浙江省縣城教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三年級(jí)下冊(cè)模擬考試數(shù)學(xué)試題

【新結(jié)構(gòu)】20232024學(xué)年浙江省縣城教研聯(lián)盟高三下學(xué)期模擬考試數(shù)

學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知集合A=M10g2"2},5={小-5<0},則（）

A.（4,+oo）B.（4,5）C.（2,5）D.（5,+s）

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合A3,根據(jù)交集的定義求出即可.

詳解】VA={x|log2x>21,AA=（4,+oo）,

VB=1x|x-5<0},/.B=（-co,5）,

所以Ac5=（4,5）.

故選:B.

2.若復(fù)數(shù)z滿足z+25=3+i（i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義得出z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，進(jìn)而求解.

【詳解】設(shè)2=。+句,3/eR）,則彳=。一歷，

貝！Ja+Z?i+2（a—?dú)v）=3+i,即3a—?dú)v=3+i,所以3a=3,—b=—l,

解得a=l,b=-l,故z=l—i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1,-1）在第四象限.

故選：D.

3?的展開(kāi)式中公》的系數(shù)為（）

A.4B.4C.6D.6

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解答即可.

【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為z+i=<3%4-「(_捱)「，

所以含/y的項(xiàng)為：『=6必》,

即(x-/)4的展開(kāi)式中X2y的系數(shù)為6,

故選：C.

4.清代的蘇州府被稱為天下糧倉(cāng)，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國(guó)各地.為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州

府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似

于正四棱臺(tái)，上口為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為25cm,下底也為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為50cm,斛內(nèi)高36cm,那么一斗

米的體積大約為立方厘米？()

A.10500B.12500C.31500D.52500

【答案】A

【解析】

【分析】利用棱臺(tái)的體積公式,即可計(jì)算得出答案.

［詳解】一斛米的體積為V=g(s上+S下+Js上S下“=1x(252+502+25X50)x36=52500(cm3),

因?yàn)槲宥窞橐货?，所以一斗米的體積為(=10500(cm3),

故選：A.

5.在AABC中，”,仇。分別為角A,5c的對(duì)邊，若tanA=3,3=bc=2M,則。=()

A.2B.3C.2&D.372

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求得sinA=孑叵，cosA=典，利用兩角和的正弦公式求得sinC=2叵,

10105

利用正弦定理求得6,c,進(jìn)而求出。的值.

sin2A+cos2A=1（—.—

、什京卡山.A34104<10

【詳解】由tanA=3,可得根據(jù)sinA進(jìn)而求出smA=--------，cosA=-------，

------=31010

、cosA

由3=工可得sinB=，cosB=，

422

則sinC=sin（A+5）=sinAc°s5+sm慶°sA=ML也+亞心=氈

'/1021025

由正弦定理可哈器呼

又因?yàn)閎c=2&5,解得6=6，0=2后，

￡3回

jA75x-----

由正弦定理可得a=-^―=——蘆一=3.

sinB。2

2

故選：B.

6.雙曲線C：三—1=1（?！?/〉0）的左、右焦點(diǎn)為片，心，直線/過(guò)點(diǎn)B且平行于C的一條漸近線，

/交c于點(diǎn)尸，若再笆=。,則c的離心率為（）

A.73B.2C.75D.3

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)？（九》），通過(guò)題意求出直線PF2的方程、直線PFi的方程，之后聯(lián)立直線PF2的方程、直線PFX

的方程及雙曲線方程，計(jì)算即可得出答案.

【詳解】設(shè)P（羽y）,由對(duì)稱性可知P點(diǎn)在無(wú)軸上方或者下方不影響結(jié)果，不妨令P點(diǎn)在尤軸下方，如圖:

222

設(shè)耳（―c,0）、E（c,0）,a+b=c,雙曲線其中一條漸近線為

直線尸層的方程為y=,(x—c),①

由圖?麗=0,得西■，圖，即直線尸片的斜率為一旦，直線尸耳方程為y=—@(x+c),②

bb

22

由點(diǎn)P(x,y)在雙曲線上，得二—M=1,③

ab

〃2r2i2_2i2_2

聯(lián)立①③，得*=巴士，聯(lián)立①②，得x=2二［xc=L&

2ca2+b-c

2r2h2-n2

則-n-----=-------，a~+a2+b2=2Z?2—IcT>因止匕/=4。2,

2cc

故選：C

7.已知實(shí)數(shù)a,b,c構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，若abc=2,b<0,則d的取值范圍為()

A.卜”,一石［°［指,+“)B.(-co,-2)u［2,+co)

C.卜［括,+a)D.(-8,-3)。［3,+8)

【答案】A

【解析】

2?

