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第13章軸對(duì)稱(chēng)能力提升測(cè)試卷
(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿(mǎn)分:120分)
一.單項(xiàng)選擇題(本題共12小題,每小題3分,共36分.在每小題給出的四個(gè)
選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1.如圖,已知A/5C3D5E,點(diǎn)。在/C上,3c與?!杲挥邳c(diǎn)P.若445£=160。,
/DBC=3G°,則NCDE的度數(shù)為()
A.60°B.65°C.70°D.75°
2.如圖,△N8C中,4D為中線(xiàn),點(diǎn)£為48上一點(diǎn),AD,CE交于點(diǎn)尸,且N£=EE若
AB=5,則CP=()
3.已知ZUSC,下列尺規(guī)作圖的方法中,能確定=的是()
4.等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3cm,另一邊長(zhǎng)為7cm,則它的周長(zhǎng)為()
A.13cmB.17cmC.22cmD.13cm或17cm
試卷第1頁(yè),共8頁(yè)
5.如圖,在△45。中,。是4c的中點(diǎn),且3。,/C,DE//BC,交AB于點(diǎn)E,
BC=7cm,AC=6cm,則的周長(zhǎng)等于()
A.12cmB.10cmC.7cmD.9cm
6.如圖,在△/BC中,AB=AC,/C=30°,點(diǎn)。是N8的中點(diǎn);過(guò)點(diǎn)、D作DEJ.AB交BC
7.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線(xiàn)與NC所在直線(xiàn)的夾角為50。,則這個(gè)等腰三
角形的頂角為()
A.40°B.50°C.40°或140°D.50°或130°
8.如圖,NB、/C的平分線(xiàn)相交于凡過(guò)點(diǎn)廠作?!辍?C,交4B于D,交ZC于E,那
么下列結(jié)論正確的是①△瓦)足AC跖都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③的周長(zhǎng)
為4B+4C;@BD=CE.()
A.③④B.①②C.①②③D.②③④
9.在平面直角坐標(biāo)系中,將點(diǎn)月向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)省加,2),則點(diǎn)耳關(guān)于>軸的
對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是()
試卷第2頁(yè),共8頁(yè)
A.(w,-l)B.(-w,-l)C.(加,5)D.
10.如圖,己知:NMON=30°,點(diǎn)4、4、4…在射線(xiàn)ON上,點(diǎn)片、&、層…在射線(xiàn)
上,△/由4、△/包4、△4層4…均為等邊三角形,若。4=1,則的邊長(zhǎng)為()
D.64
11.如圖,在四邊形/BCD中,40/8=130。,/。=a8=90。,M,N分別是CD,8c上的動(dòng)
點(diǎn).當(dāng)A4W的周長(zhǎng)最小時(shí),+的度數(shù)為()
100°C.130°D.140°
12.如圖,在△/。3和△cor1中,04=OB,OC=OD,OA<OC,
ZAOB=ZCOD=36°.連接/C、BD交于點(diǎn)、M,連接ON.下列結(jié)論:
①//MS=36°;@AC=BD-③平分N/ftD;④MO平分
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有()個(gè).
A.4B.3C.2D.1
二.填空題(本題共6小題,每小題2分,共12分.)
13.如圖,點(diǎn)尸、M、N分別在等邊△4BC的各邊上,且MP_L/8于點(diǎn)P,NM工BC于
點(diǎn)M,PNLAC于點(diǎn)、N,若48=12cm,則CW的長(zhǎng)為cm.
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A
N
14.等腰三角形的一條中線(xiàn)把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)周長(zhǎng)相差4的三角形,若這個(gè)等腰三
角形的一邊長(zhǎng)為8,則等腰三角形的周長(zhǎng)為.
15.如圖,在△/BC中,42的垂直平分線(xiàn)分別交48、BC于點(diǎn)、D、E,NC的垂直平分線(xiàn)
分別交NC、BC于點(diǎn)、F、G,若48=52。,ZC=30°,則/E4G的度數(shù)為.
16.如圖,在折紙活動(dòng)中,小李制作了一張△A8C的紙片,點(diǎn)、D,E分別在邊48,/C上,
將△/BC沿著DE折疊壓平,A與4重合,若Zl+N2=130。,貝|乙4=
17.如圖。是長(zhǎng)方形紙帶,將紙帶沿斯折疊成圖6,已知圖6中的NCPG=140。,則圖。
中的ZDEF的度數(shù)是度.
