蘇科版八年級數(shù)學(xué)上冊重難點專項訓(xùn)練：勾股定理（原卷版+解析）

專題n易錯易混集訓(xùn)：勾股定理

聚焦考點

易錯一沒有明確斜邊或直角時，考慮不全面而漏解

易錯二三角形形狀不明時，考慮不全面而漏解

易錯三等腰三角形的腰和底不明時，考慮不全面而漏解

易錯四求立體圖形中兩點距離最短時無法找到正確的展開方式

易錯一沒有明確斜邊或直角時，考慮不全面而漏解

例題：（2022?湖北,恩施市崔壩鎮(zhèn)民族中學(xué)八年級階段練習(xí)）若一個直角三角形的兩邊長為3和4,則它第三

邊的長為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東?深圳外國語學(xué)校七年級期末）在RZ0ABC中，AB2=10,AC2=6.貝UBC?=（）

A.8B.16或64C.4D4或16

2.（2021?甘肅?景泰縣第四中學(xué)八年級期中）已知直角三角形的三邊長分別為6,7,x,貝.

3.（2022?遼寧撫順?八年級期末）如果一個直角三角形的兩條邊長分別為8和15,那么這個三角形的第三邊

長為.

4.（2022?安徽哈肥市西苑中學(xué)八年級期中）已知尤、y為直角三角形的兩邊且滿足^/^^+（尤-y+l）2=0,

則該直角三角形的第三邊為.

5.（2020?四川成都?八年級階段練習(xí)）如圖，點M,N把線段分割成AM,MN和NB,若以AM,MN,

為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點N是線段的"勾股分割點已知點N是線段A8的

“勾股分割點"，若AM=3,MN=4,則8N的長為.

易錯二三角形形狀不明時，考慮不全面而漏解

例題：（2021?北京市魯迅中學(xué)八年級期中）在EA8C中，AB=15,AC=20,8c邊上的高AO=12,則

BC=.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?黑龍江牡丹江?八年級期末）在EA8C中，若AC=15,BC=13,AB邊上的高CO=12,則MBC的周

長為.

2.（2022?北京TOI中學(xué)八年級期中）在R/0ABC中，EL4CB=90°,AC=4,AB=5.點P在直線AC上，且

BP=6,則線段AP的長為.

易錯三等腰三角形的腰和底不明時，考慮不全面而漏解

例題：（2022?浙江紹興?二模）在AABC中,AC=4,BC=2,AB=2斯，以AB為邊在"BC外作等腰直角AABD,

連接CD,則CD=.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?遼寧?沈陽市第一三四中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在R/fflABC中，90°,AB=5cm,AC=

3cm,動點P從點B出發(fā)沿射線BC以lcm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為f秒，當(dāng)0ABp為等腰三角形時，

t的取值為.

2.（2022?江西萍鄉(xiāng)?八年級開學(xué)考試）如圖，在直角三角形紙片ABC中，fflACB=90。，回8=30。，AC=3,點

。是邊上的點，將團C8O沿C￡＞折疊得至峋CPO,CP與直線A2交于點E,當(dāng)出現(xiàn)以。尸為邊的直角三角

形時，8。的長可能是.

3.（2022?湖北武漢?八年級階段練習(xí)）R/a42c中，直角邊AC=8,斜邊42=17,在直線AC上取一點。,

使0A2O為等腰三角形，則該等腰三角形的周長為.

易錯四求立體圖形中兩點距離最短時無法找到正確的展開方式

例題：（2021?新疆伊犁,八年級階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長為4cm、寬為3。相，高是12c機的長方體紙

箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是cm.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?山東?煙臺市福山區(qū)教學(xué)研究中心七年級期中）如圖，A,8是一棱長為3c機的正方體的頂點，點C

在棱上，且8C=1C7W.若一只螞蟻每秒爬行2cm,在頂點A處的螞蟻沿著正方體的前側(cè)面和右側(cè)面爬行到

C點，至少爬行秒？

2.（2022?廣東梅州?八年級期末）如圖所示，ABCD是長方形地面，長AB=20〃z,寬A￡>=10根.中間豎有一

堵磚墻高M(jìn)N=2〃z.一只螞蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走的路程.

3.（2022,廣東茂名?九年級期末）如圖，圓柱形玻璃容器高12c〃z,底面周長為24c〃z,在容器外側(cè)距下底1c%

的點A處有一只螞蟻，在螞蟻正對面距容器上底2cm的點B處有一滴蜂蜜，則螞蟻要吃到蜂蜜所爬行的最

短距離為cm.

