2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：解析幾何?？紗栴}之面積問題

第4講面積問題

典型例題

22

【例1】已知橢圓。:=+2=1（。＞匕＞0）的左、右焦點分別為K,短軸長為2百，點A3在橢圓

ab

。上，且陽+甌=OqAB耳的周長為8.

⑴求橢圓。的標準方程；

（2）過橢圓C上的動點M作。的切線/，過原點。作。P人/于點P,求&OMP的面積的最大值.

【答案】⑴]+4=1；（2）i.

434

【解析】（1）由南+正=0可知AB,冗三點共線，且AB±x

由AABFt的周長為8得4a=8,所以a=2,且b=^3

所以橢圓C的標準方程為—+^=1.

43

（2）顯然直線I的斜率存在且不為O,設(shè)直線I的方程為y=kx+m.

（y=kx+m,

[3x2+4y2=12,

得（3+4左2）彳2+8hnx+4〃/—12=0,

且A=64*2m2-4（3+4A:2）（4m2-12）=0,

所以nr=4^2+3,

8km4k

所以Xm

~2（3+4/）m

1

y=--x^7日km

kwxp

y=kx+m,FTP

所以1。任卜占段=科，

|史有一竺+「=衍卜。必+?2=\k\

mk||m|-VV+l

所以L當且僅當k=+l時取得等

4

號，所以AOMP的面積的最大值為

【例2】已知歹是拋物線C:丁=4x的焦點，直線2與拋物線C相切于點P(%,%)(%>。>連結(jié)PF

交拋物線于另一點A,過點P作/的垂線交拋物線。于另一點3.

⑴若為=1,求直線/的方程;

(2)求△K4B面積的最小值.

【答案】⑴y=2x+g;(2)16.

【解析】⑴方法1:由%=1得點尸1,1：設(shè)直線I的方程為心-1)=彳-；.

12

t(y-l)=x——,=>y-4ty+4^-1=0

<4

J?=4x

因為直線/與拋物線相切，

所以A=16r-4(4t-l)=0^>t=~,

2

所以直線/的方程為y=2x+-.

2

方法2由%=1得點所以/的方程為y0y=2(x+x0),即y=2^x+^.

(2)方法1設(shè)切線/的方程為f(y-y0)=x-x。，點A(^-,y),B(^-,yX由ARP三點共線知,

02/18

2L_IZ

LIAA

FAUFP^A—=M0M%=_4,所以點A—,一一

%_]>0I%%

T-

內(nèi)7。)=「的+

[y=4羽

因為直線l與拋物線相切，所以2%=4，n%=2，，

所以直線PB的方程為y-y0=-^x-x0),

即%x+2y-2y0--^-=0,

所以點A到直線PB的距離為d=

(I

?；+44|%|、%+4

3

%尤+2i%-+0,得二+8，_(8%+姍=0,

y2=4羽

8

%+%=，

%

得

思路一弦長公式

所以|尸51=J1+；,=J+；?,(%+為丫-4%%=J1+：，+2%

，苑上=[%+"]..!.(24)3=16,當且僅當y0=—即％=2時取得等號，此時NPAB面積的

41%)41y0J2%

最小值為16.

思路二點差法加弦長公式

因為所以為"為一：

故|P8|=J1+=124%+4

%

方法2光學(xué)性質(zhì)

由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知，PB是過點P的法線，于是過點P作PD//X軸，并取\PD\=\PA\,則

切線/：%y=2（x+軍]，所以左=二.所以1^=_迎.因為

APAB=APDB.為此設(shè)點

I4）I4J.Vo2

k4=y。

~PB

y0+yB2，

所以…日

由焦點弦公式得|卓|=區(qū)+二+2=（匹+2

4y（2yj

APDB的IWJ/z=%—1-%—9]=21%H1.所以S=fy0+--f—+—..16,當且僅當=—即

Iy0JIy0Jl%八2y0Jy0

%=2時取得等號，此時NPAB面積的最小值為16.

