高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)【導(dǎo)學(xué)案】

第五章I平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)

第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算

課程標(biāo)準(zhǔn)

1.了解平面向量的實(shí)際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義.

2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.

3.掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.

4.掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義.理解兩個平面向量共線的含

義.

5.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.

基礎(chǔ)扎牢基礎(chǔ)不牢?地動山搖

［由教材回扣基礎(chǔ)］

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有太小又有包包的量叫做向量；向平面向量是自由向量，可在平

向量

量的大小叫做向量的長度（或稱模）面內(nèi)自由平移

零向量長度為小的向量記作0,其方向是任意的

單位向量長度等于L個單位的向量非零向量a的單位向量為土高

方向相同或相反的非零向量（又叫做共

平行向量0與任一向量平行或共線

線向量）

兩向量只有相等或不相等，不

相等向量長度相等且方向相同的向量

能比較大小

相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

2.向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

(1)交換律：

求兩個向量和的運(yùn)算21a1ba+b=b+a；

加法三角形法則

叫做向量的加法3(2)結(jié)合律：(a+b)+c=@

平行曲邊形法則+(b+c)

求a與6的相反向量XV

減法-b的和的運(yùn)算叫做a—b=a+(—b)

a與b的差三角形法則

|ia|=R||a|,當(dāng)拉0時，2a的方

2(〃a)=

求實(shí)數(shù)4與向量a的向與a的方向相同；當(dāng)2<0時，

數(shù)乘(7+〃)a=ia+jua；

積的運(yùn)算4a的方向與a的方向相反;當(dāng)2

2(a+b)=2a+ib

=0時，7a=0

3.共線向量定理

向量a(arO)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)7,使得bma.

澄清微點(diǎn)?熟記結(jié)論

(1)設(shè)尸為線段A3的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則/=)(示+蘇).

(2)若G是△△3c的重心，。是邊的中點(diǎn)，貝V

?GA+GB+GC=O;

②就當(dāng)前+就)；

③而=1(GB+GC)=1(AB+AC).

/o

(3)在四邊形ABC。中，若E為AO的中點(diǎn)，歹為5c的中點(diǎn)，則成+方萬=2石方.

(4)~OA=fOB+fT5c(7,"為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)共線，則2+〃=l.

(5)解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向

量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.栗特別注意零向量的特殊性.

［練小題鞏固基礎(chǔ)］

一'準(zhǔn)確理解概念(判斷正誤)

(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.()

(2)若向量其與向量方是共線向量，則A,B,C,。四點(diǎn)在一條直線上.()

⑶當(dāng)兩個非零向量a,b共線時，一定有b=2a,反之成立.（）

答案：（1）X（2）X（3）J

二、練牢教材小題

1.（湘教版必修②P11T3）化簡：~AB+~DA+^D~^C~~CA=.

答案：AB

2.（人教B版必修②P143例2改編）已知|a|=L|b|=2,則|3a+2bl的最大值和最小值分

別為.

答案：7,1

3.（人教A版必修②P14例6改編）已知%的對角線AC和BD相交于點(diǎn)0,且工？

—a,OB=b,則。C=,BC—.（用a,b表示）

答案：b-a—a—b

4.（人教A版必修②Pl5T2）點(diǎn)C在線段A3上，且普=|，則就=______'AB,BC

________~AB.

答案：|

三、練清易錯易混

1.（忽視零向量）下列命題中，正確的是（）

A.a與b共線，b與c共線，則a與c共線

B.向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反

C.兩個共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同

D.零向量與任意數(shù)的乘積都為零

答案：C

2.（忽視向量相等的條件）若四邊形ABC。滿足而〃就且區(qū)咨|=|萬方則四邊形ABC。

的形狀是.

解析：當(dāng)|而|=|就|時，四邊形ABCD是平行四邊形；當(dāng)|說同西寺|時，四邊形A3CD

是等腰梯形.

答案：平行四邊形或等腰梯形

1考法研透--方向不對，努力白費(fèi)

命題視角一平面向量的基本概念（自主練通）

1.設(shè)a是非零向量，4是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.a與2a的方向相反

B.a與〃a的方向相同

C.|-2a|^|a|

D.|-7a|，D|a

解析：選B對于A,當(dāng)；l>0時，a與九i的方向相同，當(dāng)；IVO時，a與;la的方向相反;

B正確；對于C,|一瓶|=|一川|a|,由于|一用的大小不確定，故|一瓶|與|a的大小關(guān)系不確

定；對于D,園a是向量，而|一布|表示長度，兩者不能比較大小.

