N/ftD；④MO平分

其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）個.

A.4B.3C.2D.1

二.填空題（本題共6小題，每小題2分，共12分.）

13.如圖，點(diǎn)尸、M、N分別在等邊△4BC的各邊上，且MP_L/8于點(diǎn)P,NM工BC于

點(diǎn)M,PNLAC于點(diǎn)、N,若48=12cm,則CW的長為cm.

試卷第3頁，共8頁

A

N

14.等腰三角形的一條中線把這個等腰三角形分成兩個周長相差4的三角形，若這個等腰三

角形的一邊長為8,則等腰三角形的周長為.

15.如圖，在△/BC中，42的垂直平分線分別交48、BC于點(diǎn)、D、E,NC的垂直平分線

分別交NC、BC于點(diǎn)、F、G,若48=52。，ZC=30°,則/E4G的度數(shù)為.

16.如圖，在折紙活動中，小李制作了一張△A8C的紙片，點(diǎn)、D,E分別在邊48,/C上,

將△/BC沿著DE折疊壓平，A與4重合，若Zl+N2=130。，貝|乙4=

17.如圖。是長方形紙帶，將紙帶沿斯折疊成圖6,已知圖6中的NCPG=140。，則圖。

中的ZDEF的度數(shù)是度.

圖a圖6

18.如圖，在△NBC中，/C=30。，點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，DEJ.AC交BC于E,點(diǎn)、。在DE

上,OA—OB,OD=2,OE=4,則BE的長為

試卷第4頁，共8頁

c

汽L

A-------箝

三.解答題（本題共8小題，共72分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.）

19.AB,C。是兩條公路，E、廠是兩個村莊，通訊公司要在兩公路之間建一座信號基站,

要求到兩條公路距離相等，并且到兩村莊距離之和最小，請你用尺規(guī)作圖幫通訊公司確定符

合要求的位置點(diǎn)尸（保留作圖痕跡，不寫做法）

20.如圖，A/BC中，/2=11,AC=5,/A4c的平分線力。與邊的垂直平分線DG相

交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。分別作。DFA.AC,垂足分別為E、F,求的長度.

（1）作的平分線8D,交NC于點(diǎn)。，作8C的垂直平分線，分別交/8、8c于點(diǎn)￡、

F.（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；

（2）求證￡是48中點(diǎn).

22.已知：如圖，/2/C角平分線與BC的垂直平分線。G交于點(diǎn)。，DEJ.AB,

試卷第5頁，共8頁

DF1AC,垂足分別為E、F.

⑴求證：BE=CF；

(2)若48=8,AC=6,求BE的長.

23.如圖1,在等邊△/BC中，點(diǎn)尸，。分別是2c上的動點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，點(diǎn)P從頂

點(diǎn)，，點(diǎn)。從頂點(diǎn)8同時出發(fā)，且它們的運(yùn)動速度相同，連接CP交于

(1)當(dāng)點(diǎn)尸，0在邊3c上運(yùn)動時，求/QMC的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)P,0在射線48,8c上運(yùn)動時，直線CP交于點(diǎn)求NQMC的度數(shù).

24.己知：如圖，△，8。工(券￡都是等邊三角形，AD、8E相交于點(diǎn)。，點(diǎn)”、N分別是線

段8E的中點(diǎn).

⑵求乙DOE的度數(shù)；

(3)求證：A兒WC是等邊三角形.

25.課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：

如圖，USC中，若48=8,AC=6,求2C邊上的中線ND的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過

試卷第6頁，共8頁

合作交流，得到了如下的解決方法：延長/。到點(diǎn)E,使DE=AD,請根據(jù)小明的方法思考:

(1)由已知和作圖能得到“DC沿AEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得的取值范圍是.

A.6<AD<SB.6<AD<8C.\<AD<1D.\<AD<1

【感悟】

解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已

知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中.

【方法應(yīng)用】

(3)如圖，在四邊形4BCL?中，/8〃CZ),點(diǎn)E是8C的中點(diǎn)，若/￡是/歷的平分線,

試猜想線段/8、AD、。。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

【拓展延伸】

(4)如圖，已知點(diǎn)E是5c的中點(diǎn)，點(diǎn)。在線段4E上，ZEDF=ZBAE,若

AB=5,CF=2,求出線段。尸的長.