注拋物線中運用點差法，既可構(gòu)造兩點連線的斜率，也可運用兩點的斜率求點的坐標，如方法1中求

點B的縱坐標.對于拋物線的光學(xué)性質(zhì)，還有如下定理

定理拋物線的焦半徑PF與過點P且平行于x軸的直線的夾角被拋物線在點P處法線平分.

如圖，拋物線C的方程為y2=4cx,直線I是過拋物線上一點尸伉,為）的切線，交x軸于點D,

ADPF=a,APDF=y,反射線PQ與I所成角記為/3.求證a=￡.

證明如圖，拋物線C的方程為y=4cx,點尸（%,%）在該拋物線上，則過點P的切線為

="（兄+/），切線/與x軸

04/18

交于點￡>(-xo,O),焦點為尸(C,0),￡=7(同位角)，因為|尸尸|=也;3］商=歸。+小。巴=K+d，所

以|尸尸|=|。/|,

所以a=yoa=0.

［例3］已知拋物線。:％2=20；5>0),尸是其焦點,A是拋物線。上異于原點的點，過點A作拋物

線C的切線與C的準線I相交于點P，點B滿足BPAl,AB//l.

⑴求證:用//轉(zhuǎn)；

⑵設(shè)直線與拋物線C相交于M,N兩點，求AAAW面積的取值范圍.

【解析】⑴設(shè)點g。,%),則點A處的切線方程為y-y0=^x-x0).令j=-j,則

2

2P

xo一7一%夕

r=----------

=3%一0故點《二％-』'"'從而2^方二會所以2"切線所以FB//AP'

222

(2)由⑴可知直線MN的方程為y=^x+P,代入拋物線方程x=2py,得x-2xox-p=0.設(shè)

P2

點MG，%),.%,%),則其一引=2"君+/.因為AP//MN,所以S^MN=S^PMN=^\PB\

3

-|入2_%|二口%+-：2,片+〃2=(%+p2［61%+?2.

因為Y)>0,所以SAAMN>§*

22_

【例4】如圖，已知橢圓方=1經(jīng)過點(2,0)和(0刃,過原點的一條直線/交橢圓C于A1

兩點(點A在第一象限)，橢圓C上點。滿足AT>AAB,連結(jié)8。，分別與x軸、y軸交于點

的重心在直線％的左側(cè).

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵記AAOWAOMN面積分別為*邑,求S]-s2的取值范圍.

【解析】⑴由橢圓過點（2,0）和（0,物可知，a=2,b=屈.

22

故橢圓方程為三+匕=1.

42

（2）由于點A和點B的縱坐標互為相反數(shù)，所以兩點到X軸距離相等，所以SMOM=S^OM，

則S]-S?=—SAOMN=S4goN?

設(shè)點A>0,%>0),則點B(-x0,

-%).設(shè)點D(x2J,

則有AABD的重心的橫坐標為=,<U,貝|JV<12.

332117

由必+y。

芭+x0\一飛2

而kAB-kAD=~1>則

2二3

令x=o,得y=~，得點

06/18

(2%；+-+—8%；=0,

由%*可得寸化簡后可得

（^）-1）（7x；-32x0+52）<0,貝I0<x0<1.

「

所以SS[=S^0M-S"=SMON=；%%J<（，

所以s「邑的取值范圍為卜，,）

2

【例5】已知橢圓。1：三+爐=1,拋物線。2：/=2px（p>0）,點A（-l,0）,斜率為左的直線4交拋物線

__?1—.1

G于民c兩點，且AC=5C5,經(jīng)過點C的斜率為-5左的直線4與橢圓相交于p,Q兩點.

⑴若拋物線的準線經(jīng)過點A,求拋物線的標準方程和焦點坐標；

（2）是否存在p，使得四邊形APBQ的面積取得最大值?若存在，請求出這個最大值及p的值;若不

存在,請說明理由.

【答案】⑴鏟=4蒼（1,0）;（2）Ss=2&;p=，.

【解析】（1）拋物線的準線方程為${x=-\frac{p}{2}}$,焦點坐

標為（多。）,則—=—1=>p=2,

所以拋物線的標準方程為V=4x,焦點（1,0）.

⑵設(shè)點5（%，%）,。（％2，%）,。（冗3，%），。（%1，%）?

