浙江省義烏市某中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

浙江省義烏市后宅中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）

A.y=yjx2+2B.了=3尤-1C.y=x2D.y——^+3

2.拋物線y=（x-以+2024的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（-1,2024）B.（1,2024）C.（1,-2024）D.（-1,-2024）

3.如圖，小明在A時(shí)測(cè)得某樹的影長(zhǎng)為8m,B時(shí)又測(cè)得該樹的影長(zhǎng)為2m,若兩次日照的

光線互相垂直，則樹的高度為（

C.6mD.8m

4.已知點(diǎn)/（-1,乂）、3（-2,%）、C（2,%）三點(diǎn)都在二次函數(shù)＞=---2》+3的圖象上，貝1］乂、

%、%的大小關(guān)系為（）

A.%>%>%B.%>%>%

C.y3>yl>y2D.

5.把一拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位得到的解析式為＞=2/,則原拋物

線的解析式為（）

A.J=2（X-1）2+3B.y=2（x+l）2+3C.y=2（x+l）2-3

D.j=2（x-l）2-3

6.如圖，有一塊三角形余料48。，它的邊3c=120°加，高40=80?！ǎ阉庸こ烧?/p>

形零件PQVW,使正方形的一邊加在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)P、N分別在/2、/C上，則

加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)是（）

試卷第1頁，共6頁

A.48cmB.46cmC.42cmD.40cm

7.如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF，DE于點(diǎn)O,那么而等于（）

8.一次函數(shù)>=辦+6與二次函數(shù)>="2+/在同一坐標(biāo)系中的圖象大致為（）

9.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)>=2/一+（加為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,8）,

其對(duì)稱軸在〉軸右側(cè)，則該二次函數(shù)有（）

A.最大值0B.最小值0C.最大值6D.最小值6

10.如圖，已知正方形/BCD由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形EFG”組成，把四個(gè)

直角三角形分別沿斜邊向外翻折，得到正方形MVP。，連結(jié)九田并延長(zhǎng)交福于點(diǎn)O,設(shè)正

方形EFGH的面積為5,正方形跖VP。的面積為邑，甘=而，則為的值為（）

C/1

試卷第2頁，共6頁

二、填空題

11.二次函數(shù)卜=/-2》+3的一次項(xiàng)系數(shù)是.

12.已知線段a=4cm,線段6=9cm,線段c是線段a、6的比例中項(xiàng)，貝cm.

13.兩個(gè)相似三角形的面積比為1：4,那么它們的對(duì)應(yīng)中線的比為.

14.如圖，。為V/8C邊NB上的一點(diǎn)，/ADC=NACB,BD=2,AD=4,則/C=

15.對(duì)于實(shí)數(shù)。，b,定義運(yùn)算“*”:a*b=a2-ab(a<b)；a*b=b2-ab(a>b),關(guān)于龍的

方程（2》-3）*（》-2）=機(jī)恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則加的值是.

16.如圖，在矩形/BCD中，AB=9,AD=U,連結(jié)BD,點(diǎn)E,尸分別為AD,BD邊上一

點(diǎn)，AF工BE于點(diǎn)、H.

⑴若4E=3,則。尸=.

（2）若DF:AE=k,則左可取的最大整數(shù)值為

三、解答題

17.已知2a=36,求下列各式的值.

試卷第3頁，共6頁

/、a

⑴獷

⑵

a+2b

18.二次函數(shù)y=x2+&c+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3),(3,0).

(1)求6、c的值；

(2)求出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).

19.在如圖所示的方格中，△OiAiBi與AOAB是關(guān)于點(diǎn)P為位似中心的位似圖形.

(1)在圖中標(biāo)出位似中心P的位置，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△OiAiBi與AOAB的位似比；

(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出AOAB的另一個(gè)位似△OA2B2,使它與^OAB

的位似比為2：1,并寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B2的坐標(biāo).

20.如圖，在VN8C中，AB=AC=10cm,BC=16cm,點(diǎn)P為5c邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)3、

C重合)，過點(diǎn)P作射線尸M交NC于點(diǎn)使N4PM=NB.

