強化關鍵能力 突出思維品質

摘要：函數(shù)作為高中數(shù)學的核心內(nèi)容，是每年高考考查的必考內(nèi)容及重點內(nèi)容。針對近三次教育部組織的高考綜合改革適應性測試（2021年八省聯(lián)考、2023年四省聯(lián)考、2024年九省聯(lián)考）及近三年全國六套新高考試題中的函數(shù)與導數(shù)專題試題，課題組從考查內(nèi)容和命題特點等方面進行綜合分析，提出夯實兩個“基本”、深化三類問題、講透思想方法、加強關鍵能力、創(chuàng)新試題結構等教學建議。關鍵詞：高考綜合改革；適應性測試；函數(shù)與導數(shù)；命題特點；教學建議《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標準》）指出：“函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學語言和工具，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用。”［1］人教A版教材也進一步明確：“客觀世界中有各種各樣的運動變化現(xiàn)象都表現(xiàn)為變量間的對應關系，這些關系常?？捎煤瘮?shù)模型來描述。函數(shù)思想滲透到數(shù)學的各個領域，是進一步學習數(shù)學的重要基礎?！保?］“導數(shù)是微積分的核心內(nèi)容，蘊含著微積分的基本思想，導數(shù)定量地刻畫了函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)增減、最值等性質的基本工具，在實際問題中有著廣泛的應用?！保?］因此，函數(shù)與導數(shù)專題作為高中數(shù)學的核心內(nèi)容，一直是高考數(shù)學重點考查的內(nèi)容。縱觀近三年高考的六套新高考卷和近三次教育部組織的高考綜合改革適應性測試卷，對函數(shù)與導數(shù)專題的考查，在考查內(nèi)容和命題形式等方面有著怎樣的規(guī)律和創(chuàng)新點？這些規(guī)律和創(chuàng)新點對我們今后的教學有著怎樣的啟示和導向？針對這些問題，本研究做出如下探索分析。一、考查內(nèi)容分析函數(shù)與導數(shù)考查內(nèi)容統(tǒng)計表（如下頁表1所示）給出了近三年六套新高考卷和近三次教育部組織的高考綜合改革適應性測試中的函數(shù)與導數(shù)專題考查情況統(tǒng)計，根據(jù)統(tǒng)計分析得知，函數(shù)與導數(shù)試題呈現(xiàn)以下特點：（一）全面覆蓋題型，賦分比例較大2021—2023年全國新高考卷和2021年八省聯(lián)考中，函數(shù)與導數(shù)試題一直穩(wěn)定在5個試題（4小1大），題型覆蓋單選題、多選題、填空題、解答題，分值為32分；2023年四省聯(lián)考函數(shù)與導數(shù)試題也是5個題（3小2大），分值為39分；2024年九省聯(lián)考雖然試題總數(shù)量減少到19題，但函數(shù)試題依然占4個（3小1大），分值為30分。由此我們可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)與導數(shù)專題的考查有著題目數(shù)量多、題型覆蓋全、賦分比例大等特點，充分體現(xiàn)了函數(shù)與導數(shù)在高中數(shù)學知識中的核心地位。（二）深化必備知識，貫穿思想方法綜合表1我們可以看出，近三次高考綜合改革適應性測試和近三年新高考數(shù)學函數(shù)與導數(shù)試題緊扣《課程標準》和《中國高考評價體系》的要求，試題涉及的主要考查內(nèi)容可歸類為以下八個方面：①函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質之間的關系；②函數(shù)模型的應用；③導數(shù)的幾何意義，求曲線的切線方程；④利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值；⑤利用函數(shù)的單調(diào)性比較實數(shù)大小；⑥抽象函數(shù)的性質探究；⑦函數(shù)的零點討論；⑧函數(shù)與不等式綜合。在全面考查函數(shù)主干知識的同時，還加強了對數(shù)學思想的考查，試題涉及的數(shù)學思想主要有以下五種。①函數(shù)與方程思想：例如在解決函數(shù)零點以及函數(shù)圖象交點等問題時，需關注到函數(shù)與方程之間的互化，以尋求解決問題的突破口。②數(shù)形結合思想：函數(shù)圖象是函數(shù)性質的直觀反映，數(shù)形結合就是借助函數(shù)圖象研究函數(shù)性質進而解決有關函數(shù)的問題。③分類討論思想：在研究含函數(shù)的參數(shù)對函數(shù)性質的影響時，往往需要對參數(shù)進行分類討論。④轉化與化歸思想：如函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式之間的等價轉化，是研究函數(shù)綜合問題的重要思路。