2024-2025學年遼寧省丹東某中學高三（上）期初模擬數(shù)學試卷（含答案）

2024-2025學年遼寧省丹東四中高三（上）期初模擬數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4=—1＜久＜3,久eN｝,則集合力的真子集的個數(shù)為（）

A.7B.8C.15D.16

2.已知a,b為非零實數(shù)，則“0＜苴＜1"是“|a|＜網(wǎng)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.設%是等比數(shù)列｛廝｝的前n項和，若52=2,a3+a4—6,則/=（）

A.2B，77C.3D.1?3

44

4.已知函數(shù)f（x）=K21-1_ax的圖象在點（1,1（1））處的切線斜率為2,則a=（）

A.-1B.1C.-2D.2

5.已知連續(xù)型隨機變量Xj?N（%,/2）（i=i,2,3）,其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結論正確的是（）

A.P(X]</z2)<P(X2<的)

B.P(X2>42)>P(X3>43)

C.P(X1<〃2)<P(X2<〃3)

D.P(四一20t<Xt<nt+2<7;)=P(Mi+i-2<ri+1<Xi+1</ii+1+=

1,2)

6.已知等差數(shù)列｛a｝的前n項和為%,%=9,a2為整數(shù)，且則數(shù)列的前9項和為（）

nanan+l

B.gD

A-.-9l

7.在概率論中，馬爾可夫不等式給出了隨機變量的函數(shù)不小于某正數(shù)的概率的上界，它以俄國數(shù)學家安德

雷.馬爾可夫命名，由馬爾可夫不等式知，若f是只取非負值的隨機變量，則對Va＞0,都有P（f2a）W

幽.某市去年的人均年收入為10萬元，記“從該市任意選取3名市民，則恰有1名市民去年的年收入超過

a

100萬元”為事件力，其概率為PG4）.則PQ4）的最大值為（）

A27n243±4

A-1000B-1000Cr-27Dn-9

8.若關于久的不等式）x+a-午＜0有且只有一個整數(shù)解，則正實數(shù)a的取值范圍是（）

11

A.G，2仇2+1]B.@,3仇3+1]

C.[2ln2+1,3)3+1)D.[In2+右3》3+1)

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知正實數(shù)a,b滿足a?-ab+=1,貝0()

A.a+b的最大值為2B.ab的最小值為1

C.a2+b2的最大值為2D.a2+爐的最小值為1

10.已知紅箱內有6個紅球、3個白球，白箱內有3個紅球、6個白球，所有小球大小、形狀完全相同.第一

次從紅箱內取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回

去，依此類推，第k+1次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回去.記第n次取出

的球是紅球的概率為分，則下列說法正確的是()

A.^=|

B.3Pzi+i+Pn=1

C.第5次取出的球是紅球的概率為燃

D.前3次取球恰有2次取到紅球的概率是黑

11.已知函數(shù)f(%)=x(Znx)2+%,則()

A./(%)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增

B.當久=；時，/(%)取最小值

C.對V%G(-,+oo),m>0,g(%)=/(%+m)—/(%)為增函數(shù)

D.對v久1，久2e(：,+oo),i[/(Xi)+IS)]>空)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.曲線y=2lnx-%在％=1處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為.

13.已知實數(shù)a,b滿足，b=l+a,be(0,1),則華一幕-的最小值為___.

b2。23a

n-1

14.數(shù)列｛an｝滿足的_+2a2+22a3H--F2an=|(n+l)n(n-1),若對任意4>0,所有的正整數(shù)九都

有下—左久+2>即成立，則實數(shù)k的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項和為16,且的,口2，a5成等比數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛5｝的通項公式:

2%為奇數(shù)

(2)設Zm一為偶數(shù)求數(shù)列也｝的前久項和4

.a?2a九+2

16.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(x)=x2+Inx—ax+a.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若/(x)>x(J.nx+1)對任意的久>1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

17.(本小題12分)

已知數(shù)列｛%J前n項和為外,且25n=n(n+1),記“=(一1)”筌坦.

an^~an

(I)求數(shù)列｛即｝的通項公式；

(II)設數(shù)列｛?。那皫醉椇蜑?；,求7202「

18.(本小題12分)

當前，人工智能技術以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響我們的方方面面，人工智能被認為是推動未

來社會發(fā)展和解決人類面臨的金球性問題的重要手段.某公司在這個領域逐年加大投入，以下是近年來該公

司對產(chǎn)品研發(fā)年投入額雙單位：百萬元)與其年銷售量y(單位：千件)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：

X123456

y0.511.53612

z=Iny-0.700.41.11.82.5

(1)公司擬分別用①y=bx+a和②y=e?+機兩種方案作為年銷售量y關于年投入額x的回歸分析模型，請

根據(jù)已知數(shù)據(jù)，確定方桀①和②的經(jīng)驗回歸方程；(a,計算過程保留到小數(shù)點后兩位，最后結果保

留到小數(shù)點后一位)

(2)根據(jù)下表數(shù)據(jù)，用決定系數(shù)R2(只需比較出大小)比較兩種模型的擬合效果哪種更好，并選擇擬合精度更

高的模型，預測年投入額為7百萬元時，產(chǎn)品的銷售量是多少？

.7_nx+m

經(jīng)驗回歸方程y=bx+ay-eo

殘差平方和把1(%-%)218.290.65

參考公式及數(shù)據(jù)：b=,a=y-bx,R2=1-，￡乙刈%=121,￡乙螃=

娶ig-x)lt=i(.y-y)

--1

91￡乙XiZi=28.9,z屋(-0.7+0+0.4+1.1+1.8+2.5)=0.85,e28~16.5,e3?20.1.

