2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之橢圓

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之橢

選擇題（共8小題）

丫22y/2

1.（2024?德州開學(xué)）已知橢圓C：a+必=l（a>0）,則“a=3”是“橢圓C的離心率為虧”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.（2024秋?承德月考）已知橢圓T：:*l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為人，尸2,T上一點(diǎn)A滿足

\AF2\=2b,若則T的離心率為（）

3.（2023秋?酒泉期末）某班級(jí)物理社團(tuán)同學(xué)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個(gè)焦

點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問(wèn)題：已

知橢圓C的方程為n=1,其左、右焦點(diǎn)分別是A,F2,直線/與橢圓C切于點(diǎn)尸，且|PFi|=6,

過(guò)點(diǎn)尸且與直線/垂直的直線機(jī)與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)。，則段=（）

1^2<21

XV

4.（2023秋?越城區(qū)校級(jí)期末）已知產(chǎn)為橢圓及―+―=1的右焦點(diǎn)，直線皿-y+m=0與橢圓交于點(diǎn)

A,B,則網(wǎng)的周長(zhǎng)為（）

A.4B.2V3C.8D.48

x2y2

5.（2024?陜西模擬）已知橢圓工工+臺(tái)=1的焦點(diǎn)在y軸上，若焦距為4,則該橢圓的離心率為（）

V52V51V3

A.—B.-----C.-D.—

5523

6.（2024春?亳州期末）設(shè)為，尸2分別是離心率為冷的橢圓C：各鳥=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)八的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，且|AH|=3|乃3|,則COS/AF2B=（

7.（2024秋?安徽月考）已知橢圓C：竽+[=1（>>0且入W4）,則“C的離心率e:乎”是“入=8”的

（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

x2

8.（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓:■+/=1,作垂直于I軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，作垂

直于y軸的直線交橢圓于C,D兩點(diǎn)，且|A2|=|C￡?|,兩垂線相交于點(diǎn)P,若點(diǎn)尸的軌跡是某種曲線（或

其一部分），則該曲線是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

二.填空題（共8小題）

9.（2024秋?大慶月考）已知尸是橢圓C：冒+，=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)，直線y=fcv（20）交橢圓C

于M,N兩點(diǎn).若|FM|=3|FN|,/MFN=箋,則橢圓C的禺心率為.

10.（2024秋?江西月考）已知橢圓C；務(wù)，=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸i,F1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸2且垂

直于x軸的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且|AFi|=10,|AB|=12,則橢圓C的離心率

為.

11.（2024秋?開福區(qū)校級(jí)月考）已知橢圓C；攝+，=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為四，尸2,點(diǎn)尸是

橢圓C上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)PF2交橢圓C于點(diǎn)M,且△乃PM為等邊三角形，則橢圓C的離心率

為.

汽2v2TC

12.（2024?重慶模擬）已知點(diǎn)/為橢圓/+正=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作一條傾斜角為的

—>―?—>—>

直線交橢圓于尸，。兩點(diǎn)，|FP+FQ|=|FP—FQ|,則該橢圓的離心率為.

第2

13.（2024春?沙市區(qū)校級(jí)月考）尸是橢圓C：—+/=1上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接尸為，PF1,設(shè)/

4

為尸尸2的角平分線交。的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（如0）,則徵的取值范圍.

14.（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）方程——+人一=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，則X的取值范圍

3-mm-1

是.

x2y2

15.(2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期末)已知橢圓一+乙=1的左、右焦點(diǎn)分別為乃、F1.若尸為橢圓上一點(diǎn)，

167

且|PA|?|尸尸2|=14,則△為尸尸2的面積為.

16.(2023秋?北海期末)如圖，已知橢圓C/+瓦=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為八，F(xiàn)1,過(guò)橢

1

圓左焦點(diǎn)Fi的直線與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn)，|。氏2|=2|尸產(chǎn)2|,cos/尸尸2。=5，則橢圓C的禺心率

為.

三.解答題(共4小題)

17.(2024?江西開學(xué))已知橢圓C：鳥+4=l(a>6>0)的離心率為烏右焦點(diǎn)為R點(diǎn)(一孝印)在C

dI)2乙乙

上.

