高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：解析幾何（新定義）（原卷版）

專題10解析幾何專題（新定義）

一、單選題

1.（2023春?浙江?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）正視圖近似于伯努利雙紐線，

定義在平面直角坐標系xOy中（。為坐標原點），把到定點4（-c,0）和8（c,0）距離之積等于c2（c>0）的點的

軌跡稱為雙紐線，記為「，己知尸（飛,幾）為雙紐線「上任意一點，有下列命題：

222

①雙紐線r的方程為（x+/=2c2（x-y）；

②△月尸入面積最大值為：02；

③一］4％《；

④|PO|的最大值為0c.

其中所有正確命題的序號是（）

A.①②B.①②③

C.②③④D.①②③④

22

2.（2023春?四川達州?高二四川省宣漢中學(xué)校考開學(xué)考試）定義：橢圓.+當(dāng)中長度為整數(shù)

ab

22

的焦點弦（過焦點的弦）為“好弦”.則橢圓二+乙=1中所有“好弦”的長度之和為（）

259

A.162B.166C.312D.364

3.（2023秋?湖南郴州?高二?？计谀┏鞘械脑S多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直線行走到達

目的地，只能按直角拐彎的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標系，對兩點

A（jq,y1）,B（x2,y2）,定義兩點間“距離”為=,-々|+|%-%|，則平面內(nèi)與x軸上兩個不同的定點

的“距離”之和等于定值（大于外耳,用））的點的軌跡可以是（）

4.（2022.江蘇.高二專題練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂

直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C：

士+1=1（。>6>0）的蒙日圓方程為尤2+/=。2+氏耳，B分別為橢圓C的左、右焦點.離心率為當(dāng)，M

ab5

為蒙日圓上一個動點，過點M作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于P,。兩點，若AMP。面積的最大

值為36,則橢圓C的長軸長為（）

A.2A/5B.4A/5C.2指D.4百

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）加斯帕爾?蒙日（圖1）是18?19世紀法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐

曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱

22

為“蒙日圓”（圖2）.則橢圓C:土+匕=1的蒙日圓的半徑為（)

54

D.6

6.（2021秋?四川成都?高二樹德中學(xué)校考階段練習(xí)）若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90。，所得橢圓短軸兩頂點

恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（）

A//口/YCX2y2,

A.-----1---------=1B.------1--------=1C.-----1--------=1D.-----1--------=1

84356269

7.（2021春.上海閔行.高二閔行中學(xué)?？计谀┤羟€“x,y）=0上存在兩個不同點處的切線重合，則稱這

條切線為曲線的自公切線，下列方程的曲線有自公切線的是（）

A.x2+y-1=0B.國—J"：/+1=0

C.x2+y2-x-|x|-l=OD.3爐-孫+1=0

8.(2021?遼寧沈陽?東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測)在平面直角坐標系中，定義國+|y|稱為點P(x,y)的“6和”，

其中。為坐標原點，對于下列結(jié)論：(1)“6和”為1的點尸(尤,y)的軌跡圍成的圖形面積為2；(2)設(shè)P是直

線2x-y-4=0上任意一點，則點P(x,y)的“5和”的最小值為2；(3)設(shè)尸是直線依-y+6=0上任意一點，

2

則使得“3和”最小的點有無數(shù)個”的充要條件是。=1；(4)設(shè)尸是橢圓/+2=1上任意一點，貝『"和”的最

2

大值為6?其中正確的結(jié)論序號為()

A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)

C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)

9.(2022秋?四川成都?高二成都外國語學(xué)校?？计谥?若橢圓或雙曲線上存在點P,使得點P到兩個焦點片,乙

的距離之比為2:1,且存在△尸片耳，則稱此橢圓或雙曲線存在“O點”，下列曲線中存在“。點”的是()

A.—+^=1B.—+^=1C.--^=1D.x?-亡=1

363216155415

10.(2022秋.廣西欽州?高二?？茧A段練習(xí))已知橢圓C:二+產(chǎn)=1的焦點為耳、工，若點尸在橢圓上，且

滿足|PO「=|P凰歸工|(其中。為坐標原點)，則稱點尸為“★”點.下列結(jié)論正確的是()

A.橢圓C上的所有點都是“★”點

B.橢圓C上僅有有限個點是“★”點

C.橢圓C上的所有點都不是“★”點

D.橢圓C上有無窮多個點(但不是所有的點)是“★”點

11.(2019秋?北京?高二北京市第十三中學(xué)?？计谥?已知兩定點”(-1,0),N(LO),若直線上存在點尸，

使|PAf|+|PN|=4,則該直線為“A型直線”，給出下列直線，其中是“A型直線”的是()

①)=%+1；②y=2；③y=_%+3；④y=-2x+3

A.①③B.①②C.③④D.①④

12.(2017春?吉林?高一統(tǒng)考期末)已知平面上一點M(5,0),若直線上存在點尸使PM。，則稱該直線為“切

割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是()

A.①③B.①②C.②③D.③④

二、多選題

13.（2022秋?福建廈門?高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢

II22

圓”數(shù)學(xué)之美的新四。.設(shè)計師的靈感來源于曲線c：卜「+卜「=1.其中星形線及向+|聲=1常用于超輕材

料的設(shè)計.則下列關(guān)于星形線說法正確的是（）

A.E關(guān)于y軸對稱

B.E上的點到x軸、y軸的距離之積不超過!