⑤特殊與一般思想：在抽象函數(shù)試題中，如果我們可以找到一個符合條件的具體函數(shù)，問題則變得直觀且容易作答；又如開放性試題中，根據(jù)一類函數(shù)滿足的共性條件舉例寫出一個具體函數(shù)，也用到了特殊與一般思想。事實上，在具體解決問題時以上數(shù)學思想常常交錯使用。（三）強化關鍵能力，突出思維品質表1中的函數(shù)與導數(shù)試題涉及的關鍵能力主要有邏輯推理能力、數(shù)學運算能力、直觀想象能力和數(shù)學建模能力。近三年新高考試題在函數(shù)與導數(shù)專題的命題難度合理、層次分明。通過設置多種創(chuàng)新情境，考查學生在情境中提取有用信息、明確問題、分析問題、構建函數(shù)、靈活運用多種工具解決問題的能力，進而考查學生的幾何直觀、數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)。如2023年全國新高考Ⅱ卷第11題，2023年四省聯(lián)考第11題、第22題，這些試題均通過創(chuàng)設創(chuàng)新試題情境和學科綜合情境，體現(xiàn)了較強的綜合性和應用性，實現(xiàn)了考查學生的邏輯推理和數(shù)學運算等關鍵能力的目標，突出了考查學生思維的嚴謹性、科學性和創(chuàng)新性的趨勢。二、命題特點分析《中國高考評價體系》中的“四翼”考查要求是高考中對素質教育進行評價的基本維度?？v觀六套全國新高考數(shù)學試卷與近三次教育部組織的高考綜合改革適應性測試卷，函數(shù)與導數(shù)的試題命制旨在落實基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性的考查要求，在試題的結構編排和問題的設計上體現(xiàn)鮮明的數(shù)學學科特點，很好地彰顯了數(shù)學的通用性、嚴謹性和應用性。此外，函數(shù)與導數(shù)試題的命制還特別加強了解題思路的多樣性和解題方法的靈活性，很好地反映和考查了考生的思維過程。下面通過一些典型試題進行分析說明。（一）突出基礎性要求基礎性體現(xiàn)學科內(nèi)容的基本性和通用性。函數(shù)與導數(shù)專題的基礎性要求就是突出對函數(shù)與導數(shù)的基本概念、性質、原理、方法的考查，高考試題的命題特點表現(xiàn)為要求考生深刻理解函數(shù)與導數(shù)的基本概念、基本原理，整體把握函數(shù)與導數(shù)的研究內(nèi)容、研究方法，對教材的知識能舉一反三、融會貫通。因此，在適應性測試中我們可以看到，函數(shù)與導數(shù)試題引導學生重視基礎，將所學的基礎知識和基本方法內(nèi)化為關鍵能力和核心素養(yǎng)，為今后繼續(xù)學習微積分等高等數(shù)學知識內(nèi)容提供能力鋪墊和基礎支撐。例1（2024年九省聯(lián)考第9題）已知函數(shù)f（x）=[sin（2x+34π）]+[cos（2x+34π）]，則（）A.函數(shù)[fx-π4]為偶函數(shù)B.曲線y=f（x）的對稱軸為x=[kπ]，k[∈]ZC.f（x）在區(qū)間[π3，π2]單調(diào)遞增D.f（x）的最小值為-2評析：本題通過正弦型函數(shù)與余弦型函數(shù)做加法運算構成所要研究的函數(shù)，學生需通過輔助角公式對函數(shù)進行等價轉換，化歸為單一的正弦型函數(shù)（余弦型函數(shù)），進而借助函數(shù)y=Asin（[ωx+φ]）的圖象與性質進行運算求解。本題以三角函數(shù)為載體，考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性和最值。考查學生運用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質的能力，解題入口對考生來說自然、熟悉，試題注重基礎知識和通性通法的考查，考生比較容易完成解答。例2（2021年八省聯(lián)考第9題）已知函數(shù)f（x）=[xln1+x]，則（）A.f（x）在（0，+[∞]）單調(diào)遞增B.f（x）有兩個零點C.曲線y=f（x）在點[12，f12]處切線斜率為-1-ln2D.f（x）是偶函數(shù)評析：本題通過一次函數(shù)與對數(shù)型函數(shù)做乘法運算構成所要研究的函數(shù)，學生首先要利用導數(shù)工具求解其單調(diào)性、切線斜率以及零點問題，其次需判斷該函數(shù)的奇偶性。主要考查導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的零點問題、奇偶性的定義及判斷方法等基礎知識和基本方法，對教學起到了良好的導向作用。例3（2024年九省聯(lián)考第15題）已知函數(shù)f（x）=lnx+x2+ax+2在點［2，f（x）］處的切線與直線2x+3y=0垂直。（1）求a；（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值。評析：此題緊扣《課程標準》，通過基本初等函數(shù)的四則運算構建所要研究的函數(shù)，第（1）問要求學生求解參數(shù)的值，重點考查學生對導數(shù)幾何意義的理解以及對兩直線垂直的充要條件的掌握。