(1)求C的方程;

(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在直線/：y^kx+m(20)上，若直線/與C相切，且出，/,求|。4|

的值.

x2y2

18.(2023秋?西固區(qū)校級(jí)期末)已知橢圓=+77=l(a>6>0)的焦點(diǎn)是尸2,且尸1尸2|=2,禺心率

azoz

為也

(1)求橢圓C的方程；

(2)若橢圓C與直線y=x+:〃交于M,N兩點(diǎn)，且|MN|=^求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

19.(2024秋?湖南月考)已知橢圓C：冬+*l(a>b>0)的焦距為2也且C的離心率為子.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若A(-3,0),直線/：x=ty+\(Z>0)交橢圓C于E,尸兩點(diǎn)，且△AEF的面積為舊，求t

的值.

x2y2

20.(2024?開封模擬)已知橢圓C：混+記=1(。>力>0)的左，右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為A,且

—>T

AFr-AF2=0.

（1）求C的禺心率；

8

-

（2）射線AF1與C交于點(diǎn)B,且3求△A8R的周長(zhǎng).

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之橢圓（2024年9月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

22A/2

1.（2024?德州開學(xué)）己知橢圓C：r云+外=1（口>°），則“。=3”是“橢圓C的離心率為虧”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】求橢圓的離心率；充分不必要條件的判斷.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；簡(jiǎn)易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】本題利用橢圓的幾何性質(zhì)列出方程，求得。的值，再結(jié)合充分、必要條件的判定方法，即可得

出結(jié)果.

【解答】解：由橢圓C的方程w+y?=1（。〉0）可得，

①當(dāng)〃>1時(shí)，可得c=—1,此時(shí)橢圓的離心率為e=卜=一壺,

由？=￥^可得，J1-，=解得4=3,

當(dāng)0<aVl時(shí)，可得c=-*此時(shí)橢圓的離心率為e='="1—了2,

由？=孥可得，田彳=竽，解得

x2____

②當(dāng)a=3時(shí)，則橢圓C的方程為丁+y?=l（a>0）,則此時(shí)c=V9^1=2A/2,

此時(shí)橢圓C的離心率為e=三=絳,

2y/2

綜上得，〃=3是橢圓C的離心率為三的充分不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)以及充分、必要條件的判定方法，屬于中檔題.

2.（2024秋?承德月考）已知橢圓T：,*l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,Fi,T上一點(diǎn)A滿足

\AF2\=2b,^AF21AFI,則T的離心率為（

【考點(diǎn)】求橢圓的離心率.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】利用已知條件，結(jié)合橢圓的定義，推出a,b的關(guān)系，然后求解離心率即可.

【解答】解：橢圓T;喘+，=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為乃，F(xiàn)2,T上一點(diǎn)A滿足叱2|=2b,

AF2±AFI,

可得|AFI|=74c2—4b2,所以J4c2—442+2b=2a,即c?-廬=/-2ab+/,可得3b=2a,

所以e=(V5

T-

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題.

3.(2023秋?酒泉期末)某班級(jí)物理社團(tuán)同學(xué)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個(gè)焦

點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問(wèn)題：已

第2V2

知橢圓C的方程為石+石=1,其左、右焦點(diǎn)分別是尸2,直線/與橢圓C切于點(diǎn)P,且『門|=6,

過(guò)點(diǎn)尸且與直線/垂直的直線機(jī)與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)。，則段=()

【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征.

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】由光反射的性質(zhì)易得PQ平分/人尸尸2,再由橢圓的定義及已知即可求比例.

【解答】解：由題設(shè)可知。=5,b=273,且/。尸為=/。尸/2,

即PQ平分/四尸尸2,

根據(jù)角平分線性質(zhì)可得需=臀,

\PF2\\F2Q\

又|PFI|=6,|PFi|+|PF2|=2a=10,

所以|尸刈=4,

I&QI63

所以=

\F2Q\~42

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的定義，重點(diǎn)考查了內(nèi)角平分線定理，屬基礎(chǔ)題.

x2y2_

4.（2023秋?越城區(qū)校級(jí)期末）已知F為橢圓E：—+—=1的右焦點(diǎn)，直線3->利=0與橢圓交于點(diǎn)

A,B,則的周長(zhǎng)為（）

A.4B.2V3C.8D.4百

【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】直線蛆-y+m=0恒過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，利用橢圓的定義求得△AM的周長(zhǎng).