試卷第7頁，共8頁

26.已知，在等邊三角形23c中，點(diǎn)E在N3上，點(diǎn)。在的延長線上，且ED=EC.

A

(1)【特殊情況，探索結(jié)論】

如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡為48的中點(diǎn)時，確定線段4E與。8的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE

DB(填“〈”或“=

(2)【特例啟發(fā)，解答題目】

如圖2,當(dāng)點(diǎn)E為N8邊上任意一點(diǎn)時，請判斷線段/￡與。8的大小關(guān)系，并說明理由.(提

示：過點(diǎn)E作斯〃8。，交NC于點(diǎn)尸)

(3)【拓展結(jié)論，設(shè)計新題】

在等邊三角形/8C中，點(diǎn)E在直線48上，點(diǎn)。在線段C8的延長線上，且ED=EC,若

△ABC的邊長為1,AE=2,則線段CD的長.

試卷第8頁，共8頁

1.B

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)得到4"=4D8E,AB=DB,ZA=NBDE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等

115°

腰三角形的性質(zhì)推出乙4=4以=/2￡)￡=；一,再根據(jù)平角的定義求解即可.掌握全等

三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???△NBC當(dāng)NABE=160°,ZDBC=30°,

ZABC=ZDBE,AB=DB,2A=NBDE,

/ABC-NDBC=NDBE-NDBC,//=NADB,

即ZABD=NCBE=-ZDBC)=1x(160°-30°)=65°,

i115°

ZA=ZADB=-x(180°-ZABD)=,

115°

ABDE=——，

2

115°115°

...ZCDE=180°-(ZADB+Z5Z)￡)=180°-----+----=65°,

22

.?./CDE的度數(shù)為65。.

故選：B.

2.B

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)?正確做出輔助線

構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

延長/。至點(diǎn)G,使。G=40,連接CG,證明A4RD0AGCD(SAS),再運(yùn)用全等三角形的

性質(zhì)可得/B=CG,NG=NEAF,然后運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)可得CG=C/，進(jìn)而求解即

可

【詳解】解：如圖，延長/。至點(diǎn)G,使。G=/。，連接CG.

答案第1頁，共25頁

因?yàn)?0=0,AADB=ZGDC,

所以“BZ涇AGCD(SAS).

所以/2=CG,ZG=ZEAF.

因?yàn)?E=EF,

所以NE4F=NEE4.

又因?yàn)?EE4=/C尸G,

所以/G=/GFC,

所以CG=CF.

所以/B=CB=5.

故選B.

3.D

【分析】本題考查作圖-基本作圖，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線，角平分線，垂線的尺規(guī)

作圖方法.觀察各選項(xiàng)作圖痕跡，根據(jù)垂直平分線，角平分線，垂線性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、選項(xiàng)作圖痕跡可知，。為8C中點(diǎn)，不能確定/84D=/C4D,故本選項(xiàng)

不符合題意；

B、選項(xiàng)作圖痕跡可知，。在42的垂直平分線上，能確定=不能確定

ABAD=ACAD,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、選項(xiàng)作圖痕跡可知，AD是邊上的高，不能確定/B4D=NC4O,故本選項(xiàng)不符合題

忌；

D、選項(xiàng)作圖痕跡可知，。在NA4c的平分線上，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

4.B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，熟知以上知識是解題的關(guān)

鍵.

題目給出等腰三角形有兩條邊長為3cm和7cm,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)

行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【詳解】解：分兩種情況：

當(dāng)腰為3cm時，3+3=6<7,所以不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰為7cm時，3+7>7,所以能構(gòu)成三角形，周長是：3+7+7=17(cm).

答案第2頁，共25頁

故選：B.