4.（2022?全國?八年級）如圖是一塊長、寬、高分別為40"、2c和1c:九的長方體木塊，一只螞蟻要從長方

體木塊的一個頂點A處，沿著長方體木塊的表面爬到長方體木塊上和頂點A相對的頂點B處吃食物，那么

它需要爬行的最短路徑的長是

5.（2022?山東?濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室一模）云頂滑雪公園是北京2022年冬奧會7個雪上競賽場館中唯

一利用現(xiàn)有雪場改造而成的.下圖左右兩幅圖分別是公園內(nèi)云頂滑雪場U型池的實景圖和示意圖，該場地

可以看作是從一個長方體中挖去了半個圓柱而成，它的橫截面圖中半圓的半徑為1上2m,其邊緣

n

AB=CD=24m,點E在CO上，CE=4m.一名滑雪愛好者從點A滑到點E,他滑行的最短路線長為

m.

專題n易錯易混集訓(xùn)：勾股定理

聚焦考點

易錯一沒有明確斜邊或直角時，考慮不全面而漏解

易錯二三角形形狀不明時，考慮不全面而漏解

易錯三等腰三角形的腰和底不明時，考慮不全面而漏解

易錯四求立體圖形中兩點距離最短時無法找到正確的展開方式

易錯一沒有明確斜邊或直角時，考慮不全面而漏解

例題：（2022?湖北?恩施市崔壩鎮(zhèn)民族中學(xué)八年級階段練習(xí)）若一個直角三角形的兩邊長為3

和4,則它第三邊的長為.

【答案】近或5

【分析】分邊長為4的邊是斜邊和直角邊兩種情況，再分別利用勾股定理即可得.

【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：

（1）當(dāng)邊長為5的邊是斜邊時，

則第三邊長為J42-3?；

（2）當(dāng)邊長為5的邊是直角邊時，

則第三邊長為正彳=5；

綜上，第三邊長為6或5,

故答案為："或5.

【點睛】本題考查了勾股定理，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022,廣東?深圳外國語學(xué)校七年級期末）在R/HABC中，AB2=10,AC2=6.則=

（）

A.88.16或64C.4D4或16

【答案】D

【分析】根據(jù)勾股定理分情況討論求解即可.

【詳解】解：當(dāng)NC=90。時，

BC2=AB2-AC2=4-.

當(dāng)乙4=90。時，

BC2=AB2+AC2=16；

故選：D.

【點睛】題目主要考查勾股定理解三角形，理解題意進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵.

2.（2021?甘肅?景泰縣第四中學(xué)八年級期中）己知直角三角形的三邊長分別為6,7,無，則/

【答案】85或13##13或85

【分析】分6和7都為兩直角邊和6為直角邊，7為斜邊，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：當(dāng)6和7都為直角邊時，由勾股定理得/=6?+72=85；

222

當(dāng)6為直角邊，7為斜邊時，%=7-6=13,

綜上,為2=85或13,

故答案為：85或13.

【點睛】本題考查勾股定理，熟練掌握勾股定理，利用分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵.

3.（2022?遼寧撫順?八年級期末）如果一個直角三角形的兩條邊長分別為8和15,那么這個

三角形的第三邊長為.

【答案】17或必

【分析】分兩種情況：當(dāng)8和15都是直角邊時；當(dāng)15是斜邊長時；分別利用勾股定理計算

出第三邊長即可.

【詳解】解：當(dāng)8和15都是直角邊時，第三邊長為：,8?+15?=17,

當(dāng)15是斜邊長時，第三邊長為：7152-82=V161.

故答案為：17或?qū)?/p>

【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的兩條直角邊長分別是0，b,斜邊長為c,那

么a2+b2=c2.

4.（2022?安徽?合肥市西苑中學(xué)八年級期中）已知x、y為直角三角形的兩邊且滿足

VT三+（x-y+l『=0,則該直角三角形的第三邊為.

【答案】5或4##"或5

【解析】

【分析】

由非負(fù)性的性質(zhì)可求得x與y的值，再分兩種情況，利用勾股定理即可求得第三邊的長.

【詳解】

回Jx-320,（x—y+1）>0,且5/無一3+（尤一y+l『=0，

團％—3=0,X—y+1=0,

解得：x=3,y=4.

當(dāng)行3,方4為直角三角形的兩直角邊時，由勾股定理得第三邊為：疹百=5；

當(dāng)x=3為一直角邊，y=4為斜邊時，由勾股定理得第三邊為：742-32=^7-

故答案為：5或幣.

【點睛】

本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，涉及兩個非負(fù)數(shù)的和為零則它們均為零的性質(zhì)，注意求得

的兩邊無法確定都是直角邊還是一條直角邊和一條斜邊，故要分類討論.

