導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算【6類(lèi)題型】-2025年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型追蹤與重難點(diǎn)專(zhuān)題突破（新高考專(zhuān)用）

專(zhuān)題3，導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

2024年甲卷第6題，5分

2024年I卷第13題，5分高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查相對(duì)穩(wěn)

定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難(1)導(dǎo)數(shù)的概念和定義

度均變化不大.重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

2023年甲卷第8題，5分(2)

計(jì)算、四則運(yùn)算法則的應(yīng)用和求(3)求過(guò)某點(diǎn)的切線方程

切線方程為主.

2021年I卷第7題，5分

2021年甲卷第13題，5分

模塊一、熱點(diǎn)題型解讀(目錄)

【題型1】平均速度(變化率)與瞬時(shí)速度(變化率)

【題型2】導(dǎo)數(shù)的定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算

【題型4】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

【題型3】導(dǎo)數(shù)的幾何意義初步

【題型5】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

【題型6］導(dǎo)數(shù)的賦值運(yùn)算

模塊二1核心題型?舉一反三

【題型1】平均速度(變化率)與瞬時(shí)速度(變化率)

基礎(chǔ)知識(shí)

L求平均變化率的主要步歌：

(1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量^y=f(x2)-fixi).

(2)再計(jì)算自變量的改變量\X=X2~X\.

Ay于（%2）——（xi）

（3）得平均變化率Ax=xi—x\?

2.瞬時(shí)速度是當(dāng)加―0時(shí)，運(yùn)動(dòng)物體在力到力+山這段時(shí)間內(nèi)的平均速度的極限值，瞬時(shí)速度與平

均速度二者不可混淆.

1.函數(shù)/（%）=/在區(qū)間［〃，20上的平均變化率為15,則實(shí)數(shù)，的值為（）

A.-B.-C.1D.2

32

2.已知函數(shù)產(chǎn)/（力=2/+1在l=4處的瞬時(shí)變化率為-8,貝!］/（%）=.

【鞏固練習(xí)1】某物體的運(yùn)動(dòng)方程為s?）=3/，若v=lin/（3+「）一$（3）=18加/s（位移單位：機(jī)，

△r->0t

時(shí)間單位：S）,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.18m/5是物體從開(kāi)始到3s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度

B.18而s是物體從3s到（3+△t）s這段時(shí)間內(nèi)的速度

C.18根/s是物體在3s這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度

D.18m/s是物體從3s到（3+△t）s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度

【鞏固練習(xí)2］若函數(shù)/（尤）=尤2在區(qū)間［%,%+Zkx］上的平均變化率為匕，在區(qū)間［與-△》，x0］

上的平均變化率為左2,貝N）

A.k、>k2

B.kx<k2

C.K=h

D.左與心的大小關(guān)系與毛的取值有關(guān)

【鞏固練習(xí)3】如圖1,現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為10cm高為25cm的圓錐容器，以2cm?/s的速度向該容

器內(nèi)注入溶液，隨著時(shí)間/（單位：S）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示,

忽略容器的厚度，則當(dāng)?=兀時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（）

B.陋加/sC.返cm/sD.迺疝/s

6兀5713兀2兀

【題型2】導(dǎo)數(shù)的定義中極限的簡(jiǎn)單計(jì)算

基礎(chǔ)知識(shí)

函數(shù)/（無(wú)）在X=x。處瞬時(shí)變化率是lim絲=lim/（%+―）-/（無(wú)。）,我們稱(chēng)它為函數(shù)y=/（x）在

彳=尤0處的導(dǎo)數(shù)，記作或>[4陽(yáng).

知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

①增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0.-->0的意義：Av與0之間距離要多近

有多近，即|Ax-O|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當(dāng)AxfO時(shí)，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與

空/0+九）-/5）無(wú)限接近;

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率.如瞬時(shí)速度即是位移在這一

時(shí)刻的瞬間變化率，即/（尤o）=lim—=lim+二）―.

°Ax-Ax

導(dǎo)數(shù)的物理意義

函數(shù)s=s?）在點(diǎn)灰處的導(dǎo)數(shù)s?o）是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度V,即u=s，（％）；V=v（r）在點(diǎn)J的導(dǎo)

數(shù)M?o）是物體在,0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度。，即1=1/?0）?

于(x0+h)—于—h)

3.若函數(shù)y=/（X）在區(qū)間（a，5）內(nèi)可導(dǎo)，且Xo￡（a,b）,則lim的值為（)

h

A./'(%)B.2廠(%)

C.—27'（九0）D.0

4.（2024?江蘇南通二模）已知〃力=%3一爐，當(dāng)〃30時(shí)，川+川->⑴-_____.

h

【鞏固練習(xí)1】設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，f（1）=1則lim/（1+A"）-AD=_.