5.B

【分析】本題考查了線段垂直平分的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，由。

是ZC的中點(diǎn)可得/O=；/C=3cm,進(jìn)而由8。L/C可得BD為/C的垂直平分線，得到

BA=BC=7cm,由三線合一得到,又由DE〃BC得/EDB=NCBD,即得

NEDB=NABD,得到=據(jù)此可得△/￡￡）的周長

=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD,即可求解，掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：；。是NC的中點(diǎn)，AC=6cm,

.?.AD」/C=3cm,

2

又???BD工AC,

為/C的垂直平分線，

BA=BC=7cm,

."ABD=/CBD,

-DE//BC,

???ZEDB=ZCBD,

???ZEDB=/ABD,

???BE=DE,

.??△4￡。的周長=/￡+?！?4。=/￡+3￡+4。=45+/。=7+3=10（：111,

故選：B.

6.B

【分析】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì),

熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，理解在直角三角形中，30。的角所對

的直角邊是斜邊的一半是解決問題的關(guān)鍵.連接先求出NB=NC=30。，

ABAC=120°,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，BE=AE,由此得NB=NCME=30。，進(jìn)而

利用直角三角形的性質(zhì)得絲=2/宏=4,然后求出/。E=90。，再利用直角三角形的性質(zhì)

即可求出CE的長.

【詳解】解：連接如圖：

答案第3頁，共25頁

在△/8C中，AB=AC,NC=30。，

NB=NC=30°,

ZBAC=180°-(ZS+ZC)=120°,

???點(diǎn)。是48的中點(diǎn)，DEJ.AB,

DE是線段48的垂直平分線，

BE=AE,

NB=ZDAE=30°,

在RM/DE中，ZDAE=30°,DE=2,

AE=IDE=4,

???ABAC=120°,ZDAE=30°,

ZCAE=ABAC-ADAE=120°-30°=90°,

在Rt^GlE■中，ZC=30°,AE=4,

CE=2AE=8.

故選：B.

7.C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，分類討論是正確解答本題的關(guān)

鍵.

根據(jù)題意分兩種情況，當(dāng)△/BC是銳角三角形時，當(dāng)△N3C是鈍角三角形時，討論求解即可;

【詳解】解：分兩種情況：

當(dāng)△NBC是銳角三角形時，如圖：

答案第4頁，共25頁

?;NAED=5。。,

ZA=900-ZAED=40°；

當(dāng)△/5C是鈍角三角形時，如圖：

由魯:DE是的垂直平分線，

-----

.'.AADE=90°,

■：ZAED=50°,

:.ZDAE=90°-NAED=40°,

ADAC=180°-ADAE=140°；

綜上所述：這個等腰三角形的頂角為40?；?40。，

故選：C.

8.C

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直

線平行，內(nèi)錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)

鍵.由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和

性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】W：-：DE//BC,

NDFB=ZFBC,ZEFC=ZFCB,

???8尸是。的平分線，C尸是N/C8的平分線，

ZFBC=ZDFB,ZFCE=ZFCB,

ZDBF=NDFB,ZEFC=NECF,

:.ADFB,AFEC都是等腰三角形.故①正確，

.-.DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=BD+CE,故②正確，

.?.△/DE的周長=++故③正確，

BD,CE不一定相等，故④錯誤，

故選：C.

9.D

【分析】此題主要考查了點(diǎn)的平移以及關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，直接利用平移的性質(zhì)得出對

答案第5頁，共25頁

應(yīng)點(diǎn)位置，進(jìn)而結(jié)合關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案，正確掌握橫坐標(biāo)的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：???將點(diǎn)月向下平移3個單位長度得到點(diǎn)見2),

；.邛(",2+3),即私5),

???點(diǎn)片關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)心(-加,5),

故選：D.

10.C

【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

以及平行線的性質(zhì)得出〃4鳥〃4名，以及4層=2耳4,得出453=叫4=4,

4劣=叫4=8,4&=16片4...進(jìn)而得出答案，根據(jù)已知得出4旦=444=4,

4紜=85,4=8,455=165,4進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，

=A2B,,/3=24=N12=60°,

.?.Z2=120°,

■.■ZMON=30°,

Zl=180o-120°-30o=30°,

又Z3=60°,

.-.Z5=180°-60°-30°=90°,

vAMON=Z1=30°,

：.OAX-AXBX=1,

答案第6頁，共25頁

??.=1,

???△4與4、△4質(zhì)4是等邊三角形，

.-.Zll=Z10=60°,Z13=60°,

???Z4=Z12=60°,

4耳//A2B2//A3B3,BXA2//B2A3,

??.N1=N6=N7=3O。，Z5=Z8=90°,

452=2514，B3A3=2BZ4,

???A3B3=4B]A?=4,

A4B4=844=8,

4區(qū)=1644=16

以此類推：4線=3244=32.

