圓的綜合（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義

壓軸題05

圓的綜合

目錄

?題型剖析?精準提分

題型一切線的判定

題型二圓中求線段長度

題型三圓中的最值問題

題型四圓中的陰影部分面積

題型五圓中的比值（相似）問題

好題必刷?強化落實

題型剖析?精準提分

圓的綜合

題型一切線的判定題型三圓中的最值問題

題型二圓中求線段長度題型四圓中的陰影部分面積

題型五圓中的比值（相似）問題

下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題型的

題型解讀：

考查熱度.

圓的綜合問題在中考中常常以選擇題以及解答題

圓的綜合

的形式出現(xiàn)，解答題居多且分值較大，難度較高.多考

查切線的性質(zhì)與判定、圓中求線段長度問題和圓中最值

問題，一般會用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角

形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換等相關(guān)知識點，

以及數(shù)形結(jié)合、整體代入等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及

以下問題：①切線的判定；②計算線段長及證明線段比

例關(guān)系；③求三角函數(shù)值；④利用“輔助圓”求最值.

右圖為圓的綜合問題中各題型的考查熱度.

題型一切線的判定

解題模板：

根據(jù)條件確定是否有明確交點

根據(jù)有無交點作出相應(yīng)的輔助線

利用切線的判朝法進的明

技巧：有切點，連半徑，證垂直（根據(jù)題意，可以證角為90°,如已有90°角，可以嘗試證平行）

沒切點，作垂直，證半徑（通常為證全等，也可以通過計算得到與半徑相等）

【例1】1.（2023-四川攀枝花-中考真題）如圖，48為的直徑，如果圓上的點。恰使/ADC=/3,求

證：直線。與。。相切.

【答案】見詳解

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理得出NaM+NADC=90。，則CDLOD,再由切線的判定即可

得出結(jié)論.

【詳解】證明：如圖，連接0。，

OA=OD,

:.ZA=ZODA,

??,AB為O。的直徑，

,\ZADB=90°,

/.ZA+ZB=90°,

\ZADC=ZBf

.?.NQZM+ZADC=90。,

即ZCDO=90°,

:.CD±ODf

???QD是OO的半徑,

直線8與。。相切.

【點睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握

圓周角定理和切線的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式1T】（2023-遼寧-中考真題）如圖，內(nèi)接于。。，是。。的直徑，CE平分NACB交。。于

點、E,過點E作￡F〃AB,交C4的延長線于點E

求證：EF與OO相切；

【分析】連接OE,由AB是。。的直徑可得NACfi=90。，進而可得/ACE=344CB=45。，再根據(jù)圓周角

定理可得/AOE=2NACE=90。，進而可證OELAB,OE±EF,即可證明E尸與。。相切；

【詳解】證明：如圖，連接OE,

???AB是。。的直徑,

ZACB=90°,

CE平分/ACB交。。于點E,

ZACE=-ZACB^45°,

2

ZAOE=2ZACE=90。,

OE±AB,

EF//AB,

..OEYEF,

???OE是OO的半徑，

???EF與。。相切；

【點睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，熟練應(yīng)用圓周角定

理是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2](2023-遼寧-中考真題)如圖，A3是。。的直徑，點C,E在。。上，NC4B=2NE4B,點尸在

線段的延長線上，且/AEE=NABC.

(1)求證：E尸與。。相切；

4

(2)若5/=LsinNAFE=g,求5c的長.

【分析】利用圓周角定理得到NEO5=2NE4B,結(jié)合已知推出NC4B=ZEO3,再證明△。在?！?。，推

出NQEF=NC=90。，即可證明結(jié)論成立；

【詳解】證明：連接OE,

?：BE=BE，NEOB=2NEAB,

丁ZCAB=2ZEAB,

：.NCAB=ZEOB,

「AB是。。的直徑，

ZC=90°,

ZAFE=ZABC,

：.△OFEs^ABC,

：./OEF=/C=90。,

?；OE為。O半徑，

與。。相切；

【點睛】本題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，

熟練掌握圓的相關(guān)知識和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式「3】（2023-湖北鄂州-中考真題）如圖，為。O的直徑，E為。O上一點，點C為助的中點，過

