利用空間向量研究距離問題講義-2025屆高三數(shù)學一輪專題復習

第七節(jié)利用空間向量研究距離問題

【知識梳理?歸納】

1.兩點距

即求空間中兩個點連線的線段長.轉化為向量的模求解.

2.點到直線的距離

設A是直線I上的定點,P是直線/外一點，若u是直線I的單位方向向量，而是而在I上的投影向量.設而口,

則點P到直線/的距離PQ=J研-砌2=卜.11)2.

【微點撥】?已知向量直線I的單位方向向量為e,則向量。在e方向上的投影向量為|a|cos<a,e>e.即

⑷格交詈6故其模為|a-e|.

\a\\e\\e\

3.點到平面的距離公式

如圖，點P為平面a外一點點A為平面a內的定點，過點P作平面a的垂線/,交平面a于點Q,則n是直線/

的方向向量，且點P到平面a的距離就是都在直線I上的投影向量麗的長度，則P0=|族.引=|誓|=等.

4.異面直線間的距離

⑴定義:兩條異面直線間的公垂線段的長即為異面直線間的距離.

⑵求解公式:如圖.設兩條異面直線a,b的公垂線的方向向量為〃，這時分別在a,b上任取A,B兩點，則向量荏

在n上的正射影長就是兩條異面直線a,b的距離.則月荏2|=等.

即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公

垂線的方向向量模的比值.

【基礎小題?自測】

類型辨析改編易錯

題號12,34

1.（多維辨析）（多選題）下列結論正確的是（）

A.點到平面的距離是該點與平面上點距離的最小值

B.點到直線的距離也就是該點與直線上任一點連線長度的最小值

C.直線/平行于平面%則直線I上各點到平面a的距離相等

D.直線I上兩點到平面a的距離相等，則/平行于平面a

【解析】選ABC.由距離的最小性可知AB正確;C中直線1上任意點到平面?的距離相等,正確;D中直線I

可能與平面a相交.

2.（選擇性必修一P34例6?變形式）正方體ABCD-AiBiCiDj的棱長為2,則AiA到平面&DQB的距離為（）

A.V2B.2C.—D.—

22

【解析】選A.由正方體性質可知,4A〃平面B^DBAiA到平面B^DB的距離就是點Ai到平面BDDB

的距離，連接AC,交囪。1于。1（圖略）AOi的長即為所求由題意可得AO=/iCi=Vl

3.（選擇性必修一P35練習2.變形式）直線I的方向向量為機=（1,0,-1）,且/過點41,1,1）,則點尸（-1,2,1）到I的距

離為（）

A.V2B.V3C.V6D.2V2

【解析】選B.直線I的方向向量為山峰1,0”),且I過點又點P(-l,2,l),

則而=(-2,1,0),貝!!|A尸]=有，

又因為|^|=I-2XI+IXO+OX(-I)L^

所以點尸(-1,2,1)到/的距離為/7#(加=V3.

4.(不能正確使用公式)若兩平行平面a,p分別經過坐標原點O和點A(2,1,1).且兩平面的一個法向量為

n=(-lQ1),則兩平面間的距離是________.

【解析】依題意，平行平面間的距離即為點O到平面p的距離”

而布=(2,1,1),所以平行平面a/間的距離/噂』I；2+OXI+IX1|=M當

答案號

【巧記結論?速算】

1.空間中的距離都是指兩個點集的元素之間距離的最小值.

2.平行線間的距離可以轉化為點到直線的距離.

3.平面的平行線到平面的距離以及兩平行平面間的距離都可以轉化為點到平面的距離.

【即時練】

如圖正四棱柱ABCD-AiBiCiD,中,AB=BC=l,A4i=2動點P,Q分別在線段CXD,AC上.則線段PQ長度的最

小值是()

5Ci

4

C.lD.-

3

【解析】選B.建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(l,0,0),0),C(0,1,0),

Ci(0,l,2),

\P/

由題意可知，線段PQ長度的最小值為異面直線GD與AC的公垂線的長度,

則前=(-1,1,0),0^=(0,1,2),01=(1,0,0),

設向量”=(x,y,z),滿足?±XC,n±DC7,

貝［］］加左=-%+y=0(x=y

biDC；=y+2z=0，解得

令y=2,則x=2,z=-l,BPn=(2,2,-l),

故同島傳誓=|

I幾IJ

【核心考點?分類突破】

考點一點線距及其應用

[例1]⑴空間中有三點尸(l,-2,-2),M(2,-3,l),N(3,-2,2),則點P到直線MN的距離為()

A.2V2B.2V3C.3D.2V5

【解析】選A.因為標=(1,1,1),

所以麗的一個單位方向向量為M=y(l,l,l).