圖a圖6
18.如圖,在△NBC中,/C=30。,點(diǎn)。是/C的中點(diǎn),DEJ.AC交BC于E,點(diǎn)、。在DE
上,OA—OB,OD=2,OE=4,則BE的長(zhǎng)為
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c
汽L
A-------箝
三.解答題(本題共8小題,共72分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算
步驟.)
19.AB,C。是兩條公路,E、廠是兩個(gè)村莊,通訊公司要在兩公路之間建一座信號(hào)基站,
要求到兩條公路距離相等,并且到兩村莊距離之和最小,請(qǐng)你用尺規(guī)作圖幫通訊公司確定符
合要求的位置點(diǎn)尸(保留作圖痕跡,不寫(xiě)做法)
20.如圖,A/BC中,/2=11,AC=5,/A4c的平分線(xiàn)力。與邊的垂直平分線(xiàn)DG相
交于點(diǎn)。,過(guò)點(diǎn)。分別作。DFA.AC,垂足分別為E、F,求的長(zhǎng)度.
(1)作的平分線(xiàn)8D,交NC于點(diǎn)。,作8C的垂直平分線(xiàn),分別交/8、8c于點(diǎn)£、
F.(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不必寫(xiě)作法和證明);
(2)求證£是48中點(diǎn).
22.已知:如圖,/2/C角平分線(xiàn)與BC的垂直平分線(xiàn)。G交于點(diǎn)。,DEJ.AB,
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DF1AC,垂足分別為E、F.
⑴求證:BE=CF;
(2)若48=8,AC=6,求BE的長(zhǎng).
23.如圖1,在等邊△/BC中,點(diǎn)尸,。分別是2c上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外),點(diǎn)P從頂
點(diǎn),,點(diǎn)。從頂點(diǎn)8同時(shí)出發(fā),且它們的運(yùn)動(dòng)速度相同,連接CP交于
(1)當(dāng)點(diǎn)尸,0在邊3c上運(yùn)動(dòng)時(shí),求/QMC的度數(shù);
(2)當(dāng)點(diǎn)P,0在射線(xiàn)48,8c上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線(xiàn)CP交于點(diǎn)求NQMC的度數(shù).
24.己知:如圖,△,8。工(券£都是等邊三角形,AD、8E相交于點(diǎn)。,點(diǎn)”、N分別是線(xiàn)
段8E的中點(diǎn).
⑵求乙DOE的度數(shù);
(3)求證:A兒WC是等邊三角形.
25.課外興趣小組活動(dòng)時(shí),老師提出了如下問(wèn)題:
如圖,USC中,若48=8,AC=6,求2C邊上的中線(xiàn)ND的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)
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合作交流,得到了如下的解決方法:延長(zhǎng)/。到點(diǎn)E,使DE=AD,請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考:
(1)由已知和作圖能得到“DC沿AEDB的理由是.
A.SSSB.SASC.AASD.HL
(2)求得的取值范圍是.
A.6<AD<SB.6<AD<8C.\<AD<1D.\<AD<1
【感悟】
解題時(shí),條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線(xiàn)”字樣,可以考慮延長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形,把分散的已
知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中.
【方法應(yīng)用】
(3)如圖,在四邊形4BCL?中,/8〃CZ),點(diǎn)E是8C的中點(diǎn),若/£是/歷的平分線(xiàn),
試猜想線(xiàn)段/8、AD、。。之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
【拓展延伸】
(4)如圖,已知點(diǎn)E是5c的中點(diǎn),點(diǎn)。在線(xiàn)段4E上,ZEDF=ZBAE,若
AB=5,CF=2,求出線(xiàn)段。尸的長(zhǎng).
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26.已知,在等邊三角形23c中,點(diǎn)E在N3上,點(diǎn)。在的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且ED=EC.
A
(1)【特殊情況,探索結(jié)論】
如圖1,當(dāng)點(diǎn)£為48的中點(diǎn)時(shí),確定線(xiàn)段4E與。8的大小關(guān)系,請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論:AE
DB(填“〈”或“=
(2)【特例啟發(fā),解答題目】
如圖2,當(dāng)點(diǎn)E為N8邊上任意一點(diǎn)時(shí),請(qǐng)判斷線(xiàn)段/£與。8的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.(提
示:過(guò)點(diǎn)E作斯〃8。,交NC于點(diǎn)尸)
(3)【拓展結(jié)論,設(shè)計(jì)新題】
在等邊三角形/8C中,點(diǎn)E在直線(xiàn)48上,點(diǎn)。在線(xiàn)段C8的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且ED=EC,若
△ABC的邊長(zhǎng)為1,AE=2,則線(xiàn)段CD的長(zhǎng).