【分析】由題意設(shè)a=b—d,c=b+d,求出儲(chǔ)=廿一石優(yōu)<o),構(gòu)造函數(shù)/?他)=/—g僅<0),求導(dǎo)

判斷其單調(diào)性，可得值域.

【詳解】由實(shí)數(shù)。，b,c構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，所以設(shè)a=A—d,c=b+d,

則aZ?c=Z?伊一/)=2,所以看=b2--(Z><0),

構(gòu)造函數(shù)/'(")=〃—|e<0)，/，㈤=2(*+1),

當(dāng)此(F,—1)時(shí)，/'伍)<0,所以此時(shí)/任)單調(diào)遞減，

當(dāng)。?-1,0)時(shí)，r(b)N0,所以此時(shí)/(S單調(diào)遞增，

所以/(S的最小值為/(—1)=3,

當(dāng)b趨近于-s時(shí)，/(方)趨近于+s,當(dāng)6從負(fù)方向趨近于。時(shí)，/(q也趨近于+s,

所以d2G[3,4W),所以de(—oo,—

故選：A.

8.已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線/交。于A,3兩點(diǎn)，且西.礪=—4，點(diǎn)

。關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)為。，則I。典的取值范圍為（）

A.[，；B.（1,3]C.D.（2,4]

【答案】B

【解析】

「2、（2、/\2

【分析】設(shè)點(diǎn)AV，%,B吟,%，由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可得GlM+y%=T，根據(jù)直線/

I4）I4）16'-

與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，可設(shè)l=/盯+/,聯(lián)立直線與拋物線，根據(jù)西.礪=—4可得直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2,0）,

由。，D關(guān)于直線/對(duì)稱即可得到D點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求耳的取值范圍即可.

（2、(2、

R%

【詳解】由A,B兩點(diǎn)在拋物線/=4x上，所以可以設(shè)點(diǎn)AB甲為

I4）7

則麗.麗="%)+y%=4

16

由直線/交C于A,B兩點(diǎn),故直線/不與無(wú)軸平行或重合,

故可設(shè)直線I解析式為x=my+t,

聯(lián)立直線與拋物線方程得y2-4my-4t=0,

所以西?麗=產(chǎn)—4/=—4,解得y2,所以直線/與x軸的交點(diǎn)為P（2,0）,

由。，D關(guān)于直線/對(duì)稱，所以|3=|州=2,且D點(diǎn)不與。點(diǎn)重合，

故可知。的軌跡方程為：（％—2）2+9=4（不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)），

所以|。耳＞r—?dú)w月=1,典Wr+|PE|=3,即|。耳?1,3],

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)題意，可得直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)？（2,0）,由O,。關(guān)于直線/對(duì)稱即可得到。點(diǎn)的軌跡

方程，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求典的取值范圍即可.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知向量Z，B的夾角為g,且同=1,忖=2,則（）

A.（^a-b^±aB.卜+0=6

C.忸+可=|2.D.￡在B的方向上的投影向量為乎B

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積、向量的模、向量的垂直和投影向量的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一判定即可.

【詳解】=|a||K|cosy=lx2x^=1,^d-b^-a=\a^-a-b=1-1=0,故A正確；

|?+5|=B「+W+2萬(wàn)-5=l+4+2=7,所以忖+囚=",故B正確；

125+^|=4同，忖+41.5=4+4+4=12,所以怩+畫(huà)=2后,

又因?yàn)榫W(wǎng)=4,所以口+石卜網(wǎng),故C錯(cuò)誤;

a-bb1p

花在B上的投影向量為京.田二1。，故D錯(cuò)誤；

\b\\b\4

故選：AB.