因為兩=(1,-1,3),

故|麗=J12+(-1)2+32=VTT,

PM-H=yX(l-l+3)=V3,

所以點P到直線MN的距離為J團廬一(兩.2

=VTI3=2&.

(2)如圖，在棱長為1的正方體中，已知E為CC上一點，且2CE=EC：在平面內作EF〃

A氏交C。于點尸,則直線EF與A'B之間的距離為.

【解析】以A為坐標原點,A8,A2A4所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系，如圖，則

1

4(0,0,1),8(1,0,0),￡(1,1卓，

直線EF與AB之間的距離等于E到直線A'B的距離,

----->----->1-------?------>1

BA'=(-1,0,1),BE=(0,l

I麗=71函=[+臺票

cos<BA'^BE>=竺,竺=—.

\BA'\\BE\eX竿10

<B7,BE>e[0,7t],

所以sin<BX;,BE>=

所以直線EF與A，B之間的距離等于E到直線A3的距離為前|sin＜甌前＞=手義警=等.

3106

口

6

【解題技法】

向量法求點到直線的距離的方法

方法一:(1)求直線的方向向量.

(2)計算所求點與直線上某一點所構成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長度.

(3)利用勾股定理求解.

方法二:在直線上設出垂線段的垂足的坐標，利用共線和垂直求出垂足坐標，再求向量的模.

方法三:⑴求直線的方向向量；

⑵計算所求點與直線上某一點所構成的向量與直線的方向向量夾角的余弦值，進而求出正弦值；

(3)求出所求點與直線上某一點所構成的向量的模.再乘以夾角的正弦值即為所求.

提醒:平行直線間的距離轉化為點到直線的距離求解.

【對點訓練】

如圖,ABCD-跖GH是棱長為1的正方體,若尸在正方體內部且滿足布=|荏+|而+|族，則P到直線的

距離為()

【解析】選C.建立如圖所示的空間直角坐標系，

貝A(O,O,O),B(1,0,0),Z)(0,1,0),E(0,0,1),

所以說=(1,0,0),而=(0,1,0),荏=(0,0,1),

則方=|(1,0,0)+如1,0)+|(0,0,1)=(|靜,因為說=(1,0,0),

所以而在直上的投影向量的長度為

APAB_3

~\A§\=5,

所以點尸到的距離J|XP|2-(|)2=2,

六;G

rc

考點二點面距及其應用

［例2］如圖，在四棱錐P-ABCD中底面ABCD是邊長為2的菱形,/8AD=60。,

ZAPD=90°MPA=PD,AD=PB.

⑴求證:

（2）（一題多法）求點A到平面PBC的距離.

【解析】（1）取AD的中點0,連接OP,O8,8O,（圖略）

因為底面ABCD為菱形,/54。=60。，

所以AD=AB^BD.

因為。為的中點.所以BOLAD.

在中,PA=PD,O為AD的中點，

所以POLAD.

因為80”。=。,所以A"平面POB.

因為P3u平面POB.^XADLPB.

（2）方法一:由題意及⑴易知。尸=1,80=百,PB=2,

所以。尸2+8O2=PB2,所以OP^_OB

所以OP,OA,OB兩兩垂直,如圖建立空間直角坐標系,

則A(1,0,0),8(0,6,0)。28,0),(0,0,1),

所以標=(-1,0,D,PB=(O,V3,-1),

PC=(-2,V3,-1),

設平面PBC的法向量為〃=(x,y,z),

貝Upr麗=V3y-z=0

\n-PC=-2x+V3y-z=0

不妨取y=l,則n=(0,l,V3),

所以點A到平面PBC的距離上華工當

|n|2

方法二:因為PA=PD,ZAPD=9Q°,

所以尸。=/。=1,由題意及⑴知PB=2,

XADLPB,BC//AD,^XBCLPB,

記A到平面PBC的距離為ASAPBC與2乂2=2,

則由VA-PBC=VP-ABC^|/?=|x|x2x2sin120。、1,所以捫=*

即A到平面PBC的距離為冬

【解題技法】

求點面距的步驟

(1)建系:建立恰當?shù)目臻g直角坐標系.

(2)求點坐標:寫出(求出)相關點的坐標.

⑶求向量:求出相關向量的坐標(而,a內兩不共線向量，平面a的法向量?).

(4)求距離d=粵.

I川

提醒:求線面距、面面距可轉化為點面距求解.

【對點訓練】

1.如圖，在三棱柱ABC-AiSG中,A3,平面BCCiJBi,BC=|AB=|AAi=2,BCi=2V3,MAB上的動點.

⑴證明：BC」CM

⑵若E為4G的中點，求點Ai到平面BCE的距離.

