利用空間向量研究距離問題講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)

第七節(jié)利用空間向量研究距離問題

【知識(shí)梳理?歸納】

1.兩點(diǎn)距

即求空間中兩個(gè)點(diǎn)連線的線段長(zhǎng).轉(zhuǎn)化為向量的模求解.

2.點(diǎn)到直線的距離

設(shè)A是直線I上的定點(diǎn),P是直線/外一點(diǎn)，若u是直線I的單位方向向量，而是而在I上的投影向量.設(shè)而口,

則點(diǎn)P到直線/的距離PQ=J研-砌2=卜.11)2.

【微點(diǎn)撥】?已知向量直線I的單位方向向量為e,則向量。在e方向上的投影向量為|a|cos<a,e>e.即

⑷格交詈6故其模為|a-e|.

\a\\e\\e\

3.點(diǎn)到平面的距離公式

如圖，點(diǎn)P為平面a外一點(diǎn)點(diǎn)A為平面a內(nèi)的定點(diǎn)，過點(diǎn)P作平面a的垂線/,交平面a于點(diǎn)Q,則n是直線/

的方向向量，且點(diǎn)P到平面a的距離就是都在直線I上的投影向量麗的長(zhǎng)度，則P0=|族.引=|誓|=等.

4.異面直線間的距離

⑴定義:兩條異面直線間的公垂線段的長(zhǎng)即為異面直線間的距離.

⑵求解公式:如圖.設(shè)兩條異面直線a,b的公垂線的方向向量為〃，這時(shí)分別在a,b上任取A,B兩點(diǎn)，則向量荏

在n上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線a,b的距離.則月荏2|=等.

即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公

垂線的方向向量模的比值.

【基礎(chǔ)小題?自測(cè)】

類型辨析改編易錯(cuò)

題號(hào)12,34

1.（多維辨析）（多選題）下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)到平面的距離是該點(diǎn)與平面上點(diǎn)距離的最小值

B.點(diǎn)到直線的距離也就是該點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)連線長(zhǎng)度的最小值

C.直線/平行于平面%則直線I上各點(diǎn)到平面a的距離相等

D.直線I上兩點(diǎn)到平面a的距離相等，則/平行于平面a

【解析】選ABC.由距離的最小性可知AB正確;C中直線1上任意點(diǎn)到平面?的距離相等,正確;D中直線I

可能與平面a相交.

2.（選擇性必修一P34例6?變形式）正方體ABCD-AiBiCiDj的棱長(zhǎng)為2,則AiA到平面&DQB的距離為（）

A.V2B.2C.—D.—

22

【解析】選A.由正方體性質(zhì)可知,4A〃平面B^DBAiA到平面B^DB的距離就是點(diǎn)Ai到平面BDDB

的距離，連接AC,交囪。1于。1（圖略）AOi的長(zhǎng)即為所求由題意可得AO=/iCi=Vl

3.（選擇性必修一P35練習(xí)2.變形式）直線I的方向向量為機(jī)=（1,0,-1）,且/過點(diǎn)41,1,1）,則點(diǎn)尸（-1,2,1）到I的距

離為（）

A.V2B.V3C.V6D.2V2

【解析】選B.直線I的方向向量為山峰1,0”),且I過點(diǎn)又點(diǎn)P(-l,2,l),

則而=(-2,1,0),貝!!|A尸]=有，

又因?yàn)閨^|=I-2XI+IXO+OX(-I)L^

所以點(diǎn)尸(-1,2,1)到/的距離為/7#(加=V3.

4.(不能正確使用公式)若兩平行平面a,p分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1).且兩平面的一個(gè)法向量為

n=(-lQ1),則兩平面間的距離是________.

【解析】依題意，平行平面間的距離即為點(diǎn)O到平面p的距離”

而布=(2,1,1),所以平行平面a/間的距離/噂』I；2+OXI+IX1|=M當(dāng)

答案號(hào)

【巧記結(jié)論?速算】

1.空間中的距離都是指兩個(gè)點(diǎn)集的元素之間距離的最小值.

2.平行線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.

3.平面的平行線到平面的距離以及兩平行平面間的距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.

【即時(shí)練】

如圖正四棱柱ABCD-AiBiCiD,中,AB=BC=l,A4i=2動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在線段CXD,AC上.則線段PQ長(zhǎng)度的最

小值是()

5Ci

4

C.lD.-

3

【解析】選B.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(l,0,0),0),C(0,1,0),

Ci(0,l,2),

\P/

由題意可知，線段PQ長(zhǎng)度的最小值為異面直線GD與AC的公垂線的長(zhǎng)度,

則前=(-1,1,0),0^=(0,1,2),01=(1,0,0),

設(shè)向量”=(x,y,z),滿足?±XC,n±DC7,

貝［］］加左=-%+y=0(x=y

biDC；=y+2z=0，解得

令y=2,則x=2,z=-l,BPn=(2,2,-l),

故同島傳誓=|

I幾IJ

【核心考點(diǎn)?分類突破】

考點(diǎn)一點(diǎn)線距及其應(yīng)用

[例1]⑴空間中有三點(diǎn)尸(l,-2,-2),M(2,-3,l),N(3,-2,2),則點(diǎn)P到直線MN的距離為()

A.2V2B.2V3C.3D.2V5

【解析】選A.因?yàn)闃?biāo)=(1,1,1),

所以麗的一個(gè)單位方向向量為M=y(l,l,l).

