2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)三復(fù)數(shù)含解析北師大版選修1-2

PAGE單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(三)(第四章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.(2024·全國(guó)Ⅰ卷)若z=1+i,則|z2-2z|= ()A.0 B.1 C.QUOTE D.2【解析】選D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.2.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,則“m=1”是“z1=z2”A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【解析】選A.因?yàn)閦1=z2,所以QUOTE解得m=1或m=-2,所以m=1是z1=z2的充分不必要條件.3.設(shè)z1=3-4i,z2=2+3i,則z1-2z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.因?yàn)閦1-2z2=3-4i-2(2+3i)=-1-10i,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-1,-10)位于第三象限.4.已知a是實(shí)數(shù),QUOTE是純虛數(shù),則a等于 ()A.1 B.-1 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選A.QUOTE=QUOTE=QUOTE是純虛數(shù),則a-1=0,a+1≠0,解得a=1.5.若i(x+yi)=3+4i(x,y∈R),則復(fù)數(shù)x+yi的模是 ()A.2 B.3 C.4 【解析】選D.由i(x+yi)=3+4i,得-y+xi=3+4i,解得x=4,y=-3,所以復(fù)數(shù)x+yi的模為QUOTE=5.6.在復(fù)平面內(nèi),O是原點(diǎn),,,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-2+i,3+2i,1+5i,那么對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 ()A.4+7i B.1+3iC.4-4i D.-1+6i【解析】選C.因?yàn)?,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-2+i,3+2i,1+5i,=-=-(+),所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+2i-[(-2+i)+(1+5i)]=4-4i.7.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=QUOTE所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=QUOTE=QUOTE=-QUOTE-QUOTEi,所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)QUOTE位于第三象限.8.若復(fù)數(shù)z=a+QUOTE的實(shí)部與虛部相等,其中a是實(shí)數(shù),則a= ()A.1 B.0 C.-1 【解析】選A.因?yàn)閦=a+QUOTE=a+QUOTE=a+i的實(shí)部與虛部相等,所以a=1.9.設(shè)復(fù)數(shù)z=1-QUOTEi(i是虛數(shù)單位),則QUOTE的虛部為 ()A.QUOTEi B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTEi【解析】選C.因?yàn)閦=1-QUOTEi,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE+QUOTEi.所以QUOTE的虛部為QUOTE.10.當(dāng)z=-QUOTE時(shí),z100+z50+1的值是 ()A.1 B.-1 C.i 【解析】選D.原式=QUOTE+QUOTE+1=QUOTE+QUOTE+1=(-i)50+(-i)25+1=-i.11.已知復(fù)數(shù)QUOTE的實(shí)部與虛部互為相反數(shù),那么實(shí)數(shù)b等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.-QUOTE【解析】選D.復(fù)數(shù)QUOTE=QUOTE=QUOTE,由于復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù),那么(2-2b)+(-4-b)=0?b=-QUOTE.12.已知復(fù)數(shù)z滿意|z|2-2|z|-3=0,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是()A.1個(gè)圓 B.線段C.2個(gè)點(diǎn) D.2個(gè)圓【解析】選A.由題意知(|z|-3)(|z|+1)=0,即|z|=3或|z|=-1,因?yàn)閨z|≥0,所以|z|=3,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是1個(gè)圓.二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把答案填在題中的橫線上)13.復(fù)數(shù)QUOTE(i是虛數(shù)單位)的虛部是________.

【解析】因?yàn)镼UOTE=QUOTE=1-i,所以復(fù)數(shù)QUOTE的虛部是:-1.答案:-114.-3的平方根是________.

【解析】由(±QUOTEi)2=-3得解.答案:±QUOTEi15.設(shè)z∈C,|z|=1,則|z-(1+i)|的最大值是__________.

【解析】由題意可知,復(fù)數(shù)z的軌跡為單位圓,如圖,|z-(1+i)|的幾何意義為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)P的距離,由圖可知,|z-(1+i)|的最大值為|AP|=1+QUOTE.答案:1+QUOTE16.下列說(shuō)法中正確的序號(hào)是__________.

