專題11 圓錐曲線（4大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（新高考專用）含答案及解析

專題11圓錐曲線易錯(cuò)點(diǎn)一：求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍（求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程）求軌跡方程共有四大類，具體方法如下：第一類：直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：第一步：建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系第二步：設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)第三步：列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡(jiǎn)注：若求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．第二類：定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動(dòng)點(diǎn)和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來判斷．熟記焦點(diǎn)的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題目提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來結(jié)合曲線定義求解軌跡方程．第三類：相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．第四類：交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常常可以先解方程組得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．易錯(cuò)提醒：求軌跡方程時(shí)，要注意準(zhǔn)確確定范圍，應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應(yīng)的限制條件，避免因考慮不全面致錯(cuò)．例．已知是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.求曲線的方程；變式1．在平面直角坐標(biāo)系中中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.求曲線的方程；變式2．已知y軸右側(cè)一動(dòng)圓Q與圓P：相外切，與y軸相切.求動(dòng)圓圓心Q的軌跡M的方程；變式3．已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，直線與直線垂直，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．求的軌跡的方程；1．已知圓，圓，動(dòng)圓與圓和圓均相切，且一個(gè)內(nèi)切、一個(gè)外切．求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；3．設(shè)拋物線的方程為，其中常數(shù)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)．(1)若直線被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為6，求的值；(2)設(shè)是點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；(3)設(shè)是兩條互相垂直，且均經(jīng)過點(diǎn)F的直線，與拋物線交于點(diǎn),與拋物線交于點(diǎn)，若點(diǎn)G滿足，求點(diǎn)G的軌跡方程．4．已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.說明是什么曲線，并求的方程；5．已知為圓：上任一點(diǎn)，，，，且滿足.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；6．已知點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．求點(diǎn)的軌跡的方程；7．已知圓，一動(dòng)圓與直線相切且與圓C外切．(1)求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程；(2)若經(jīng)過定點(diǎn)的直線l與曲線相交于兩點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，過作軸的平行線與曲線相交于點(diǎn)，試問是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.8．圓，圓心為，點(diǎn)，作圓上任意一點(diǎn)與點(diǎn)連線的中垂線，交于.求的軌跡的方程；9．已知，，對(duì)于平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)M，且.求點(diǎn)Р的軌跡C的方程；10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，的內(nèi)切圓與直線相切于點(diǎn)，記點(diǎn)M的軌跡為C.求C的方程；易錯(cuò)點(diǎn)二：忽略了給定條件對(duì)e范圍的限定（離心率的求算）求離心率范圍的方法建立不等式法：技巧1：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式．技巧2：利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．技巧3：利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．技巧5：涉及的關(guān)系式利用基本不等式，建立不等關(guān)系．易錯(cuò)提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是，而雙曲線的離心率范圍是，在求范圍的時(shí)候要時(shí)刻注意.例．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．變式1．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2變式2．已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在雙曲線的下支上，若，且的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（