(1)求證：AB-CM^BPPC；

(2)當(dāng)△尸CM為直角三角形時(shí)，求線段/尸的長(zhǎng)度.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/坐標(biāo)為(2,4),直線x=2與x軸相交于點(diǎn)8,連

接O/,二次函數(shù)了=/圖象從點(diǎn)。沿。/方向平移，與直線x=2交于點(diǎn)尸，頂點(diǎn)M到4點(diǎn)

時(shí)停止移動(dòng).

試卷第4頁，共6頁

（1）求線段。4所在直線的函數(shù)解析式;

⑵設(shè)二次函數(shù)頂點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為小，當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，線段尸8最短，并求出二次函數(shù)的表

達(dá)式;

⑶當(dāng)線段P3最短時(shí)，二次函數(shù)的圖象能否過點(diǎn)。-1）?若能，求出。的值；若不能,

請(qǐng)說明理由.

22.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何制作簡(jiǎn)易風(fēng)箏？

圖1是簡(jiǎn)易“箏形”風(fēng)箏的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)以兩條線段/C、BD

素

作為骨架，/C垂直平分且并按A

材

AO：0c=3：5的比例固定骨架，骨架/C與AD共消耗竹條

1

60cm,四邊形48C。的面積為400cm2.

考慮到實(shí)際需要，蒙面（風(fēng)箏面）邊緣離骨架的端點(diǎn)要留C

圖1

出一定距離.如圖2,現(xiàn)8。以上部分的蒙面設(shè)計(jì)為拋物線

素杰、

形狀，過距離B,。三點(diǎn)分別為5cm,2cm,2cm的E,

材

F,G三點(diǎn)繪制拋物線（建立如圖的直角坐標(biāo)系）.BD以

2

下部分的蒙面設(shè)計(jì)為AFG〃，點(diǎn)〃在OC延長(zhǎng)線上且

FH〃BC.

素從一張長(zhǎng)方形紙片中裁剪無拼接的風(fēng)箏蒙面（包括助以

圖2

材上拋物線部分及8。以下三角形部分），長(zhǎng)方形各邊均與骨

3架平行（或垂直）.

問題解決，完成以下任務(wù):

試卷第5頁，共6頁

(1)確定骨架長(zhǎng)度：求骨架NC和8D的長(zhǎng)度.

(2)確定蒙面形狀：求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(3)選擇紙張大?。褐辽龠x擇面積為多少的長(zhǎng)方形紙片？

23.已知二次函數(shù)y=mx?-2mx+3,其中mwO.

(1)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(1,4),求二次函數(shù)表達(dá)式；

⑵若該二次函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)-時(shí)，二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)為最低點(diǎn)為N,

點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為9,求點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)在二次函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)(看,V,),(如為)，當(dāng)。+14q</冬。+3時(shí)，總有%>為,求。

的取值范圍.

24.如圖，拋物線/=-/+3工+4與x軸交于4,3兩點(diǎn)(點(diǎn)/位于點(diǎn)2的左側(cè))，與了軸

交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸/與x軸交于點(diǎn)N,長(zhǎng)為1的線段尸。(點(diǎn)尸位于點(diǎn)0的上方)

在x軸上方的拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng).

⑴直接寫出Z,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求CP+PQ+08的最小值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶過點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)當(dāng)和△O3N相似時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CBBADADABD

1.C

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的識(shí)別，一般地，形如y=ax2+6x+c(其中心b、c為

常數(shù)且。#0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)，據(jù)此逐一判斷即可.

【詳解】解：A、＞=衍1，未知數(shù)的最高次不是2,不是二次函數(shù)，不符合題意；

B、了=3》-1,未知數(shù)的最高次不是2,不是二次函數(shù)，不符合題意；

C、y=x2,是二次函數(shù)，符合題意；

D、＞=3+3,未知數(shù)的最高次不是2,不是二次函數(shù)，不符合題意；

X

故選C.

2.B

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)頂點(diǎn)式y(tǒng)=左的頂點(diǎn)坐標(biāo)為?、?，即

可求解.

【詳解】解：拋物線y=(x-l)2+2024的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2024).

故選：B.