試卷第8頁(yè),共8頁(yè)
1.B
【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì),三角形的內(nèi)角和定理,等腰三角形的性質(zhì),根據(jù)全等
三角形的性質(zhì)得到4"=4D8E,AB=DB,ZA=NBDE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、等
115°
腰三角形的性質(zhì)推出乙4=4以=/2£)£=;一,再根據(jù)平角的定義求解即可.掌握全等
三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:???△NBC當(dāng)NABE=160°,ZDBC=30°,
ZABC=ZDBE,AB=DB,2A=NBDE,
/ABC-NDBC=NDBE-NDBC,//=NADB,
即ZABD=NCBE=-ZDBC)=1x(160°-30°)=65°,
i115°
ZA=ZADB=-x(180°-ZABD)=,
115°
ABDE=——,
2
115°115°
...ZCDE=180°-(ZADB+Z5Z)£)=180°-----+----=65°,
22
.?./CDE的度數(shù)為65。.
故選:B.
2.B
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)?正確做出輔助線(xiàn)
構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.
延長(zhǎng)/。至點(diǎn)G,使。G=40,連接CG,證明A4RD0AGCD(SAS),再運(yùn)用全等三角形的
性質(zhì)可得/B=CG,NG=NEAF,然后運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)可得CG=C/,進(jìn)而求解即
可
【詳解】解:如圖,延長(zhǎng)/。至點(diǎn)G,使。G=/。,連接CG.
答案第1頁(yè),共25頁(yè)
因?yàn)?0=0,AADB=ZGDC,
所以“BZ涇AGCD(SAS).
所以/2=CG,ZG=ZEAF.
因?yàn)?E=EF,
所以NE4F=NEE4.
又因?yàn)?EE4=/C尸G,
所以/G=/GFC,
所以CG=CF.
所以/B=CB=5.
故選B.
3.D
【分析】本題考查作圖-基本作圖,解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線(xiàn),角平分線(xiàn),垂線(xiàn)的尺規(guī)
作圖方法.觀察各選項(xiàng)作圖痕跡,根據(jù)垂直平分線(xiàn),角平分線(xiàn),垂線(xiàn)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】解:A、選項(xiàng)作圖痕跡可知,。為8C中點(diǎn),不能確定/84D=/C4D,故本選項(xiàng)
不符合題意;
B、選項(xiàng)作圖痕跡可知,。在42的垂直平分線(xiàn)上,能確定=不能確定
ABAD=ACAD,故本選項(xiàng)不符合題意;
C、選項(xiàng)作圖痕跡可知,AD是邊上的高,不能確定/B4D=NC4O,故本選項(xiàng)不符合題
忌;
D、選項(xiàng)作圖痕跡可知,。在NA4c的平分線(xiàn)上,故本選項(xiàng)符合題意;
故選:D.
4.B
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系,熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)
鍵.
題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3cm和7cm,而沒(méi)有明確腰、底分別是多少,所以要進(jìn)
行討論,還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.
【詳解】解:分兩種情況:
當(dāng)腰為3cm時(shí),3+3=6<7,所以不能構(gòu)成三角形;
當(dāng)腰為7cm時(shí),3+7>7,所以能構(gòu)成三角形,周長(zhǎng)是:3+7+7=17(cm).
答案第2頁(yè),共25頁(yè)
故選:B.
5.B
【分析】本題考查了線(xiàn)段垂直平分的性質(zhì),等腰三角形的判定和性質(zhì),平行線(xiàn)的性質(zhì),由。
是ZC的中點(diǎn)可得/O=;/C=3cm,進(jìn)而由8。L/C可得BD為/C的垂直平分線(xiàn),得到
BA=BC=7cm,由三線(xiàn)合一得到,又由DE〃BC得/EDB=NCBD,即得
NEDB=NABD,得到=據(jù)此可得△/££)的周長(zhǎng)
=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD,即可求解,掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:;。是NC的中點(diǎn),AC=6cm,
.?.AD」/C=3cm,
2
又???BD工AC,
為/C的垂直平分線(xiàn),
BA=BC=7cm,
."ABD=/CBD,
-DE//BC,
???ZEDB=ZCBD,
???ZEDB=/ABD,
???BE=DE,
.??△4£。的周長(zhǎng)=/£+?!?4。=/£+3£+4。=45+/。=7+3=10(:111,
故選:B.