）A．2或 B．3或 C．2 D．3變式3．過雙曲線：的右焦點(diǎn)作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B．或 C． D．1．已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．3．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C的右支上一點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．已知直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線右支交于，兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是其右支上一點(diǎn)．若，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上與不同的一點(diǎn)，直線的斜率分別為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．7．如圖所示，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，的右支上存在一點(diǎn)滿足與雙曲線左支的交點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第二象限的部分交于點(diǎn)，若雙曲線上的點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．9．已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．10．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．易錯(cuò)點(diǎn)三：易忽略判別式自身參數(shù)范圍（求最值問題）知識(shí)點(diǎn)一、直線和圓錐曲線聯(lián)立（設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別）（1）橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，，橢圓與過定點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，如此消去，保留，構(gòu)造的方程如下：，（2）拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時(shí)，特殊地，當(dāng)直線過焦點(diǎn)的時(shí)候，即，拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時(shí)，知識(shí)點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理與聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為．該式可以看成一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡(jiǎn)單記．同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為，與C相離；與C相切；與C相交．注意：1.如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．2.直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．易錯(cuò)提醒：求最值問題時(shí)一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，自變量范圍一般容易忽略判別式的前提（判別式也存在隱含自變量的范圍）例．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上任一點(diǎn)，則的取值范圍是．變式1．已知橢圓的左焦點(diǎn)為是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若的最大值為6，則C的離心率為．變式2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為變式3．設(shè)，分別為橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則的方程為.1．已知直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值與最小值之和為．2．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為．3．已知橢圓離心率為，為橢圓的右焦點(diǎn)，，是橢圓上的兩點(diǎn)，且.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.4．已知橢圓是橢圓上兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于，則的取值范圍是.5．已知橢圓的面積為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)A關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為B，C，D，記四邊形ABDC的面積為S，則的取值范圍為．6．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，外接圓的圓心為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為.7．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為為橢圓的左頂點(diǎn)，且，過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍為.8．已知為函數(shù)圖象上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形的面積最大值為.9．過橢圓左焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線與x軸及y軸各有唯一公共點(diǎn)M，N，則的取值范圍是.10．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，則的取值范圍為.易錯(cuò)點(diǎn)四：意義不明導(dǎo)致定點(diǎn)問題錯(cuò)誤（有關(guān)直線與圓錐曲線的定點(diǎn)與定值問題）1、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個(gè)參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個(gè)參數(shù)表示另外一個(gè)參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個(gè)含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個(gè)含參數(shù)的因式相減，把兩個(gè)因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時(shí)，此時(shí)與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)不起作用．2、求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明．一般解題步驟：①斜截式設(shè)直線方程：，此時(shí)引入了兩個(gè)參數(shù)，需要消掉一個(gè)．②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．③參數(shù)無關(guān)找定點(diǎn)：找到和沒有關(guān)系的點(diǎn)．易錯(cuò)提醒：直線恒過定點(diǎn)是指無論直線如何變動(dòng)，必有一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)適合這條直線的方程，問題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線的方程表示出來，無論參數(shù)如何變化這個(gè)方程必有一組常數(shù)解．解決定點(diǎn)與定值問題，不能僅靠研究特殊情況來說明．例．橢圓的離心率，過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為，求直線與直線的斜率之積.變式1．已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)和的圓與直線：交于，，已知點(diǎn)，且、分別與交于、.試探究直線是否經(jīng)過定點(diǎn).如果有，請(qǐng)求出定點(diǎn)；如果沒有，請(qǐng)說明理由.變式2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)點(diǎn)在上的射影為，且滿足.(1)記點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，求的方程；(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，記直線和直線的斜率分別為，求證：.變式3．已知點(diǎn)，在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于），過作軸的垂線分別交直線于點(diǎn)，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，證明．直線過定點(diǎn).1．已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，橢圓C上是否存在點(diǎn)Q，使得直線與直線分別交于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知過右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.3．已知橢圓，其離心率為，直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)圓的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，切點(diǎn)為，求證：是定值．4．已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.(1)說明是什么曲線，并求的方程；(2)設(shè)是上關(guān)于軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且異于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，試問是否為定值?若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.5．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為6，面積的最大值為：(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.6．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的2倍，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓上不同于點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．7．已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，試問：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．8．已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長(zhǎng)小于4，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn)．9．已知橢圓過點(diǎn)兩點(diǎn)，橢圓的離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)P為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)M，直線與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形的面積為定值.10．已知橢圓與橢圓的離心率相同，且橢圓的焦距是橢圓的焦距的倍．(1)求實(shí)數(shù)和的值；(2)若梯形的頂點(diǎn)都在橢圓上，，，直線與直線相交于點(diǎn)．且點(diǎn)在橢圓上，證明直線恒過定點(diǎn)．