2.(多選)下列命題為真命題的是()

A.若a與b為非零向量，且2〃1),則a+b必與a或b平行

B.若e為單位向量，且2〃6,則a=|a|e

C.兩個非零向量a,b,若|a—b|=|a|+|b|,則a與b共線且反向

D.“兩個向量平行”是“這兩個向量相等”的必要不充分條件

答案：ACD

3.如圖，等腰梯形ABC。中，對角線AC與80交于點(diǎn)P,點(diǎn)E,尸分別V—

在兩腰AO,5c上，E尸過點(diǎn)P,且EF〃AB,則下列等式成立的是()2/^\\

A.AD=BCB.AC=BD?！?/p>

C.PE=-PFD.EP=PF

解析：選D根據(jù)相等向量的定義，A中，而與就的方向不同，故A錯誤；B中，就

與正的方向不同，故B錯誤；C中，無與不芹的方向相反，故C錯誤；D中，窗與￥7

的方向相同，且長度都等于線段EF長度的一半，故D正確.

［一“點(diǎn)”就過］

解決向量問題的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(2)相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一■定是平行向量，但平行向量

未必是相等向量.

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象的

平移混為一談.

(4)y-是非零向量a方向上的單位向量，因此單位向量7^~；與a方向相同.

IaIIaI

命題視角二平面向量的線性運(yùn)算

考法(一)平面向量的線性運(yùn)算

［例1］(1)(2020?新高考II卷)若。為△45C的邊A5的中點(diǎn)，則=()

A.2CD-CAB.2CA-CD

C.2CD+CAD.2CA+~CD

(2)在四邊形ABCD中，AB//CD,AB=3DC9￡為5。的中點(diǎn)，則府等于()

2—>1—>

A.TAB+^AD?——c

一一：1

“A^—------

C.1AB+；AD

I--—>.5~~—>

D.TAB+TA￡>

Jo

［解析］(1)：O為△ABC的邊A5的中點(diǎn)，.?.員=；(市+,),，,=2員一方L

故選A.

(2)由就=~BA+AD+DC=~^AB+~AD,^AE=~AB+~BE=~AB+^BC=~AB+

?J/

苴4￡)—1AB^=|AB+#力.故選A.

［答案］(DA(2)A

［方法技巧］

向量線性運(yùn)算的解題策略

(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法

則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則.

(2)用基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角

形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果.

考法(二)利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)

［例2］(2022?韶關(guān)模擬)在△ABC中，點(diǎn)M為AC上的點(diǎn)，KAM=^MC,^~BM=XBA

+4BC,則2—〃的值是()

A.1B.JC.lD.T

乙SS

［解析］由AW=JM\,得AC；所以=5A'+ZW=5A>+?AC’=+1

/sst

______)___［____________)_11

(BC—BA)=TBA+TBC,又因?yàn)镵A/=2+"B(^,所以2=、，"=Q,故義一4=Q.故

選c.

［答案］C

［方法技巧］

利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的方法

與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量線性運(yùn)算的三角形法

則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù).

［針對訓(xùn)練］

1.在△ABC中，。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足而'=4^,則說=()

5—?4—4—>5—)

A.TAB-TACB.TAB-TAC

6336

5—>4—>4—>5—>

C.TAB+TACD.TAB+TAC

oJJo

解析：選A為A5的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足說=4厲不，

/.BD=|sA,~EB=^CB,

:JED=EB+BD=^CB-^AB

J乙

4z____>、1—>5—>4—>

=3(AB>-AC)-2AB—§AC.

2.設(shè)M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，。是AC的中點(diǎn)，標(biāo)=

而，則實(shí)數(shù)f的值為（）

A.1B.|C.2D.1

解析：選B因?yàn)?。是AC的中點(diǎn)，所以標(biāo)t+忒=2應(yīng)方，又因?yàn)辄S+淑t+與就

=0,所以爭而+/菽X+求）=爭而+詬=0,即市禍=而，又因?yàn)椤瓴徊?而，所以

1

t=3-

3.在正六邊形A3C0EF中，對角線3。，C歹相交于點(diǎn)P,^AP=xAB+yAF,則x

+y=?