O

c.E上的點到原點距離的最小值為:

4

D.曲線E所圍成圖形的面積小于2

14.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知曲線C的方程為尸（x,y）=0,集合T={（x,y）|F（x,j）=O},若對于任

意的（x”%）wT,都存在小,%）eT,使得玉超+%必=。成立，則稱曲線C為E曲線.下列方程所表示的曲

線中，是Z曲線的有（）

22

A.?+q=lB.x2-y2=lC.y2=2xD.|y|=|x|+l

15.（2021秋?河北保定?高二順平縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，若曲線C上存在點P,使點尸到點4（3,0）,

3（-3,0）的距離之和為10,則稱曲線C為“有用曲線”，以下曲線是“有用曲線”的是（）

A.x+y=5B.x2+y2=9

22

C.—+^=1D.x2=16y

259

16.（2021秋?遼寧?高二遼寧實驗中學(xué)校考期中）雙紐線也稱伯努利雙紐線，是指定線段AB長度為2°,動

點M滿足MA?MB=",那么M的軌跡稱為雙紐線.已知曲線C:舊+（y-l）2■商+灑+以=1為雙紐線，

下列選項判斷正確的是（）

A.曲線C過點（0,。）

B.曲線C上的點的縱坐標的取值范圍是卜虛,0]

C.曲線C關(guān)于x軸對稱

D.P為曲線C上的動點，AB的坐標為（0,1）和（0,-1）,貝必的面積的最大值為2

17.（2021秋?江蘇南通?高二江蘇省包場高級中學(xué)?？计谥校S金分割比例避二1具有嚴格的比例性、藝術(shù)

2

性，和諧性，蘊含著豐富的美學(xué)價值.這一比值能夠引起人們的美感，是建筑和藝術(shù)中最理想的比例.我

們把離心率e=@匚的橢圓稱為“黃金橢圓”，則以下說法正確的是（）

2

YV2

A.橢圓號+F:=1是“黃金橢圓”

2V5+1

22

B.若橢圓a+a=l（a>b>0）的右焦點為*c,。），且滿足加=改，則該橢圓為“黃金橢圓”

22

C.設(shè)橢圓5+斗=1（。>b〉0）的左焦點為尸，上頂點為5,右頂點為A,若NAB/=90。，則該橢圓為“黃

ab

金橢圓”

D.設(shè)橢圓J+2=1（〃>6>0）的左、右頂點分別是42,左、右焦點分別是小工，若閨用2=體制.國用，

ab

則該橢圓為“黃金橢圓”

三、填空題

18.（2023春?北京?高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）卵圓是常見的一類曲線，已知一個卵圓C的方程

22

為：/一+匕=l（x>-2）,。為坐標原點，點41,0）,點P為卵圓上任意一點，則下列說法中正確的是________.

x+24'）

①卵圓C關(guān)于X軸對稱

②卵圓上不存在兩點關(guān)于直線尤=1對稱

③線段尸。長度的取值范圍是[1,2]

④4P的面積最大值為1

19.（2023?高二課時練習(xí)）在平面直角坐標系中，A（-l,0）,3（1,0）,若在曲線C上存在一點尸，使得/APB

為鈍角，則稱曲線上存在“鈍點”，下列曲線中，有“鈍點”的曲線為.（填序號）

22

（T）x2=4y；~+]=1；③％2-'2=1；④（元-2）2+（y—2）2=4；⑤3x+4y=4.

20.（2023秋?廣東茂名?高二統(tǒng)考期末）法國數(shù)學(xué)家蒙日（肱加ge,1746-1818）發(fā)現(xiàn)：雙曲線

22

「q-斗=1（。>6>0）的兩條互相垂直切線的交點P的軌跡方程為：x2+y2=a2-b2,這個圓被稱為蒙日

ab

圓.若某雙曲線a-V=1S>。）對應(yīng)的蒙日圓方程為/+V=3,貝IJ。=.

21.（2023?全國?高三專題練習(xí)）一條拋物線把平面劃分為二個區(qū)域，如果一個平面圖形完全落在拋物線含

有焦點的區(qū)域內(nèi)，我們就稱此平面圖形被該拋物線覆蓋.那么下列命題中，正確的是.（填寫序號）

（1）任意一個多邊形所圍區(qū)域總能被某一條拋物線覆蓋；

(2)與拋物線對稱軸不平行、不共線的射線不能被該拋物線覆蓋;

(3)射線繞其端點轉(zhuǎn)動一個銳角所掃過的角形區(qū)域可以被某二條拋物線覆蓋；

(4)任意有限多條拋物線都不能覆蓋整個平面.

22.(2023?全國?高三專題練習(xí))定義：點尸為曲線L外的一點，為乙上的兩個動點，則取最大

值時，NAPfi叫點P對曲線L的張角.已知點尸為拋物線C：y2=4x上的動點，設(shè)尸對圓M:(x-3)2+y=1的

張角為。，貝Icos6的最小值為.