6.B
【分析】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì),
熟練掌握等腰三角形的性質(zhì),線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì),理解在直角三角形中,30。的角所對(duì)
的直角邊是斜邊的一半是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.連接先求出NB=NC=30。,
ABAC=120°,再根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得,BE=AE,由此得NB=NCME=30。,進(jìn)而
利用直角三角形的性質(zhì)得絲=2/宏=4,然后求出/。E=90。,再利用直角三角形的性質(zhì)
即可求出CE的長(zhǎng).
【詳解】解:連接如圖:
答案第3頁(yè),共25頁(yè)
在△/8C中,AB=AC,NC=30。,
NB=NC=30°,
ZBAC=180°-(ZS+ZC)=120°,
???點(diǎn)。是48的中點(diǎn),DEJ.AB,
DE是線(xiàn)段48的垂直平分線(xiàn),
BE=AE,
NB=ZDAE=30°,
在RM/DE中,ZDAE=30°,DE=2,
AE=IDE=4,
???ABAC=120°,ZDAE=30°,
ZCAE=ABAC-ADAE=120°-30°=90°,
在Rt^GlE■中,ZC=30°,AE=4,
CE=2AE=8.
故選:B.
7.C
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理,分類(lèi)討論是正確解答本題的關(guān)
鍵.
根據(jù)題意分兩種情況,當(dāng)△/BC是銳角三角形時(shí),當(dāng)△N3C是鈍角三角形時(shí),討論求解即可;
【詳解】解:分兩種情況:
當(dāng)△NBC是銳角三角形時(shí),如圖:
答案第4頁(yè),共25頁(yè)
?;NAED=5。。,
ZA=900-ZAED=40°;
當(dāng)△/5C是鈍角三角形時(shí),如圖:
由魯:DE是的垂直平分線(xiàn),
-----
.'.AADE=90°,
■:ZAED=50°,
:.ZDAE=90°-NAED=40°,
ADAC=180°-ADAE=140°;
綜上所述:這個(gè)等腰三角形的頂角為40。或140。,
故選:C.
8.C
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的定義及平行線(xiàn)的性質(zhì);題目利用了兩直
線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,及等角對(duì)等邊來(lái)判定等腰三角形的;等量代換的利用是解答本題的關(guān)
鍵.由平行線(xiàn)得到角相等,由角平分線(xiàn)得角相等,根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)及等腰三角形的判定和
性質(zhì),逐一進(jìn)行判斷即可.
【詳解】W:-:DE//BC,
NDFB=ZFBC,ZEFC=ZFCB,
???8尸是。的平分線(xiàn),C尸是N/C8的平分線(xiàn),
ZFBC=ZDFB,ZFCE=ZFCB,
ZDBF=NDFB,ZEFC=NECF,
:.ADFB,AFEC都是等腰三角形.故①正確,
.-.DF=DB,FE=EC,即有DE=DF+FE=BD+CE,故②正確,
.?.△/DE的周長(zhǎng)=++故③正確,
BD,CE不一定相等,故④錯(cuò)誤,
故選:C.
9.D
【分析】此題主要考查了點(diǎn)的平移以及關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì),直接利用平移的性質(zhì)得出對(duì)
答案第5頁(yè),共25頁(yè)
應(yīng)點(diǎn)位置,進(jìn)而結(jié)合關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)得出答案,正確掌握橫坐標(biāo)的關(guān)系是解題的關(guān)
鍵.
【詳解】解:???將點(diǎn)月向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)見(jiàn)2),
;.邛(",2+3),即私5),
???點(diǎn)片關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)心(-加,5),
故選:D.
10.C
【分析】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì),根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)
以及平行線(xiàn)的性質(zhì)得出〃4鳥(niǎo)〃4名,以及4層=2耳4,得出453=叫4=4,
4劣=叫4=8,4&=16片4...進(jìn)而得出答案,根據(jù)已知得出4旦=444=4,
4紜=85,4=8,455=165,4進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:如圖,
=A2B,,/3=24=N12=60°,
.?.Z2=120°,
■.■ZMON=30°,
Zl=180o-120°-30o=30°,
又Z3=60°,
.-.Z5=180°-60°-30°=90°,
vAMON=Z1=30°,
:.OAX-AXBX=1,
答案第6頁(yè),共25頁(yè)
??.=1,
???△4與4、△4質(zhì)4是等邊三角形,
.-.Zll=Z10=60°,Z13=60°,
???Z4=Z12=60°,
4耳//A2B2//A3B3,BXA2//B2A3,
??.N1=N6=N7=3O。,Z5=Z8=90°,
452=2514,B3A3=2BZ4,
???A3B3=4B]A?=4,
A4B4=844=8,
4區(qū)=1644=16
以此類(lèi)推:4線(xiàn)=3244=32.