3.B

【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，易得RtAEDCsRtACDbF,進(jìn)而可得先=g,代入數(shù)

CDDF

據(jù)求解即可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意做出示意圖，則尸，CE1CF,DE=2m,DF=Sm,

：./EDC=/CDF=ZECF=90°,

???ZE+/ECD=/ECD+/DCF=90°,

NE=ZDCF,

a^EDCs及ACDF,

答案第1頁，共19頁

.DECDnri2CD

CDDFCD8

...cr>2=2x8=16,

/.C￡>=4m（負(fù)值舍去）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題是解

題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】本題考查比較二次函數(shù)的函數(shù)值大小，根據(jù)二次函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：-2H3,

???拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為直線吊D=-I'

...拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，

故選A.

5.D

【分析】本題考查二次函數(shù)圖像與幾何變換，此題實(shí)際上是求將拋物線y=2/先向下平移3

個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后所得拋物線的解析式.解題的關(guān)鍵掌握函數(shù)圖像平

移的規(guī)律：左加右減，上加下減.

【詳解】解：???拋物線向上平移3個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位得到的解析式為y=2f,

y=2x2向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到原拋物線，

原拋物線的函數(shù)解析式為y=2（x-l）2-3.

故選：D.

6.A

【分析】本題考查綜合考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用以及正方形的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根

據(jù)正方形的性質(zhì)得到相似三角形.

根據(jù)正方形邊的平行關(guān)系，得出對(duì)應(yīng)的相似三角形，即V/PNSVN8C,V3PQSVA4。，從而

得出邊長(zhǎng)之比，進(jìn)而求出正方形的邊長(zhǎng)；

答案第2頁，共19頁

【詳解】解：設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為。，

在正方形P@MN中，PN//BC,PQ//AD,

.-.VAPNsVABCyBP-vBAD,

PN_APPQ__BP

'BC~AB"AD~BA'

.PN、PQ4P、BP__i

?BCAD~ABBA~'

aa

即nn：——+—=1.

12080

解得：a=48.

故選：A.

7.D

【分析】利用aDAO與4DEA相似，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解.

【詳解】ZDOA=90°,ZDAE=90°,NADE是公共角，NDAO=NDEA

.,.△DAO^ADEA

,AODO

??AE-DA

AOAF

即nn---=——

DODA

1

VAE=-AD

2

.AO_1

??京

故選D.

8.A

【分析】由二次函數(shù)》="2+加；的解析式可知，二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則只有選項(xiàng)A,D

可能正確，B,C不符合舍去，然后對(duì)A,D選項(xiàng)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定。和b的符號(hào)，然

后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)看一次函數(shù)圖象的位置是否正確，若正確，說明它們可在同一坐標(biāo)系

內(nèi)存在.

【詳解】解：由二次函數(shù)歹=姓2+法的解析式可知，二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則只有選項(xiàng)

A,D符合，B,C不符合舍去，

A、由二次函數(shù)尸的圖象得〃>o,再根據(jù)一￡_>（）得到6<0,則一次函數(shù)嚴(yán)女+6經(jīng)

過第一、三、四象限，所以/選項(xiàng)正確；

答案第3頁，共19頁

D、由二次函數(shù)的圖象得。<0,再根據(jù)-3<0得至Ub<0,則一次函數(shù)尸ax+6經(jīng)

2a

過第二、三、四象限，所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)的圖象為拋物線，可能利用列表、描點(diǎn)、連

線畫二次函數(shù)的圖象.也考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

9.B

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)題意得到租>0且/―2加=8,進(jìn)而求得冽

值和函數(shù)關(guān)系式，再求得最小值即可.

【詳解】解：由題意，二次函數(shù)的圖象開口向上，有最小值，

??,圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,8）,其對(duì)稱軸在V軸右側(cè)，

-2mm八

..--------=—>0,

2x22

:?m>0且加2-2m=8，

???冽=4或冽=一2（舍去），

/.^=2X2-8X+8=2（X-2）2,

該二次函數(shù)有最小值0,

故選：B.

10.D

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)以及翻折

的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，設(shè)4=4左2,$2=49/小>o）,則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為"，正方形MVP。

的邊長(zhǎng)為7萬；^FG=GH=HE=EF=2k,MN=NP=PQ=MQ=1k,由翻折可知：

NC=CG,CP=C"，可以推出NC=2.5k,CP=4.5k,證^BNC^AMNO得BN:MN=CN:NO,

即可求解.