【解答】解：：直線妙-y+機(jī)=0恒過(guò)的定點(diǎn)門（-1，0）為橢圓E的左焦點(diǎn)，

由橢圓的定義知AAFB的周長(zhǎng)為|AE+|A3|+|BF|=|AF|+|AFi|+|BFi|+|BF|=2a+2a=4a=8.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

x2y2

5.（2024?陜西模擬）已知橢圓工工+七=1的焦點(diǎn)在y軸上，若焦距為4,則該橢圓的離心率為（）

V52V51V3

A.—B.-----C.-D.—

5523

【考點(diǎn)】求橢圓的離心率.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】利用焦點(diǎn)在y軸上可求/的范圍，進(jìn)而由「4-（10-Z）=4,可求人

【解答】解：由題得L4>10-r>0,可得

因?yàn)榻咕酁?,所以L4-（107）=4,解得t=9,

c22V5

所以橢圓的禺心率為一=-

aV55

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

6.(2024春?亳州期末)設(shè)為，尸2分別是離心率為座的橢圓C：鳥+4=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)

2ab

點(diǎn)八的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，且［4歷|=3|乃3|,則COS/AF28=()

1V223

A.—B.—C.—D.—

5555

【考點(diǎn)】橢圓的焦點(diǎn)三角形.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】設(shè)G>0),由題意及橢圓的定義，可得|A尸2|,|AFi|,阿的值,在尸2和△入加I2

中，由余弦定理可得a,/的關(guān)系，進(jìn)而可得△AF28為直角三角形，再求出COS/AF2B的值即可.

【解答】解：因?yàn)閑=(=￥，所以a=/c,

設(shè)出尸l|=fG>0),貝\AB\=\AFi\+\BFi\=4t,

由橢圓的定義得|A五2|=2a-3t,\BF2\=2a-t,

(3t)2+(2a—3t)2-(2c)2_9產(chǎn)+(2a—3t)2-2a2

在△AA/?2中，由余弦定理得COS/=

2x3tx(2a—3t)2x3tx(2a—3t)

(4t)2+(2a-3^)2—(2a—_16t^+(2ci-3t—(2a—t)

在中，由余弦定理得cos/=

2x4tx(2a—3t)2x4tx(2a—3t)

9t24-(2a-3t)2-2a216t2+(2a-3t)2-(2a-t)2

歷以------------------=------------------------,

2x3tx(2a-3t)2x4tx(2a-3t)

整理得3at=a2,即a=3t,

所以以尸2|=3/=八尸1|,\BF2\=5t,

又|A3|=43

所以|A尸2『+|A5|2=|3/2『，即A=90。,

所以cosZAF2B=!

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

7.(2024秋?安徽月考)已知橢圓C：手+4=1(入>0且入W4),則“C的離心率e=?”是“入=8”的

A4,Z

()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】由橢圓的離心率求解方程或參數(shù)；必要不充分條件的判斷.

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓離心率定義，對(duì)參數(shù)人的取值進(jìn)行分類討論，分別判斷充分性和必要性即可.

【解答】解：已知橢圓C；1（入＞0且入W4）,

當(dāng)C的離心率e=乎時(shí)，

若0＜入＜4,有e=^^=孚，

解得入=2,即充分性不成立；

當(dāng)人=8時(shí)，得橢圓C：

此時(shí)離心率為e=早=轟=*,

即必要性成立.