故選:C.
11.B
【分析】本題考查利用成軸對(duì)稱(chēng)的特征進(jìn)行求解,作點(diǎn)/關(guān)于3。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,關(guān)于。。的
對(duì)稱(chēng)點(diǎn)/〃,連接〃與5C、的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)〃、N,利用三角形的內(nèi)角和定理和
三角形的外角的性質(zhì),進(jìn)行求解即可.
【詳解】解:作點(diǎn)4關(guān)于3C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,關(guān)于CZ)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)則:
AM=A'M,AN=A"N.
CN的周長(zhǎng)=++=++
???當(dāng)/四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),的周長(zhǎng)最短,
連接與CD的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)/、N,如圖:
?.-ZDAB=130。"=%=90°,
.?.42,4三點(diǎn)共線(xiàn),424,三點(diǎn)共線(xiàn),
ZA'+ZA"=180°-130°=50°,
答案第7頁(yè),共25頁(yè)
由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得:ZA'=ZBAM,ZA"=ZDAN
ZAMN+ZANM=/A'+NBAM+ZA"+ADAN=2(N4+N/")=100°
故選:B.
12.B
【分析】由SAS證明aAOC三ABOD,得到4OAC=NOBD,由三角形的外角性質(zhì)得:zAMB
+zOBD=zAOB+zOAC,得出NAMB=NAOB=36。,①正確;
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出/OCA=NODB,AC=BD,②正確;
作OG1AC于G,OH1BD于H,如圖所示:貝IJNOGC=NOHD=90。,由AAS證明
△OCG三△ODH(AAS),得出OG=OH,由角平分線(xiàn)的判定方法得出MO平分/4WD,?
正確;
由NAOB=NCOD,得出當(dāng)NDOM=NAOM時(shí),OM才平分NBOC,假設(shè)NDOM=NAOM,
由△AOC三4BOD得出NCOM=NBOM,由MO平分NBMC得出NCMO=NBMO,推出
△COM三△BOM,得OB=OC,而OA=OB,所以O(shè)A=OC,而CM<OC,故③錯(cuò)誤;即
可得出結(jié)論.
【詳解】??2A0B=NC0D=36°,
???zAOB+zBOC=zCOD+zBOC,
即NAOC=NBOD,
在△AOC和ABOD中,
OA=OB
<NAOC=NBOD,
OC=OD
???AAOC=ABOD(SAS),
???ZOCA=ZODB,AC=BD,②正確;
.?ZOAC=NOBD,
由三角形的外角性質(zhì)得:NAMB+ZOBD=ZAOB+ZOAC,
.?.ZAMB=ZAOB=36°,②正確;
答案第8頁(yè),共25頁(yè)
作OG_LAC于G,OH1BD于H,如圖所示:
則NOGC=NOHD=90。,
在aOCG和△ODH中,
AOCA=ZODB
<ZOGC=ZOHD,
OC=OD
.-.△OCG=AODH(AAS),
??.OG=OH,
???M9平分④正確;
vzAOB=zCOD,
???當(dāng)4DOM=zAOM時(shí),OM才平分XBOC,
假設(shè)4DOM=/AOM
vAAOC=ABOD,
/.ZCOM=ZBOM,
vMO平分NBMC,
.?ZCMO=4BMO,
在△COM和aBOM中,
/COM=/BOM
<OM=OM,
ZCMO=ZBMO
.-.△COM=ABOM(ASA),
???OB=OC,
vOA=OB
/.OA=OC
與。/<oc矛盾,
二③錯(cuò)誤;
正確的有①②④;
故選B.
答案第9頁(yè),共25頁(yè)
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線(xiàn)的判定等知識(shí);
證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.
13.4
【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì),平角的意義,三角形全等的性質(zhì)與判定,
含30度角的直角三角形的性質(zhì),得出=/尸九處=43?是本題的關(guān)鍵.
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出==進(jìn)而得出/MP3=/JWC=/m4=90。,再根
據(jù)平角的意義即可得出==即可證得APMN是等邊三角形;根據(jù)全
等三角形的性質(zhì)得到P/=BM=CN,PB=MC=AN,從而求得BM+P8=48=12c〃?,根
據(jù)直角三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出2P8=8”,即可求得尸B的長(zhǎng),進(jìn)而
得出MC的長(zhǎng).