S4

【詳解】解：；才=而，

設(shè)0=4無2,$2=49左2。>0）,

則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2斤，正方形肱\下。的邊長(zhǎng)為〃，

：.FG=GH=HE=EF=2k,MN=NP=PQ=MQ=lk,

由翻折可知：NC=CG,CP=CH,

答案第4頁，共19頁

???CG=CH-HG,

：.NC=CP-2k?,

又NC+CP=7左②，

由①②可得：NC=2.5k,CP=4.5k,

由題意得：BF=CG,由翻折可知8歹=30,

,BM=CG=NC=2.5k,

:.BN=MN-BM=45k,

由翻折可知：45垂直平分Mb,

ABIBC,

：.BC//MO,

：.ABNCSAMNO,

BN\MN=CN\NO,

BP：4.5左：7左=2.5左：NO,

35

解得：NO=—k,

25

??.OC=NO—NC=——k,,

18

02

：.OP=CP—OC=——k,

9

.PC25

??麗W

故選：D.

11.-2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)的定義，解答即可.

【詳解】解：,?,二次函數(shù)尸――2、+3的一次項(xiàng)為一2x,

?，?二次函數(shù)》=——2%+3的一次項(xiàng)系數(shù)是-2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的系數(shù)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握二次函數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)的定

義.在>="2+廄+。中，二次項(xiàng)辦2前面的系數(shù)。叫做二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)fox前面的系數(shù)6

叫做一次項(xiàng)系數(shù)，。叫做常數(shù)項(xiàng).

12.6

答案第5頁，共19頁

【分析】本題考查比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到,2=仍，代值求解即可得到答案.

【詳解】解：???線段c是線段°、6的比例中項(xiàng)，

c2=ab>

a=4cm,b=9cm,

c2=4Z9=36，

c=6或c=—6（舍），

故答案為：6.

13.1：2

【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角

平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：兩個(gè)相似三角形的面積比為1：4,

...相似比為1：2,

...它們的對(duì)應(yīng)中線的比為1：2.

故答案為1：2.

14.2A/6

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，先證,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)

邊成比例即可求解.

【詳解】解：80=2,/。=4,

AB=AD+BD=4+2=6,

ZADC=NACB,ADAC=ZCAB,

AADC^AACB,

.ADAC

**AC-AB?

AC2AD-AB=4x6^24,

^C=V24=2V6，

故答案為：2任.

15.0或;

【分析】本題考查定義新運(yùn)算，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，令了=（2尤-3）*（x-2）,分

答案第6頁，共19頁

,2x2-5x+3（x<1）

2x—3Wx—2和2x—3>x—2兩種t情況討論，得到V=<（八，將程

-x2+3x-2n（x>1）

（2x-3）*（x-2）=機(jī)恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為y=2X：-：+3（x：）與直線

—x+3x—2（x〉l）

>=加恰有兩個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：當(dāng)2x—3?x—2,即時(shí)，

（2x-3）*（x-2）=（2x-3）2-（2x-3）（x-2）

=4f—12X+9-（2、2—4X-3X+6）

—4%2—12x+9—2/+7x-6

=2x2-5x+3;

當(dāng)2x-3>%-2,即x〉l時(shí)，

（2x-3）*（x-2）=（x-2）2-（2x-3）（x-2）,

—-4x+4-（2x?—4x-3x+6）

=—4x+4—2、2+7x-6，

-—%2+3x—2，

令y=（2x-3）*（x-2）,

,12x2-5x+3（x<1）

則：y=[r2+3x_2（x>l）'

畫出函數(shù)圖象如圖：

咻

答案第7頁，共19頁

:關(guān)于X的方程（2尤-3）*（x-2）=加恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

.?.y=（2x-3）*（x-2）與直線歹=機(jī)有兩個(gè)交點(diǎn)

由圖象可知，當(dāng)"7=0時(shí)，滿足題意，

當(dāng)了=-爐+3x-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)在直線V=機(jī)上時(shí)，滿足題意，

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為[5，1>

當(dāng)〃?=：時(shí)，滿足題意，

綜上：當(dāng)機(jī)=0或機(jī)=：時(shí)，關(guān)于x的方程（2》-3）*卜-2）=〃?恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故答案為：o或;.