因?yàn)閮?(1,-1,3),

故|麗=J12+(-1)2+32=VTT,

PM-H=yX(l-l+3)=V3,

所以點(diǎn)P到直線MN的距離為J團(tuán)廬一(兩.2

=VTI3=2&.

(2)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，已知E為CC上一點(diǎn)，且2CE=EC：在平面內(nèi)作EF〃

A氏交C。于點(diǎn)尸,則直線EF與A'B之間的距離為.

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),A8,A2A4所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則

1

4(0,0,1),8(1,0,0),￡(1,1卓，

直線EF與AB之間的距離等于E到直線A'B的距離,

----->----->1-------?------>1

BA'=(-1,0,1),BE=(0,l

I麗=71函=[+臺(tái)票

cos<BA'^BE>=竺,竺=—.

\BA'\\BE\eX竿10

<B7,BE>e[0,7t],

所以sin<BX;,BE>=

所以直線EF與A，B之間的距離等于E到直線A3的距離為前|sin＜甌前＞=手義警=等.

3106

口

6

【解題技法】

向量法求點(diǎn)到直線的距離的方法

方法一:(1)求直線的方向向量.

(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度.

(3)利用勾股定理求解.

方法二:在直線上設(shè)出垂線段的垂足的坐標(biāo)，利用共線和垂直求出垂足坐標(biāo)，再求向量的模.

方法三:⑴求直線的方向向量；

⑵計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量與直線的方向向量夾角的余弦值，進(jìn)而求出正弦值；

(3)求出所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量的模.再乘以?shī)A角的正弦值即為所求.

提醒:平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離求解.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

如圖,ABCD-跖GH是棱長(zhǎng)為1的正方體,若尸在正方體內(nèi)部且滿足布=|荏+|而+|族，則P到直線的

距離為()

【解析】選C.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

貝A(O,O,O),B(1,0,0),Z)(0,1,0),E(0,0,1),

所以說=(1,0,0),而=(0,1,0),荏=(0,0,1),

則方=|(1,0,0)+如1,0)+|(0,0,1)=(|靜,因?yàn)檎f=(1,0,0),

所以而在直上的投影向量的長(zhǎng)度為

APAB_3

~\A§\=5,

所以點(diǎn)尸到的距離J|XP|2-(|)2=2,

六;G

rc

考點(diǎn)二點(diǎn)面距及其應(yīng)用

［例2］如圖，在四棱錐P-ABCD中底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形,/8AD=60。,

ZAPD=90°MPA=PD,AD=PB.

⑴求證:

（2）（一題多法）求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

【解析】（1）取AD的中點(diǎn)0,連接OP,O8,8O,（圖略）

因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形,/54。=60。，

所以AD=AB^BD.

因?yàn)?。為的中點(diǎn).所以BOLAD.

在中,PA=PD,O為AD的中點(diǎn)，

所以POLAD.

因?yàn)?0”。=。,所以A"平面POB.

因?yàn)镻3u平面POB.^XADLPB.

（2）方法一:由題意及⑴易知。尸=1,80=百,PB=2,

所以。尸2+8O2=PB2,所以O(shè)P^_OB

所以O(shè)P,OA,OB兩兩垂直,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(1,0,0),8(0,6,0)。28,0),(0,0,1),

所以標(biāo)=(-1,0,D,PB=(O,V3,-1),

PC=(-2,V3,-1),

設(shè)平面PBC的法向量為〃=(x,y,z),

貝Upr麗=V3y-z=0

\n-PC=-2x+V3y-z=0

不妨取y=l,則n=(0,l,V3),

所以點(diǎn)A到平面PBC的距離上華工當(dāng)

|n|2

方法二:因?yàn)镻A=PD,ZAPD=9Q°,

所以尸。=/。=1,由題意及⑴知PB=2,

XADLPB,BC//AD,^XBCLPB,

記A到平面PBC的距離為ASAPBC與2乂2=2,

則由VA-PBC=VP-ABC^|/?=|x|x2x2sin120。、1,所以捫=*

即A到平面PBC的距離為冬

【解題技法】

求點(diǎn)面距的步驟

(1)建系:建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.

(2)求點(diǎn)坐標(biāo):寫出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).

⑶求向量:求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(而,a內(nèi)兩不共線向量，平面a的法向量?).

(4)求距離d=粵.

I川

提醒:求線面距、面面距可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距求解.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.如圖，在三棱柱ABC-AiSG中,A3,平面BCCiJBi,BC=|AB=|AAi=2,BCi=2V3,MAB上的動(dòng)點(diǎn).

