2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.1集合的概念與運(yùn)算學(xué)案文含解析新人教A版

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.1集合的概念與運(yùn)算必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.集合的含義與表示(1)集合元素的三個(gè)特征:、、.

(2)元素與集合的關(guān)系有或兩種,用符號(hào)或表示.

(3)集合的表示方法:、、.

(4)常見(jiàn)數(shù)集的記法.集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)

2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語(yǔ)言符號(hào)表示Venn圖子集對(duì)于兩個(gè)集合A,B,假如集合A中隨意一個(gè)元素都是集合B中的元素,就稱(chēng)集合A為集合B的子集

真子集假如集合A?B,但存在元素x∈B,且x?A,就稱(chēng)集合A是集合B的真子集

集合相等假如集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素,同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素,那么集合A與集合B相等

3.集合的運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集Venn圖符號(hào)語(yǔ)言A∪B=

A∩B=

?UA=

1.并集的性質(zhì):A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A.2.交集的性質(zhì):A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B.3.補(bǔ)集的性質(zhì):A∩(?UA)=?;A∪(?UA)=U;?U(?UA)=A;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).4.若集合A中含有n個(gè)元素,則它的子集個(gè)數(shù)為2n,真子集的個(gè)數(shù)為2n-1,非空真子集的個(gè)數(shù)為2n-2.5.如圖所示,用集合A,B表示圖中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個(gè)部分所表示的集合分別是A∩B,A∩(?UB),B∩(?UA),?U(A∪B).6.card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)集合{x2+x,0}中的實(shí)數(shù)x可取隨意值.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)對(duì)隨意集合A,B,肯定有A∩B?A∪B.()(4)若A∩B=A∩C,則B=C.()(5)直線y=x+3與y=-2x+6的交點(diǎn)組成的集合是{1,4}.()2.(2024全國(guó)3,文1)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3C.4 D.53.(2024全國(guó)1,文1)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},則A∩B=()A.{-4,1} B.{1,5} C.{3,5} D.{1,3}4.(2024湖南郴州二模,文1)已知集合A={x|x(x-2)<0},B={y|y=x-1},則A∩B=(A.[1,2) B.(0,2) C.[0,2) D.[0,+∞)5.(2024江蘇南京六校5月聯(lián)考,1)已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|x<1},則A∪B=.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)集合的基本概念【例1】(1)已知集合A={x∈Z|-x2+x+2>0},則集合A的真子集個(gè)數(shù)為()A.3 B.4 C.7 D.8(2)(2024山東濰坊臨朐二模,13)已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B,則a=.

思索求集合中元素的個(gè)數(shù)或求集合中某些元素的值應(yīng)留意什么?解題心得與集合中的元素有關(guān)問(wèn)題的求解策略:(1)確定集合中的代表元素是什么,即集合是數(shù)集、點(diǎn)集,還是其他類(lèi)型的集合.(2)看這些元素滿意什么限制條件.(3)依據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù),但要留意檢驗(yàn)集合是否滿意元素的互異性.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2024河北唐山一模,理1)已知集合A={-1,0,1,2},B={y|y=2x},M=A∩B,則集合M的子集個(gè)數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.8(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為.

考點(diǎn)集合間的基本關(guān)系【例2】(1)(2024浙江鎮(zhèn)海中學(xué)摸底,1)設(shè)集合A={y|y=x2-1},B={x|y=x2-1A.A=B B.A?BC.B?A D.A∩B={x|x≥1}(2)(2024河北石家莊二中模擬,理2)設(shè)集合P={x||x|>3},Q={x|x2>4},則下列結(jié)論正確的是()A.Q?P B.P?Q C.P=Q D.P∪Q=R思索判定集合間的基本關(guān)系有哪些方法?解決集合間基本關(guān)系問(wèn)題的常用技巧有哪些?解題心得1.判定集合間的基本關(guān)系的方法有兩種:一是化簡(jiǎn)集合,從表達(dá)式中找尋集合間的關(guān)系;二是用列舉法(或圖示法等)表示各個(gè)集合,從元素(或圖形)中找尋集合間的關(guān)系.2.解決集合間基本關(guān)系問(wèn)題的常用技巧有:(1)若給定的集合是不等式的解集,則結(jié)合數(shù)軸求解;(2)若給定的集合是點(diǎn)集,則用數(shù)形結(jié)合法求解;(3)若給定的集合是抽象集合,則用Venn圖求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)已知集合A=xx-2x≤0,x∈N,B={x|x≤2,x∈Z},則滿意條件A?C,且C?BA.1 B.2 C.4 D.8(2)集合M=xx=n2+1,n∈Z,N=yy=m+12,m∈Z,則兩集合M,NA.M∩N=? B.M=NC.M?N D.N?M考點(diǎn)集合的運(yùn)算(多考向探究)考向1利用集合運(yùn)算的定義進(jìn)行運(yùn)算【例3】(1)(2024新高考全國(guó)1,1)設(shè)集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},則A∪B=()A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}(2)(2024全國(guó)3,理1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.6(3)(2024全國(guó)2,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},則?U(A∪B)=()A.{-2,3} B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3} D.{-2,-1,0,2,3}思索利用集合運(yùn)算的定義進(jìn)行運(yùn)算的一般思路和求解的原則是什么?解題心得1.求解思路:一般是先化簡(jiǎn)集合,再由交集、并集、補(bǔ)集的定義求解.2.求解原則:一般是先算括號(hào)里面的,再按運(yùn)算依次求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2024江西名校大聯(lián)考,理1)已知集合A={x|x2-4x>0},B={x|x2-4≤0},則A∩B=()A.[-2,0] B.(-∞,0) C.[-2,0) D.[-4,4](2)(2024全國(guó)1,文2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},則B∩(?UA)=()A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}(3)(2024山東濰坊一模,1)設(shè)集合A={2,4},B={x∈N|x-3≤0},則A∪B=()A.{1,2,3,4} B.{0,1,2,3,4}C.{2} D.{x|x≤4}考向2定義新集合運(yùn)算法則進(jìn)行集合運(yùn)算【例4】設(shè)P,Q是兩個(gè)非空集合,定義集合間的一種運(yùn)算“☉”:P☉Q={x|x∈P∪Q,且x?P∩Q}.假如P={y|y=4-x2},Q={y|y=4x,x>0},則P☉Q=A.[0,1]∪(4,+∞) B.[0,1]∪(2,+∞)C.[1,4] D.(4,+∞)思索求解集合新定義運(yùn)算的關(guān)鍵是什么?解題心得求解集合新定義運(yùn)算的關(guān)鍵是細(xì)致分析新定義運(yùn)算法則的特點(diǎn),把新定義運(yùn)算法則所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清晰,并能夠應(yīng)用到詳細(xì)的解題過(guò)程之中.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4定義A*B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},則A*B=;(A∩(A*B))∪B=.