第（2）問利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，較為常規(guī)。該題考查導數(shù)及其應用，體現(xiàn)了導數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題、極值問題的一般思路和基本方法，難度適中，有利于考生得分，很好地保持了試卷的整體平穩(wěn)性。（二）彰顯綜合性要求綜合性是高考函數(shù)與導數(shù)專題的重要考查要求，要求考生在面對錯綜復雜的問題場景時，能夠梳理函數(shù)與導數(shù)相關的各種知識和原理，綜合運用“四基”、實現(xiàn)“四能”。綜合性要求體現(xiàn)在對考生綜合素質的考查，是高考從知識立意、能力立意到素養(yǎng)立意的轉變［4］。函數(shù)與導數(shù)試題的綜合性考查一方面是考查函數(shù)與導數(shù)內(nèi)容跟其他各個主題內(nèi)容（如方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等）的知識交匯和相互綜合，另一方面是試題情境涉及數(shù)學學科與其他學科情境的綜合。除2024年九省聯(lián)考外，在其余八套試卷中，函數(shù)與導數(shù)均作為壓軸題出現(xiàn)。因此在高考命題中，函數(shù)與導數(shù)綜合問題常常是全面考查學生關鍵能力和數(shù)學思維品質的有效載體，能較好地檢驗學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，實現(xiàn)新高考試題的區(qū)分和選拔功能。例4（2023年新高考Ⅱ卷第11題）若函數(shù)f（x）=alnx+[bx+cx2]（a[≠]0）既有極大值也有極小值，則（）A.bc＞0B.ab＞0C.b2+8ac＞0

D.ac＜0評析：本題要求考生能準確理解極大值與極小值的概念及其存在的條件，進而將函數(shù)的極值問題等價轉換為導函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個變號零點，即方程ax2-bx-2c=0有兩個不相等的正實根。本題滲透了轉化與化歸思想、函數(shù)與方程思想，內(nèi)容豐富、層次分明，具有較高的區(qū)分度。此外，本題較好地引導中學數(shù)學教學，要求學生從理解概念入手，不斷提升學生的分析能力、轉化能力、邏輯推理能力和運算求解能力。例5（2023年新高考Ⅱ卷第22題）（1）證明：當0＜x＜1時，x-x2＜sinx＜x；（2）已知函數(shù)f（x）=cosax-ln（1-x2），若x是f（x）的極大值點，求a的取值范圍。評析：本題考查構造函數(shù)證明不等式問題、復合函數(shù)的求導法則，以及導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值之間的關系等。第（1）問利用函數(shù)與導數(shù)證明不等式，因不含參數(shù)，試題難度不大，學生較容易完成，同時為第（2）問的放縮提供了方向和鋪墊；第（2）問要求學生能根據(jù)題設條件發(fā)現(xiàn)偶函數(shù)的性質，通過極值的性質對問題進行轉化，此問的設計能夠讓不同學生的理性思維深度、知識掌握程度、運算求解熟練程度都能得到充分展示，對學生的分析能力、轉化能力以及思維的靈活性提出了較高要求，體現(xiàn)了高考試題的選拔功能［5］。（三）體現(xiàn)創(chuàng)新性要求創(chuàng)新是素質教育的關鍵特征之一。創(chuàng)新性考查的核心在于對數(shù)學創(chuàng)新思維能力的考查，命題創(chuàng)新是完成創(chuàng)新性考查要求的必然途徑和具體體現(xiàn)，高考試題在函數(shù)與導數(shù)的試題設計上通過復雜情境、綜合情境和創(chuàng)新試題結構等手段引導考生勇于面對新問題和復雜問題，通過對知識、思想方法的遷移和組合等靈活運用，從而有效解決問題。高考試題從創(chuàng)設新穎的試題情境、新穎的題目條件、新穎的設問方式等三個方面來設計數(shù)學創(chuàng)新試題，借此考查考生思維的靈活性與創(chuàng)造性。1.創(chuàng)新試題情境例6（2023年新高考Ⅰ卷第10題）題略。評析：本題以現(xiàn)實生活中的噪聲污染問題為創(chuàng)新情境，考查對數(shù)函數(shù)的運算性質。2.創(chuàng)新設問方式例7（2021年八省聯(lián)考第15題）寫出一個最小正周期為2的奇函數(shù)f（x）=

。例8（2021年新高考Ⅱ卷第14題）寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)f（x）：