點C作CDLAE,交AE的延長線于點。，延長DC交的延長線于點孔

⑴求證：是。。的切線；

【分析】連接OC,根據(jù)弦、弧、圓周角的關(guān)系可證NZMC=NC4產(chǎn)，根據(jù)圓的性質(zhì)得NQ4C=NOC4,證

明OC〃AD,得到NOB="=90。，根據(jù)切線的判定定理證明；

【詳解】證明：連接OC,

???點C為曲的中點,

??EC=CB，

:.ZDAC=ZCAF,

???Q4=0C,

JZOAC=ZOCA

：.?DACICOA

：.OC//AD,

：.ZOCF=ZD=90°,

???0c為半徑，

???DC為。。切線；

【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

題型二圓中求線段長度

解題模板：

利用圓的相關(guān)定理和性質(zhì)作輔助線

分析題目條件選取合適的方法進彳箝算

【例2】（2023-西藏-中考真題）如圖，已知48為。。的直徑，點C為圓上一點，AO垂直于過點C的直線,

交。。于點E,垂足為點。，AC平分

D

C

E,

⑴求證：CD是。。的切線；

(2)若AC=8,BC=6,求DE的長.

【答案】(1)見詳解

【分析】（1）連接CO,根據(jù)角平分線的定義有44￡>=2NC4O,根據(jù)圓周角定理有2/C4O=NCO3,可

得NDAB=NCOB,進而有AD〃OC,進而可得NOCO=180。—NADC=90。，則有半徑OC_LCD,問題得

證；

（2）連接CO,CE,BC,利用勾股定理可得AB=CAC2+3C2=10,進而有sinNCA8=g==,

AD5

Ar14324

tanZCBA=——=—,根據(jù)ZDAC=ZCAB,即sinZDAC=sinZCAB=進而可得CO=ACxsinZDAC=—,

BC355

4

根據(jù)四邊形AECB內(nèi)接于可得NDEC=NB,BPtanZDEC=tanZCBA=-,再在Rt△瓦）。中，可得

DE=CD_24*3」8

tan/DEC545'

【詳解】（1）連接CO,如圖，

'??AC平分2B4O,

???ZBAD=2ZCAO,

2/CAO=/COB,

：.ZDAB=ZCOB,

：.AD//OC,

:.ZADC+ZDCO=180°,

■:ADLCD,

：.ZADC=9Q0,

ZDCO=180?！猌ADC=90°,

:.OCLCD,

二?CD是OO的切線；

(2)連接CO,CE,BC,如圖,

A3為OO的直徑，

??.ZACB=90°,

VAC=8,BC=6,

???在Rt^ABC中，AB=y/AC2+BC2=10,

AsinZCAB=—=-,tanZCBA=—=-,

AB5BC3

丁AC平分/BAD,

3

AZDAC=ZCABfBPsinZDAC=sinZCAB=-,

???在Rt^ADC中，AC=8,

24

CD=ACxsinZDAC=y,

??,四邊形AECB內(nèi)接于(DO,

4

ZDEC=ZB,BPtanZDEC=tanZCBA=-,

24

???在RMEDC中，CD=『

.DE-CD-24x3-18

"tanZDEC545'

【點睛】本題主要考查了切線的判定，解直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及圓周角定理等知識，靈活

運用解直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023-內(nèi)蒙古-中考真題）如圖，48是。。的直徑，E為。。上的一點，點C是用E的中點，

連接2C,過點C的直線垂直于BE的延長線于點。，交出的延長線于點P.

(2)若PC=2080，PB=10,求3E的長.

【答案】(1)見解析

⑵BE=g

【分析】（1）連接OC,根據(jù)點C是aE的中點可得/=進而證OC〃比），從而得證

NPCO=ND=90°即可；

（2）解法一：連接AE交0c于M,根據(jù)PC=2。。及勾股定理求出0C=g,再證明AE〃尸D,從而得

到器=器，即可求出BE的值；解法二：過點。作助于點H,按照解法一步驟求出0C=1,然后

證明四邊形COHD是矩形，再證明△尸求得3。=5,進而求出破的值.

【詳解】（1）證明：連接0C,

???BD_LCD,

.?."=90。，

丁點。是）tE的中點，

/.AC=C石，

.\ZABC=ZCBD,

?：OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB,

:"OC4/CBD,

:.OC//BD,

:.ZPCO=ZD=90°,

:.OC±PDf

???0C是半徑,

PC是。。的切線;

(2)解法一：連接AE交OC于

PC=2A/2BO，BO=CO,

PC=2忘CO,

-.-PB=10,

:.PO=PB-OB=10-OC,

在RtAPCO中PC2+OC2=PO2,

(2卮+0C2=(10-OC)2,

OC=|^OC=-5(不符合題意，舍去),

,??點C是農(nóng)E的中點，OC是半徑，

.：0。垂直平分凡￡,

:OA=OB,

二?！笆恰鰽EB的中位線，

:.BE=2OM,

■.?四是直徑，

,-.ZAEB=ZD=90°,

:.AE//PD,

5

OM_OA_2_1

OCOPio-53

2

1^155

OM=-OC=-x-

3326

BE=2x-=5-.

