山東省濟(jì)南市槐蔭區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)九年級(jí)數(shù)學(xué)（2024．11）本試題分試卷和答題卡兩部分．第Ⅰ卷共2頁(yè)，滿分為40分；第Ⅱ卷共6頁(yè)，滿分為110分．本試題共8頁(yè)，滿分為150分．考試時(shí)間為120分鐘．答卷前，請(qǐng)考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上，并同時(shí)將考點(diǎn)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座號(hào)填寫在試卷規(guī)定的位置．考試結(jié)束后，將試卷、答題卡一并交回．本考試不允許使用計(jì)算器．第Ⅰ卷（選擇題共40分）注意事項(xiàng)：第Ⅰ卷為選擇題，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答案寫在試卷上無(wú)效．一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．已知，則的值是（）A． B． C． D．2．已知在中，，則的值為（）A． B． C． D．3．若反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．如圖是某位同學(xué)用帶有刻度的直尺在數(shù)軸上作圖的方法，若圖中的虛線相互平行，則點(diǎn)表示的數(shù)是（）4題圖A． B．2 C． D．54題圖5．如圖，以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，與射線交于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，則的值為（）5題圖A． B． C． D．6．如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)、、、均在格點(diǎn)上，連接、相交于點(diǎn)，則等于（）6題圖A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：17．一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．8．如圖，矩形的頂點(diǎn)和對(duì)稱中心都在雙曲線上，若矩形的面積為8，則的值為（）8題圖A．8 B． C． D．49．如圖，正方形的頂點(diǎn)、在拋物線上，點(diǎn)在軸上．若、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，下列結(jié)論正確的是（）9題圖10．如圖，正方形中，是邊的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接、相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．有以下四個(gè)結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）10題圖A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)第Ⅱ卷（非選擇題共110分）注意事項(xiàng)：所有答案必須用0.5毫米的黑色簽字筆（不得使用鉛筆和圓珠筆）寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)（超出方框無(wú)效），不能寫在試卷上，不能使用涂改液、修正帶等．不按以上要求作答，答案無(wú)效．二、填空題（本大題共5個(gè)小題．每小題4分，共20分．把答案填在答題卡的橫線上．）11．已知直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），則它們的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是_____．12．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_____．13．如圖，直線與雙曲線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，則不等式的解集為_______．13題圖14．如圖，在正方形中，取的中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，以線段為邊作正方形，點(diǎn)在線段上，則的值是_____．14題圖15．如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（－1，－4），點(diǎn)是該圖象第一象限分支上的動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)，以為對(duì)角線作菱形，使，頂點(diǎn)在第四象限，與軸交于點(diǎn)，連接．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)平分時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是______．15題圖三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟．）16．（本小題滿分7分）已知，求的值．17．（本小題滿分7分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，和的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，與相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．17題圖18．（本小題滿分7分）如圖，在中，，求的長(zhǎng)．18題圖19．（本小題滿分8分）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、與是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形．19題圖（1）在圖中標(biāo)出位似中心的位置，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）以原點(diǎn)為位似中心，在位似中心的同側(cè)作出的位似圖形，使它與的位似比為2：1，并寫出點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）的內(nèi)部一點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），寫出點(diǎn)在中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．20．（本小題滿分8分）在公元前2世紀(jì)，中國(guó)就制成了世界上最早的潛望鏡，西漢初年成書的《淮南萬(wàn)畢術(shù)》中有這樣的記載：取大鏡高懸，懸水盆于其下，則見四鄰矣．如圖1所示．潛望鏡的工作原理主要是利用光的反射，在圖2中，、、三點(diǎn)共線，于點(diǎn)，入射角（入射角等于反射角），米，求的長(zhǎng)．20題圖21．（本小題滿分9分）如圖，為上一點(diǎn)，．21題圖（1）求證：；（2）若平分，求的長(zhǎng)．22．（本小題滿分10分）心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，一節(jié)課40分鐘，學(xué)生的注意力隨教師講課的變化而變化．開始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散．經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)隨時(shí)間（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示（其中、分別為線段，為雙曲線的一部分）．22題圖（1）分別求出學(xué)生注意力增強(qiáng)階段和分散階段的函數(shù)關(guān)系式；（2）開始上課后第5分鐘時(shí)與第30分鐘時(shí)相比較，哪一時(shí)刻學(xué)生的注意力更集中？（3）一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，需要講19分鐘，為了效果較好，要求學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)最低達(dá)到36，那么經(jīng)過適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目？若能，最好第幾分鐘開始講；若不能，說(shuō)明理由．23．（本小題滿分10分）已知，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)、、的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，求四邊形的面積；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23題圖24．（本小題滿分12分）如圖，已知直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)．24題圖 24題備用圖（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；（2）將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)，求直線的函數(shù)解析式；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，交雙曲線的圖象于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．25．（本小題滿分12分）【問題情境】（1）古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中提出了射影定理，又稱．歐幾里得定理．：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．其符號(hào)語(yǔ)言是：如圖1，在Rt中，，垂足為，則：①，②，③；請(qǐng)你證明定理中的結(jié)論③．【結(jié)論運(yùn)用】（2）如圖2，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)是對(duì)角線、的交點(diǎn)，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作，垂足為，連接．①求證：；②若，求的長(zhǎng)．（3）如圖3，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)是對(duì)角線、的交點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，連接，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在最小值，若存在，請(qǐng)直接寫出最小值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25題圖

九年級(jí)期中數(shù)學(xué)試題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題題號(hào)12345678910答案BADCDBCDAB二、填空題11．（－2，－4） 12．（－2，3） 13．或14． 15．三、解答題16．解：令，，，，，，．17．解：與相似，理由如下：，，，，，，，．18．解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，．19．解：（1）如圖，點(diǎn)即為所求，；（2）如圖，即為所求，；（3）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可知，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（2a，2b）．20．解：，（入射角等于反射角），，，，，，，，，作交于點(diǎn)，，，，，，（米），即的長(zhǎng)為米．21．（1）證明：，，又，．（2）解：平分，，由（1）知，，，又，，，即，．22．解：（1），設(shè)直線的解析式為，將、兩點(diǎn)代入得：解得注意力增強(qiáng)階段函數(shù)關(guān)系式為．設(shè)雙曲線的解析式為，將代入得分散階段的函數(shù)關(guān)系式為．（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，時(shí)學(xué)生注意更集中．（3）能，理由如下：當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，老師能在學(xué)生注意力達(dá)到所需的狀態(tài)下講解完這道題目，最好在第8分鐘開始講．23．解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得；點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－1）．（2），直線解析式：；設(shè)直線的解析式為：，把代入得：；則直線解析式為：，聯(lián)立解析式有：解得，；點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）；．（3）存在．延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，則與的交點(diǎn)即為點(diǎn)．，與關(guān)于對(duì)稱．，．，，點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，1）；直線的解析式為；聯(lián)立方程組解方程組可得點(diǎn)的坐標(biāo)為；在線段上存在一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最?。?4．解：（1）點(diǎn)在直線上，，，，將點(diǎn)代入，，；（2）根據(jù)