⑴證明：BC」CM

⑵若E為4G的中點(diǎn)，求點(diǎn)Ai到平面BCE的距離.

【解析】(1)因?yàn)锳3,平面8BiGC,G8u平面BBCC.所以A8_LGB,

在ABCG中,8C=2,BCi=2W,CCi=AAi=4,

所以8c2+8C/=CC/,所以CB±CiB.

因?yàn)锳8n8C=8,A8,8Cu平面ABC,

所以G8L平面ABC.

又因?yàn)镃Mu平面ABC,

所以

(2)由(1)知小8_LCB,BC_LG5AB_LBC,

以B為原點(diǎn).建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則B(0,0,0),C(2,0,0),Ci(0,2V3,0),Ai(-2,2V3,4),E(-1,2V3,2),

說=(2,0,0),BE=(-1,2V3,2),

設(shè)平面BCE的法向量為"=(尤,y,z),

貝岬5二臚1f；；2by+2z=。，

令產(chǎn)舊廁n=(0,V3,-3).

又因?yàn)锳iC=(4,-2V^,-4),

故點(diǎn)4到平面BCE的距離

,_}0><4+(-28)義6+(-4)><(-3)|_醫(yī)

_2\[3_7?

2.如圖.在四棱錐O-A8C￡＞中底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,。4_L底面ABCD,OA=2,M,N,R分別是

OA,BC,AD的中點(diǎn).求:

(1)直線MN與平面OCD的距離；

⑵平面MNR與平面OCD的距離.

【解析】⑴因?yàn)椤?,平面ABC。,四邊形ABCD為正方形，所以O(shè)A1AD,OALAB,AB±AD,

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,A。,A。所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則。2,2,0),。(0,2,0),0(0,0,2),〃(0,0,1)第2,1,0),尺(0,1,0),因?yàn)椤?尺分別為。44)的中點(diǎn),則必?〃。。,因?yàn)楸?，

平面0cD,OZ)u平面OCD,所以〃平面OCD,

因?yàn)锳O〃BC且AZ)=BC,R,N分別為的中點(diǎn)，則CN〃RD旦CN=RD,

所以四邊形CDRN為平行四邊形，所以RN//CD,

因?yàn)镽NC平面OCZZCOu平面OCR所以RN//平面OCZ）,因?yàn)镸RnRN=R,MR,RNu平面MNR,所以平面MNR

〃平面OCD,

因?yàn)镸Nu平面MNR,所以〃平面OCD,

設(shè)平面OCD的法向量為n=(x,j,z),DC=(2,0,0),DO=(0,-2,2),

則2;=0取戶1,可得”=（0,1/）,枇=（o,i,o）,

所以，直線MN與平面OCD的距離為4=誓=尋手

⑵由⑴知平面MVR〃平面OCR則平面MNR與平面OCD的距離為公喂吃考

【加練備選】

如圖，已知正方形A8CD的邊長(zhǎng)為平面ABC。,且Pr>=l,E］分別為的中點(diǎn)，直線AC到平

面PEF的距離為.

P

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則。（0,0,0）,p（o,o,1）4（1,0,0）,C（o,1,0）,

設(shè)平面PEP的法向量為"=(x,y,z),

(1

x+-y-z=0

=Qn即12，，

=0-x+y-z=0

解得x/令得〃二（2,2,3）,

因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),

所以EF//AC.5LEEu平面平面PEF,所以AC〃平面PEF,

所以直線AC到平面PEF的距離為綁=*=誓

\n\V1717

答案彎

考點(diǎn)三異面直線之間的距離

[例3]⑴在長(zhǎng)方體ABCD-AxBxCyDx中,A8=l,BC=2,44i=3廁異面直線AC與BCi之間的距離是()

A-fBTCTD?

【解析】選D.以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

X

則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,1,0),Q(0,1,3),

所以刀=(2,-1,0),西=(-2Q3),

設(shè)CA和BCi的公垂線的方向向量為〃=(xj,z),

則有卜?野°即『；30不妨取尸3,

所以"=(3,6,2),又屈=(0,1,0),

所以異面直線AC與BCi之間的距離

|ABn|6=6

I|n|I=2+62+227,

(2)長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi^P,AB=AA1=2,AD=l,E為CCi的中點(diǎn)，則異面直線5G與AE之間的距離是()

A

-1B奈

C

-1D等

【解析】選D.如圖.連接AA,由長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知,A8〃GOi,A8=CiOi,

則四邊形ABGOi為平行四邊形，得BCi//ADi,

因?yàn)锳du平面ADiEIGC平面ADiE,

所以8G〃平面ADiE,

則異面直線BCi與AE之間的距離即為BCi到平面AD.E的距離，也就是B點(diǎn)到平面ADiE的距離,

以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)AQCQD所在直線為匹陰軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

A(l,0,0),￡(0,2,1),01(0,0,2),B(l,2,0),

珂=(-1,0,2),屆(-1,2,1),荏