所以“C的離心率e=孝“是"入=8”的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓離心率的定義，重點(diǎn)考查了充分性和必要性，屬中檔題.

x2

8.（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓一+/=1,作垂直于無(wú)軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，作垂

4

直于y軸的直線交橢圓于C,D兩點(diǎn)，且|4均=|。|,兩垂線相交于點(diǎn)尸，若點(diǎn)尸的軌跡是某種曲線（或

其一部分），則該曲線是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】利用已知條件判斷軌跡是雙曲線，并利用條件求解軌跡方程，推出結(jié)果即可.

【解答】解：???ABW2,...COW2,判斷軌跡為上下兩支，即選雙曲線，

設(shè)A(m,/),DQt,〃)，

所以P(m,n),

,,m2「12n2m2

因?yàn)?-+P=1,-+n2=l,消去/可得z：-3----=1.

4412

4

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法與判斷，是基本知識(shí)的考查，基礎(chǔ)題.

二.填空題(共8小題)

9.(2024秋?大慶月考)已知F是橢圓C：*l(a>b>0)的左焦點(diǎn)，直線尸質(zhì)(20)交橢圓C

于M,N兩點(diǎn).若|FM|=3|FN|,/MFN=等則橢圓C的離心率為f.

【考點(diǎn)】求橢圓的離心率.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】v-

【分析】設(shè)/2是橢圓C的右焦點(diǎn)，分析可知FA加2N為平行四邊形，根據(jù)橢圓定義可得|M4|=筵以

|FM|=|a,利用余弦定理運(yùn)算求解.

【解答】解：設(shè)尸2是橢圓C的右焦點(diǎn)，連接MR,NF2,

由對(duì)稱性可知：\OM\=\ON\,\OF\=\OF2\,則FMF2N為平行四邊形,

則|MF2l=|FN|,AFMF2=9H\FM\=3\MF2\,

因?yàn)槿誐+|MQI=4|MF2|=2a,貝?。菟氖?1=方口，\PM\=|a,

22

在△■Wf'2中，由余弦定理可得|尸產(chǎn)2『=\MF2\+\FM\-2\MF2\-\FM\-COS^.FMF2,

19131c2

即222

-a+-a-----

4C44222a2

所以橢圓C的離心率為e=$=居=￥.

a\az4

故答案為：一V7.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓離心率的求解，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

10.(2024秋?江西月考)已知橢圓C；「+，=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B，F(xiàn)1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)入且垂

1

直于無(wú)軸的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且［4乃|=10,|4為=12,則橢圓C的離心率為萬(wàn).

【考點(diǎn)】求橢圓的離心率.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】

【分析】根據(jù)題意利用勾股定理求出2c,再由橢圓定義求出2a即可得解.

【解答】解：由題意知AB1F?\AFr\=10,\AF2\==6,

2222

所以向&|=7IXFJ-\AF2\=V10-6=8=2c,即c=4,

又|AFi|+|AF2|=16=2a,即a=8,

所以e=5。

uoZ

故答案為：j.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，離心率的求法，是基礎(chǔ)題.

11.(2024秋?開福區(qū)校級(jí)月考)己知橢圓C；各，=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為四，尸2,點(diǎn)尸是

叵

橢圓C上的一點(diǎn)，延長(zhǎng)「放交橢圓C于點(diǎn)M,且為等邊三角形，則橢圓C的離心率為—.

【考點(diǎn)】求橢圓的離心率.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

V3

【答案】y.

4

-a

【分析】根據(jù)橢圓的定義可得下1PI+IF1M+/2川+氏2M=4a,則|&P|=\FrM\=\PM\3求得IPF2I=

竽，結(jié)合余弦定理計(jì)算可得c2巖a2,即可求解.

【解答】解：由橢圓的定義知,

△BPM的周長(zhǎng)為舊iP|+|乃M+IPM=|PIP|+|F2P|+|F2M+|PIM+|=4〃,

因?yàn)椤魇瑸榈冗吶切?，所以|「尸|=|F1M=|PM1，

4

-Q

所以|&P|=IRMI=\PM\3

又或1P|+|尸92|=2a,所以%|=竽，

42

在△PF1F2中，由余弦定理得(2c)2=4a)2+(ja)2-2--7-T

333

整理得，c2=1a2,所以e='=*.