63

D

c

解法二：過點。作于點H,

..""0=90°,BE=2BH,

PC=2丘B(yǎng)O,BO=CO,

:.PC=2A/2CO，

-,-PB=10,

:.PO=PB—OB=1Q—OC,

...在Rt△尸CO中，PC2+OC-=PO-,

.?.（2A/2CO）2+OC2=（10-OC）\

，OC=|或OC=—5（不符合題意，舍去）,

???ZPDB=ZDHO=ZOCD=90°,

???四邊形COHD是矩形，

CO=-

:DH=29

OC〃BD,

..^PCO^^PDB,

.POCO

一詬―茄’

155

?=2>

.TOBD

\BD=—,

3

.?.BH工一,

326

:.BE=2BH=2x-=-.

63

圓的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理，平行線間線段成比例，相似三角形的的判定與

性質(zhì)，掌握并理解相關(guān)性質(zhì)定理并能綜合應(yīng)用是關(guān)鍵.

【變式2-2］（2023-遼寧大連-中考真題）如圖1,在。。中，48為。。的直徑，點C為上一點，AD為

NC鉆的平分線交。。于點。，連接OD交BC于點E.

圖1圖2

⑴求的度數(shù)；

（2）如圖2,過點A作。。的切線交BC延長線于點歹，過點。作。G〃AF交A3于點G.若AO=2庖,

DE=4,求。G的長.

【答案】⑴90。

（2）2710

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理證得兩直線平行，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論;

（2）由勾股定理得到邊的關(guān)系，求出線段的長，再利用等面積法求解即可.

【詳解】（1）解：為。。的直徑，

.-.ZACB=90°,

AD為/CAB的平分線，

\2BAC》BAD,

,/OA=OD,

.\ZBAD=ZODA,

ZBOD=ZBAD+ZODA=2ZBAD,

:.NBOD=NBAC,

:.OD//AC,

ZOEB=ZACB=90°,

:./BED=90°；

（2）解：連接8D,

^OA=OB=OD=r,

貝|JOE=—4,AC=2OE=2r—8,AB^2r,

圖2

?.,AB為G>O的直徑，

:.ZADB=90°,

在RtAAD3中，BD2=AB2-AD\

由（1）得，/BED=90。，

ZBED=ZBEO=90°,

:.BE2=OB2-OE2,BE2=BD2-DE2

BD2=AB2-AD1=BE2+DE2=OB2-OE2+DE2,

A（2r）2-（2^）2=r2-（r-4）2+42,

解得r=7或r=-5（不合題意舍去），

,-.AB=2r=14,

---BD=ylAB2-AD2=Jl"（2底y=2y/14,

?.?AF是。。的切線，

:.AF±AB,

■.■DG//AF,

:.DG±AB,

S△A,DBUn=2-ADBD2=-ABDG,

：.DG=空幽=巫應(yīng)=2M.

AB14

【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握圓周角定理和勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023-湖北恩施-中考真題）如圖，AABC是等腰直角三角形，/ACB=90。，點。為的中

點，連接CO交。。于點E,。。與AC相切于點。.

⑴求證：BC是OO的切線；

⑵延長CO交。。于點G,連接AG交。。于點R若AC=4&，求FG的長.

【答案】（1）見解析

⑵境

3

【分析】（1）連接OD,過點。作OPLBC于點尸，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/OCD=/OCP=45。，推

出OD=OP,即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出。4,。。的長，勾股定理求出AG,連接OF,過。作于點

H,利用面積法求出OH,勾股定理求出用，即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出FG的長.

【詳解】（1）證明：連接O。，過點。作O尸，于點產(chǎn)，

A

：.0D1AC,

,/zABC是等腰直角三角形，ZACB=90。，點。為AB的中點,

ZOCD=ZOCP=45°,

：.OD=OP,即OP是。。的半徑，

/.3C是。。的切線；

(2)解：VAC=4A/2,AB^AC,ZACB^90°,

AB=y/2AC=S，OCLAB,

:點。為A3的中點，

/.OC=OA=-AB=4,

2

,：ODA.AC

：.0O」AC=2后，

2

在RtAAOG中，AG=y/o^+OG2="+(2何=2娓

連接。尸，過。作O”,AG于點8,

.c”O(jiān)AOG4x2亞4指

??Oil=-------=-----7=-=------,

AG2娓3

4A/3?_276

亍JF

?：OF=OG,

?"CEJ廠4A/6

??FG-2HG------?