__.i__,3

由AC=^CB得點A(-l,0)在直線4上，且為=3%,且四邊形的面積S=3S^Q=-\PQ\d.

設(shè):y=k(x+1).

y=k(x+l),22Pcn

yfx,?T+2P=。，

則A=/—8〃>0#2<￡

k2

_u2P0

乂+%=7，%%=2。

因為％=3%,所以％=￥，%=《?M%=2pn3=2p,所以p=^k2.此時點C親T號，此

Z/C/CJ

,即）即直線1過定點（）

時直線l：y--=-—?x+1-yu-.0-3,23,0.

22k21

為此設(shè)直線l2:x=ty+3.

x=ty+3,

12t16

‘上+f貝必=16（/一4）＞0,

I2

4

IPQ\=Jl+%2?1%-%|=J1+5，點A到I,的距離d=-=^

1+2產(chǎn)-7177

四邊形的面積S=24巖=12死

J2f2一8

”12萬,箕±=2也當且僅當t2=~,P=—時四邊形取得最小面積2應(yīng)

6A/2^8251

【例6】如圖，過點—1,0）和點石（4,0）的兩條平行線4和4分別交拋物線丁=4%于48和。,。（其

中點AC在x軸的上方）,40交x軸于點G.

⑴求證:點C,D的縱坐標的乘積為定值;（2）分別記AABG和ACDG的面積為每和S2,當縣=工時,

S?4

求直線AO的方程.

08/18

【答案】⑴見【解析】；（2）2x+y-4=0.

【解析】解法1：（1）證明設(shè)直線CD的方程為x=ty+4,點。（%3,%）,。（%4，，4）?

］；二：「戶吁16=。,則-16,即點C,D的縱坐標乘積為定值T6

（2）設(shè)直線AB的方程為x="+l,點A（Xj,%）,3（%2，%）?

y2=4羽

=>y2—4ty—4=0,貝1J%%=-4

x-ty+\,

設(shè)點G(根,0).當t=0時，易得點A(1,2),B(1,-2),C(4,4),￡?(4,Y),G(2,0),

滿足

此時S]=1x4x(2-l)=2,S2=1x8x(4-2)=8,A=1

S24

此時--=-2,直線AD的方程為y-2=-2(x-l),即2x+y-4=0.

1—4

解法2：(1)設(shè)直線CD的方程是x=my+4.

(x=my+4,

s=>y9_16=0,貝!Jyy=-16為定值.

[y9=4x,cD

設(shè)直線AB的方程為x=（y+l,點A（%i，%）,5（々，%）

卜-x,方_協(xié)_4=0,

1%=9+1,

4

則yty2=--

同理，記點C(x3,y3),D(x4,y4),

所以x,x4=16,y3y4=-16.

⑸1=l-G|(x-%)=I，G|(H-力)=%(-—%)=才一乂%=寸+4=￡

S?\EG\]y3-y4\|DG|-|y3-y4|一”|%一為「Wf”賢+164

所以尺=4寸.

4

因為y=-2%，而=k=^>—-—

4CD%+%.

所以％+%=%+%.

4164c8

所以X---=y4----ny----=_2%+—，

%"％yi

所以公=4,所以乂=2,乂=-4,

所以AD:2x+y=4.

解法3：⑵由（1）知此時直線AB的方程是x=my+l.

x=my+1,

=y2_4nly—4=0.

y2=4x,

%+%=4〃z,Yc+%=4〃z,

結(jié)合(1)知

%%=-4，%力=T6,

所以1AB|=Vl+m2?=71+m2-+為『=4/+4,

2

ICD\=y/l+m-\yc-yD|=J1+M.+如『-4_ycjD=4，1+*?J'4+M.

而S,JAj?|-|AG|\AB\yA\

S2~\DC\-\DG\~\DC\-yD~4

代人并化簡得

221

my/m+4（m+y/l+m=0

4+m2

解得m=O.故點A(L2),D(4,T),即直線AD的方程是y=-2尤+4.