V3

故答案為：y.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

y2冗

12.(2024?重慶模擬)已知點(diǎn)尸為橢圓/+記=l(a>6>0)的右焦點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作一條傾斜角為的

—>—>—>—>

直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，\FP+FQ\=\FP-FQ\,則該橢圓的離心率為—1_.

【考點(diǎn)】橢圓與平面向量.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】V3-1.

【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為宜，尸為第一象限的點(diǎn)，則根據(jù)題意易得四邊形尸尸。尸為矩形，且/尸尸

F=l，從而可得|尸尸|=奶,尸尸c,吐'|=郛'F\=V3c,再根據(jù)離心率的定義，即可求解.

【解答】解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為尸'，尸為第一象限的點(diǎn)，

,：\FP+FQ\=\FP-FQ\,兩邊平方可得FP?FQ=0,

：.FPLFQ,

四邊形尸〃QB為矩形，又/尸。尸=等

ZPF'F=Z

O

：.\PF\=^F'F]=c,\PF'\=^\F'F\=V3c,

該橢圓的離心率-笄=鬲褊=薪=百一L

故答案為：V3—1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓離心率的求解，橢圓的幾何性質(zhì)，屬中檔題.

第2

13.（2024春?沙市區(qū)校級(jí)月考）尸是橢圓C：—+/=1上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接尸為，PF2,設(shè)/

4'

a3

F1PF2的角平分線PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（/",0）,則m的取值范圍（—9；）.

22

【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征.

【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】設(shè)|PF1|=3\PF2\=n,由角平分線的性質(zhì)可得三=學(xué)?=若芻利用橢圓的定義可得什〃

n\F2M\V3-m

=2a=4,消去f得到〃=如管辿，再根據(jù)。-c<w<a+c,即可得到機(jī)的取值范圍.

V3

第2

【解答】解：—+y2=l,則。=2,c=V3

4

如圖所示，^\PFi\=t,\PF2\=n,

由角平分線的性質(zhì)可得工=禺=若回，

n\F2M\V3-m

又汁w=2a=4,消去t得到，化為上3=*3〃=2（之一）

nV3-mV3

*.*a~cV〃V〃+c,即2——y/3<Oi<C2+V3>也即2——<2（4^廠TH）<^2-1-^/3

V3

解得<m<!

23

???加的取值范圍（一會(huì)-）,

/2

故答案為：（-卷（）

/2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓錐曲線的定義的應(yīng)用，試題在平面幾何中的三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，考查

運(yùn)算能力，屬于中檔題.

X2V2

14.（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）方程——+——=1表示焦點(diǎn)在無(wú)軸上的橢圓，則元的取值范圍是（1,

3-mm-1

2）.

【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征.

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1,2）.

【分析】方程H+二=1表示焦點(diǎn)在無(wú)軸上的橢圓，則「一小’小一I然后求解.

3-mm-11m-1>0

x2y2

【解答】解：方程;一+上二=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，

3-mm-1

?,f3—m>m—1

貝Ij,

Im-l>0

即1<根<2.

故答案為：（1,2）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

x2y2

15.（2023秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓一+2=1的左、右焦點(diǎn)分別為為、尸2.若尸為橢圓上一點(diǎn)，

167

且|PA|?|Pb2|=14,則△為Pf2的面積為」

【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】7.

【分析】根據(jù)橢圓的定義和已知條件求解cos/為PR,進(jìn)而求解/乃PR,即可求解結(jié)論.

久2V2

【解答】解：???橢圓7+—=1,

167

.??〃=4,b=近,c—Va2—b2=3,

???|尸尸|1十|尸「2|=2。=8,\FIF2\=2C=6,

?,CQ/由PF.-「相+」顯一％婿_（仍%|+儼41）2—2仍％卜仍尸21一尸1尸2|2_82_2X14-62_

-U,

??c°sN'irr2——2PFrPF2--2|PF1|-|PF2|-2x14

可得/為尸尸2=號(hào)

sinNHP尸2=1.

11

故△為尸尸2的面積為：一X|PFI|-|PF|=5X14=7.