19.(本小題12分)

已知函數(shù)f")=alni一z--(aGR).

x

(1)若a=2,求證：當％>1時，/(%)<0

(2)若/(%)有兩個不同的極值點%<久2)且0<+%244.

⑴求a的取值范圍；

(ii)求證：/(%2)<2A/~3.

參考答案

1.71

2.4

3.D

4.B

5.D

6.5

7.B

8.A

9.AC

10.AC

U.ACD

12.2

13.2025

14.(-oo,V^)

15.解:⑴設｛時｝的公差為d,由題意知償產(chǎn)+。3+。4=16

即，1+64=16,

((@1+d)=%(%+4a)

因為dW0,所以的=1,d=2,

所以。九=2n—1.

(2)設數(shù)列｛4｝的前2九項中的奇數(shù)項之和為4偶數(shù)項之和為3,

4n-344n+1

則A=2%+2a3+…+2a2X=2al2a2n—1.162-2?22-2

1-161-16-15-

111_1111111

--------1---------Fd-------------=Ty-j(------------1-------------F???H-----------------

Q2a4a4a6a271G2幾+2。2a4a4a6a2na2n+2

"1)=1Cj=l1

2d72^2n+2J4l34n+3J1216n+12,

7471+1_2[[^4n+l[1

所以T2n=A+B=———+--/T5=-77---元―-

lu1Z1lo6Tl+1ZlbZUl1o6Zl++1lZ2

16.解：(1)由題意可知：f(x)的定義域為(0,+8),且廣(久)=2%+：—a=計1

對于2%2一。%+1,則有：

若。<0時，貝Ij2%2一+1>0,可得(。)>0,所以/(%)在(0,+8)內單調遞增;

若Q>0時，則有:

當4=a2—8<0,即0Va42，^時，貝！J2/—ax+1>0,可得/'(%)>0,

所以/(%)在(0,+8)內單調遞增；

當/=a2—8>0,即a>2V~^時，令2——ax+1=0,

ATJZQa-VCL^—8a+Ja2—8

解得Xl=-7—,比2=—7—且0<%1V%2，

令f'(x)>0,解得%>%2或0<%v%1；令f(x)<0,解得%1<X<%2?

所以/(%)在(%L］2)內單調遞減，在(0,%1)，(%2,+8)內單調遞增;

綜上所述：當時，/(%)在(0,+8)內單調遞增；

當a>2/I時，f(x)在(右尸，紀尸)內單調遞減，在(0,中三)，(。，七產(chǎn)),(空尸,+8)內

單調遞增.

(2)構建g(%)=/(%)—x(lnx+1)=%2+(1—x)lnx—(a+l)x+a,

原題意等價于g(%)>0對任意的％>1恒成立，

1_ri

則g'(%)=2%—ITIX4—---(a+1)=2.x-Inx+——(a+2),且g(l)=0,則g'(l)=1—a之0,解得

a<1,

下證充分性，

若aWl,令h(x)=g(>),%>1,則"⑺=2-(一表=吆詈匚0,

可知八(久)在［1,+8)內單調遞增，則h(x)Nh⑴=1—aN0,即g(x)N0對任意的xN1恒成立,

可知gO)在［1,+8)內單調遞增，可得g(K)2g(l)=0,符合題意；

綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為

1

17.解：(I)由2szi=71(幾+1),得幾+1),

當九=1時，a1=S1=^xlx2=l；

當幾之2,九EN*時，Sn.1=1n(n—1),

1i

an=Sn—Sn_1=-n(n+1)—~n(n—1)=n.

當九二1時也符合，

???an=n(nEN*)；

(ID.=(T)n篇=(T)n黑=(一】)"卷=+

11111111

72021=一(f+2)+G+?_G+4)+----(2021+2022)

112023

20212022T-七2022,

iQA771+2+3+4+5+6

18.角生(1)%=-----------------=3Q.5c,

-0.5+1+1.5+3+6+12/

y=-----------A-------------=%

121—6x3.5x437A37

所以b=*5v2.11,a=4—I75x3.5=-3.40,

91-6X3.52

所以y=2.1%—3.4,

由丫=e71%+771,兩邊取以e為底的對數(shù)得仇y=幾％+?n,即z=7i%+zn,n=281；］6：；；：8511.05

17.5

0.63?Tn=0.85—I75X3.5=-1.36,

所以z=0.63%-1.36,所以y=e°￡%T?4；

(2)￡憶式％-y)2=(0.5-4)2+(1-4)2+(1.5-4)2+(3-4)2+(6-4)2+(12-4)2=96.5,

對于y=2.1%—3.4，段=1-Mg；

對于y=/6%-1.4,膨一一貌,

所以②的擬合效果好，當久=7時，預測值y=e°￡x7-1.4=，.8、16.5千件.

1

19.解：(l)a=2時，f(x)=21nx—x+

則/⑺=I_1_3=_2：yT=《0,

故f(x)在［l,+8)單調遞減，

故/(%)</(I)=0,

故%>1時，/(%)<0；

(2)①廣⑺丹——二弋尸%>0,

由于/(%)有兩個不同的