專題11圓錐曲線易錯(cuò)點(diǎn)一：求軌跡方程時(shí)忽略變量的取值范圍（求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程）求軌跡方程共有四大類，具體方法如下：第一類：直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程利用直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的步驟如下：第一步：建系：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系第二步：設(shè)點(diǎn)：設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)第三步：列式：列出有限制關(guān)系的幾何等式第四步：代換：將軌跡所滿足的條件用含的代數(shù)式表示，如選用距離和斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為的方程式化簡(jiǎn)注：若求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，則不但要求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，還要說明軌跡是什么曲線．第二類：定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程回顧之前所講的第一定義的求解軌跡問題，我們常常需要把動(dòng)點(diǎn)和滿足焦點(diǎn)標(biāo)志的定點(diǎn)連起來判斷．熟記焦點(diǎn)的特征：（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)；（2）標(biāo)記為的點(diǎn)；（3）圓心；（4）題目提到的定點(diǎn)等等．當(dāng)看到以上的標(biāo)志的時(shí)候要想到曲線的定義，把曲線和滿足焦點(diǎn)特征的點(diǎn)連起來結(jié)合曲線定義求解軌跡方程．第三類：相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．第四類：交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程在求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，存在一種求解兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題，這類問題常?？梢韵冉夥匠探M得出交點(diǎn)（含參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡的方程，該方法經(jīng)常與參數(shù)法并用，和參數(shù)法一樣，通常選變角、變斜率等為參數(shù)．易錯(cuò)提醒：求軌跡方程時(shí)，要注意準(zhǔn)確確定范圍，應(yīng)充分挖掘題目中的隱含條件、限制條件，求出方程后要考慮相應(yīng)的限制條件，避免因考慮不全面致錯(cuò)．例．已知是圓：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)在直線上，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.求曲線的方程；【詳解】圓的圓心為，半徑，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以所以所以點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線上設(shè)雙曲線的方程為，則，所以，，，又不可能在軸上，所以曲線的方程為變式1．在平面直角坐標(biāo)系中中，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1，的軌跡為.求曲線的方程；【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知得，化簡(jiǎn)得：，故曲線的方程為變式2．已知y軸右側(cè)一動(dòng)圓Q與圓P：相外切，與y軸相切.求動(dòng)圓圓心Q的軌跡M的方程；【詳解】圓P：，所以圓P的圓心坐標(biāo)為，半徑為1設(shè)，依題意有化簡(jiǎn)整理得：，故所求動(dòng)圓圓心Q的軌跡M的方程為變式3．已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，直線與直線垂直，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．求的軌跡的方程；【詳解】方法1：設(shè)因?yàn)椋?，即又，所以，所以方?：如圖，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，由已知得，互相垂直平分所以四邊形為菱形，所以因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，即點(diǎn)在定直線上，因?yàn)椋耘c直線垂直，即點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到定直線的距離所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)的軌跡的方程為1．已知圓，圓，動(dòng)圓與圓和圓均相切，且一個(gè)內(nèi)切、一個(gè)外切．求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程．【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓的半徑為．由已知條件，得．①當(dāng)動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切時(shí)，，從而．②當(dāng)動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切時(shí)，，從而．綜上可知，圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓．易得圓與圓交于點(diǎn)與，所以動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為．2．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；【詳解】設(shè)，依題意，得，化簡(jiǎn)得，故的方程為．3．設(shè)拋物線的方程為，其中常數(shù)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)．(1)若直線被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為6，求的值；(2)設(shè)是點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值；(3)設(shè)是兩條互相垂直，且均經(jīng)過點(diǎn)F的直線，與拋物線交于點(diǎn),與拋物線交于點(diǎn)，若點(diǎn)G滿足，求點(diǎn)G的軌跡方程．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）可令，代入拋物線方程，計(jì)算可得弦長(zhǎng)繼而得；（2）根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)化線段比值，結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系計(jì)算即可；（3）設(shè)坐標(biāo)及方程，與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理以及兩直線垂直的條件，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，以及消元轉(zhuǎn)化，可得所求軌跡方程．【詳解】（1）由可得，由題意可知；（2）易知，則，拋物線準(zhǔn)線為，

如圖所示，過作準(zhǔn)線，垂足為B，由拋物線定義可知，故，設(shè)直線為，，則，欲求的最大值，即求的最小值，顯然當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，取得最大，此時(shí)其余弦最小，聯(lián)立拋物線方程可得，由直線和拋物線相切可得，結(jié)合拋物線對(duì)稱性，不妨取，此時(shí)，即；（3）

由已知可知，則，設(shè)，，則，與拋物線聯(lián)立可得：，即有，同理則有，因?yàn)辄c(diǎn)G滿足，即，故，可得，則G的軌跡方程為．4．已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.說明是什么曲線，并求的方程；【答案】【詳解】根據(jù)題意可知圓可化為，所以可知圓心，半徑，易知和兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以由橢圓定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，即，可得；因此曲線的方程為.5．已知為圓：上任一點(diǎn)，，，，且滿足.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；【答案】【詳解】

如圖，由，可得，因?yàn)?，所以，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.6．已知點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．求點(diǎn)的軌跡的方程；【答案】【詳解】由得，其半徑為4，因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，