60*8

16.—/4—2

1313

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，正切，相似三角形的判定和性質(zhì)，不等式等知識(shí)的綜合運(yùn)

用，掌握矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理可得3。=15,AABE=AHAE,如圖，延長(zhǎng)4尸交CD

于點(diǎn)G,根據(jù)正切值的計(jì)算可得DG=4,根據(jù)48〃C。，可證4/3b尸，根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)即可求解；

4

（2）根據(jù)題意，設(shè)/￡=尤，則。/=依，根據(jù)（1）的計(jì)算方法可得，DG=-x,解得，

60-21k[60-27左>0

"，由久>0,解不等式組L八，即可求解.

4k14左>0

【詳解】解：（1）:四邊形是矩形，

:.NB4D=ZADC=90。,AB=CD=9,AD=BC=U,AB//CD,

BD7AB匕AD。=5/^+122=15，

在RtZk/BE中，4E=3,AB=9,

：.tanAABE^-^-^-,

AB93

如圖所示，延長(zhǎng)/F交CD于點(diǎn)G,

答案第8頁，共19頁

,/AFLBE，

：.AABE+/BAH=ZBAH+/HAE=90°，

：.NHAE=NABE,

tanZ.ABE=tan/HAE，

DGI

在Rta△4Z)G中，tan/DA.G—tan/LABE-=—,

AD3

DG=-AD=-xl2=4

33f

???AB//CD,

；?/BAG=ZAGD,且ZAFB=/GFD,

：.AABF^AGDF,

,且BF=BD—DF=\5—DF,

ABBF

.4_DF

**9-15-DF，

解得，DF-,

故答案為：YJ;

(2)根據(jù)題意，設(shè)/￡=x(x>0),則￡)尸=近，

由(1)可得，tanNBAE-=—,tan/DAG--,且tan^ABE=tan/DAG,

AB9AD12

.x_DG

??一=，

912

4

DG=—x,

3

V—,且。尸=卮，BF=BD-DF=15-kx,

ABBF

4

3^_kx,

915-fa:

Vx>0,

答案第9頁，共19頁

60—27左八

----------->0

4k

60—27左>0、/60—27左<0

4k>0或(4左<0(無解),

解得，0<k<—,

???左取最大整數(shù)，

：.k=2,

故答案為：2.

17.(1)|

(2)7

【分析】(1)直接根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可；

(2)由(1)的結(jié)論，設(shè)a=3k,b=2k,代入進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)I?：-2a=3b,

a_3

2

/、a3

(2)—

b2

設(shè)a=3k,b=2k,

.2a-b_6k—2k_4k_4

…a+2b~3k+4k~n~7

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.(1)/7=-4,c=3

(2)(2,-1)

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握這些知識(shí)是關(guān)

鍵.

(1)把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)式中，解二元一次方程組即可求解;

(2)由(1)得二次函數(shù)解析式，再化成頂點(diǎn)式，即可求出該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】(1)解：：二次函數(shù)〉=/+樂+°的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3),(3,0),

J16+46+c=3

19+36+c=0

答案第10頁，共19頁

即6=-4,c=3；

(2)解：由(1)得，二次函數(shù)解析式為y=/-4x+3,

配方得：y=(x-2)2-l,

???二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,T).

19.(1)(-5,-1)；(2)(-2,-6)

【分析】(1)連接各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的交點(diǎn)即為位似中心P,然后根據(jù)圖形直接寫出點(diǎn)P的對(duì)

應(yīng)坐標(biāo)；

(2)根據(jù)位似變換的知識(shí)，找出變換后各頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接各點(diǎn)即可，寫出點(diǎn)

B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B2的坐標(biāo).

【詳解】(1)點(diǎn)P位置如圖，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P(-5,-1)；

(2)如圖所示，B2的坐標(biāo)為：B2(-2,-6)；

I-----------r---1----1---------1-------1-*-------1----------r—1---------1-------r—t—r

???I???)>II??