23.(2022.全國?高二專題練習(xí))在平面直角坐標系xOy中，點加不與原點。重合，稱射線0M與/+產(chǎn)=4

的交點N為點M的“中心投影點”，曲線好一［=1上所有點的“中心投影點，，構(gòu)成的曲線長度是

24.(2020?浙江?高二期末)把橢圓C的短軸和焦點連線段中較長者、較短者分別作為橢圓C的長軸、短軸，

使橢圓C變換成橢圓C',稱之為橢圓的一次“壓縮”.按上述定義把橢圓Cg=0,1,2,A)“壓縮，，成橢圓C,“1,得

到一系列橢圓G，C。,C3,…當(dāng)短軸長與焦距相等時終止“壓縮”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，某個橢圓C。經(jīng)過n(n>3)次“壓

縮”后能終止，則橢圓C-的離心率可能是①且，②叵,③叵,④逅中的.(填寫所有正確結(jié)論

2533

的序號)

25.(2018?北京?高二統(tǒng)考期末)已知兩定點M(-2,0),N(2,0),若直線上存在點P,使得|PM\+\PN|=6,則該

直線為“T型直線”.給出下列直線,其中是“T型直線”的是.

①y=%+2②y=3③+3④y=；%+3

26.(2017?河南深河?潦河高中?？既?平面直角坐標系中，4-1,0),3(1,0),若曲線。上存在一點尸，使

西.而<0,則稱曲線C為“合作曲線”，有下列曲線①v+y、；；②y=/+i；③2y2一/=1；④3/+/=1；

⑤2尤+y=4,

其中“合作曲線”是.(填寫所有滿足條件的序號)

27.(2016?河北衡水?統(tǒng)考一模)如圖，將平面直角坐標系中的縱軸繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)30。后，構(gòu)成一個斜

坐標平面X。a在此斜坐標平面中，點p(x,y)的坐標定義如下：過點尸作兩坐標軸的平分線，分別交兩

軸于兩點，則/在Ox軸上表示的數(shù)為x,N在Oy軸上表示的數(shù)為八那么以原點。為圓心的單位圓

在此斜坐標系下的方程為.

28.（2022?全國?高三專題練習(xí)）稱離心率為e=避上的雙曲線W-《=l（a>0,b>0）為黃金雙曲線.如圖是雙

2ab2

22_________

曲線二-q=1（°>0,6>0,0=八2+尸）的圖象,給出以下幾個說法：

ab

①雙曲線V-/g=l是黃金雙曲線；

②若川=",則該雙曲線是黃金雙曲線；

③若B,B為左右焦點，Al,4為左右頂點，Bi（o,b）,B2（0,-b）^.ZFiBiA2=9Q°,則該雙曲線是黃金雙曲線；

④若MN經(jīng)過右焦點r且尸2,ZMON=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線.

其中正確命題的序號為

四、解答題

29.（2022?全國?高三專題練習(xí)）焦距為2c的橢圓「:與+宗=1（a>6>0）,如果滿足"26=a+c”，則稱此橢圓

ab

為“等差橢圓”.

（1）如果橢圓「二+2=1（。>6>0）是“等差橢圓”，求2的值；

aba

（2）對于焦距為12的“等差橢圓”，點A為橢圓短軸的上頂點，P為橢圓上異于A點的任一點，。為尸關(guān)于原

點。的對稱點（。也異于A）,直線AP、A。分別與x軸交于M、N兩點，判斷以線段為直徑的圓是否

過定點？說明理由.

22

30.（2022.高二課時練習(xí)）已知橢圓一二+工=l（a>2）,點A為橢圓短軸的上端點，P為橢圓上異于A點

a4

的任一點，若尸點到A點距離的最大值僅在尸點為短軸的另一端點時取到，則稱此橢圓為“圓橢圓

（1）若（1=乖，判斷橢圓r是否為“圓橢圓”；

（2）若橢圓「是“圓橢圓”，求”的取值范圍.

31.（2021?四川.四川省綿陽南山中學(xué)校考模擬預(yù)測）定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個端點組成的三

角形稱為該橢圓的“特征三角形”.若兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并

將“特征三角形”的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓G：J+?=I,橢圓c?與G是“相似橢圓”，已知橢

圓c?的短半軸長為人

（1）寫出橢圓c?的方程（用b表示）；

（2）若橢圓C?的焦點在x軸上，且C?上存在兩點M,N關(guān)于直線>=2x+l對稱，求實數(shù)b的取值范圍.

32.（2020春?上海青浦?高三?？奸_學(xué)考試）我們稱點P到圖形C上任意一點距離的最小值為點P到圖形C

的距離,記作d（P,C）.

（1）求點尸（3,0）到拋物線C:/=4x的距離d（P,C）；

（2）設(shè)/是長為2的線段，求點集D={p|d（P,/）41}所表示圖形的面積.

33.（2020秋?上海楊浦?高二上海市控江中學(xué)校考期末）已知拋物線P