。①f（x1·x2）=f（x1）f（x2）；②當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0；③f′（x）是奇函數(shù)。評析：此類問題是開放性問題，正確答案不唯一，學生只要熟悉基本初等函數(shù)模型，根據(jù)題設條件分析函數(shù)性質即可作答，考查考生思維的靈活性與創(chuàng)造性。近年來開放性試題難度不大，但是對新高考命題的趨勢有積極的導向意義，也為數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查提供了新方式。筆者推斷有可能是教育部考試中心根據(jù)實際調(diào)研結果做出的一種新探索，填空題中設置開放性試題很大可能是借鑒解答題中結構不良試題的一種做法。3.創(chuàng)新題目條件例9（2024年九省聯(lián)考第11題）已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且[f12][≠]0，若f（x+y）+f（xy）=4xy，則（）A.[f-12=0]

B.[f12=-2]C.函數(shù)[fx-12]是偶函數(shù)D.函數(shù)[fx+12]是減函數(shù)評析：在創(chuàng)新題目條件中，抽象函數(shù)是近些年高考的熱點，抽象函數(shù)的題目往往敘述簡潔精悍，設計新穎靈活，選項設置符合題目內(nèi)在邏輯，能多角度考查學生對函數(shù)基本概念、基本性質、基本思想方法的理解。學生既可以通過函數(shù)相關的必備知識進行邏輯推理和運算求解來完成，也可以通過尋找一個具體函數(shù)，將一般轉換為特殊，將抽象的函數(shù)具體化等靈活多樣的方式來求解。因此本題能夠較全面地考查學生思維的靈活性以及多樣性。筆者發(fā)現(xiàn)，在近三年的新高考卷及2023年、2024年適應性測試卷中均對抽象函數(shù)的性質進行了考查，并且均把抽象函數(shù)試題放在單選題靠后位置或多選題中，試題中等偏難，側重考查學生的創(chuàng)新性思維和能力，試題對選拔創(chuàng)新人才起到重要作用。三、復習備考建議在“雙減”背景下，減輕學生的學業(yè)負擔，提高數(shù)學教學的效益和質量，真正落實“四基”“四能”，培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，是一線教師亟需解決的問題。以下將從五個方面給出教學建議。（一）夯實兩個“基本”函數(shù)的基本類型與基本性質是體現(xiàn)函數(shù)與導數(shù)專題“四翼”考查要求的最重要內(nèi)容。1.基本類型：冪函數(shù)（尤其是一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)、反比例函數(shù)）、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)是高中數(shù)學教材中重點研究的四大基本初等函數(shù)類型。人教A版必修一P92《探究與發(fā)現(xiàn)》中說道：“不同的函數(shù)通過加、減、乘、除等運算可以構成新的函數(shù)，那么，將這兩個函數(shù)相加構成的函數(shù)有哪些性質？這些性質與這兩個函數(shù)的性質有聯(lián)系嗎？”通過對高考數(shù)學試題和適應性測試題分析不難發(fā)現(xiàn)，試題中雖然涉及多種類型的初等函數(shù)，但都可以歸結為以初等函數(shù)經(jīng)過四則運算和復合運算等適當組合后的推陳出新。為此，筆者認為教師在教學過程中要指導學生熟練掌握基本初等函數(shù)類型。2.基本性質：單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性、凸凹性、漸近性、極值、最值、零點、拐點等性質是高考命題的主要內(nèi)容。筆者認為，在這些基本性質教學中，教師一定要讓學生認識到四個問題：是什么？為什么？怎么判？有何用？［6］（二）深化三類問題函數(shù)與導數(shù)的綜合問題常常圍繞“函數(shù)的極值最值問題、函數(shù)的零點（方程的根）問題、函數(shù)與不等式問題”這三類展開。因此筆者認為，首先教師在教學中要以解決問題為抓手，把握問題的實質和數(shù)學的本質。其次教師在復習教學中要幫助學生始終厘清以下幾個問題：這個問題的本質是什么？這個題目是怎樣命制出來的？題目的“根”生長在教材的什么地方？能否進一步推廣、變式？（三）講透思想方法數(shù)學思想方法是從更高層次的維度對數(shù)學知識進行抽象、概括和凝練的結果，它蘊含在知識發(fā)生發(fā)展和應用的過程中，既是基礎知識和基本技能的理論濃縮，又是學生思維品質的良好體現(xiàn)。因此在函數(shù)與導數(shù)的教學中，教師要把“函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想、轉化與化歸思想、特殊與一般思想”貫穿教學的始終，引導和幫助學生將其內(nèi)化于思維品質，外化于解題習慣。（四）加強關鍵能力在函數(shù)與導數(shù)高考試題中，主要考查學生的閱讀理解、信息整理、抽象概括、直觀想象、邏輯推理、運算求解、符號表達等能力。因此，在復習教學中，教師要引導學生在掌握必備知識的基礎上，對知識進行遷移和發(fā)展，比如借助試題變式、結論推廣、條件結論互換等方式培養(yǎng)學生能夠在新的情境中解決問題的能力。又如，在遇到一個新的函數(shù)時，教師可以引導學生充分體會、想象這個函數(shù)的模樣，從形和數(shù)兩個維度啟發(fā)引導學生思考，讓