△A。3AX

【鞏固練習(xí)2】函數(shù)y=fS）在區(qū)間①/）內(nèi)可導(dǎo)，且尤°e（a,加若lim幺包士々二色二々=2,則（）

2。h

A.廣（%）=1B./'（%）=2C.廣@）=4D.1（%）不確定

【鞏固練習(xí)3】（多選題）已知/（x）,g（x）在R上連續(xù)且可導(dǎo)，且/'（%）70,下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)與極

限的說(shuō)法中正確的是（）

1"+的-/-嘰

AB.

-螞"弋T"?。〢/z-02A/z一

x+3x

/(oM-/(o)g(%+Ax)-g(x。)=g，(xO)

C.lim=/r(xo)

r

心f03Ax^o/(x0+Ax)-/(x0)/(x0)

【題型4】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

基礎(chǔ)知豈］

一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

fM=C（。為常數(shù)）rw=o

f{x}=xa(aeQ)f'{x}=axa~x

f(x)=ax(a>0,。w1)fr(x)=ax\na

f(x)=logax(a〉0,aw1)/‘(x)=4

x\na

/(x)=H/'(x)=e'

f(x)=]nx

r(x)=-

X

f(x)=sinx/'(%)=cosX

f(x)=cosx/r(x)=-sinx

二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則："(x)±g(x)]=f\x)+g'(x);

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)]=/'(x)g(x)+/(x)g'(尤)；

[/(x)]=7'(x)g(x)-J(x)g'(x)

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)RO,

g(x)g2。)

特別地:

①丁二"了(無(wú))，y,=ex[f(x)+f'(x)]

ee

5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

Inx

(l)y=xex(2)y=――-；

x+1

6.設(shè)函數(shù)/(無(wú))=尤@+1)(尤+2)…(尤+10),則廣(0)的值為()

A.10B.59C.10x9x—x2xlD.0

【鞏固練習(xí)1］求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)/(%)=-2x3+4x2

⑵“x)=xe"

(3)/(x)=xsinx+cosx

(4)/(x)=^1

x-1

【鞏固練習(xí)2］求下列函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

(l)/(x)=(x+l)lnx-Vx；

⑵“x)=￥

【鞏固練習(xí)3］在等比數(shù)列｛%｝中，。1013=2,若函數(shù)/——…—〃2025)，

則/(。)=()

A.-22024B.22024C.-22025D,22025

【題型3】導(dǎo)數(shù)的幾何意義初步

基礎(chǔ)知識(shí)

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)的大小可以根據(jù)函數(shù)圖象，觀察對(duì)應(yīng)切線的斜率的

大小，函數(shù)y=/(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)尸(%)的幾何意義即為函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)尸(不，%)處的切線

的斜率.

7.函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示，下列不等關(guān)系正確的是()

A.0<r(2)<r(3)</(3)-/(2)

B.0</,(2)</(3)-/(2)</(3)

C.0</(3)</(3)-/(2)</\2)

D.0</(3)-/(2)</,(2)</,(3)

8.(湖南省2024屆高三數(shù)學(xué)模擬試題)曲線y=ln2x在點(diǎn)處的切線方程為()

A.2x-y+1=0B.2x-y-l=0C.2x-y+2=0D.2x-y-2=0

9.(23-24高三上?福建福州?期中)已知直線/與曲線/(x)=lnx+x2相切，則下列直線中可能與/

平行的是()

A.3x-y-l=0B.2x-y+l=0C.4%-y+l=0D.5%-y+3=0

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，/(x)是函數(shù)Ax)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的

是()

【鞏固練習(xí)2】(2024?全國(guó)?高考真題)設(shè)函數(shù)〃x)=e：；；nx,則曲線＞=/(力在點(diǎn)(0,1)處的切

線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為()

【鞏固練習(xí)3X2024?福建廈門(mén)?一模)已知直線/與曲線,=丁-尤在原點(diǎn)處相切，則/的傾斜角為()

715兀

A.D.

~6-7~6

【鞏固練習(xí)4】(2024?四川宜賓?模擬預(yù)測(cè))若曲線丁=/+〃在％=0處的切線也是曲線，=1浜的切線,

貝IJ”()

A.-2B.1C.-1D.e

【題型5】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

基礎(chǔ)知識(shí)

簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)復(fù)合函數(shù)的概念

一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)丁=/(〃)和M=g(x),如果通過(guò)中間變量〃，y可以表示成了的函數(shù)，那么稱(chēng)這

個(gè)函數(shù)為函數(shù)和〃=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=/(g(x)).

(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則正確地拆分復(fù)合函數(shù)是求導(dǎo)的前提

一般地，對(duì)于由函數(shù)＞="")和〃=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)》=/(以%)),它的導(dǎo)數(shù)y=X〃)，〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)

間的關(guān)系為yx'=yu'-ux',即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)a的導(dǎo)數(shù)與〃對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

10.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y=2sin(l-3x)；(2)y=--lnx+\ll+x2；