10.己知函數(shù)/（了）=8510_￥+4）0>0）,則（）

A.當(dāng)°=2時(shí)，的圖象關(guān)于x==對(duì)稱

B.當(dāng)口=2時(shí)，"％)在。，|"上的最大值為日

C.當(dāng)％=3為7(%)的一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，。的最小值為1

6

/\(7171

D.當(dāng)〃%)在-彳,：上單調(diào)遞減時(shí)，。的最大值為1

\36)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)分別判斷余弦函數(shù)的對(duì)稱軸，余弦函數(shù)的值域與最值，余弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦

函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)選項(xiàng)逐一判定即可.

【詳解】<9=2時(shí)，=cos2x,因?yàn)閏os2(兀一x)=cos(-2x)=cos2x,

所以/、一看)關(guān)于x對(duì)稱，故A正確；

,,「八兀1,c?！肛?兀

口二2時(shí)，由工￡0,—可得+,

根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知C0S12x+三)的最大值為cos1=3,故B錯(cuò)誤；

(兀)717171

若/:二。，則一co~\———Fkit,keZ,所以@=1+6k,k￡Z,且g>0,

632

所以①的最小值為1,故C正確；

因?yàn)?(力在一彳,二上單調(diào)遞減，且①>0,

\36)

根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為：

7,兀,c7,2E兀，,2E2兀,

ku?coxH—V2左兀+兀，k￡Z,--------?x<-----1---,k￡Z,

3co3a)co3a)

j?j?j?j?

所以一《---,----2----,所以故D正確.

63G33co

故選：ACD.

11.已知函數(shù)〃X)的定義域?yàn)镽,/(l)=b/(x+y)=/(x)+/(y)+/(x)/(y),則()

A./(0)=-1B./(-x)/(x)<0

/(%)11

y

c.y=\J.為奇函數(shù)<2

小)+2

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用賦值法求得“0）即可判斷A；利用賦值可得〃x）=2/1]+/2X

,并且判斷出

/（%）*-1,由不等式的性質(zhì)可得1+/（九）＞0,即可判斷B；利用函數(shù)的奇偶性以及g（0）的值即可判

斷C；利用等比數(shù)列的判定可得/（〃）的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的求和公式可得

11

=2萬(wàn)—四―5,即可判斷D.

【詳解】令x=l,y=O,則/。）=/。）+/（0）+/（1）/（0）,將/（1）=1代入得2/（0）=0,即

/(0)=0,故A錯(cuò)誤；

由"0)=0,令y=-x可得0=〃x)+〃—x)+/(x)/(—X),若存在X使得/(X)=—1,

則上式變?yōu)?=—1,顯然不成立，所以/(x)w—1,

又/何"1+2=2/1卜尸［卜卜H'L

因?yàn)?(尤)wT，所以/(">—1,

將。=/(X)+/(―X)+/(X)/(—%)整理為/(-x)(l+/(x))=-/(x),

因?yàn)?(x)>T，即l+/(x)>。，所以/(x)/(—x)W0,故B正確；

令8("二焉%"以

川—+4箱-小)+/(f)_2(f(x)+f(-x)+f(x)f(-x))_

則g(x)+g(-)-7^+yp^-(/0)+2乂〃-)+2)一°，

,、f(0),、

且g(o)=77*5=。，所以g(H為奇函數(shù)，故c正確；

當(dāng)“eN*時(shí)，/(〃+1)=/5)+/⑴+/(〃)/⑴=2/(")+1,=

所以｛〃x）+l｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以“"）+1=2",

x2(nV

由〃x)+l=/+1可知f+1=2”,

17

因?yàn)榱?/p>

故D正確;

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是充分利用函數(shù)的奇偶性，等比數(shù)列的判定與證明以及等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和進(jìn)

行分析，由此即可順利得解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知一組數(shù)據(jù)5,6,7,7,8,9,則該組數(shù)據(jù)的方差是.

52

【答案】-##1-

33

【解析】

【分析】先求出這一組數(shù)據(jù)5,6,7,7,8,9的平均數(shù)，由此再求出該組數(shù)據(jù)的方差.

―5+6+7+74-8+9=

【詳解】一組數(shù)據(jù)5,6,7,7,8,9的平均數(shù)為:x=----------------=7,

6

該組數(shù)據(jù)的方差為:

2_（5-7）2+（6-7）2+（7-7）2+（7—7）2+（8-7）2+（9-7）2_§

s-------------------------------------------------------=一?