解析：如圖，記正六邊形4BCDEF的中心為點(diǎn)0,連接。3,OD,

易證四邊形05。為菱形且尸恰為其中心.

BC

/.F?=|FO=|AB,AAP=AF+FP=AF+|AB,'：~AP=xAB+y~AF,：.x=

答案：f

命題視角三共線向量定理的應(yīng)用

［典例］(1)已知a,b是不共線的向量，AB=>la+b,AC=a+//bU，//GR),若A,B,

C三點(diǎn)共線，則3/,的關(guān)系一定成立的是()

A.2"=1B?—1

C.2—4=-1D.幺+"=2

(2)設(shè)ei與e2是兩個不共線向量，AB=3ei+2e2,CB=kei+e2fCD=3ei—2ke2^若

A,B,。三點(diǎn)共線，則上的值為.

［解析］(1)???黃與就有公共點(diǎn)A,???若A,B,。三點(diǎn)共線，則存在一個實(shí)數(shù)，使苗

—>X=t,—>1

=tAC,即ia+b=￡a+wb,貝邛消去參數(shù)，得加=1;反之，當(dāng)加=1時，AB=~

5=1,4

a+b,此時存在實(shí)數(shù)!使7方=,就，故前和就共線.?.,71與就有公共點(diǎn)A,：.A,B,

。三點(diǎn)共線.故選A.

⑵由題意，A,B,。三點(diǎn)共線，故必存在一個實(shí)數(shù)九使得京=4彷.又焉=3ei+

162,CB=kei+e2,CD=3ei~2ke2,所以=CD—C5=3ei—2公2一(左ei+e2)=(3—A)ei

-(2k+l)e2,所以3ei+2e2=7(3—fc)ei-M2k+l)e2,又ei與e2不共線，所以

-3A=2(3+—01),解得口o

9

［答案］(DA⑵-［

［方法技巧］平面向量共線定理的3個應(yīng)用

證明向量共線若存在實(shí)數(shù)；1,使a=2b,則a與非零向量b共線

若存在實(shí)數(shù)九使瓦百=4就，瓦1與就有公共點(diǎn)A,則A,B,

證明三點(diǎn)共線

C三點(diǎn)共線

求參數(shù)的值利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值

［針對訓(xùn)練］

1.已知兩個非零向量a,b互相垂直，若向量m=4a+5b與n=2a+北共線，則實(shí)數(shù)4

的值為()

A.5B.3C.1D.2

解析：選CVa,b是非零向量，且互相垂直,

.?.4a+5bW0,mWO.

Vm,n共線,/.n=/zm,艮I72a+ib="(4a+5b),

〃

2=4,解得7=搭.

4=5〃.

2.在△ABC中，E,F分別為AC,A3上的點(diǎn)，BE與CF交于點(diǎn)Q,且索=2成，AF

=3FB,A。交3c于點(diǎn)O,'AQ=AQD,則4的值為（）

A.3B.4C.5D.6

解析：選C因?yàn)?,Q,E三點(diǎn)共線，所以可設(shè)北=xl9+（l—x）泰=xN9+：（l

----A----A----A----A----A3----?

一x)AC.因?yàn)镃,Q,廠三點(diǎn)共線，所以可設(shè)A0=yAC+(l-y)A^=yAC+w(l-y)A5,

C3

LJD，

一2'—>1—>1—>2—>—>1+2

所以《解得?所以40=彳45+.AC=73二AO,所以

2X/5I?A乙人

d=§(lr)，b=3-

瓦蘇+下"就.因?yàn)锽,D,C三點(diǎn)共線，所以一才+二1=1,解得4=5.

3A人人3A

3.已知。為△A5C內(nèi)一點(diǎn)，且21方=前十/，~AD^tAC,若5,O,。三點(diǎn)共線,

則f的值為.

解析：設(shè)線段5c的中點(diǎn)為M,則萬濤+員=2宿1

因?yàn)?前=前+員，所以窺=萬成，

則41A咨+宮+yAD）=；A宮+^AD.