5.（2020?四川成都?八年級階段練習(xí)）如圖，點M,N把線段A3分割成AM,MN和NB,若

以為邊的三角形是一個直角三角形,則稱點是線段A8的"勾股分割點己

知點M,N是線段AB的“勾股分割點"，若AM=3,MN=4,則BN的長為.

【答案】5或?qū)?#近或5

【解析】

【分析】

分兩種情況討論：當(dāng)AM=3,M0=4為直角邊時，當(dāng)MN=4為斜邊時，則AM=3為直角邊，

再利用勾股定理可得答案.

【詳解】

解：當(dāng)AM=3,=4為直角邊時，

\BN=1m+A1=5,

當(dāng)MN=4為斜邊時，則AM=3為直角邊，

\BN=1U-?=布,

故答案為：5或近

【點睛】

本題考查的是新定義情境下的勾股定理的應(yīng)用，理解新定義，再分類討論是解本題的關(guān)鍵.

易錯二三角形形狀不明時，考慮不全面而漏解

例題：（2021?北京市魯迅中學(xué)八年級期中）在0A8C中，A8=15,AC=20,邊上的高40=12,

則BC=.

【答案】7或25

【解析】

【分析】

已知三角形兩邊的長和第三邊的高，未明確這個三角形為鈍角還是銳角三角形，所以需分情

況討論，即SABC是鈍角還是銳角，然后利用勾股定理求解.

【詳解】

解：分兩種情況：

①如圖1,0A2C中，AB=15,AC=20,BC邊上高AO=12,

在RZEIAB。中48=15,AD=12,

由勾股定理得：BO=7152-122=9

在40AOC中AC=20,4。=12,

由勾股定理得：OC=也。?=16

0BC的長為BD+DC=9+16=25.

②如圖2,同理得：BD=9,DC=16,

國BC=CD-BD=7.

綜上所述，BC的長為25或7.

故答案為：25或7.

【點睛】

本題主要考查了勾股定理，解決問題的關(guān)鍵是在直角三角形中用勾股定理求得線段的長.當(dāng)

已知條件中沒有明確角的大小時，要注意討論.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?黑龍江牡丹江?八年級期末）在a48c中，若AC=15,BC=13,AB邊上的高C￡>=12,

則0ABe的周長為.

【答案】32或42##42或32

【解析】

【分析】

作出圖形，利用勾股定理列式求出AD、BD,再分CO在AABC內(nèi)部和外部兩種情況求出A3,

然后根據(jù)三角形的周長的定義解答即可.

【詳解】

解：vAC=15,3c=13,A3邊上的高CD=12,

AD=4AC2-CD2=9>

BD=^BC2-CD1=5>

如圖1,CD在AABC內(nèi)部時，AB=AD+BD=9+5=14,

此時，AABC的周長=14+13+15=42,

如圖2,CD在AABC外部時，AB=AD-BD=9-5=4,

此時，AABC的周長=4+13+15=32,

綜上所述，A4BC的周長為32或42.

故答案為：32或42.

【點睛】

本題考查了勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是分情況討論求出A3的長，作出圖形更形象直觀.

2.（2022?北京中學(xué)八年級期中）在R他A8C中，0ACB=9O。，AC=4,AB=5.點尸在

直線AC上，且BP=6,則線段AP的長為.

【答案】3有-4或3g+4

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，作出圖形，分類討論，根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】

解：如圖,

SACB=90°,AC=4,AB=5

BC=y/AB2-AC2=A/52-42=3

在RtZkBPC中，PC7PB2-BC，=,62-32=36

PA=PC-AC=3^-4^PA=PC+AC=3-j3+4

故答案為：3出-4或3g+4

【點睛】

本題考查了勾股定理，根據(jù)題意作出圖形，分類討論是解題的關(guān)鍵.

易錯三等腰三角形的腰和底不明時，考慮不全面而漏解

例題：（2022?浙江紹興?二模）在AABC中，AC=4,BC=2,AB=2下,以4B為邊在AABC

外作等腰直角△45。，連接C。，則C￡）=.

【答案】2版或2而■或3亞

【解析】

【分析】

分三種情況畫出圖形，由全等三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案.

【詳解】

解:如圖1,0AB￡）=90。，

A

D

CBE

圖1

0AC=4,BC=2,AB=2yj5,

她G+BG=A",

豳AC3為直角三角形，0ACB=9O°,

延長圓，過點。作。丸CB于點E,

團。丸C3,

^\BED=^ACB=90°,

團團CA3+團CBA=90°,

麗ABD為等腰直角三角形，

^\AB=BDf她30=90°,

^\CBA^DBE=90°f

團團CAB二團項。，

在"05與反即中，

/ACB=/BED

</CAB=/EBD,

AB=BD

^\ACB^\BED(AA5),

0BE=AC=4,DE=CB=2,

^\CE=6,

根據(jù)勾股定理得：CD=\/CE2+DE2=2M；

如圖2,回54。=90。，過點。作OE0CA,垂足為點E.