故，則,而，故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，則，故點(diǎn)的軌跡的方程為.7．已知圓，一動(dòng)圓與直線相切且與圓C外切．(1)求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程；(2)若經(jīng)過定點(diǎn)的直線l與曲線相交于兩點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，過作軸的平行線與曲線相交于點(diǎn)，試問是否存在直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，方程為【分析】（1）利用直接法，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)相切關(guān)系找到等量關(guān)系即可求動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程；（2）由題意設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用，從而由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算于韋達(dá)定理可得，即可求出直線方程．【詳解】（1）由題意知圓的圓心，半徑；設(shè)，易知點(diǎn)在直線右側(cè)，所以到直線的距離為，又，由相切可得，即化簡(jiǎn)可得動(dòng)圓圓心P的軌跡T的方程為；（2）如下圖所示：

設(shè)，．由題意，設(shè)直線l的方程為聯(lián)立T的方程可得則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，假設(shè)存在，使得,則，又，所以；，由可得，所以，代入化簡(jiǎn)可得，解得，∴存在直線，使得.8．圓，圓心為，點(diǎn)，作圓上任意一點(diǎn)與點(diǎn)連線的中垂線，交于.求的軌跡的方程；【答案】【詳解】連接，則，其中，則，所以，故的軌跡為以兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，其中，故，，所以的方程為；9．已知，，對(duì)于平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)M，且.求點(diǎn)Р的軌跡C的方程；【答案】當(dāng)，；當(dāng)，【詳解】設(shè)，則，從而由，有，若，化簡(jiǎn)整理得；若，化簡(jiǎn)整理得.10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，的內(nèi)切圓與直線相切于點(diǎn)，記點(diǎn)M的軌跡為C.求C的方程；【答案】【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)、，的內(nèi)切圓與直線相切于點(diǎn)，所以，因此根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)點(diǎn)的軌跡C的方程為，焦距為，所以，，所以，，，所以點(diǎn)的軌跡方程C為易錯(cuò)點(diǎn)二：忽略了給定條件對(duì)e范圍的限定（離心率的求算）求離心率范圍的方法建立不等式法：技巧1：建立關(guān)于和的一次或二次方程與不等式．技巧2：利用線段長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，；為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的任一點(diǎn)，．技巧3：利用角度長(zhǎng)度的大小建立不等關(guān)系．為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若，則橢圓離心率的取值范圍為．技巧4：利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系．技巧5：涉及的關(guān)系式利用基本不等式，建立不等關(guān)系．易錯(cuò)提醒：圓錐曲線的率的范圍是有限定的，橢圓的離心率范圍是，而雙曲線的離心率范圍是，在求范圍的時(shí)候要時(shí)刻注意.例．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【分析方案】由，令且，，則，根據(jù)題設(shè)有、、，進(jìn)而有，將它們整理為關(guān)于的齊次方程求離心率即可【詳解】由題設(shè)，令且，，則，且①由，即②由，即又C在雙曲線上，則③由①得：，代入③并整理得：由①②及得：所以，即顯然，則，故選：B變式1．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【分析方案】根據(jù)雙曲線定義得到，由三角形面積公式和余弦定理求出，兩邊同除以得到，求出離心率【詳解】∵分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，∴，，又∵在中，∵，∴，則又∴，即，故，解得：∵，∴故選：A變式2．已知雙曲線的上焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在雙曲線的下支上，若，且的最小值為7，則雙曲線E的離心率為（

）A．2或 B．3或 C．2 D．3【分析方案】根據(jù)雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為，數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】設(shè)雙曲線的下焦點(diǎn)為，可知，則，即則當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，由題意可得，且因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以方程，且，解得，則，所以雙曲線E的離心率為，故選：D變式3．過雙曲線：的右焦點(diǎn)作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為，且與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率是（