考點(diǎn)求集合中參數(shù)的值或取值范圍【例5】(1)(2024湖南湘潭三模,理1)已知集合A={x|ax=x2},B={0,1,2},若A?B,則實(shí)數(shù)a的值為()A.1或2 B.0或1C.0或2 D.0或1或2(2)(2024全國(guó)1,理2)設(shè)集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a=()A.-4 B.-2 C.2 D.4思索如何求集合表達(dá)式中參數(shù)的值或取值范圍?解題心得一般來(lái)講,若集合中的元素是離散的,則用Venn圖表示,依據(jù)Venn圖得到關(guān)于參數(shù)的一個(gè)或多個(gè)方程,求出參數(shù)后要驗(yàn)證是否與集合元素的互異性沖突;若集合中的元素是連續(xù)的,則用數(shù)軸表示,依據(jù)數(shù)軸得到關(guān)于參數(shù)的不等式,解之得到參數(shù)的取值范圍,此時(shí)要留意端點(diǎn)的取舍.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)已知集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|x+1≥a},若A∪B=R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.[2,+∞) B.(-∞,2]C.[1,+∞) D.(-∞,1](2)已知集合A={x|x<-3,或x>7},B={x|x<2m-1},若B?A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

變式發(fā)散1將本題(2)中的B改為B={x|m+1≤x≤2m-1},其余條件不變,該如何求解?變式發(fā)散2將本題(2)中的A改為A={x|-3≤x≤7},B改為B={x|m+1≤x≤2m-1},其余條件不變,又該如何求解?由于圖形簡(jiǎn)明、直觀,因此許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解往往借助于圖形來(lái)分析,下面例析運(yùn)用集合中Venn圖的三個(gè)階梯:識(shí)圖——用圖——構(gòu)圖.階梯一識(shí)圖:用集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示給出的Venn圖【例1】(2024山東泰安一模,1)已知全集U=R,集合M={x|-3<x<1},N={x||x|≤1},則陰影部分表示的集合是()A.[-1,1] B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪(-1,+∞) D.(-3,-1)答案D解析由圖可知,陰影部分表示的集合為M∩(?UN).由U=R,N={x||x|≤1},可得?UN={x|x<-1,或x>1},又M={x|-3<x<1},所以M∩(?UN)={x|-3<x<-1}.故選D.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1如圖,I是全集,M,P,S是I的3個(gè)子集,則陰影部分所表示的集合是()A.(M∩P)∩SB.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩(?IS)D.(M∩P)∪(?IS)階梯二用圖:借助Venn圖求集合或集合的交、并、補(bǔ)【例2】設(shè)全集U={x|0<x<10,x∈N*},若A∩B={3},A∩(?UB)={1,5,7},(?UA)∩(?UB)={9},則A=,B=.

答案{1,3,5,7}{2,3,4,6,8}解析由題知U={1,2,3,…,9},依據(jù)題意,畫(huà)出Venn圖如右圖所示,由Venn圖易得A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知M,N為集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩(?IM)=?,則M∪N=.