由3,0,。三點(diǎn)共線，得:+j=l,解得/=；.

答案：［

思維激活-靈活不足?難得高分

巧用性質(zhì)?練轉(zhuǎn)化思維——三點(diǎn)共線定理的妙用

已知。，A,5是不共線的三點(diǎn)，且加=機(jī)員+〃加（7","CR）,則A,P,3三點(diǎn)共

線的充要條件是m+n=l.

1.（求參數(shù)值）如圖，在△△5c中，~AN=^AC,

P是5N上的一點(diǎn),

若刀=機(jī)K+常充，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為（）

AuB11

解析：選B注意到N,P,3三點(diǎn)共線，

—?—?2—>—?6—?

因此AP=mAB+~^AC=mAB+~^AN9

從而帆+*=1,所以帆=亮

2.（求參數(shù)范圍）在△A3C中，點(diǎn)。是線段5a不包括端點(diǎn)）上的動點(diǎn).若就'=xl才+

yAD，則（）

A.x>lB.J>1C.X+J>1D.XJ>1

解析：選B設(shè)說=7就（0<1<1）,所以詬一就=4就一力焉，所以（1一7）成=

—>—>—?1—>X—>211-7+4

AD-AAC,所以A3=;~~；AD~-~~~AC,所以x=-;r<0,y=~~~r=—~—=1+

1-X1——x1-X1―/1——入

4,1~22.,,

不;>1,x+y=mj=l,個=一正萬產(chǎn)0.故選LB.

3.（與數(shù)列結(jié)合求值）已知等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,前〃項(xiàng)和為Sn,~OA^a^OB+a2

02JOC，且方'=4就，則S2022=（）

A.0B.1011C.2020D.2022

解析：選B由工咨=/芯可知，A,B,C三點(diǎn)共線，故由畝=的肉+政020萬乙可

尸手口c2022（41+”2（）22）2022（“3+。2（）20）1n”,,

彳寸。3+。2020—1,于是§2022—2—2—1011,故選B.

4.（與基本不等式結(jié)合求最值）在△ABC中，點(diǎn)P滿足/=2/，過點(diǎn)P的直線與A3,

AC所在直線分別交于點(diǎn)M,N,^AM=mAB,~AN=nAC(m>Q,n>0),則帆+2〃的最

小值為()

A.3B.4C?gD?￥

解析：選A如圖，易知4戶=4-+M=我+，一41）=當(dāng)

M,

C

BP

■N

AB+^AC=J^AM+^1AN.,：M,P,N三點(diǎn)共線'...詬+五=1,"=3〃一2,則'"+

252

3(3〃-2)2+§(3“-2)+§

n6〃2-3〃1—5、2、?5

2n=3n~2+2n=3/i-2：3n-2干(3n-2)4而3"聲？2+十

3,當(dāng)且僅當(dāng)(3〃-2)=/」1e、,即m=n=l時等號成立.

(3/1-2)

［課時跟蹤檢測］

一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度

ak

1.設(shè)a,b是非零向量，記a與b所成的角為仇下列四個條件中，使詢=由成立的

充要條件是()

7J

A.a〃bB.夕=7C.a=2bD.0=n

ah

解析：選C--等價于非零向量a與b同向共線，即8=0,故B、D錯誤.對

IaIID|

于選項(xiàng)C,a=2b,則a與b同向共線，故C正確.

2.設(shè)O,E,F分別為△ABC的三邊8C,CA,A3的中點(diǎn)，則說+宣=()

A.~ADB.|ADC^BCD.BC

解析：選A由題意得$+*=輔3+苕)+T(就+就)=輔9+就)=茄.

3.設(shè)平面向量a,b不共線，若方'=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),貝!J()

A.A,B,。三點(diǎn)共線B.A,B,C三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

解析：選AVAB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),/.AD=AB+BC+CD

=(a+5b)+(-2a+8b)+3(a-b)=2(a+5b)=2AB,；.而與前共線，即A,B,。三點(diǎn)共

線.

4.如圖，在正六邊形A3CDE尸中，BA+CD+EF=()

A.0B.BE

C.ADD.~CF

解析：選D由題圖知京+而+/=京+/+,=苕+而=宣.