【詳解】解:???△/8C是等邊三角形,
NA=/B=NC=60°,
■:MPLAB,NMIBC,PN±AC,
ZMPB=ZNMC=ZPNA=90°,
NPMB=ZMNC=ZAPN=30°,
ZNPM=ZPMN=ZMNP=60°,
.?.△PAW是等邊三角形,
PN=PM=MN,
:.JBMAMCNWNAP(AAS),
:.PA=BM=CN,PB=MC=AN,
BM+PB=AB=12cm,
在R3BA0中,/PMB=3。。,
2PB=BM,
2PB+PB=12cm,
:.PB=4cm,
答案第10頁(yè),共25頁(yè)
CM=4cm,
故答案為:4.
14.20或28或32
【分析】本題考查了等腰三角形的定義及三角形的構(gòu)成條件,根據(jù)等腰形的定義及等腰三角
形的一條中線(xiàn)把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)周長(zhǎng)相差4的三角形,得這條中線(xiàn)不可能是底邊上
的中線(xiàn),只能是等腰三角形的一腰上的中線(xiàn),根據(jù)題意畫(huà)出圖形,如圖,中,
AB=AC,設(shè)8C=y,等腰三角形的腰長(zhǎng)=/C=2x,進(jìn)而分A8=/C=8和3C=8兩
種情況討論求解即可.
【詳解】解:根據(jù)等腰形的定義及等腰三角形的一條中線(xiàn)把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)周長(zhǎng)相
差4的三角形,得這條中線(xiàn)不可能是底邊上的中線(xiàn),只能是等腰三角形的一腰上的中線(xiàn),
根據(jù)題意畫(huà)出圖形,如圖,中,AB=AC,設(shè)2C=y,等腰三角形的腰長(zhǎng)
AB=AC=2x,
A
???BD是腰上的中線(xiàn),
AD=DC=x,
當(dāng)28=/C=8時(shí),4D=CD=4,
^AB+AD+BD-BC-CD-BD=4,貝!|8+4-y-4=4
解得2C=y=4,此時(shí)A43c的周長(zhǎng)為8+4+8=20;
^BC+CD+BD-AB-AD-BD=4,貝!|y+4—8—4=4解得8C=y=12,止匕時(shí)A/BC的周
長(zhǎng)為8+12+8=28;
當(dāng)BC=8時(shí),
^AB+AD+BD-BC-CD-BD=4,貝!12x+x-8-x=4
解得久=6,
AB-AC=2x=12,
此時(shí)“BC的周長(zhǎng)為12+8+12=32;
答案第11頁(yè),共25頁(yè)
若BC+CD+BD-AB-AD-BD=4,貝i|8+x-2x-x=4解得x=2,
.-.AB=AC=2x=4,
???4,4,8不符合三角形的條件,
??.此情形應(yīng)舍去,
故答案為:20或28或32.
15.16°
【分析】本題主要是考查了三角形內(nèi)角和、垂直平分線(xiàn)以及等腰三角形的性質(zhì),熟練應(yīng)用三
角形內(nèi)角和與等腰三角形的性質(zhì)求解角的度數(shù),利用垂直平分線(xiàn)證邊相等,是解決本題的關(guān)
鍵.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/助C,根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到"=班,
GA=GC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到=NGAC=NC,再進(jìn)一步解答即可.
【詳解】解:=52。,ZC=30°,
.-.ABAC=180°-52°-30°=98°,
?:DE是AB的垂直平分線(xiàn),
*'?EA—EB,
???NEAB=NB,
同理可得:GA=GC,
???/GAC=/C,
???/EAB+ZGAC=ZB+ZC=82°,
...ZEAG=ABAC-(ZEAB+ZGAC)=98°-82°=16°.
故答案為:16。.
16.65°
【分析】本題考查折疊的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,由折疊可得
NAED=N4ED=1,ZADE=ZA'DE=-AADA',進(jìn)而可得
22
Zl+Z2=360°-7.AAED-2AADE,結(jié)合//ED+//DE+//=180°,可得
Nl+N2=2N/=130。,即可求解,掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:???將△N8C沿著DE折疊壓平,A與4重合,
NAED=ZA'ED=-ZAEA',ZADE=NA'DE=-NADA',
22
.-.Zl+Z2=l80°-ZAEA'+180°-ZADA'^360°-2NAED-2NADE,
ZAED+ZADE+ZA=180°,
答案第12頁(yè),共25頁(yè)
??.ZAED+/ADE=180。一/%,
Z1+Z2=360°-2(180°-Z^)=2ZA,
???Zl+Z2=130°,
.?.//=130°=65°,
2
故答案為:65°.
17.20
【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求出NCFG=140。,再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求出
ZD'EG=ZBGE=40°,再由折疊性質(zhì)即可求解.