階梯三構(gòu)圖:構(gòu)造Venn圖解某些應(yīng)用題【例3】(2024新高考全國(guó)1,5)某中學(xué)的學(xué)生主動(dòng)參與體育熬煉,其中有96%的學(xué)生喜愛(ài)足球或游泳,60%的學(xué)生喜愛(ài)足球,82%的學(xué)生喜愛(ài)游泳,則該中學(xué)既喜愛(ài)足球又喜愛(ài)游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A.62% B.56% C.46% D.42%答案C解析設(shè)既喜愛(ài)足球又喜愛(ài)游泳的學(xué)生比例數(shù)為x.由Venn圖可知,82%-x+60%=96%,解得x=46%,故選C.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3向100名學(xué)生調(diào)查對(duì)A,B兩件事的看法,得到如下結(jié)果:贊成A的人數(shù)是全體的35,其余不贊成;贊成B的人數(shù)比贊成A的人數(shù)多3人,其余不贊成.另外,對(duì)A,B都不贊成的人數(shù)比對(duì)A,B都贊成的學(xué)生人數(shù)的13多1人,則對(duì)A,B都贊成的學(xué)生人數(shù)為,對(duì)A,B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為解答集合問(wèn)題時(shí)的五點(diǎn)留意事項(xiàng)(1)留意集合中元素的性質(zhì)——互異性的應(yīng)用,解答時(shí)要留意檢驗(yàn).(2)留意描述法給出的集合的代表元素的特征.如{y|y=2x},{x|y=2x},{(x,y)|y=2x}表示不同的集合.(3)留意?的特別性.在利用A?B解題時(shí),應(yīng)對(duì)A是否為?進(jìn)行探討.(4)留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí),要盡可能借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問(wèn)題直觀化.(5)留意補(bǔ)集思想的應(yīng)用.在解決A∩B≠?時(shí),可以利用補(bǔ)集思想,先探討A∩B=?的狀況,再取補(bǔ)集.第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.1集合的概念與運(yùn)算必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.(1)確定性互異性無(wú)序性(2)屬于不屬于∈?(3)列舉法描述法Venn圖法(4)NN*(或N+)ZQR2.A?B(或B?A)A?B(或B?A)A=B3.{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x?A}考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2.B依據(jù)交集的定義,A∩B={5,7,11}.故選B.3.D由不等式x2-3x-4<0,解得-1<x<4,故A∩B={1,3}.4.B由題得,A={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2},B={y|y=x-1}={y|y故A∩B=(0,2).故選B.5.(-∞,2)∵集合A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},且B={x|x<1},∴A∪B={x|x<2}.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)A(2)0或14(1)因?yàn)锳={x∈Z|-x2+x+2>0}={x∈Z|-1<x<2}={0,1},所以集合A的真子集個(gè)數(shù)為22-1=3.故選A(2)因?yàn)锳∩B=A∪B,所以A=B,則a=b2,b=2a或b=b2,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)C(2)-32(1)因?yàn)锽={y|y=2x}={y|y>0},A={-1,0,1,2},所以M=A∩B={1,2},因此,集合M的子集個(gè)數(shù)是22=4.故選C(2)由題意得m+2=3,或2m2+m=3,解得m=1或m=-32.當(dāng)m=1時(shí),m+2=3,且2m2+m=3,依據(jù)集合中元素的互異性可知不滿意題意;當(dāng)m=-32時(shí),m+2=12,而2m2+m=3,故例2(1)D(2)B(1)∵A={y|y=x2-1}={y|y≥0},B={x|y=x2-1}={x|x≥1,或x≤-1},∴A∩B={(2)由題得,集合P={x||x|>3}={x|x<-3,或x>3},Q={x|x2>4}={x|x<-2,或x>2},所以P?Q,故選B.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)D(2)D(1)由x-2x≤0,得0<x≤2,故A={1,2};由x≤2,得0≤x≤4,故B={0,1,2,3,4}.滿意條件A?C,且C?B的集合C的個(gè)數(shù)為23=8,(2)∵M(jìn)=xx=n+22,n∈Z,N=yy=2m+12,m∈∴N?M,故選D.例3(1)C(2)C(3)A(1)(數(shù)形結(jié)合)由數(shù)軸可知所以A∪B={x|1≤x<4},故選C.(2)滿意x,y∈N*,y≥x,且x+y=8的元素(x,y)有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4個(gè),故A∩B中元素的個(gè)數(shù)為4.(3)∵A∪B={-1,0,1,2},∴?U(A∪B)={-2,3}.故選A.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)C(2)C(3)B(1)由題得A={x|x2-4x>0}={x|x<0或x>4},B={x|x2-4≤0}={x|-2≤x≤2},則A∩B={x|-2≤x<0},故選C.(2)由已知得?UA={1,6,7},所以B∩(?UA)={6,7}.故選C.(3)因?yàn)锳={2,4},B={x∈N|x-3≤0}={0,1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3,4}.例4B∵P=[0,2],Q=(1,+∞),∴P∪Q=[0,+∞),P∩Q=(1,2],因此P☉Q=[0,1]∪(2,+∞).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4{3,4,5,6,7}{1,2,3}∵A={1,2,3},B={1,2},∴A*B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B}={3,4,5,6,7};(A∩(A*B))∪B=({1,2,3}∩{3,4,5,6,7})∪{1,2}={3}∪{1,2}={1,2,3}.例5(1)D(2)B(1