22/

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，涉及橢圓中三角形的面積和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

XV

16.（2023秋?北海期末）如圖，已知橢圓C：—+—=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為尸1,尸2,過(guò)橢

1_

圓左焦點(diǎn)尸1的直線與橢圓C相交于P,。兩點(diǎn)，\QF2\=2\PF2\,COSZPF22=J,則橢圓C的禺心率為

Vio

【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征.

.林金、Vio

【答案】—.

【分析】設(shè)吐2|=〃7,由題意可得各線段的值,ZV3。B中，由余弦定理可得機(jī)的值，進(jìn)而可得。打=|。人|,

即/。尸尸2=/尸尸2。，△尸尸1政中，由余弦定理可得。，C的關(guān)系，進(jìn)而求出該橢圓的離心率的大小.

【解答】解：設(shè)|尸尸2|=加，由橢圓的定義及題意可得|PFi|=2a-"z,|QF2|=2〃Z,

\QFi\=2a-2m,\PQ\=\QFi\+\PFi\=4a-3m,

1

在APQF2中，cosZPF2Q=4，

由余弦定理可得：cos/P3=把±0其需尸上另，

4//€?乙〃I1

解得m=1牛,

\PF1\=\PF2\=

所以|尸。|=等，|。尸2|=第，則/。尸尸2=/弘2。，

,1

可得cosZQPFi=cosZPFiQ=彳，

含）2+（勖2_（2C）

在△PF1F2中，由余弦定理可得：COSZFIPF2=^~~:

2-^a-|a

整理可得：2次=5已可得6=標(biāo)=等.

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

三.解答題(共4小題)

17.(2024?江西開學(xué))已知橢圓C：鳥+4=l(a>6>0)的離心率為烏右焦點(diǎn)為R點(diǎn)(一孝印)在C

dI)2乙乙

上.

(1)求C的方程；

(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在直線/：y^kx+m(20)上，若直線/與C相切，且曲，/,求|。4|

的值.

【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；根據(jù)abc及其關(guān)系式求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

x2

【答案】(1)萬(wàn)+y2=1；

(2)\OA\=V2.

【分析】(1)根據(jù)橢圓離心率定義和橢圓上的點(diǎn)以及。，6,c的關(guān)系式列出方程組，解之即得；

(2)將直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，根據(jù)題意，由A=0推得瘍=2啟+i,又由項(xiàng)，/,寫出直線朋

的方程，與直線/聯(lián)立，求得點(diǎn)A坐標(biāo)，計(jì)算|。4『，將前式代入化簡(jiǎn)即得.

'c=V2

a~2

【解答】解：(1)設(shè)/(c,0),依題意，O,3_

Ia2=h2+c2

解得。2=2,廿=1,

比2

故C的方程為一+y2=1.

2

(2)如圖，依題意尸(1,0),

y=kx+m

聯(lián)立X2,

G+y2=i

消去y,可得(2爛+1)/+4上加x+2加之-2=0,

依題意，需使A=16必加2-4(2戶+1)(2m2-2)=0,

整理得毋=29+1(*).

因?yàn)閷O，/,

則直線砌的斜率為-2

則其方程為y=—%(%—1)，

1

聯(lián)立y=—1QT),

y=kx+m

1—km

x—1+fc2

解得

m+k

即片

(1—fcm)2+(fc+m)2_k2m2+k2+m2+l_(fc2+l)(m2+l)_m2+l

故|。川2=

222272

(1+上)(1+k)(1+k)*

…,m2+l2k2+2

將⑴代入得,====2,

故=V2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓離心率的定義和橢圓的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，屬中檔題.

y2

18.（2023秋?西固區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓=+77=1（口〉6>0）的焦點(diǎn)是八,F1,且尸1放|=2,離心率

（1）求橢圓C的方程;

（2）若橢圓C與直線交于N兩點(diǎn)，且|“可|=等與，求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓的幾何特征.

【專題】綜合題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

22

【答案】⑴x丁+y一1;

(2)±2.