［例7］已知拋物線-=4y,點A在拋物線上且在第一象限似A為切點作拋物線的切線/，交x軸

于點3,過點3作垂直于/的直線總交拋物線于C,。兩點,其中點。在第一象限，設(shè)〃與y軸交于點

K.

⑴若點A的橫坐標為2,求切線/的方程;

I

⑵連結(jié)OCQD,AK,AC,記AOKDQOKCQAKC的面積分別為岳,S2,S3,求反。?工-1的最小值.

§2

10/18

(1)【解析】因為V=4y,所以y=1.

若點A的橫坐標為2,則點A(2,l),且切線斜率k=y'\x=2=\,所以切線/的方程為x-y-l=0.

2x1八

,22x-----Fy—1=0：

方法1設(shè)點AX吟貝！]l'：^+y-l=0.1x02

(2)'得x0x+8x-4x0=0.

,28

設(shè)點c當號,則玉+工2=--------,石%2=一4.顯然%<0,%2>0，

4一X。

(再+%2)2-2玉光2162

nils.s.占I%2

x2再x^x2

因為色>1,則昱=1+2+4+4

T-

邑S]x-,X：=1+

易知/尸，則%;+4

4

4=而贏_2+,2+4..8,當且僅當x°=26取得等號，所以篌E-1］的最小值為

亞+4-2a+4-2Szp)

8.

生+y_l=0

方法2由方法1知，(%'

X2=4y,

2

得xQx+8X-4X0=0,

所以%_4+2d，+x；_也+X：+2

S2%—4+2小4+xj+XQ—2

+4..8

當且僅當X0=2A/3取得等號,

所以的最小值為8.

［例8］已知點P（O,1）,直線y=x+?f<0）與拋物線丁=2x交于A1兩個不同的點，直線PA,P3與

拋物線相交的另一點分別為C,。,連結(jié)。，點P關(guān)于直線8的對稱點為Q,連結(jié)AQ,BQ.

⑴求證:AB//CD;

⑵若AAQB的面積￡.1-"求實數(shù)/的取值范圍.

【答案】（1）見【解析】；（2）%,—g.

設(shè)點.萬丁1；，*1］］>；,乂］,cQ1y；,%］，。［1y：，乂

【解析】解法1:⑴

222

…22

所以kCD=------?AB=------=1，

%+%X+%

所以M+%=2.

又由P,C,A三點共線得一--=—一2%=(%-1)(%+%).

%+%再

12/18

同理，由P,D,B三點共線得一--=—~2%=(%-1)(%+%)?即卜"""十%

解得為=q4，%=』7?

%T%T

所以%+%=2(—1)=2.

所以kCD=kAB,即CD//AB.

(2)設(shè)點P到直線AB,CD的距離分別為4，d2,則可知4=g.由⑴知AB//CD,所以

d,PAPBg、|d；PAPB

—=—=—,所以與=-------.

d2PCPDdlPCPD

因為PA=*+kM.XA，PC=Jl+'Z

所以S=(XT)>

2

1

同理得器=(%T)2,所以*=[(%-1)(%-1并=[%%-(％+%)+1「

y=x+t,、/口

J3+2，=。,得%+%=2,乂….

1

鑒人=(2-1)2,得d=17

所以2

^(1-20

設(shè)點Q到直線AB的高為h,則力=同-2dz|,

所以h='一'—|2f+l|,|AB|=2萬Jl-2,

V2(l-2f)

i_f3

得5整的=/?|2/+l|..l一方,所以Z?——.

,1-2.2

解法2：⑴pTX：'=y2_2y+2/=0,

[y=2x,

所以％+%=2,必%=2/.

則直線AC的方程為y=^-x+].

石

%—11

X]'=>(必-1)>2-2占y+2%=0,即％%=一^7，解得Jc=%

丁=2尤，/T

%

同理可得yD=

y2T

22(%T)(%T)_2[必必(必+%)+1]2(2"2+1)1

因止匕kCD=^^----------二I.

先+%%(%-1)+%(％-1)2%%一(兇+%)41—2

所以AB//CD.