①若(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x∈R,y∈CR,則必有QUOTE②2+i>1+i;③虛軸上的點(diǎn)表示的數(shù)都是純虛數(shù);④若一個(gè)數(shù)是實(shí)數(shù),則其虛部不存在;⑤若z=QUOTE,則z3+1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的第一象限.【解析】由y∈CR,知y是虛數(shù),則QUOTE不成立,故①錯(cuò)誤;兩個(gè)不全為實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小,故②錯(cuò)誤;原點(diǎn)也在虛軸上,表示實(shí)數(shù)0,故③錯(cuò)誤;實(shí)數(shù)的虛部為0,故④錯(cuò)誤;⑤中z3+1=QUOTE+1=i+1,對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限,故⑤正確.答案:⑤三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)計(jì)算:(1)QUOTE(1+i).(2)QUOTE.(3)QUOTE.【解析】(1)QUOTE(1+i)=QUOTE(1+i)=QUOTE(1+i)=QUOTE+QUOTEi=-QUOTE+QUOTEi.(2)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi.(3)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i.18.(12分)已知復(fù)數(shù)z1滿意(z1-2)(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)z2的虛部為2,且z1·z2是實(shí)數(shù),求z2.【解題指南】解題的關(guān)鍵就在于“z1·z2是實(shí)數(shù)”這一條件,可得z1·z2的虛部為零,進(jìn)而求出結(jié)果.【解析】可以結(jié)合復(fù)數(shù)z2的虛部為2,設(shè)z2=a+2i,由已知復(fù)數(shù)z1滿意(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i,又已知z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是實(shí)數(shù),則虛部4-a=0,即a=4,即復(fù)數(shù)z2=4+2i.19.(12分)已知z是復(fù)數(shù),z+2i,QUOTE均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位),對(duì)于復(fù)數(shù)w=(z+ai)2,當(dāng)a為何值時(shí),w為:(1)實(shí)數(shù).(2)虛數(shù).(3)純虛數(shù).【解題指南】求復(fù)數(shù)z→化簡(jiǎn)w→求待定系數(shù)a的值.【解析】設(shè)z=x+yi(x,y∈R),z+2i=x+(y+2)i,由題意得y=-2,QUOTE=QUOTE=QUOTE(x-2i)(2+i)=QUOTE(2x+2)+QUOTE(x-4)i.由題意得x=4,所以z=4-2i.因?yàn)閣=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,(1)當(dāng)w為實(shí)數(shù)時(shí),令a-2=0,所以a=2.(2)w為虛數(shù),只要a-2≠0,所以a≠2.(3)w為純虛數(shù),只要12+4a-a2=0且a-2≠0,所以a=-2或a=6.20.(12分)設(shè)復(fù)數(shù)z=2m+(4-m2)i,其中i為虛數(shù)單位,當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn):(1)位于虛軸上.(2)位于一、三象限.(3)位于以原點(diǎn)為圓心,以4為半徑的圓上.【解析】(1)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上,則QUOTE?m=0.所以m=0時(shí),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上.(2)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一、三象限,則2m(4-m2)>0?m(m-2)(m+2)<0?m<-2或0<m<2.所以當(dāng)m∈(-∞,-2)∪(0,2)時(shí),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一、三象限.(3)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于以原點(diǎn)為圓心,以4為半徑的圓上,則|z|=QUOTE=4?m=0或m=±2.所以m=0或m=±2時(shí),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于以原點(diǎn)為圓心,以4為半徑的圓上.21.(12分)已知復(fù)數(shù)z滿意|z|=QUOTE,z2的虛部是2.(1)求復(fù)數(shù)z.(2)設(shè)z,z2,z-z2在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,C,求△ABC的面積.【解析】(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z2=a2-b2+2abi,由題意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,所以z=1+i或z=-1-i.(2)當(dāng)z=1+i時(shí),z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1.當(dāng)z=-1-i時(shí),z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=1.22.(12分)已知復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形ABCD中,點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-i,求:(1)點(diǎn)C,D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù);(2)平行四邊形ABCD的面積.【解析】(1)因?yàn)橄蛄繉?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3-i,所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3-i)-(1+2i)=2-3i.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),又因?yàn)?+,所以點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2+i)+(2-3i)=4-2i