【分析】（1）由題意求出c=l,a=2,進(jìn)而得到戶，求出橢圓方程;

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)根的判別式得到-77Vm〈⑺，得到兩根之和，兩根之積，利用弦長(zhǎng)

公式表達(dá)出弦長(zhǎng)，得到方程，檢驗(yàn)后即可得到實(shí)數(shù)機(jī)的值.

【解答】解：⑴因?yàn)槭?尸2|=2C=2,

所以C=l,

因?yàn)闄E圓的離心率e=T=4，

解得4=2,

則b2=a2-(?=4-1=3,

x2y2

故橢圓C的方程為了+—=1；

43

y=x+m

(2)聯(lián)立%2y2,消去y并整理得7?+8必+4加2-12=0,

(T+T=1

止匕時(shí)A=64m2-28(4加2-12)>0,

解得-近

不妨設(shè)M(xi,yi),N(%2,”)，

由韋達(dá)定理得+%2=一學(xué)，X1X2=4-712,

2xx2

則|MN|=Vl+lV(i+2)-4%1%2=V2-J(一竽)2—4?細(xì)

B164m2~16m2-48/336-48m2

=72-7-=72-J—49—，

因?yàn)閨MN|=耍，

所以魚?爛浮=竿，

解得加=±2,滿足一夕

故實(shí)數(shù)機(jī)的值為±2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

19.(2024秋?湖南月考)已知橢圓C；今+，=l(a>b>0)的焦距為2a，且C的離心率為日.

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若A(-3,0),直線/：x=ty+l(t>0)交橢圓C于E,尸兩點(diǎn)，且的面積為舊，求r

的值.

【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系及公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；根據(jù)橢圓的幾何特征求標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專題】方程思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

X2V2

【答案】(1)—+—=1;

42

(2)t=V2.

【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)直接求解；

（2）結(jié)合韋達(dá)定理與題目條件，結(jié)合三角形面積公式即可得解.

【解答】解：（1）由題意得：2c=e=^=即c=/，a-2,則房=°2一。2=2,

X2V2

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+v=1-

42

（2）由題意設(shè)E（xi,F（尤2,J2）,

X=ty+1

聯(lián)立yi,消去X得：（尸+2）尸+2。-3=0,

E+2=1

則人=4尸+12（?+2）=16?+24>0,%+火=一含，、，2=一目

LI乙vI乙

_________________4/_2I?

可得M—%I=，（為+乃）2-4%光=—---2+

1（產(chǎn)+2）t+2

設(shè)直線/與x軸的交點(diǎn)為。（1,0）,且A（-3,0）,則|AD|=1-（-3）=4,

12/4t2+6

故SAAEF=2恒叫,一=2X7t2+2=解得=6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

x2y2

20.（2024?開封模擬）已知橢圓C：￡+瓦=l（a〉b〉0）的左，右焦點(diǎn)分別為g，F(xiàn)1,上頂點(diǎn)為A,且

AFr-AF2=0.

（1）求C的離心率；

8

-

（2）射線&乃與C交于點(diǎn)2,S.\AB\3求△ABE?的周長(zhǎng).

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的幾何特征.

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

V2

【答案】（1）y；

（2）8.

-?―）

【分析】（1）由橢圓可得力=0,可得。，C的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率；

（2）由（1）可得a與c,。與c的關(guān)系，設(shè)直線A門的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，

求出IABI的表達(dá)式，由題意可得c,。的值，由橢圓的性質(zhì)可得△ABEz的周長(zhǎng)為4”，即求出三角形的周

長(zhǎng).

【解答】解：（1）上頂點(diǎn)為A,且4%S%2=0，

可得（-c,-b）*（c,-b）=0,

即b2=c2,即a2-c2=c2,

所以離心率e=（=￥；

（2）由（1）可得Z?=c,a=y/2c,

h

射線AF\的方程為k-x+b=x+c,

y=x+c

x2y2_整理可得：3/+4c%=0,

I2?+72=1

41

--

解得I=0或1=33

4

即3-c

3

48

所以四|=J(_gc)2+(c+翔2--

33

解得c=V2,

則a=2,

所以△ABR的周長(zhǎng)為4a=8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用及橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.