5.已知點(diǎn)。，A,5不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且2'蘇=2萬1+京,

則()

A.點(diǎn)P在線段A3上

B.點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上

C.點(diǎn)P在線段A5的延長線上

D.點(diǎn)P不在直線A8上

解析：選B因?yàn)?'蘇=2畝+五？，所以五？，所以點(diǎn)P在線段A8的反向

延長線上.

二、綜合練——練思維敏銳度

1.設(shè)向量a,b不共線，AB=2a+pb,~BC=a+b,CD=a-2b,若4,B,O三點(diǎn)共

線，則實(shí)數(shù)p的值為()

A.—2B.—1C.1D.2

解析：選B因?yàn)槿f萬=a+b,CD=a-2b,

所以說=員+而=2a-b.

又因?yàn)锳,B,。三點(diǎn)共線，所以成，下方共線.

設(shè)7^=2詬，所以2a+pb=2(2a-b),

所以2=2%p=~A,即；1=1,p=~l.

2.矩形A5CZ>的對角線相交于點(diǎn)0,E為A0的中點(diǎn)，若笳=4方'+"7方(3/，為

實(shí)數(shù))，則〃+*=()

515

A,豆BqC.1D.^

解析：選A'DE=AE-AD=|AC-AD=1(AB+AD)-AD=|AB~^AD,：.A

3.在△ABC中，點(diǎn)E,尸分別是邊BC和AC的中點(diǎn)，尸是AE與3尸的交點(diǎn)，則有()

A.~AE=|AB+|ACB.~AB=2EF

—1—>X—>—>2—?2—>

C.CPCA+3CBD.CP=3CA+3CB

解析：選C如圖，根據(jù)三角形中線性質(zhì)和平行四邊形法則知，c

…+…+…+…/就+—

--->--->4GB

AB),A錯誤；因?yàn)镋b是中位線，所以A5=2尸E—>,B錯誤；設(shè)45

的中點(diǎn)為G,則根據(jù)三角形重心性質(zhì)知，CP=2PG,所以p苛員號尺(a+,)=

\(^CA+CB),所以c正確，D錯誤.

4.已知向量示=(1,-3),OB=(-2,1),0C=(/+3,t~8),若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成

三角形，則實(shí)數(shù)f不可能為()

A.-2B.1C.1D.-1

解析：選C若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形，則A,B,C三點(diǎn)不共線，故向量工咨，~BC

不共線.由于向量畝=(1,-3),~OB=(~2,1),=(f+3,，-8),故方'=加一市=(一

3,4),~BC=~OC~~0B=(t+5,t-9),若A,B,C三點(diǎn)不共線，則一3?—9)-4?+5)。0,

所以rWl.

5.如圖，在平行四邊形A5CO中，M,N分別為A3,A。上的點(diǎn)，/———

連接AC,MN交于點(diǎn)P,若工？=(■就，則點(diǎn)N在404乙仄/

上的位置為()

A.40中點(diǎn)

B.AO上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)

C.AO上靠近點(diǎn)。的四等分點(diǎn)

D.AO上靠近點(diǎn)。的五等分點(diǎn)

解析：選BT§iAD=XAN,因?yàn)锳戶［"(4符+4方)=(64?+24療)=1

AM+^TAN,又Af,N,尸三點(diǎn)共線，所以卷■+率=1,解得7=白，所以+療,所以

J.J.JL_1,乙?3

點(diǎn)N在A。上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn).

6.已知點(diǎn)。為△A5C的外接圓的圓心，且京+加+員=0,則△ABC的內(nèi)角A等

于()

A.30°B.45°C.60°D,90°

解析：選A由畝+萬濟(jì)+員=0,#04+=0C,由。是△A5C外接圓的圓

心，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形OACB為菱形，且NC4O=60。，故NC4B=30。，

故選A.