,1___

【點(diǎn)睛】此題考查了位似變換的性質(zhì)，還考查了學(xué)生的動(dòng)手能力，題目比較簡(jiǎn)單，注意數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用.

20⑴見解析

—15

(2)6cm或萬cm

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等：

(1)根據(jù)等邊對(duì)等角得出48=/C,利用三角形外角的性質(zhì)和=推出

NCPM=NBAP,進(jìn)而證明ACPA/SA氏4尸，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；

(2)分NPMC=90。，NC7>A/=90。兩種情況，/PMC=90。時(shí)，BP=CP=-BC,由勾股定

2

理解RMNPB可得線段4尸的長(zhǎng)度；NC尸M=90。時(shí)，可證ANBPSADBN,由對(duì)應(yīng)線段成比例

答案第11頁，共19頁

可得/尸的長(zhǎng)度.

【詳解】（1）證明：??,==10cm,

/./B=/C,

又?：ZAPM+/CPM=ZAPC=/B+/BAP,NAPM=NB,

ZCPM=NBAP,

??.KPMs小BAP,

.CMPC

/.ABCM=BPPC；

(2)解：由題意知N5=NCw90。，

當(dāng)NHC=90。時(shí)，如圖，

/./APB=/PMC=90。,

??,AB=AC,

???點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，

BP=CP=^BC=gx16=8(cm),

在中，由勾股定理得：

AP=YIAB2-BP2=A/102-82=6(cm)；

當(dāng)NCRI/=90。時(shí)，如圖，作于點(diǎn)。，則4D=6cm,

A

/.ZBAP=ZCPM=90°,

vAB=AC,ADIBC,

答案第12頁，共19頁

8O=CQ=gBC=；xl6=8(cm),

???/BAP=ABDA=90°,ZABP=ZDBA,

「?小ABPsaBA,

.AP_AB

…五一麗’

DB82v7

綜上可知，線段4P的長(zhǎng)度為6cm或"cm.

2

21.(l)y=2x

⑵當(dāng)加=1時(shí)，PB最短,y=x2-2x-\-3

(3)二次函數(shù)的圖象不過點(diǎn)。(。,。-1)

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，一元二次方程根的判別式：

(1)利用待定系數(shù)法求解；

(2)先表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而用含加的式子表示出平移后拋物線的解析式，再用含機(jī)的

式子表示出線段9的長(zhǎng)度，即可求解；

(3)將。(凡。-1)代入二次函數(shù)解析式，利用一元二次方程根的判別式求解.

【詳解】(1)解：設(shè)線段CM所在直線的函數(shù)解析式為>=依，

將(2,4)代入,得4=2左，

解得上=2,

二線段CM所在直線的函數(shù)解析式為V=2x；

(2)解：：頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為加，且在線段04上移動(dòng)，

y=2m(0<m<2),

M(m,2m),

...拋物線的解析式為V=(x-m)2+2m,

.,.當(dāng)x=2時(shí)，y=(2—m)2+2m=m2—2m+4(0</M<2),

PB=/M2-2/M+4=(m-1)2+3(0<m<2),

，當(dāng)機(jī)=1時(shí)，PB最短，

答案第13頁，共19頁

當(dāng)尸B最短時(shí)，拋物線的解析式為夕=(尤-1)2+2=丁-2關(guān)+3

(3)解：假設(shè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)。伍,。-1),

則方程〃-1=a2-2a+3有解，

即方程/一34+4=0有解，

A=(-3)2-4xlx4=-7<0,

???方程/-3Q+4=0沒有實(shí)數(shù)根，

???假設(shè)不成立，二次函數(shù)的圖象不過點(diǎn)。(〃,〃-1).

22.(1)5Z>=20cm,AC=40cm

5、

⑵j=一正％+20

36

(3)1200cm2

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，求二次函數(shù)的解析式，平行線分線段成比例，正

確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

(1)設(shè)5。的長(zhǎng)為xcm,則NC的長(zhǎng)為(60-x)cm.列式gx(60r)=400,解出即可作答.