）A． B．或 C． D．【分析方案】根據(jù)題意，可得，兩種情況，分別求解，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，代入離心率公式，即可得到結(jié)果【詳解】如圖①，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，雙曲線的漸近線方程為，所以，在中，，設(shè)，，，因?yàn)?，所以又，所以，所以，，，則，則，且，即，解得，所以，如圖②，當(dāng)時(shí)，設(shè)，，設(shè)，則，，在中，，設(shè)，，，因?yàn)椋?，又，所以，所以，，，，則，，，所以，則，所以，即，解得，所以故選：B1．已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】連接、、，則，，設(shè)點(diǎn)，則，分析可得，可得出的取值范圍，由可求得的取值范圍.【詳解】連接、、，則，，由切線長(zhǎng)定理可知，，又因?yàn)?，，所以，，所以，，則，設(shè)點(diǎn)，則，且，所以，，所以，，故，故選：B.2．已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用由雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2得，再由離心率、可得答案.【詳解】由離心率，得，由雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2，得，根據(jù)這兩個(gè)方程解得，則，得，所以雙曲線的方程為.故選：B.3．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C的右支上一點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用雙曲線的定義及勾股定理等得到，設(shè)，結(jié)合雙曲線的定義得到，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求解.【詳解】解：因?yàn)?，，∴，又，∴．設(shè)，則，，∴，∴，則，∴．∴，則，設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，∴，∴，故選：B．4．已知直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線右支交于，兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，由得到，的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理得到，，之間的關(guān)系式，進(jìn)而求出離心率.【詳解】設(shè)，，則，．由，得．直線l的方程為，即，代入雙曲線的方程中，得，即，∴，，∴，，∴，整理得．又，∴．故選:B．5．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是其右支上一點(diǎn)．若，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量法得：，然后結(jié)合雙曲線定義：和余弦定理即可求解.【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)，可知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，即:，所以：，解得：，所以：，故，由，解得：，所以：，故B項(xiàng)正確.故選：B.6．已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上與不同的一點(diǎn)，直線的斜率分別為，則當(dāng)取得最小值時(shí)，該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立方程求出的坐標(biāo)，通過運(yùn)算得到，代入，利用二次函數(shù)的知識(shí)求得取最小值時(shí)，的值，即可求解.【詳解】將代入雙曲線方程中，整理得，得，設(shè)，則，，所以，所以．當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí),所以，解得，所以.故選：C．7．如圖所示，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，的右支上存在一點(diǎn)滿足與雙曲線左支的交點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理及已知可得，令，由雙曲線定義及，應(yīng)用勾股定理列方程求得，進(jìn)而求離心率.【詳解】中，中，所以，，又，則，又，所以，令，則，，而，由，則，，可得，即.故選：D8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第二象限的部分交于點(diǎn)，若雙曲線上的點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由雙曲線的定義結(jié)合題意可得，又由，表示出，，在中，由余弦定理可求得，解方程即可求出答案.【詳解】如圖，連接，由題意知，設(shè)，由雙曲線的定義可得．又由題可得，所以，即．在中，，由，得，由雙曲線的定義可得．因?yàn)?，所以，所以，在中，，又由余弦定理可得，即，所以．又因?yàn)?，所以，所以，故，所以雙曲線的離心率．

故選：A.9．已知為雙曲線：的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，，且，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，聯(lián)立方程組求得，根據(jù)，得到，求得，再由在雙曲線上，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線：的漸近線方程為.設(shè)，聯(lián)立方程組，解得.因?yàn)椋?，即，可?又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，將代入，可得，由，所以，所以，即，化簡(jiǎn)得，則，所以雙曲線的離心率為.故選：B.

10．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得四邊形為矩形，然后結(jié)合雙曲線的定義及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，，如圖所示，