7.已知向量a,b不共線，且c=2a+b,d=a+(2A—l)b,若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)

2的值為()

A.1B.一；

C.1或一5D.-1或一5

解析：選B由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)左＞ftc=A;d優(yōu)＜0),于是2a+b=A[a+(22

2,=k

-1)6],整理得，；la+b=4a+(助A—6b.由于a,b不共線，所以有J9整理得，2〃

2Ak—k=l,

—2—1=0,解得7=1或2=—又因?yàn)閗0,所以NvO,故7=-

8.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn),4,3,C三點(diǎn)滿足萬方聲，則震」

________?

解析：因?yàn)?0不一。百='+；。百一。點(diǎn)=,5、,AC=OC—OA=^OA

~OB-~OA=^AB9

所以圖=3.

\AC\

答案：3

9.如圖，在△A3C中，點(diǎn)。，E是線段3c上兩個動點(diǎn)，且說+衣=

xAB+yAC,貝4+9的最小值為_______./八\

xyBDEC

解析：易知x,j均為正數(shù)，設(shè)罰=-I^+"就，~AE=AAB+JUAC9YB,C,D

共線，/.m+n=l,同理，^+//=1.VAD+AE=xAB+yAC=(m+2,)AB+(n+/z)AC,

Ax+j=,n+n+2+Z/=2./.J+j=|g+￡)(x+j)=j(5+J+y)^5+2^|^)=|,當(dāng)且

14Q

僅當(dāng)產(chǎn)2x時等號成立，則已+?的最小值為*

xy/

答案：I

10.已知向量市=a,~OB=b,Pi，P2,P?-i(nGN,”>1)是線段AB上依次從A

到B排列的n等分點(diǎn)，若旗=xa+yb,則x+y=,南+用+”?+西久=

________(a+b)?

解析：由三點(diǎn)共線定理知x+y=1.由題知0百+O屬2+…++B[i=[a+：(b—a)+

2nXn~~Xn—1

a+~(b-a)+???+a+〃(b—a)=(〃—l)a+-~(b-a)=~-(a+b).

..n—1

答A案f：1一廠

11.在直角梯形ABC。中，ZA=90°,ZB=30°,AB=2小,BC=2,點(diǎn)E在線段CO

上，若AE=AO+/A5,則〃的取值范圍是.

解析：由題意，得40=1,。0=小，：JAB=2DC―

?.?點(diǎn)E在線段C。上，：JDE=fDC(0W2W1).

----A---->----A----A----A---->----?----A----A2〃----?2"

AE=AD+DEf又AE=AD+"A6=AD+2"DC=AD+%DE,.*.-^=1,即"

=幺

=2,

VO^^l,.?.0O?W即〃的取值范圍是0,\.

答案：［o,\

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

課程標(biāo)準(zhǔn)

1.了解平面向量基本定理及其意義.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.

4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

基礎(chǔ)扎牢基礎(chǔ)不牢?地動山搖

[由教材回扣基礎(chǔ)】

1.平面向量基本定理

如果ei，e2是同一平面內(nèi)的兩個丕共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且

只有一對實(shí)數(shù)九,七，使a=4iei+%2e2.其中,不共線的向量ei，e?叫做表示這一平面內(nèi)所有

向量的一組基底.

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模

設(shè)a=(xi,ji),b=(*2,72),則

a+b=(處+也,yi+y2),a—b=(――也,yi—y2),

2a=(2xi,Avi),\a\=\[xl+yi.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(X1,Ji),6(X2,丁2),則Ab=(切一處，力一W),\AB|=yj(xz—Xi)2+(yz—Ji)2.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,ji),b=(“2，72),貝!]a〃bOx,2—X29=0?

澄清微點(diǎn)?熟記結(jié)論

(1)若a與b不共線，且2a+/b=0,則2="=0.

(2)已知尸為線段的中點(diǎn)，若A(xi,ji),3(X2,竺)，則尸點(diǎn)坐標(biāo)為第也，嚀山).

(3)已知△ABC的頂點(diǎn)A(xi,ji),3(X2,J2),C(x3,y3),其重心G的坐標(biāo)為

^Xi+X2+X3力+力+⑶

V3'3/

(4)a〃b的充要條件不能表示為§■=?,因?yàn)楸兀?2有可能為0.

Myi

(5)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向量，

無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.