故選：C.

11.B

【分析】本題考查利用成軸對稱的特征進(jìn)行求解，作點(diǎn)/關(guān)于3。的對稱點(diǎn)H,關(guān)于。。的

對稱點(diǎn)/〃，連接〃與5C、的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)〃、N,利用三角形的內(nèi)角和定理和

三角形的外角的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：作點(diǎn)4關(guān)于3C的對稱點(diǎn)H,關(guān)于CZ）的對稱點(diǎn)則：

AM=A'M,AN=A"N.

CN的周長=++=++

???當(dāng)/四點(diǎn)共線時，的周長最短，

連接與CD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)/、N,如圖：

?.-ZDAB=130。"=%=90°,

.?.42,4三點(diǎn)共線，424,三點(diǎn)共線,

ZA'+ZA"=180°-130°=50°,

答案第7頁，共25頁

由軸對稱的性質(zhì)得：ZA'=ZBAM,ZA"=ZDAN

ZAMN+ZANM=/A'+NBAM+ZA"+ADAN=2(N4+N/")=100°

故選：B.

12.B

【分析】由SAS證明aAOC三ABOD,得到4OAC=NOBD,由三角形的外角性質(zhì)得：zAMB

+zOBD=zAOB+zOAC,得出NAMB=NAOB=36。，①正確；

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出/OCA=NODB,AC=BD,②正確；

作OG1AC于G,OH1BD于H,如圖所示：貝IJNOGC=NOHD=90。，由AAS證明

△OCG三△ODH(AAS),得出OG=OH,由角平分線的判定方法得出MO平分/4WD,?

正確；

由NAOB=NCOD,得出當(dāng)NDOM=NAOM時，OM才平分NBOC,假設(shè)NDOM=NAOM,

由△AOC三4BOD得出NCOM=NBOM,由MO平分NBMC得出NCMO=NBMO,推出

△COM三△BOM,得OB=OC,而OA=OB,所以O(shè)A=OC,而CM<OC,故③錯誤；即

可得出結(jié)論.

【詳解】??2A0B=NC0D=36°,

???zAOB+zBOC=zCOD+zBOC,

即NAOC=NBOD,

在△AOC和ABOD中，

OA=OB

<NAOC=NBOD,

OC=OD

???AAOC=ABOD(SAS),

???ZOCA=ZODB,AC=BD,②正確；

.?ZOAC=NOBD,

由三角形的外角性質(zhì)得：NAMB+ZOBD=ZAOB+ZOAC,

.?.ZAMB=ZAOB=36°,②正確；

答案第8頁，共25頁

作OG_LAC于G,OH1BD于H,如圖所示:

則NOGC=NOHD=90。，

在aOCG和△ODH中，

AOCA=ZODB

<ZOGC=ZOHD,

OC=OD

.-.△OCG=AODH(AAS),

??.OG=OH,

???M9平分④正確；

vzAOB=zCOD,

???當(dāng)4DOM=zAOM時，OM才平分XBOC,

假設(shè)4DOM=/AOM

vAAOC=ABOD,

/.ZCOM=ZBOM,

vMO平分NBMC,

.?ZCMO=4BMO,

在△COM和aBOM中，

/COM=/BOM

<OM=OM,

ZCMO=ZBMO

.-.△COM=ABOM(ASA),

???OB=OC,

vOA=OB

/.OA=OC

與。/<oc矛盾，

二③錯誤；

正確的有①②④；

故選B.

答案第9頁，共25頁

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的判定等知識;

證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

13.4

【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，平角的意義，三角形全等的性質(zhì)與判定，

含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出=/尸九處=43?是本題的關(guān)鍵.

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出==進(jìn)而得出/MP3=/JWC=/m4=90。，再根

據(jù)平角的意義即可得出==即可證得APMN是等邊三角形；根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)得到P/=BM=CN,PB=MC=AN,從而求得BM+P8=48=12c〃?，根

據(jù)直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半得出2P8=8”,即可求得尸B的長，進(jìn)而

得出MC的長.