此題考查平行線(xiàn)的性質(zhì),根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:如圖:圖②是長(zhǎng)方形紙帶沿跖折疊而成,
ZFEG=ZD'EF,CF//DG,AD'//BC,
:.ZDGF+ZCFG=1SO°,
vZCFG=140°,
:.NDGF=40°,
ZBGE=ZDGF=40°,
???AD///BC,
AD'EG=NBGE=40°,
???ZFEG=ZD'EF,
ND'EF=-ND'EG=20°,
2
即NDEF=20°,
故答案為:20.
18.8
【分析】本題考查的是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),含30。的直角三角形
的性質(zhì),掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.如圖,連接OC,過(guò)。作。G,3c于G,先求解
答案第13頁(yè),共25頁(yè)
CE-12,Z.OEG=60°,GE=—OE=2,證明O5=OC,GC=GB,求解
2
GC=G5=12—2=10,從而可得答案.
【詳解】解:如圖,連接OC,過(guò)。作。GL5C于G,
ZACB=30°fOD=2OE=4,DE1AC,
/.DE=6,CE=2DE=12,ZOEG=60°,
NGO£=90。—60。=30。,
.\GE=-OE=-x4=2,
22
???點(diǎn)。是ZC的中點(diǎn),DEIAC,
OA=OC,
???OA=OB,
OB—OC,
???OG±BC,
GC=GB,
???GC=CE-GE,
GC=GB=12-2=10,
:.BE=BG-EG=10-2=S.
故答案為:8.
19.見(jiàn)解析
【分析】本題考查了基本作圖,線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短及角平分線(xiàn)的
性質(zhì),作出ZAOD的角平分線(xiàn)OG,再作點(diǎn)F關(guān)于OG對(duì)稱(chēng)的點(diǎn),,連接EP交OG于點(diǎn)P,
點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn),解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì),角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的
距離相等以及兩點(diǎn)之間,線(xiàn)段最短.
【詳解】解:如圖所示,則點(diǎn)P即為所求:
答案第14頁(yè),共25頁(yè)
【分析】連接CD,BD,由角平分線(xiàn)定理得到DF=DE,ZF=/DEB=90°,ZADF=ZADE,
由。G是3c的垂直平分線(xiàn)得到CD=80,由此證明RMC。bgRtABOE,推出8E=CF,
再根據(jù)48=11,/C=5即可求出答案.
【詳解】解:如圖,連接CO,BD,
???4D是/8/C的平分線(xiàn),DEVAB,DF1AC,
:.DF=DE,ZF=ZDEB=90°,ZDAF=ZDAE,
ZDAF+ZADF=ZADE+NDAE=90°,
:-ZADF=ZADE,
-:DE±AB,DF1AC,
*'?AE—AF,
???QG是5C的垂直平分線(xiàn),
;.CD=BD,
在Rt^CDF和RGBDE中,
JCD=BD
|DF=DE'
???RtACDF^RtA5WHL),
:,BE=CF,
??.AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,
答案第15頁(yè),共25頁(yè)
■■AB=11,/C=5,
...5E=;x(ll-5)=3.
【點(diǎn)睛】此題考查線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì),三角形全等的判定及性質(zhì),等角的余角相等,角
平分線(xiàn)性質(zhì)定理的運(yùn)用,此題輔助線(xiàn)的連接是解題的關(guān)鍵.
21.(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【分析】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的定義,含30度角的直角三角形的性質(zhì),線(xiàn)段垂
直平分線(xiàn)和角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖:
(1)根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)和角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖方法作圖即可;
(2)先求出/C=90。,則由直角三角形的性質(zhì)得到=再證明
BF=-BC,ZBFE=90°,則N8E尸=30。,進(jìn)而得到班'=23尸,則BE=,即E
22
是4B中點(diǎn).
【詳解】(1)解:如圖所示,即為所求;
.-.ZC=90°,
AB=2BC,
???E/垂直平分BC,
:.BF=-BC,ZBFE=90°,
2
ZBEF=30°,
BE=2BF,
.-.BE=BC=^AB,即E是N8中點(diǎn).
22.⑴見(jiàn)解析;
(2)BE=\.
答案第16頁(yè),共25頁(yè)
【分析】(1)連接CD,先由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出2。=8,再由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出
DE=DF,然后由HL證得即可得出結(jié)論;
(2)由HL證得RtAAD£絲RtA4D9,得出/E=/尸,貝i]4B-8E=/C+CF,推出
BE+CF=AB-AC=2,即可得出結(jié)果.