63

故答案為：—.

3

13.^8tancif=3coscif,貝!jcos2a=.

7

【答案】-

【解析】

einry

【分析】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角余弦公式的應(yīng)用.根據(jù)tancr=----

costz

sida+cos2a=1，解得sina,結(jié)合二倍角余弦公式進(jìn)行解答即可.

sinasina

【詳解】因?yàn)閠ani=^----可得8-----=3cos。，因?yàn)閟ir?c+cos?a=1,

cosacosa

可得8sina=3cos2a=3（1-siYa）,解得sina=—或sina=-3（舍去）

所以cos2。=l-2sin2a=l-2x

7

故答案為：一.

9

14.三棱錐A—BCD的所有棱長(zhǎng)均為2,E,尸分別為線段BC與A。的中點(diǎn)，M,N分別為線段AE與CP上

的動(dòng)點(diǎn)，若MN//平面A8。，則線段MN長(zhǎng)度的最小值為

［答案］叵##=國(guó)

77

【解析】

【分析】延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)/,設(shè)A/=w(O<mW2),由余弦定理得=，加2_加+1，根據(jù)角平分線

定理以及平行線性質(zhì)可知MN=°一3=吆;二①工，運(yùn)用換元法和二次函數(shù)性質(zhì)可得線段阿長(zhǎng)度

m+2m+2

的最小值.

【詳解】延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)/,因?yàn)镸V//平面A3。，

由線面平行性質(zhì)定理可知肱V//7F,設(shè)AZ=m(O<mW2),

因?yàn)槿忮FA-BCD的所有棱長(zhǎng)均為2,

所以A5=AC,且E為線段BC的中點(diǎn)，

〃V^人Jm

所以AE平分N8AC,由角平分線定理可知——=——=-

MCAC2

…MNMC2

所以——=——=-----

IFICm+2

因?yàn)槭瑸榫€段AO的中點(diǎn)，所以A/二1，

由余弦定理可知IF=qm?+1-2mxcosy=yjm2-m+1,

所以MN=^—IF=+1

m+2m+2

1

令加+2=/,fe（2,4],化簡(jiǎn)可得MN=27-5+1，

故答案為：叵

7

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知數(shù)列｛4｝為公差不為零的等差數(shù)列，其前"項(xiàng)和為邑=49,且出，生，為成等比數(shù)列?

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）若數(shù)歹!）｛4+〃｝是公比為3的等比數(shù)列，且4=22,求也｝的前九項(xiàng)和

【答案】（1）??=2?-l（neN*

QW+1Q

⑵小--，

【解析】

【分析】（1）設(shè)公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式與等比中項(xiàng)公式列出關(guān)于生和1的方程，求解即可

得｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）由（1）可得等比數(shù)列｛4+2｝的第三項(xiàng)%+4,進(jìn)而得4+4,從而得到｛勿｝的通項(xiàng)公式，利用等

差和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分組求和即可求出Tn.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為亂

由邑=49,得（%+"7）義7=7%=49,n4=7即q+3d=7,

2

由的，a5,演成等比數(shù)列得《二名”"n（7+dj=（7-2d）（7+10d）,

化簡(jiǎn)（7+d）2=（7—2d）（7+10d）得儲(chǔ)―2d=0，因?yàn)閐wO,所以d=2.

所以a”=%+（"-4）d=2"-1（〃eN*）.

綜上4=2〃—l（〃eN*）.

【小問(wèn)2詳解】

由=2〃-1知Q]=1,%=5,

又E+4｝為公比是3的等比數(shù)列,4=22，

所以/+4=（4+Z?Jx9=5+22=27,即q+偽=1+4=3,

所以a“+N=3x3"T=3",4=3"—（2〃一1）,（〃eN*）

所以看=4+與+&+...+〃=3+32+33+…+3”—[1+3+5+…+（2”—1）]

n+1

3x（1—3"）（1+2?-1）?3-32

———n'

1-322

綜上小三^-小

16.將號(hào)碼為1,2,3,4的4個(gè)小球等可能地放入號(hào)碼為1,2,3,4的4個(gè)盒子中，每個(gè)盒子恰放1個(gè)小

球.