【詳解】解：???△/8C是等邊三角形，

NA=/B=NC=60°,

■：MPLAB,NMIBC,PN±AC,

ZMPB=ZNMC=ZPNA=90°,

NPMB=ZMNC=ZAPN=30°,

ZNPM=ZPMN=ZMNP=60°,

.?.△PAW是等邊三角形，

PN=PM=MN,

:.JBMAMCNWNAP(AAS),

:.PA=BM=CN,PB=MC=AN,

BM+PB=AB=12cm,

在R3BA0中，/PMB=3。。,

2PB=BM,

2PB+PB=12cm,

:.PB=4cm,

答案第10頁，共25頁

CM=4cm,

故答案為：4.

14.20或28或32

【分析】本題考查了等腰三角形的定義及三角形的構(gòu)成條件，根據(jù)等腰形的定義及等腰三角

形的一條中線把這個等腰三角形分成兩個周長相差4的三角形，得這條中線不可能是底邊上

的中線，只能是等腰三角形的一腰上的中線，根據(jù)題意畫出圖形，如圖，中，

AB=AC,設(shè)8C=y,等腰三角形的腰長=/C=2x,進(jìn)而分A8=/C=8和3C=8兩

種情況討論求解即可.

【詳解】解：根據(jù)等腰形的定義及等腰三角形的一條中線把這個等腰三角形分成兩個周長相

差4的三角形，得這條中線不可能是底邊上的中線，只能是等腰三角形的一腰上的中線，

根據(jù)題意畫出圖形，如圖，中，AB=AC,設(shè)2C=y,等腰三角形的腰長

AB=AC=2x,

A

???BD是腰上的中線，

AD=DC=x,

當(dāng)28=/C=8時，4D=CD=4,

^AB+AD+BD-BC-CD-BD=4,貝!|8+4-y-4=4

解得2C=y=4,此時A43c的周長為8+4+8=20；

^BC+CD+BD-AB-AD-BD=4,貝!|y+4—8—4=4解得8C=y=12,止匕時A/BC的周

長為8+12+8=28；

當(dāng)BC=8時，

^AB+AD+BD-BC-CD-BD=4,貝！12x+x-8-x=4

解得久=6,

AB-AC=2x=12,

此時“BC的周長為12+8+12=32；

答案第11頁，共25頁

若BC+CD+BD-AB-AD-BD=4,貝i|8+x-2x-x=4解得x=2,

.-.AB=AC=2x=4,

???4,4,8不符合三角形的條件，

??.此情形應(yīng)舍去，

故答案為：20或28或32.

15.16°

【分析】本題主要是考查了三角形內(nèi)角和、垂直平分線以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練應(yīng)用三

角形內(nèi)角和與等腰三角形的性質(zhì)求解角的度數(shù)，利用垂直平分線證邊相等，是解決本題的關(guān)

鍵.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/助C,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到"=班，

GA=GC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到=NGAC=NC,再進(jìn)一步解答即可.

【詳解】解：=52。,ZC=30°,

.-.ABAC=180°-52°-30°=98°,

?：DE是AB的垂直平分線，

*'?EA—EB,

???NEAB=NB,

同理可得：GA=GC,

???/GAC=/C,

???/EAB+ZGAC=ZB+ZC=82°,

...ZEAG=ABAC-(ZEAB+ZGAC)=98°-82°=16°.

故答案為：16。.

16.65°

【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由折疊可得

NAED=N4ED=1,ZADE=ZA'DE=-AADA',進(jìn)而可得

22

Zl+Z2=360°-7.AAED-2AADE,結(jié)合//ED+//DE+//=180°,可得

Nl+N2=2N/=130。，即可求解，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???將△N8C沿著DE折疊壓平，A與4重合，

NAED=ZA'ED=-ZAEA',ZADE=NA'DE=-NADA',

22

.-.Zl+Z2=l80°-ZAEA'+180°-ZADA'^360°-2NAED-2NADE,

ZAED+ZADE+ZA=180°,

答案第12頁，共25頁

??.ZAED+/ADE=180。一/%，

Z1+Z2=360°-2(180°-Z^)=2ZA,

???Zl+Z2=130°,

.?.//=130°=65°,

2

故答案為：65°.