又因?yàn)?，所以，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，由雙曲線的定義可得：，，又因?yàn)闉橹苯侨切?，所以，即，解得，所以，，又因?yàn)闉橹苯侨切?，，所以，即：，所以，?故選：D.易錯(cuò)點(diǎn)三：易忽略判別式自身參數(shù)范圍（求最值問題）知識(shí)點(diǎn)一、直線和圓錐曲線聯(lián)立（設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別）（1）橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，，橢圓與過定點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，如此消去，保留，構(gòu)造的方程如下：，（2）拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時(shí)，特殊地，當(dāng)直線過焦點(diǎn)的時(shí)候，即，拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立可得，時(shí)，知識(shí)點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理與聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為．該式可以看成一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡(jiǎn)單記．同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為，與C相離；與C相切；與C相交．注意：1.如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．2.直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把換成即可；焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．易錯(cuò)提醒：求最值問題時(shí)一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，自變量范圍一般容易忽略判別式的前提（判別式也存在隱含自變量的范圍）例．已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓E上任一點(diǎn)，則的取值范圍是．【分析方案】求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出（），利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和橢圓方程表達(dá)出，結(jié)合的取值范圍，得到的取值范圍【詳解】由，，解得：，所以不妨令，，因?yàn)镻是橢圓E上任一設(shè)點(diǎn)，設(shè)（）則，即，其中因?yàn)椋?，，所以的取值范圍是故答案為：變?．已知橢圓的左焦點(diǎn)為是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若的最大值為6，則C的離心率為．【分析方案】設(shè)出右焦點(diǎn),將轉(zhuǎn)化成，最后利用三點(diǎn)共線表示最大值求出，進(jìn)而求出離心率【詳解】設(shè)右焦點(diǎn)，由橢圓定義，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)，.又，，，故答案為：變式2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為【分析方案】根據(jù)橢圓定義及圓心位置、半徑，應(yīng)用分析法要使最大只需讓最大即可，由數(shù)形結(jié)合的方法分析知共線時(shí)有最大值，進(jìn)而求目標(biāo)式的最大值【詳解】由題意得：，根據(jù)橢圓的定義得，∴圓變形得，即圓心，半徑要使最大，即最大，又∴使最大即可，如圖所示：∴當(dāng)共線時(shí)，有最大值為∴的最大值為∴的最大值，即的最大值為11+1=12故答案為：12變式3．設(shè)，分別為橢圓（）的左，右焦點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，若的最小值為，則的方程為.【分析方案】由題意知，，則；由三角形的三邊關(guān)系可知，從而可求出，由橢圓的定義知，從而可求出，進(jìn)而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】由橢圓定義可知，且，則因?yàn)?，所以，所以，所以，故的方程為，故答案為?．已知直線過圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值與最小值之和為．【答案】【分析】求出圓的圓心，根據(jù)題意可得、，利用平面向量的線性運(yùn)算可得，即可求解.【詳解】圓，圓心，半徑，因?yàn)橹本€過圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，所以，又橢圓，則，，右焦點(diǎn)為，所以，又，即，所以，即，所以的最大值為，最小值為.則的最大值與最小值之和為.故答案為：2．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則面積的最大值為．【答案】【分析】由余弦定理變形得出，在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓上，因此當(dāng)是橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，到的距離最大，由此可求得三角形面積最大值．【詳解】,，由余弦定理得，所以，即，又，所以在以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓上（不在直線上），如圖以為軸，線段中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，則，所以，當(dāng)是橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，到的距離最大為，所以的最大值為，故答案為：．3．已知橢圓離心率為，為橢圓的右焦點(diǎn)，，是橢圓上的兩點(diǎn)，且.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】以橢圓的右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，設(shè)，，可表示出，，再由可得，此時(shí)表示與兩點(diǎn)的連線的斜率，由幾何意義求解即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】以橢圓的右焦點(diǎn)為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，設(shè)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，為橢圓的右準(zhǔn)線，過點(diǎn)A作極軸交極軸于點(diǎn)，由橢圓的第二定義知：，則，所以，則，代入化簡(jiǎn)可得：，同理可得：，由可得，，表示與兩點(diǎn)的連線的斜率，而可看作圓上任意一點(diǎn)，所以的幾何意義為圓上一點(diǎn)與兩點(diǎn)的連線的斜率，過點(diǎn)作圓的切線可求出的最大值和最小值，由分析知，過點(diǎn)直線的斜率一定存在，設(shè)為，，故圓心到直線的距離為：，化簡(jiǎn)可得：，解得：或，所以，故.故答案為：.4．已知橢圓是橢圓上兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法可得，從而可得線段AB的垂直平分線的方程，則，再由點(diǎn)在橢圓內(nèi)部可求出結(jié)果【詳解】設(shè)，，線段的中點(diǎn)為.