圖2

團3CWCA,

^\AED=^ACB=90°.

^\EAD^EDA=90°,

團的30為等腰直角三角形,

^AB=AD,^BAD=90°,

WCAB+^\DAE=90°,

^\BAC=^\ADEf

在△ACB與△OE4中，

ZACB=ZDEA

<ZCAB=ZEDA,

AB=DA

甌AC3釀OEA(A4S),

回。氏A04,AE=BC=2,

0CE=6,

根據(jù)勾股定理得：CD=JCE，+DE、2岳；

如圖3,0AOB=9O。，過點。作。碩CB,垂足為點E,過點A作A/W5E,垂足為點f

圖3

E0ACB=9O",

團團CA3+團G5A=90°,

團團D45+團084=90°,

團團破。+團D4F=90°,

團團EBQ+團8?！?90°,0DAF+0ADF=9OO,

釀。3氏她。死

在△AH)和△。班中，

NDBE=NADF

<NBED=/AFD,

DB=AD

m\FD^\DEB(A45),

^\AF=DE,DF-BE,

02+DF+BE=4,

^\DF=BE=lf

0CE=Z)E=3,

CD=y/CE2+DE2=35/2?

綜合以上可得CD的長為2J元或2屈'或3亞.

故答案為2J元或2屈■或3行-

【點睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三

角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021,遼寧?沈陽市第一三四中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在R他ABC中，0ACB=9O°,

AB=5cm,AC=3cm,動點P從點8出發(fā)沿射線BC以lc%/s的速度移動，設(shè)運動的時間為

r秒，當(dāng)0ABp為等腰三角形時，r的取值為.

【解析】

【分析】

當(dāng)0ABp為等腰三角形時，分三種情況：①當(dāng)尸時；②當(dāng)尸時；③當(dāng)2P=AP

時，分別求出3尸的長度，繼而可求得f值.

【詳解】

在R/a48c中，BC2=AB2-AC2=52-32=16,

0BC=4(cm)；

①當(dāng)尸時，如圖1,f=5；

②當(dāng)A8=AP時，如圖2,BP=2BC=8cm,f=8；

③當(dāng)2尸=AP時，如圖3,AP=BP=tcm,CP=(4-f)cm,AC=3cm,

在R/E1ACP中，AP2=A(?+CP2,

所以產(chǎn)=32+(4-f)2,

解得：胃科25，

o

25

綜上所述：當(dāng)0ABP為等腰三角形時，f=5或/=8或￡=

O

故答案為：5或/=8或,=或25.

O

【點睛】

本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及

分情況討論，注意不要漏解.

2.(2022?江西萍鄉(xiāng)?八年級開學(xué)考試)如圖，在直角三角形紙片ABC中，0ACB=9O0,SB=

30。,47=3,點。是邊AB上的點，將團C2D沿CO折疊得至幅CPD,CP與直線AB交于點E,

當(dāng)出現(xiàn)以。尸為邊的直角三角形時，2。的長可能是.

【分析】分CP^AB，CDLAB,DP,AB三種情況，分別作出圖形，解直角三角形即可.

【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得：

ZP=ZB=30°,DP=BD,ZPCD=/BCD,

在RtAABC中，

ZA=90°-30°=60°,AB=2AC=6,BC=6AC=3。

①如圖，當(dāng)CPLAB時，

APDE為直角三角形,

Z.PDE=90°-30°=60°,ZACE=90°-ZA=30°,

.\ZDCP=ZDCB=30°f

:.ZACD=ZA=60°,

AACD為等邊三角形，

AD=AC=3,

:.BD=AB-AD=3；

②如圖，當(dāng)COLAS時,

P（E）

ACPD為直角三角形，

9

:.BD=BCcos/B=BC-cos30°=-；

2

③當(dāng)DP_LAB時，

APD6為直角三角形，

..ZAEC=ZPED=90°-ZP=60°f

.??AACE為等邊三角形，

.-.AE=AC=3f

在RtAPDE中,

vZP=30°,

:.DP=6DE,

.?.BD=DP=6DE,

：AB=AE+DE+BD,

6=3+DE+由DE,

.,DE=^,

2

:.BD=6DE=9-36,

2

綜上，3D=3或2或吃空，

22

故答案為：3或/或支芋.