3

【點睛】此題考查了判定直線是圓的切線，切線的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌

握各知識點是解題的關(guān)鍵.

題型三圓中的最值問題

解題模板：

根據(jù)題目條件判斷圓中最值模型

利用模型技巧構(gòu)造圖形并確定動點位置

分析幾何特征并代入數(shù)值計算

技巧精講:

1、輔助圓模型

模型問題情境圖示結(jié)論

。在。。夕卜

當D,E,0三點共線時,OE有最值，最大值

為d+r,最小值為d-r

點E為O0上一點，O。的半徑

。在。。上當D,E,0三點共線時有最值，最大值

為r,平面內(nèi)一定點。與點。的

點圓最值吟為d+r=2r（即為。。的直徑），最小值為

距離。。=九求出0E的最大值

d-r=0（O,E重合）

和最小值

。在。。內(nèi)

當D,E,0三點共線時,OE有最值，最大值

“⑦一爸），

為d+r,最小值為r-d

C在優(yōu)弧上

&當CH1AB且CH過圓心0時，線段CH的

長即為點C到弦AB的最大距離，此時

5A板的值最大

48是。。的一條定弦，點C為

@上一動點

C在劣弧48上

線圓最值當CH1AB且圓心。住CH的延長線上時，

線段CH的長即為點C到弦AB的最大距

離，此時SA1tse的值最大

C

。。與直線/相離,點尸為

點P到直線1的最小距離是d-r,最大距離

上一動點，設(shè)圓心0到直線1L里

是d+r

的距離為或。。的半徑為r

D

那是△ABC和的公共邊，A,B,C,D四點共圓，圓心0為三角形任意

四點共圓

且點C,0在AB同側(cè)，乙C=乙。冷一組鄰邊的垂直平分線的交點

\------------/B

模型問題情境圖示結(jié)論

在四邊形ABCD中，Z.ABC=

四邊形48co的外接圓為以AC為直徑的

Z.ADC=90°,滿足乙ABC+

QO

乙40c=180。W

B

四點共圓

在四邊形ABCD中，滿足四邊形ABCD的外接圓為00,圓心。為任

AABC+Z.ADC=180°意一組鄰邊的垂直平分線的交點

D

在。。中，川？為一條定弦，點1^ADB=Z.ACB=乙AEB（弦AB在劣弧48

C,O,E在圓弧上上也有圓周角）

定角定弦

發(fā)

點C在。。的病上均可（當4C>90。時，

在O0中MB為一條定弦,C為

點C在劣弧上;當NC=90。時，點C在半圓

。。上任意一動點且Z.C=a

人一/B上;當2C<90。時，點C在優(yōu)弧上）

乙APB=90°

濟弋，.p

PMN鼠則AB=2PMM2h,當PM148或

E4=P8時,AB有最小值,此時AB=2h

A\M：B1爪、足M,IB1

已知直線/外一點P,點尸到直...J

線48的距離為定值乂定高），

定角定高過點P作PHJ.I于點H,則PH=h,可得

乙APB為定僮（定角），M為AB

Z4PB=a09O°Z.APB=^-Z.A0B=zUOM=a，設(shè)。0的半

的中點，求48的最小值

MM

徑為r,PO+MO=r+r,cosaNPMNPH=

h,當PM_LAB或P4=P8時，PO+MO=

PM=PH=A，貝!]r+r?cosa=八，此時r有

最小值，則AB的最小值為2rsina

兩定點4,8在乙C的一條邊上，過兩點作圓和點C的另一邊相切，當

另有一個動點P在這個角的另I點P運動到切點尸時，44PB最大（同弧所

最大張角

一條邊上,找一點P使得乙APB對的圓周角相等，圓外角小于圓周角，圓內(nèi)

最大角大于圓周角）

【例3】（2023-湖南長沙-三模）如圖1：在。。中，48為直徑，C是。。上一點，AC=3,BC=4.過。分別

作OHJ.BC于點、H,ODLAC于點。，點分別在線段3C、AC上運動（不含端點），且保持NEO尸=90。.

圖1圖2

（1）OC=；四邊形CDO//是（填矩形/菱形/正方形）；S四邊形CDOH=;

（2）當尸和。不重合時，求證：&OF*AOEH；

（3）①在圖1中，0P是ACEO的外接圓，設(shè)。P面積為S,求S的最小值，并說明理由；

②如圖2：若。是線段A8上一動點，且QA：08=1：〃，ZEQF=90°,。"是四邊形CEQ尸的外接圓，則

當〃為何值時，O"的面積最?。孔钚≈禐槎嗌伲空堉苯訉懗龃鸢?