本題考查了垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),熟練掌
握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
【詳解】(1)證明:連接8,
???£)在8c的垂直平分線(xiàn)上,
:.BD=CD,
-DE±AB,DF1AC,4D平分NBAC,,
■.DE=DF,
ABED=NDFC=90°,
在RQBDE和RtACDF中,
fBD=CD
[DE=DF'
...RtBDE名RtACZ)F(HL),
;.BE=CF;
(2)解:在RMNDE和RtA/Ob中,
[AD=AD
[DE=DF'
Rt咨RtA^Z)F(HL),
AE=AF,
??.AB-BE^AC+CF,
答案第17頁(yè),共25頁(yè)
.-.BE+CF=AB-AC=S-6=2,
-BE=CF,
?,BE=-x2=l.
2
23.(l)ZgA/C=60°
⑵N0A7C=12O。
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用.解決
問(wèn)題的關(guān)鍵是:
(1)先判定一臺(tái)。絲△C4P,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/氏40=44c尸,從而得到
ZQMC=60°;
(2)先判定△Z30名尸,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得/氏40=N/C尸,從而得到
ZQMC=120°,
【詳解】⑴解:???△45。是等邊三角形,
..ZABQ=ZCAP=60°,AB=CA,
又丁點(diǎn)尸、。運(yùn)動(dòng)速度相同,
/.AP=BQ,
在△ZB。與△C/P中,
AB=CA
<AABQ=ZCAP,
AP=BQ
:.^ABQ^CAP(SAS);
/.NBAQ=NACP,
???NO"。是△/CM的外角,
ZQMC=ZACP+/MAC=ABAQ+/MAC=ABAC,
?.NBAC=60。,
ZQMC=60°;
(2)解:點(diǎn)尸、。在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線(xiàn)48、3C上運(yùn)動(dòng)時(shí),NQI/C不變.
理由:同理可得,AABQACAP,
:.ZBAQ=ZACP,
答案第18頁(yè),共25頁(yè)
vZQMC是△APM的外角,
ZQMC=ZBAQ+ZAPM,
ZQMC=ZACP+ZAPM=180°-ZPAC=180°-60°=120°,
即若點(diǎn)尸、。在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線(xiàn)/8、3c上運(yùn)動(dòng),NQMC的度數(shù)為120。.
24.(1)證明見(jiàn)解析;
⑵的度數(shù)是60。;;
(3)證明見(jiàn)解析.
【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),三角形內(nèi)角和定
理等知識(shí),掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出/C=8C,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,求出
ZACD=ZBCE,證"CD咨ABCE即可;
(2)根據(jù)全等求出=,求出N/DE+NBED的值,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求
出即可;
(3)求出4W=8N,根據(jù)SAS證△/CM多△8CN,推出CM=CN,求出/NCM=60。即
可.
【詳解】(1)證明:都是等邊三角形,
■.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,
ZACB+ZBCD=NDCE+/BCD,
ZACD=ZBCE,
在A/CD和ABCE中
AC=BC
,NACD=aBCE,
CD=CE
;.AACD%BCE(SAS),
AD=BE;
(2)解:?:XACDQXBCE,
:.NADC=NBEC,
??,等邊三角形。C£,
;,/CED=/CDE=600,
答案第19頁(yè),共25頁(yè)
AADE+ABED
=/ADC+ZCDE+/BED
=ZADC+600+ZBED
=NCED+6。。
=60。+60。
=120°,
/DOE=180°-(/ADE+/BED)=60°,
???/OOE的度數(shù)是60。;
(3)證明:???"CD-BCE,
??.NCAD=/CBE,AD=BE,AC=BC,
又?:點(diǎn)M、N分別是線(xiàn)段/48£的中點(diǎn),
AM=-AD,BN=-BE,
22
AM=BN,
在△/CM和/\BCN中,
AC=BC
</CAM=/CBN,
AM=BN
/\ACM^ABCN(SAS),
???CM=CN,
ZACM=ZBCN,
又/ACB=6。。,
???/ACM+AMCB=60°,
??.ZBCN+ZMCB=60°,
ZMCN=60°f
??.△MAC是等邊三角形.
25.(1)B;(2)C;(3)AD=AB+DC,理由見(jiàn)解析;(4)DF=3.
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、
三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn),構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)
題.
答案第20頁(yè),共25頁(yè)
(1)根據(jù)三角形全等的判定定理即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)全等得出BE=/C=6,AE=2AD,由三角形三邊關(guān)系定理得出答案;
(3)AD=AB+DC,延長(zhǎng)DC交于點(diǎn)尸,證明"8E%FEC
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