平面向量中的范圍與最值問題（高階拓展、競賽適用）（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第06講平面向量中的范圍與最值問題

（高階拓展、競賽適用）

（2類核心考點(diǎn)精講精練）

I他.考情探究?

平面向量中的范圍與最值范圍問題是向量問題中的命題熱點(diǎn)和重難點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了高考在知識

點(diǎn)交匯處命題的思想，常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活。

基本題型是根據(jù)已知條件求某個變量的范圍、最值，"比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍

的等，在復(fù)習(xí)過程中要注重對基本方法的訓(xùn)練，把握好類型題的一般解法。由于數(shù)量積和系數(shù)的范圍在前

兩節(jié)已學(xué)習(xí)，本講主要圍繞向量的模和夾角的范圍與最值展開學(xué)習(xí)。

本講內(nèi)容難度較大，需要綜合學(xué)習(xí)。

知識點(diǎn)1模長的范圍及最值

,核心知識點(diǎn)［知識點(diǎn)2夾角的范圍及最值

考點(diǎn)1模長的范圍及最值問題

核心考點(diǎn)考點(diǎn)2夾角的范圍及最值問題

知識講解

1.模長的范圍及最值

與向量的模有關(guān)的問題，一般都會用到a2=|?|2,結(jié)合平面向量及最值范圍等基本知識可求解。

2.夾角的范圍及最值

類別幾何表示坐標(biāo)表示

模\a\=y[a^a

abxix2+yiy2

夾角cos0=--cos0—,=-/

同網(wǎng)J%?+式,Jxl~\~yi

結(jié)合平面向量的模長、夾角公式及最值范圍等基本知識可求解。

考點(diǎn)一、模長的范圍及最值問題

典例引領(lǐng)

1.（浙江?高考真題）已知行，B是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量己滿足0-I＞（B-3）=O,則同

的最大值是

Ly[2

A.1B.2C.D._

、2

2.（湖南?高考真題）已知￡范是單位向量，7B=o.若向量）滿足卜-&-可=1,則同的取值范圍是（）

A.[V2-1?V2+1]B.[V2-l?V2+2]

C.[1?V2+1]D.[l?V2+2]

3.（四川?高考真題）已知正三角形NBC的邊長為26，平面/BC內(nèi)的動點(diǎn)尸,M滿足|萬|=1,PM^MC，

43D49037+6月r37+2"

-----D.—C.----------------D.------------------

4444

即時檢測

L（2024?全國?模擬預(yù)測）已知泊為單位向量，且8-5司=7,貝||2”引+歸-2目的最小值為（）

A.2B.2gC.4D.6

2.Q3-24高二上?四川?階段練習(xí)）己知平面向量力3滿足同=軀=2方=1,2\c^=b-c,則|3-同氣曲-可2

的最小值是.

3.（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知向量國B為單位向量，且7%=-；,向量日與1+33共線，則仃+口

的最小值為.

4.（2024?上海長寧二模）已知平面向量￡,科工滿足：同=問=麗,F|=2,若僅一可?僅詢=0,則*可的

最小值為.

5.（23-24高三上?重慶沙坪壩,階段練習(xí)）已知同=百，同=1,a-b=O>|c+a|+|c-a|=4,

d12-34b-d+3=0>則諱-@的最大值為（）

A2721..「4V21,。31

A.-----F1bR.4C.-----FZU.—

333

_-1-jr

6.（21-22fWj—^下?浙江?階段練習(xí)）已知|磯=|6]=|3|=1,ci,b=—,（a,c）+（b9c）=—.若私〃wR,則

I機(jī)萬一〃BI+1加|+1〃3—萬|的最小值為（）

A.0B.—C.1D.V3

2

考點(diǎn)二、夾角的范圍及最值問題

典例引領(lǐng)

1.（2024?廣東江門?二模）設(shè)向量刀=（1,尤）,彷=（2,x）,則cos〈H5,巫〉的最小值為.

2.（2022?上海奉賢,一模）設(shè)平面上的向量aB,只歹滿足關(guān)系）=/-只在=底-或"吐2）,又設(shè)。與B的模均

為1且互相垂直，則無與歹的夾角取值范圍為.

3.（22-23高三上?江西?階段練習(xí)）已知平面向量￡=萬5,b=OB，c=OC,滿足4花?衣，

4OS-CS=l-|dc|2,則向量14g與工-25所成夾角的最大值是（）

71712兀5兀

A.-B.-C.—D.——

6336

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知非零向量Z與3的夾角為銳角，）為B在"方向上的投影向量，且EH句=2,

則3+"與3的夾角的最大值是.