【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論，將圖形作出.

3.（2022,湖北武漢?八年級階段練習(xí)）中，直角邊AC=8,斜邊AB=17,在直線AC

上取一點。，使0ABO為等腰三角形，則該等腰三角形的周長為.

4?5

【答案】50或34+3后或34+5后或7-

O

【分析】分三種情況討論：①如圖1,當(dāng)AB=BD=17時；②如圖2,當(dāng)A2=AO=17時；

③如圖3,當(dāng)A2為底時，AD=BD.

【詳解】解：在咫0ABe中，BC^yjAB2-AC2=15>

①如圖，

當(dāng)42=80=17時，CZ)=CA=8時,

40=16,

EHABD的周長為17x2+16=50；

②如圖,

當(dāng)AB=A￡)=17時，

得CD=AD-AC=9或CD=AO+AC=25,

在Rf3\BCD中，BD=VBC2+CD2=>/152+92=34或

BE>=VBCI+C￡>2=V152+252=5取，

EEAB。的周長為17+17+3西=34+3扃或17+17+5取=34+5庖.

③如圖,

當(dāng)AB為底時，設(shè)4D=BO=x,則C￡）=x-8,

在R/fflBC。中，BD^^CD^BC2,

即r=（工一8）2+152,解得：x=T289，

16

41/上289289—425

甌A5D的周長為——+——+17=——.

16168

425

綜上，胡2。的周長為50或34+3扃或34+5后或丁.

O

425

故答案為：50或34+3或34+5J同或-.

8

【點睛】本題考查了等腰三角形的存在性問題，分類討論思想是本題的關(guān)鍵.

易錯四求立體圖形中兩點距離最短時無法找到正確的展開方式

例題：（2021?新疆伊犁?八年級階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長為4cm、寬為3,高是12cm

的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是cm.

【答案】V193

【分析】先將圖形展開，再根據(jù)兩點之間線段最短，由勾股定理解答即可.

【詳解】解：如圖

AB=>/162+32=7265

如圖

B

AB=A/122+72^^/i93

-.?^/T93<A^41<7265

它所行的最短路線的長為：阿

故答案為：A/193.

【點睛】本題考查平面展開圖一最短路徑問題，是重要考點，掌握分類討論法是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?山東?煙臺市福山區(qū)教學(xué)研究中心七年級期中）如圖，A,8是一棱長為3c%的正

方體的頂點，點C在棱上，且8C=lc機.若一只螞蟻每秒爬行2c7",在頂點A處的螞蟻沿

著正方體的前側(cè)面和右側(cè)面爬行到C點，至少爬行秒？

【答案】2.5

【分析】把此正方體的點A所在的面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點A和C點間

的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離，根據(jù)螞蟻爬行的距離，即可求出爬行時間.

【詳解】解：將正方體的前側(cè)面和右側(cè)面展開，如圖所示：

根據(jù)題意可得：DC=Z）B+BC=3+l=4（cm）,

回螞蟻爬行的最短距離為：AC=-JAD2+DC2=A/32+42=5（cm）,

回螞蟻每秒爬行2cm,

回螞蟻爬行的最短時間為：5+2=2.5（秒）.

故答案為：2.5.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的拓展應(yīng)用，"化曲面為平面"是解決"怎樣爬行最近"這類

問題的關(guān)鍵.

2.（2022,廣東梅州?八年級期末）如圖所示，48cD是長方形地面，長人2=20"，寬AD=

10%中間豎有一堵磚墻高M(jìn)N=2他.一只螞蚱從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻,

則它至少要走的路程.

【答案】26m

【分析】連接AC,利用勾股定理求出AC的長，再把中間的墻平面展開，使原來的矩形長

度增加而寬度不變，求出新矩形的對角線長即可.

【詳解】解：如圖所示，將圖展開，圖形長度增加2MN,

連接AC,

13四邊形ABC。是長方形，AB=2.4m,寬AD=10"z,

MC=ylAB2+BC2=7242+102=26（M，

團螞蚱從A點爬到C點，它至少要走26m的路程.

故答案為：26m.

【點睛】本題考查的是平面展開最短路線問題及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的

關(guān)鍵.

3.（2022?廣東茂名?九年級期末）如圖，圓柱形玻璃容器高12c〃z,底面周長為24c",在容

器外側(cè)距下底1cm的點A處有一只螞蟻，在螞蟻正對面距容器上底2cm的點B處有一滴蜂

蜜，則螞蟻要吃到蜂蜜所爬行的最短距離為cm.

【答案】15

【分析】根據(jù)題意得到圓柱體的展開圖，確