（1）求1號(hào)球不在1號(hào)盒中的概率；

（2）記所放小球號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同的個(gè)數(shù)為X,不同的個(gè)數(shù)為匕求證：E（X）E（y）＞E（Xy）.

3

【答案】（1）-

4

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)古典概型公式計(jì)算1號(hào)球不在1號(hào)盒中的概率；

（2）分析易得X的取值為0,1,2,4,且X+F=4,再分別得出對(duì)應(yīng)概率，可得E（X）、E（Y）,再研

究xy的取值和對(duì)應(yīng)概率，可得E(XF),比較即可得證.

【小問(wèn)1詳解】

Q1A31Q3

記事件“1號(hào)球不在1號(hào)盒中”為A,則P(A)=4/=—=-

''A：244

【小問(wèn)2詳解】

X的取值為0,1,2,4,且X+y=4,

P(X=O)=?|,P"=I)=導(dǎo);

尸(X=2)=*：，唳=4)*$

3iii

所以石(X)=0x]+lx；+2><j+4x或=1,E(y)=E(4-X)=4-E(X)=3,

31S

x=o時(shí),y=4,X=4時(shí)，Y=O,止匕時(shí)xr=o,則p(xy=o)=—+—

'782412

Y=3,止匕時(shí)xy=3,P(xy=3)=|,

X=1時(shí),

y=2,止匕時(shí)xr=4,p(xy=4)=:,

X=2時(shí),

E(xy)=ox—+3x-+4x-=2,

1234

因?yàn)槭?x)石(y)=1x3=3,所以石(x)E(y)>E(xy).

17.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A3CD為正方形，PA=PD=AB,E為線段PB的中點(diǎn)，平面

AEC_L底面ABCD.

(1)求證：AE_L平面PSD；

(2)求直線A3與平面P5C所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵叵

11

【解析】

【分析】（1）先證明8D1平面AEC,所以BDLAE，又因?yàn)锳P=AB,E為PB中點(diǎn)、,所以AELPB,

由線面垂直的判定即可得證；

（2）建立空間直角建系，不妨取AB=2,得出平面P5C的法向量，利用空間向量求解即可.

小問(wèn)1詳解】

因?yàn)槠矫鍭ECL平面ABCD,且平面AECI平面ABCD=AC,

BD±AC,BDu平面ABCD所以8D1平面AEC,AEu平面AEC，所以BDLAE，

又因?yàn)锳P=A5，E為PB中點(diǎn),所以AE_LPB,

又PBcBD=B，PB,BDu平面PBD,所以AE,平面PB￡＞；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)點(diǎn)P在底面A3CD的射影為點(diǎn)Q,則。。上平面A3CD,

又ADu平面A3CD,所以PQJ_A￡＞,取A￡＞中點(diǎn)M,

因?yàn)橐??0,所以

又PQcPM=P,尸Q,PMu平面PQM,所以平面PQM,

因?yàn)镼Mu平面PQM,所以即。在AD的中垂線上,

如圖建立空間直角建系，不妨取AB=2，

則設(shè)尸為（1,a,。）,4+從=3,4（2,0,0）,5（2,2,0）,

所以通=［一］^^馬，麗=（2,2,0）,通=（0,2,0）,

\乙乙乙J\乙乙乙）

由（1）可知荏?麗=0，計(jì)算得a=-l,b=yf2＜所以

又麗=（2,0,0）,CP=（1,-3,V2）,

設(shè)平面P2C的法向量為沆=（羽y,z）,

m-CB=02x=0

取慶二（夜）

則即r0,,3,

m-CP=0%-3y+J2z=0

AB-m2A/2_V22

所以sin?=bosAB.m

|AB|-|m|2xV2+9-11

pzA

->

Qy

X

18.已知函數(shù)/(X)=(公一>O,QW1),/?GR.

⑴若y=/(x)在點(diǎn)(o，/(o))處的切線方程為丁="，求”，力的值;

i

(2)當(dāng)匕=1時(shí)，y=/(x)存在極小值點(diǎn)為,求證：y(%o)<_ee.