若，即，則，滿足題意；若，即，則不滿足題意，應(yīng)舍去；當(dāng)時(shí)，有，作差得：因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，設(shè)線段的垂直平分線為，則，得：，令，得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則，則，故.故答案為：.5．已知橢圓的面積為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)A關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為B，C，D，記四邊形ABDC的面積為S，則的取值范圍為．【答案】【分析】由條件求的關(guān)系，再求四邊形的面積，由此可得的表達(dá)式，再結(jié)合基本不等式求的取值范圍.【詳解】點(diǎn)在橢圓上，所以上，解得，所以，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，故，由于，所以，所以的取值范圍為．故答案為：?．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是上異于左、右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，外接圓的圓心為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)向量的加法法則和向量垂直的表示，結(jié)合均值不等式代入即可.【詳解】，取線段的中點(diǎn)，則，所以，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為.故答案為：.7．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為為橢圓的左頂點(diǎn)，且，過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)已知先求出的值，記，得到，記，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值得解.【詳解】解：由題可知，即，又由題可知，，記，則，記，則在上恒成立，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，.故答案為：8．已知為函數(shù)圖象上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形的面積最大值為.【答案】【分析】利用三角代換可得，然后利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】由可得，易得在橢圓的第一象限內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，,又，則，其中，當(dāng)時(shí)，，即四邊形的面積最大值為.故答案為：.9．過橢圓左焦點(diǎn)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線與x軸及y軸各有唯一公共點(diǎn)M，N，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)，，中點(diǎn)，，利用點(diǎn)差法及兩點(diǎn)的斜率公式得到，即可求出的取值范圍，再根據(jù)，可得，最后根據(jù)計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)，，中點(diǎn)，，由與相減得，所以，又，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，所以，又，所以，即．故答案為?0．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，則的取值范圍為.【答案】【分析】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，分析可知且、、三點(diǎn)共線，故，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式可求得的取值范圍，即可得解.【詳解】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接、、，易知點(diǎn)、，由橢圓的對(duì)稱性可知點(diǎn)也在橢圓上，因?yàn)闉?、的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，且，因?yàn)椋?、、三點(diǎn)共線，則，所以，.因?yàn)辄c(diǎn)、為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，則直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，所以，，所以，.故答案為：.易錯(cuò)點(diǎn)四：意義不明導(dǎo)致定點(diǎn)問題錯(cuò)誤（有關(guān)直線與圓錐曲線的定點(diǎn)與定值問題）1、求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．常用消參方法：①等式帶用消參：找到兩個(gè)參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個(gè)參數(shù)表示另外一個(gè)參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．②分式相除消參：兩個(gè)含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．③因式相減消參：兩個(gè)含參數(shù)的因式相減，把兩個(gè)因式所含參數(shù)消掉．④參數(shù)無關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時(shí)，此時(shí)與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：，只要因式，就和參數(shù)沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)不起作用．2、求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明．一般解題步驟：①斜截式設(shè)直線方程：，此時(shí)引入了兩個(gè)參數(shù)，需要消掉一個(gè)．②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．③參數(shù)無關(guān)找定點(diǎn)：找到和沒有關(guān)系的點(diǎn)．易錯(cuò)提醒：直線恒過定點(diǎn)是指無論直線如何變動(dòng)，必有一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)適合這條直線的方程，問題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線的方程表示出來，無論參數(shù)如何變化這個(gè)方程必有一組常數(shù)解．解決定點(diǎn)與定值問題，不能僅靠研究特殊情況來說明．例．橢圓的離心率，過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左頂點(diǎn)為，求直線與直線的斜率之積.【詳解】（1）解：因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即，又因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，所以橢圓的方程為；（2）如圖所示：