（2）設(shè)點P到直線AB,CD的距離分別為4,d2,則可知4=早

由⑴知AB//CD,

所以以.=五="

4==(%T「

“2PCxcyc

由(1)知,yl+y2=2,yiy2=2t,

所以%（2-%）=2兀2%一y；=2"

所以攻=d.=三=支=(必T『=1-2,,

d.-2PC%yc

i-t

即d=4

2l-2t~yf2(l-2t)'

設(shè)點。到直線AB的距離為h,

則h=\d{-2d2\,

所以h=?⑵+1|?

亞1-2。

又因為|40=20?斤元,

\-t

得^\QAB=J]2J?2-+l|.I-/,

所以t?

2

[例9]已知拋物線C]:丁=2勿（＞＞0）,圓。2：/+丁2=/（廠＞0）,直線/：y=fcc+m（機＞0）與拋物

線G相切于點4且與圓。2相切于點8.

（I）當r=2,左=I時，求直線/的方程與拋物線G的方程;

⑵設(shè)F為拋物線G的焦點,AE鉆,AFOB的面積分別為1,S2,當國取得最大值時，求實數(shù)二的值.

S、P

14/18

【答案】(1)x-y+20=O;(2)^1^.

【解析】(1)由題設(shè)可知直線l:x-y+m=O,且m>0；由直線I與圓C,相切可知圓心C2(0,0)到

直線I的距離d=^==2,解得m=2y/2.所以直線I的方程為x-y+2后=0.卜7+20=0'

V2[y=2px

得/-2py+4V2p=0.令A(yù)=(-2〃)2-4.4瓶p=0,解得p=4也.所以拋物線C,的方程為

y1=8A/2X.

y=kx+m,

(2)

y2=2px

得k2x2+(2km—2p)x+m2=0.

令(2km-2p)2-4k2m2=0,解得p—2km.

由m>0,p>0得

由直線y=kx+JL

2k

y=kx+—

2kPP

解得x=-2(1+/)'y~2.(1+F)，

即點B

所以內(nèi)P?P,[kP~2k(l+Pe)\-2汽1+)切3

又點FP_,0到直線AB的距離d=

p21+2公

所以*黃行.小r1P-

2

pP]pT>H邑=______—______11

S=1.Z.=3-2應(yīng),

2-222人（1+公）T'I（T7P）-及一（i+2用儼+i）3+2F+]3+2應(yīng)

1A/2-I

當且僅當臚=顯時取得等號，此時4=,、

2p24k2（l+k2）25/2+2-2

22

【例10］已知橢圓C::+］=l的上、下頂點分別為A,8,過點P（0,4）斜率為左（左<0）的直線與

橢圓C自上而下交于點M,N.

⑴證明:直線BM與AN的交點G在定直線y=1上；

（2）記AAGM和ABGN的面積分別為S］和S2，求、的取值范圍.

【答案】（1）見【解析】；（2）

【解析】（1）點A（0,2）,B（0,-2）.設(shè)直線MN:y=kx+4.

y=丘+4,

r+2y2=8,0+16Ax+24=0.

設(shè)點AZ（九，1%）,"（%2，%），且0<%<%2,

16k24

則%+%2=一

1+2左21+2左2

直線AN:y=^^x+2,BM:y=^^x-2.

x2%

y=^^x+2,%-2

x

2=y-2x2_%（丘2+2）_kxix2+2%o2kxi%+2%+6%2

y=4一2,不1x（kX[）kXyX

M+22+62+6x23X2-xx

玉

16/18

16k24

思路一：因為石+%2=--------7，%工2=--------7

1+2左2121+2左2

24J16k]「16左/

2k+2一]72/r+6%-------7+4%

1+2左21

所以y=一耳芥——=h即y=i，

16k16左.

"+生

1+2左2

所以交點在直線y=l上.

16左24

思路二因為石+%2，尤1%2=--------7

-1-+---2-尸-721+2左2

所以=一生n2句％=-3玉-3%.

砧3一

2kxix2+2x1+6X2_-3xl-3x2+2玉+6x2_3x2

所以y=———i.

3/—玉3X2-xl

QMMN_]

1由_S.MN-S^GMNS^GMN

（2）方法

$2SgMN