17.20

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NCFG=140。，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出

ZD'EG=ZBGE=40°,再由折疊性質(zhì)即可求解.

此題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖：圖②是長方形紙帶沿跖折疊而成，

ZFEG=ZD'EF,CF//DG,AD'//BC,

：.ZDGF+ZCFG=1SO°,

vZCFG=140°,

：.NDGF=40°,

ZBGE=ZDGF=40°,

???AD///BC,

AD'EG=NBGE=40°,

???ZFEG=ZD'EF,

ND'EF=-ND'EG=20°,

2

即NDEF=20°,

故答案為：20.

18.8

【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30。的直角三角形

的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.如圖，連接OC,過。作。G,3c于G,先求解

答案第13頁，共25頁

CE-12,Z.OEG=60°,GE=—OE=2,證明O5=OC,GC=GB,求解

2

GC=G5=12—2=10,從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接OC,過。作。GL5C于G,

ZACB=30°fOD=2OE=4,DE1AC,

/.DE=6,CE=2DE=12,ZOEG=60°,

NGO￡=90?！?0。=30。，

.\GE=-OE=-x4=2,

22

???點(diǎn)。是ZC的中點(diǎn)，DEIAC,

OA=OC,

???OA=OB,

OB—OC,

???OG±BC,

GC=GB,

???GC=CE-GE,

GC=GB=12-2=10,

:.BE=BG-EG=10-2=S.

故答案為：8.

19.見解析

【分析】本題考查了基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間，線段最短及角平分線的

性質(zhì)，作出ZAOD的角平分線OG,再作點(diǎn)F關(guān)于OG對稱的點(diǎn)，，連接EP交OG于點(diǎn)P,

點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的

距離相等以及兩點(diǎn)之間，線段最短.

【詳解】解：如圖所示，則點(diǎn)P即為所求：

答案第14頁，共25頁

【分析】連接CD,BD,由角平分線定理得到DF=DE,ZF=/DEB=90°,ZADF=ZADE,

由。G是3c的垂直平分線得到CD=80,由此證明RMC。bgRtABOE,推出8E=CF,

再根據(jù)48=11,/C=5即可求出答案.

【詳解】解：如圖，連接CO,BD,

???4D是/8/C的平分線，DEVAB,DF1AC,

：.DF=DE,ZF=ZDEB=90°,ZDAF=ZDAE,

ZDAF+ZADF=ZADE+NDAE=90°,

：-ZADF=ZADE,

-：DE±AB,DF1AC,

*'?AE—AF,

???QG是5C的垂直平分線，

；.CD=BD,

在Rt^CDF和RGBDE中,

JCD=BD

|DF=DE'

???RtACDF^RtA5WHL),

：,BE=CF,

??.AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,

答案第15頁，共25頁

■■AB=11,/C=5,

...5E=；x(ll-5)=3.

【點(diǎn)睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，等角的余角相等，角

平分線性質(zhì)定理的運(yùn)用，此題輔助線的連接是解題的關(guān)鍵.

21.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的定義，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂

直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖：

(1)根據(jù)線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；

(2)先求出/C=90。，則由直角三角形的性質(zhì)得到=再證明

BF=-BC,ZBFE=90°,則N8E尸=30。，進(jìn)而得到班'=23尸，則BE=,即E

22

是4B中點(diǎn).

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所求；

.-.ZC=90°,

AB=2BC,

???E/垂直平分BC,

：.BF=-BC,ZBFE=90°,

2

ZBEF=30°,

BE=2BF,

.-.BE=BC=^AB,即E是N8中點(diǎn).

22.⑴見解析；

(2)BE=\.

答案第16頁，共25頁

【分析】（1）連接CD,先由垂直平分線的性質(zhì)得出2。=8,再由角平分線的性質(zhì)得出

DE=DF,然后由HL證得即可得出結(jié)論；

（2）由HL證得RtAAD￡絲RtA4D9，得出/E=/尸，貝i]4B-8E=/C+CF,推出

BE+CF=AB-AC=2,即可得出結(jié)果.