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求得，又，所以，所以；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，消去y得：，，由韋達(dá)定理得，所以，，.變式1．已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)和的圓與直線：交于，，已知點(diǎn)，且、分別與交于、.試探究直線是否經(jīng)過定點(diǎn).如果有，請(qǐng)求出定點(diǎn)；如果沒有，請(qǐng)說明理由.【詳解】（1）如圖所示，

∵，且，∴點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程，則，，∴，.所以點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)直線的方程為：，由，得設(shè)，，則，.所以，，因?yàn)橹本€的方程為：，令，得，所以，，同理可得，以為直徑的圓的方程為：，即，因?yàn)閳A過點(diǎn)，所以，，得，代入得，化簡(jiǎn)得，，解得或（舍去），所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線與軸重合，直線經(jīng)過點(diǎn)，綜上所述，直線經(jīng)過定點(diǎn).變式2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)點(diǎn)在上的射影為，且滿足.(1)記點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，求的方程；(2)過點(diǎn)作斜率不為0的直線與交于兩點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)為，記直線和直線的斜率分別為，求證：.【詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，，即的方程為.（2）由題意知，設(shè)過點(diǎn)作斜率不為0的直線為，，，聯(lián)立可得，，則，，又，，則，所以得證.

變式3．已知點(diǎn)，在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于），過作軸的垂線分別交直線于點(diǎn)，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，證明．直線過定點(diǎn).【詳解】（1）由題知，又橢圓經(jīng)過，代入可得，解得，故橢圓的方程為：（2）由題意知，當(dāng)軸時(shí)，不符合題意，故的斜率存在，設(shè)的方程為，聯(lián)立消去得，則，即設(shè)，，，的方程為，令得，的方程為，令得，由是中點(diǎn)，得，即，即，即，即，所以，得或，當(dāng)，此時(shí)由，得，符合題意；當(dāng)，此時(shí)直線經(jīng)過點(diǎn)，與題意不符，舍去.所以的方程為，即，所以過定點(diǎn).1．已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，橢圓C上是否存在點(diǎn)Q，使得直線與直線分別交于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或【分析】（1）根據(jù)已知，根據(jù)的關(guān)系得出.將點(diǎn)代入橢圓方程，即可解出，進(jìn)而得出；（2）當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)，，，設(shè)直線l：，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出坐標(biāo)關(guān)系，求出坐標(biāo).根據(jù)已知列出方程，整理推得，.代入橢圓方程求出點(diǎn)坐標(biāo)；檢驗(yàn)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，滿足對(duì)稱關(guān)系，即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以，.又，所以.將代入橢圓方程，得，所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）

當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l：，聯(lián)立得，整理得．則，解得或.設(shè)，，，由韋達(dá)定理可得，，則直線MQ：，令，得，所以.同理得．由點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱得，即，整理可得，.易知點(diǎn)不在上，所以，所以，，所以，有，整理得.由n的任意性知，將坐標(biāo)代入代入橢圓方程有，解得，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，不妨令，，，此時(shí)直線MQ：，令，得，所以，同理得，顯然點(diǎn)A，B關(guān)于x軸對(duì)稱，滿足.綜上，存在滿足題意的點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與圓錐曲線有關(guān)的頂點(diǎn)問題時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出坐標(biāo)關(guān)系.分析已知條件，得出等量關(guān)系，整理化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論.2．已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知過右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由離心率與定點(diǎn)代入橢圓方程，建立方程組待定系數(shù)即可；（2）由條件轉(zhuǎn)化為，設(shè)直線的方程為，將斜率坐標(biāo)化，利用韋達(dá)定理代入，得到的等式，不論如何變化，等式恒成立求值即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所?所以橢圓的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）存在定點(diǎn)，使.理由如下：由（1）知，，則點(diǎn).設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使成立.當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線右焦點(diǎn)的直線即軸與交于長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，若，則，或.當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)直線的方程為，.由消去并整理，得，則.因?yàn)?，所以，所以，?所以，即，恒成立，即對(duì)，恒成立，則，即.又點(diǎn)滿足條件.綜上所述，故存在定點(diǎn)，使.

3．已知橢圓，其離心率為，直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)圓的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，切點(diǎn)為，求證：是定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由離心率為可以先得到，然后結(jié)合其余已知條件即可得解.（2）分直線的斜率是否存在進(jìn)行討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，算出，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理結(jié)合直線與圓相切于點(diǎn)，從而即可得解.【詳解】（1）如圖所示：

因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，所以，則橢圓的方程為．將代入橢圓方程，得，則，所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為．將代入橢圓的方程，得，所以，則．如圖所示：

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．將與聯(lián)立，消去并整理，得．由，得．設(shè)，，，則，，，則．由直線與圓相切，可得，即．由，得．結(jié)合，得．又，兩邊平方并整理，得，所以．所以．綜上，，即是定值．4．已知平面上動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)與到圓的圓心的距離之和等于該圓的半徑.記的軌跡為曲線.(1)說明是什么曲線，并求的方程；(2)設(shè)是上關(guān)于軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且異于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，試問是否為定值?若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)為定值，這個(gè)值為【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程可知圓心，半徑，再利用橢圓定義即可求得的軌跡曲線的方程為；（2）依題意設(shè)出,可得，求出直線的直線方程解出其與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，，即可得出的表達(dá)式，再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可知.【詳解】（1）根據(jù)題意可知圓可化為，所以可知圓心，半徑，易知和兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以由橢圓定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，即，可得；因此曲線的方程為.（2）不妨設(shè)，，且，；則易知；易知直線的斜率都存在，如下圖所示：所以直線的斜率為，其方程為，可得直線交軸于點(diǎn)直線的斜率為，其方程為，可得直線交軸于點(diǎn)所以，可得；由，可得，，；所以；因此為定值，.5．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上異于左?右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為6，面積的最大值為：(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為.若，.試問：是否為定值？并說明理由.【答案】