(2)先得出/O=15cm,OC=25cm,結(jié)合“過距離/,B,。三點(diǎn)分別為5cm,2cm,2cm的

E,F,G三點(diǎn)繪制拋物線”,得出E(0,20),F(-12。)，G(120),根據(jù)圖象性質(zhì)，設(shè)y=—+20,

再運(yùn)用待定系數(shù)法求解，即可作答.

(3)先由平行線分線段成比例，得出岸=洽，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，得出O8=30cm,

EH=50cm,即可作答.

【詳解】(1)解：設(shè)3。的長(zhǎng)為xcm,則NC的長(zhǎng)為(60-x)cm.

由題意，得gx(60-x)=400,

解得甌=20,%=40.

AC>BD,

BD=20cm,AC=40cm；

(2)解：VAO：OC=3：5fAC=40cmf

AO=15cm,OC=25cm,

.?.4(0,15),5(-10/)),7)(100).

答案第14頁，共19頁

:過距離4,B,。三點(diǎn)分別為5cm,2cm,2cm的￡,F,G三點(diǎn)繪制拋物線

/.E(0,20),尸(-12。)，G(120),

設(shè)所求拋物線表達(dá)式為y=ax2+20.

把廠(-12,0)代入y=ax2+20,得0=144a+20,

解得a=-三,

36

...拋物線的函數(shù)表達(dá)式是>=-盤/+20.

36

(3)解：?；FH〃BC,

.OBOC

9，~OF~~OHf

1025

即Rn一=——，

12OH

OH=30cm,

???AO\OC=3：5

EH=50cm,

所求長(zhǎng)方形面積為EHxFG=50x24=1200(cm2).

23.(l)y=-/+2x+3

⑵M(-l,9),N(l,l)

(3)當(dāng)m>0時(shí)，a<-2；當(dāng)加<0時(shí)，a>0

【分析】(1)把點(diǎn)(1,4)代入二次函數(shù)解析式中，求得加的值，即可求得二次函數(shù)表達(dá)式；

(2)由^二//-2mx+3可求得拋物線的對(duì)稱軸與頂點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)-14x42時(shí)，函數(shù)在x=-l

取得最大值，從而可求得加的值，進(jìn)而得到”的坐標(biāo)；在頂點(diǎn)取得最小值，即可求得其坐

標(biāo)；

(3)分"，>0,加〈0兩種情況討論，利用二次函數(shù)圖象的增減性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：把點(diǎn)(1,4)代入y=加--2加X+3中，得：m-2m+3=4,

解得：m=—1,

故二次函數(shù)表達(dá)式為y=-/+2x+3；

(2)解：'/y=mx2-2mx+3=m(x-l)2+3-m,

...拋物線的對(duì)稱軸為直線X=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3-小);

答案第15頁，共19頁

當(dāng)一時(shí)，

*.*m>0,

，當(dāng)-1<X<1時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增加，當(dāng)1<%(2時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大

而減小，

，圖象最低點(diǎn)N為拋物線的頂點(diǎn)，即在頂點(diǎn)取得最小值，最小值為3-功；

Vl-(-l)>2-l,

，函數(shù)在左端點(diǎn)的函數(shù)值大于函數(shù)在右端點(diǎn)的函數(shù)值，

，函數(shù)在尤=-1取得最大值；

當(dāng)％=—1時(shí),y-m+2m+3=3m+3,

由題意得：3冽+3=9,

貝！J冽=2,3-m=1

???M(-1,9),N(l,l)；

(3)解：拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l；

①當(dāng)冽>0時(shí)，拋物線開口向上，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而減小，當(dāng)x〉l時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；

,當(dāng)。+1(為<X2(。+3時(shí)，總有必〉力,

tz+3<1,

*,?a4—2；

②當(dāng)冽<0時(shí)，拋物線開口向下，

當(dāng)x<l時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而增大，當(dāng)x〉l時(shí)，函數(shù)值隨自變量的增大而減?。?/p>

,當(dāng)。+1(為<X2(。+3時(shí)，總有必〉力,

??Q+121,

<2>0;

綜上，當(dāng)加〉0時(shí)，a<-2；當(dāng)加<0時(shí)，a>0.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,

分類討論思想；掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.(1)^(-1