本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌

握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：連接8,

???￡)在8c的垂直平分線上，

：.BD=CD,

-DE±AB,DF1AC,4D平分NBAC,,

■.DE=DF,

ABED=NDFC=90°,

在RQBDE和RtACDF中,

fBD=CD

[DE=DF'

...RtBDE名RtACZ)F(HL),

；.BE=CF；

(2)解：在RMNDE和RtA/Ob中，

[AD=AD

[DE=DF'

Rt咨RtA^Z)F(HL),

AE=AF,

??.AB-BE^AC+CF,

答案第17頁，共25頁

.-.BE+CF=AB-AC=S-6=2,

-BE=CF,

?,BE=-x2=l.

2

23.(l)ZgA/C=60°

⑵N0A7C=12O。

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用.解決

問題的關(guān)鍵是：

(1)先判定一臺。絲△C4P,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/氏40=44c尸，從而得到

ZQMC=60°；

(2)先判定△Z30名尸，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/氏40=N/C尸，從而得到

ZQMC=120°,

【詳解】⑴解：???△45。是等邊三角形，

..ZABQ=ZCAP=60°,AB=CA,

又丁點(diǎn)尸、。運(yùn)動速度相同，

/.AP=BQ,

在△ZB。與△C/P中，

AB=CA

<AABQ=ZCAP,

AP=BQ

:.^ABQ^CAP(SAS)；

/.NBAQ=NACP,

???NO"。是△/CM的外角，

ZQMC=ZACP+/MAC=ABAQ+/MAC=ABAC,

?.NBAC=60。,

ZQMC=60°；

(2)解：點(diǎn)尸、。在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線48、3C上運(yùn)動時，NQI/C不變.

理由：同理可得，AABQACAP,

:.ZBAQ=ZACP,

答案第18頁，共25頁

vZQMC是△APM的外角，

ZQMC=ZBAQ+ZAPM,

ZQMC=ZACP+ZAPM=180°-ZPAC=180°-60°=120°,

即若點(diǎn)尸、。在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線/8、3c上運(yùn)動，NQMC的度數(shù)為120。.

24.(1)證明見解析；

⑵的度數(shù)是60。；；

(3)證明見解析.

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定

理等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出/C=8C,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,求出

ZACD=ZBCE,證"CD咨ABCE即可；

(2)根據(jù)全等求出=,求出N/DE+NBED的值，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求

出即可；

(3)求出4W=8N,根據(jù)SAS證△/CM多△8CN,推出CM=CN,求出/NCM=60。即

可.

【詳解】(1)證明：都是等邊三角形，

■.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

ZACB+ZBCD=NDCE+/BCD,

ZACD=ZBCE,

在A/CD和ABCE中

AC=BC

,NACD=aBCE,

CD=CE

；.AACD%BCE(SAS),

AD=BE；

(2)解：?：XACDQXBCE,

：.NADC=NBEC,

??,等邊三角形。C￡,

；,/CED=/CDE=600,

答案第19頁，共25頁

AADE+ABED

=/ADC+ZCDE+/BED

=ZADC+600+ZBED

=NCED+6。。

=60。+60。

=120°,

/DOE=180°-(/ADE+/BED)=60°,

???/OOE的度數(shù)是60。；

(3)證明：???"CD-BCE,

??.NCAD=/CBE,AD=BE,AC=BC,

又?:點(diǎn)M、N分別是線段/48￡的中點(diǎn)，

AM=-AD,BN=-BE,

22

AM=BN,

在△/CM和/\BCN中,

AC=BC

</CAM=/CBN,

AM=BN

/\ACM^ABCN(SAS),

???CM=CN,

ZACM=ZBCN,

又/ACB=6。。,

???/ACM+AMCB=60°,

??.ZBCN+ZMCB=60°,

ZMCN=60°f

??.△MAC是等邊三角形.

25.(1)B；(2)C；(3)AD=AB+DC,理由見解析；(4)DF=3.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、

三角形三邊關(guān)系等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問

題.

答案第20頁，共25頁

(1)根據(jù)三角形全等的判定定理即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)全等得出BE=/C=6,AE=2AD,由三角形三邊關(guān)系定理得出答案；

(3)AD=AB+DC,延長DC交于點(diǎn)尸，證明"8E%FEC