[練小題鞏固基礎(chǔ)]

一、準(zhǔn)確理解概念(判斷正誤)

(1)平面內(nèi)的任意兩個向量都可以作為一組基底.()

(2)若a,b不共線，且九a+"ib=22a+〃2b,則2I=%2,〃i=〃2.()

(3)若a=(xi，ji),b=(X2，j2)，則a〃b的充要條件可表示成§=也)

xiyi

(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換，其坐標(biāo)不變.()

答案：⑴X(2)V⑶X(4)7

二、練牢教材小題

1.(新教版必修②P25例1改編)已知平行四邊形A5CD,點(diǎn)E,尸分別是45,5c的中

點(diǎn)，設(shè)4%=a,AD=b,則=()

A.1(a+b)B.l(a—b)

C.l(b—a)D.la+b

答案：A

2.(新教A版必修②P29例4改編)已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,貝1]b=()

A.(1,2)B.(-1,-2)

C.(-1,2)D.(1,-2)

答案：B

3.(新教B版必修②Pl66T4改編)已知向量畝=(1,-2),~OB=(2,-3),OC=(3,

t),若A,B,C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)f=.

答案：一4

三、練清易錯易混

1.(混淆基底的選擇)在正方形ABC。中，E為OC的中點(diǎn)，若衣=2京+〃就，貝!U

+"的值為()

A,2—2

C.1D.-1

解析：選A因?yàn)镋為OC的中點(diǎn)，所以就=3+詬芹+茄=豪而+

DE+AD=\AB+AE,即4、=—14]++1,所以7=—〃=1,所以)+"=：.

2.(混淆單位向量的方向)已知4(一5,8),3(7,3),則與向量入市反向的單位向量為

解析：由已知得1=(12,-5),所以以咨|=13,因此與瓦市反向的單位向量為一百蠡

XT，

答案：T，S

3.(忽視基向量不共線)給出下列三個向量：a=(—2,3),b=(l,—y，c=(—1,1),在

這三個向量中任意取兩個作為一組，能構(gòu)成基底的組數(shù)為.

解析：易知a〃b,a與c不共線，b與c不共線，所以能構(gòu)成基底的組數(shù)為2.

答案：2

--方向不對，努力白費(fèi)

命題視角一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(自主練通)

1.(2022?福州模擬)已知在平行四邊形ABCD中，赤=(3,7),~AB=(-2,3),對角線

AC與交于點(diǎn)O,則前的坐標(biāo)為()

解析：選C因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛3C。中，茄=(3,7),AB=(-2,3),對角線AC與

5。交于點(diǎn)0,所以CO~2,一5）故選C.

2.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=ia+"b(2,"

CR)，則)=()

a

A.1B.2C.3D.4

解析：選D以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角y

坐標(biāo)系(設(shè)每個小正方形邊長為1),則A(l,-1),5(6,2),C(5,-1),

/.a=AO=(-l,l),b=OB=(6,2),c=BC=(-l,-3).Vc=^a+//b,

T+6M=-1,i2—2

.,.(-1,-3)=A(-l,l)+//(6,2),則,，解得7=-2,H=~^,.---=-7=4.

2+2//=—3,/M_A

2

3.(2019?全國口卷)已知向量a=(2,3),b=(3,2),貝！||a—b|=()

A.^2B.2

C.5^2D.50

解析：選AVa-b=(2,3)-(3,2)=(-l,D,

|a-b|=^/(-l)2+l2=V2.

4.已知A(7,l),8(1,4),直線y=5x與線段A3交于C,且衣=2苕，則實(shí)數(shù)。=.

解析：設(shè)C(x,y),則就=(*-7,y~l),~CB=(l~x,4~y)."：~AC=2CB,:.

x—7=2(1—x),|x=3,/.C(3,3).又在直線y=&x上，.'.3=|aX3,：.a=2.

解得

Ly-l=2(4-j),b=3,

答案：2

5.已知A(—2,4),8(3,-1),C(-3,-4).設(shè)方'=a,'BC=b,~CA=c,且而=

3c,~CN=~2b.

⑴求3a+b—3c；

(2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n；

(3)求M,N的坐標(biāo)及向量而的坐標(biāo).

解：由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(l,8).(l)3a+b-3c=3(5,—5)+(—6,

一3)—3(1,8)=(15—6—3,-15-3-24)=(6,-42).

=:

〃5,m19

(2)因?yàn)闄C(jī)b+〃c=(—6機(jī)+〃，—3m+8/i),所以“解得，