【解析】(1)因為A3,平面8BiGC,G8u平面BBCC.所以A8_LGB,

在ABCG中,8C=2,BCi=2W,CCi=AAi=4,

所以8c2+8C/=CC/,所以CB±CiB.

因為A8n8C=8,A8,8Cu平面ABC,

所以G8L平面ABC.

又因為CMu平面ABC,

所以

(2)由(1)知小8_LCB,BC_LG5AB_LBC,

以B為原點.建立如圖所示的空間直角坐標系.

則B(0,0,0),C(2,0,0),Ci(0,2V3,0),Ai(-2,2V3,4),E(-1,2V3,2),

說=(2,0,0),BE=(-1,2V3,2),

設平面BCE的法向量為"=(尤,y,z),

貝岬5二臚1f；；2by+2z=。，

令產舊廁n=(0,V3,-3).

又因為AiC=(4,-2V^,-4),

故點4到平面BCE的距離

,_}0><4+(-28)義6+(-4)><(-3)|_醫(yī)

_2\[3_7?

2.如圖.在四棱錐O-A8C￡＞中底面ABCD是邊長為2的正方形,。4_L底面ABCD,OA=2,M,N,R分別是

OA,BC,AD的中點.求:

(1)直線MN與平面OCD的距離；

⑵平面MNR與平面OCD的距離.

【解析】⑴因為。4,平面ABC。,四邊形ABCD為正方形，所以OA1AD,OALAB,AB±AD,

以點A為坐標原點,AB,A。,A。所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則。2,2,0),。(0,2,0),0(0,0,2),〃(0,0,1)第2,1,0),尺(0,1,0),因為〃,尺分別為。44)的中點,則必?〃。。,因為必?，

平面0cD,OZ)u平面OCD,所以〃平面OCD,

因為AO〃BC且AZ)=BC,R,N分別為的中點，則CN〃RD旦CN=RD,

所以四邊形CDRN為平行四邊形，所以RN//CD,

因為RNC平面OCZZCOu平面OCR所以RN//平面OCZ）,因為MRnRN=R,MR,RNu平面MNR,所以平面MNR

〃平面OCD,

因為MNu平面MNR,所以〃平面OCD,

設平面OCD的法向量為n=(x,j,z),DC=(2,0,0),DO=(0,-2,2),

則2;=0取戶1,可得”=（0,1/）,枇=（o,i,o）,

所以，直線MN與平面OCD的距離為4=誓=尋手

⑵由⑴知平面MVR〃平面OCR則平面MNR與平面OCD的距離為公喂吃考

【加練備選】

如圖，已知正方形A8CD的邊長為平面ABC。,且Pr>=l,E］分別為的中點，直線AC到平

面PEF的距離為.

P

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系則。（0,0,0）,p（o,o,1）4（1,0,0）,C（o,1,0）,

設平面PEP的法向量為"=(x,y,z),

(1

x+-y-z=0

=Qn即12，，

=0-x+y-z=0

解得x/令得〃二（2,2,3）,

因為E,F分別為AB,BC的中點,

所以EF//AC.5LEEu平面平面PEF,所以AC〃平面PEF,

所以直線AC到平面PEF的距離為綁=*=誓

\n\V1717

答案彎

考點三異面直線之間的距離

[例3]⑴在長方體ABCD-AxBxCyDx中,A8=l,BC=2,44i=3廁異面直線AC與BCi之間的距離是()

A-fBTCTD?

【解析】選D.以D為原點建立空間直角坐標系如圖所示,

X

則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),Q(0,1,3),

所以刀=(2,-1,0),西=(-2Q3),

設CA和BCi的公垂線的方向向量為〃=(xj,z),

則有卜?野°即『；30不妨取尸3,

所以"=(3,6,2),又屈=(0,1,0),

所以異面直線AC與BCi之間的距離

|ABn|6=6

I|n|I=2+62+227,

(2)長方體ABCD-AiBiCiDi^P,AB=AA1=2,AD=l,E為CCi的中點，則異面直線5G與AE之間的距離是()

A

-1B奈

C

-1D等

【解析】選D.如圖.連接AA,由長方體的結構特征可知,A8〃GOi,A8=CiOi,

則四邊形ABGOi為平行四邊形，得BCi//ADi,

因為Adu平面ADiEIGC平面ADiE,

所以8G〃平面ADiE,

則異面直線BCi與AE之間的距離即為BCi到平面AD.E的距離，也就是B點到平面ADiE的距離,

以D為坐標原點,分別以OAQCQD所在直線為匹陰軸建立空間直角坐標系，則

A(l,0,0),￡(0,2,1),01(0,0,2),B(l,2,0),

珂=(-1,0,2),屆(-1,2,1),荏