【答案】（1）2.5；矩形；3；

（2）見解析

（3）①§萬，理由見解析；②〃=乎時，S有最小值If萬.

16925

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理及勾股定理得出AB=5,再由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出OC=2.5；利用

矩形的判定得出四邊形80〃的形狀，再由相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的面積求法即可得出結(jié)果；

（2）由圓周角定理及等量代換得出NFOD=N￡OH,再由相似三角形的判定即可證明；

（3）①由（2）得/ACB=90。，ZEOF=90°,確定圓P經(jīng)過C、F、。、E,即為ACOE的外接圓，且所

為直徑，由（1）得出EF取得最小值為《AB=2.5,利用圓的面積求解即可；②根據(jù)題意得：當QELAC,

2

3n

。尸，3。時，圓M的直徑所有最小值，再由三角函數(shù)得出￡。=廠4匚，。尸=丹，利用勾股定理及二次

函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】⑴解：???A3為直徑，

??.ZACB=90°,

?.,AC=3,BC=4,

???AB=5,

：.OC=-AB=2.5；

2

*：OD.LAC,OHIBC,ZACB=90°,

???四邊形CDOH是矩形；

VOD1AC,ZACB=9Q°f

：.OD//BC,

"OAD^BAC,

.OPAO_1

??疏一瓦—5'

???OD=2,

同理得O"=1.5,

??S四邊形so”=2x1.5=3；

故答案為：2.5；矩形；3；

(2)證明：VOD1AC,OHLCB,

：.Z.FDO=ZEHO=90°,

又A5為直徑，

???ZACB=90°,

???Z.DOH=90°=/EOF,

即AFOD+ADOE=ZDOE+ZEOH,

???ZFOD=ZEOH,

；?△OFD^AOEH.

(3)①如圖，VZACB=90°,ZEOF=90°,

???圓月經(jīng)過C、F、0、E,即為△口?石的外接圓，且石方為直徑

?,?當石尸最小時，圓P的面積S有最小值，

當廠和O重合、石和H重合時，

由(1)得。F=2,O石=1.5取得最小值，

所也取得最小值為:AB=2.5,

此時S="空］"為最小值.

I2)16

②根據(jù)題意得：當QE，AC,。尸，BC時，

圓M的直徑E尸有最小值，

55/243n

此時AQ=——，BQ=——，ZAQE=ZABC,EQ=cosZAQE?AQ=——，QF=sinZAQBBQ=——,

1+n1+〃1+n1+n

■,EF2=EQ2+QF2=^^-

(l+〃)

EF

??S—71

當石方最小時，s最小,

令r=〃+l,則E=2=9'_?+16=25

-18-+9

當沁,即〃若時，S有最小值,代入得S最小值為家.

為關(guān)于-的二次函數(shù),

【點睛】題目主要考查圓與四邊形綜合問題，包括圓周角定理，矩形的判定和性質(zhì)，內(nèi)接三角形和四邊形,

解直角三角形等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023-安徽-模擬預(yù)測）如圖，半圓的直徑A5=4,弦CD〃AB,連接AC,BD,AD,8C.

(1)求證：9△BCD；

(2)當AACD的面積最大時，求/CAD的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析

(2)45°

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NADC=/n4B,從而可得AC=BZ)，然后根據(jù)同圓或等圓中弧、弦、

圓周角的關(guān)系可得=從而用邊邊邊定理證明三角形全等；

(2)連接。COD,過點。作DELOC,垂足為點E,通過分析當且僅當/COD=90。時取等號時S’ACD有最

大值為2,分析求解.

【詳解】(1)證明：?.?CD〃鉆，

：.ZADC=ZDAB

AC=BD，

AC=BD,AC+CD=BD+CD>即AD=BC，

AD—BC.

又?:CD=DC.

.-.△ADC^ABCD(SSS)

(2)解：連接OC,OD,過點。作DELOC,垂足為點E.

：.OC=OD=LAB=2.

2

CD//AB,

?,^AACD=SAOCD=不OC-DE

■.■DE<OD=2,當且僅當/COD=90。時取等號,

此時SACD最大值=gx2x2=2,

ACAD=-ZCOD=45°.

2

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，同圓或等圓中弧、弦、圓周角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖

形題意，準確添加輔助線.

【變式3-2](2023-四川-中考真題)如圖1,已知線段A8,AC,線段AC繞點A在直線AB上方旋轉(zhuǎn)，連

接3C,以BC為邊在BC上方作R%flDC,且N￡?C=30。.

⑴若/