【答案】(1)a=e,b=0

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

/'(0)=e

【分析】(i)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及已知切線的斜率可得<八，解出即可求〃，b的值;

/⑼二。

⑵易得％=*'所以*=e%'所以AW-a小—T11人/、In〃l]

e。J,令％=g(〃)=——，則

Inaa

Z-1

/(%)=丸(。='—,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，再求出/■(%)的最大值即可得證.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閒^x)=(ax-b)ax,則/'(%)=0?a"+(雙一》)?優(yōu)Ina,

由y=/(X)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為尸ex,

〃(0)=e[a-b]na=e〃二e

所以《7八，解得

["0)=0'I-b=0b=0'

綜上a=e,6=0.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)5=1時(shí)，-(x)=[(alna)x—lna+a]優(yōu),

因?yàn)閮?yōu)>0恒成立，丁=(。111。)1-111〃+〃為關(guān)于工的一次函數(shù),

又因?yàn)?(%)存在極小值點(diǎn)，所以alna>0,又a>0且awl,解得a>l,

令/'(x)=0,解得工=當(dāng)二處,

alna

所以當(dāng)x(粵改時(shí)/'(x)<0,當(dāng)1>學(xué)心時(shí)外")>0,

amaama

八/\(Ina-(\na—a\

所以/(%)-8,--——上單調(diào)遞減，在一——■,+℃上單調(diào)遞增,

卜aina)(a1ma)

”…\4廣…

所以/(%)在%=]na---a-處LI取得zt=,極_小,值,.，所以％=-\-n-a----a-,

alnaa]na

〃一〃…一〃Ina

?…iInx0Ina------1

所以％In〃=---------,BPIntz=---------a

aa=Q

3T

lna-a>也1-a

所以/(%)=(亦°—1)Q%a---1----e--a-e

alnaIna

令/=g(a)=/，則/(/)=/巾)=_亍，

因?yàn)間，(a)=1二;a，(?>1),

所以當(dāng)ae(l,e)時(shí)，g'(a)>0,g(a)單調(diào)遞增,

當(dāng)ae(e,+ao)時(shí)，g'(a)<0,g(a)單調(diào)遞減,

又a>l時(shí)，lna>0,所以g(a)>0,所以0<g(a)<g(e)=L即％1，

e

因?yàn)?'?)=(l?e'1,ZGf0,—,

一),恒成立，即〃(/)在［：時(shí)單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),(10o,

,2'

所以方(。(力-e;,

J.

綜上/(%o)W—ee得證,

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟

(1)作差或變形;

(2)構(gòu)造新的函數(shù)"(x)；

(3)利用導(dǎo)數(shù)研究可可的單調(diào)性或最值;

(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.

=xcosO-ysin。

19.記點(diǎn)A（x,y）繞原點(diǎn)0按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角得到點(diǎn)B（尤’,力的變換為「⑻：<

yr=xsinO+ycosO

已知C°：y=W（x>°），將Co上所有的點(diǎn)按變換后得到的點(diǎn)的軌跡記為C-

（1）求C1的方程;

22

（2）已知。2：?+￡=l（a〉6〉0）過(guò)點(diǎn)（2,1）,記C1與G的公共點(diǎn)為M,N,點(diǎn)p為G上的動(dòng)點(diǎn)，

過(guò)尸作ON,OM的平行線，分別交直線ON,OAf于G,H兩點(diǎn)，若△OGH外接圓的半徑廠恒為之6,求

四邊形0G7W面積的取值范圍.

【答案】（1）x2-y2=3（x>0）

（2）（0,5］

【解析】

【分析】（1）依題意利用7［彳］變換求得C。上任意一點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入C。的方程即可求解；

（2）據(jù)題分析可得C-a均經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2」），（2,-1）,不妨取N（2,-l）,則%：x=2y,lON：

x=-2y,設(shè)C2上的動(dòng)點(diǎn)尸為（毛，%），利用條件列出相關(guān)等式聯(lián)立求解出a=2j?，b二號(hào),再根據(jù)

S四邊形OGPH=2S，°HG計(jì)算即可求解;

【小問(wèn)1詳解】

取Co上任意一點(diǎn)為A（x,y）（x>0,y>0）,

7兀

經(jīng)過(guò)r變換后得