2.（21-22高三上?浙江溫州,期末）已知平面向量2,1滿足卜|=卜+5=1,a-b=-^,向量萬滿足

p=（2-A）a+Ab,當(dāng)方與7-2的夾角余弦值取得最小值時，實(shí)數(shù)2的值為.

3.（2021?浙江寧波?模擬預(yù)測）已知Z花是空間單位向量，a-b=Q，若空間向量工滿足：

c-a=l,c-fe=2,|c|=Vi0,則歸+5+[=,對于任意x/eR,向量工與向量/+胃所成角的最小值

為

『I好題沖關(guān)

能力提

一、單選題

1.（2023?江西九江?一模）已知蔡、［為單位向量，則向量碗+2）與［夾角的最大值為（）

2.（2023?北京?模擬預(yù)測）平面向量入B滿足口=3利，且歸-4=4,則［與1/夾角的正弦值的最大值為

（）

12

A.—B.-C-D

432吐3

1-*—*|1—?11-?i4

3.（2023?安徽安慶?二模）已知非零向量a,6的夾角為凡a+6=2,,且卜6卜5,則夾角。的最小值為

()

兀一71兀71

A.—B.—C.-D.

6432

4.2024?安徽六安?模擬預(yù)測）已知平面向量2,b，2滿足同=1,可=百，a-b=~,^a-c,b-c）=30°,

則同的最大值等于（）

A.2A/7B.V7c.2GD.373

-TT_

5.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知心B為非零向量，且|叫=出|=?—>0）,(a,b)=—,若|2+彷］的最小值為

6，則/+產(chǎn)的值為（).

917

A.-B.-C.4D.

24T

6.（2021?全國?模擬預(yù)測）已知向量Z，B滿足。+4=3,2%=0,若c—4a+(1—A)Z>(AGR),c,ci=c,b,

則4的最大值為（）

13

A.3B.2C.-D.

2

7.Q021,浙江?模擬預(yù)測）已知非零平面向量b，1滿足問=2邛-：=1,若￡與書的夾角為:，則。-工

的最小值為（）

V3

A.V3-1B.V3C.V3+1D.

~2

8.（2021?全國?模擬預(yù)測）設(shè)而勺，向=6,且「工。若向量［滿足：二/二21辦，貝IJ國的最大值是

（）

A.5B.6C.7D.8

二、填空題

9.（2023?安徽宣城,二模）已知向量滿足詞=2同=2,對任意的2>0,*回的最小值為⑸則￡與石

的夾角為.

10.（2023?河北,模擬預(yù)測）已知平面向量，石滿足卜-,=1且,當(dāng)向量與向量33-彼的夾角最大

時，向量B的模為.

11.（2023?上海閔行?二模）已知單位向量若對任意實(shí)數(shù)x,同一可之日恒成立，則向量①B的夾角

的最小值為.

12.2024?河北滄州?模擬預(yù)測汨知單位向量心向量加與日不共線，且卜-現(xiàn)=系，則同的最大值為.

13.（2023?上海楊浦?二模）已知非零平面向量3、八己滿足同=5,2同=同，且0-葉色-7）=0,則網(wǎng)

的最小值是

14.（22-23高一下,福建福州，期中）已知平面向量Z，b，且滿足3石=|何=舊|=2,若"為平面單位向量，

則,@+鼠。|的最大值______

15.（2023?貴州銅仁?模擬預(yù)測）已知向量心b,己滿足@+5+?=6，（a-b）\a-c）=0,\b-c\=3,貝”

同+回+同的最大值是.

16.（2024?全國,模擬預(yù)測）已知非零且不垂直的平面向量入B滿足同+|同=6,若3在B方向上的投影與B

在］方向上的投影之和等于,行丫，則。，日夾角的余弦值的最小值為.

17.（21-22高三上?浙江嘉興?期末）已知非零平面向量萬，b，3滿足同=4,且伍=若

TTTT

汗與B的夾角為。，且,則0的模取值范圍是.

18.（23-24高三上,天津?qū)幒?期末）在平行四邊形A8CD中，ZABC=60。,￡是CD的中點(diǎn)，AF=2FE<

若設(shè)互3=2,數(shù)=幾則而可用Z,B表示為________；若△">￡的面積為心,則麻|的最小值

211

為.

19.（2020?浙江溫州?三模）已知向量￡,辦滿足g=3,舊|=1,若存在不同的實(shí)數(shù)4,4（44*0），使得

錄=痛+3痛,且6-￡）.運(yùn)-司=0（/=1,2）,則鏟可的取值范圍是

20.（2021?浙江金華?模擬預(yù)測）已知平面向量Z,而滿