高考數(shù)學專項復習：向量（新定義）（原卷版）

專題06向量專題（新定義）

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）定義平面向量之間的一種運算“?！比缦拢簩θ我獾摹?（租,〃）,B=（p,q）.令

aQb=mq-np,下面說法錯誤的是（）

A.若￡與否共線，則

B.aQb=b0a

C.對任意的（砌0石=*03），

D.Ro耳+0,=用中

2.（2022春?湖南邵陽?高一統(tǒng)考期中）定義萬③5=|寸-萬石.若向量苕=（2,若），向量5為單位向量，則

的取值范圍是（）

A.[0,6]B.[6,12]C.[0,6）D.（-1,5）

3.（2021春?云南昆明?高一云南師大附中?？计谥校┢矫鎯热我饨o定一點。和兩個不共線的向量由

平面向量基本定理，平面內任何一個向量而都可以唯一表示成q,e2的線性組合，機=xq+ye2（x,ye/?）,

則把有序數(shù)組（蒼丫）稱為情在仿射坐標系[。河,回下的坐標,記為正=（x,y）,在仿射坐標系[。；￡回下，之,

B為非零向量，且好（W，M）,力=（三，%），則下列結論中（）

①a+B=（玉+々,乂+%）②若Z_L方，則占％+%%=。

③若3/石，則%%=尤2%④cosM,

一定成立的結論個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2022?高一單元測試）若對于一些橫縱坐標均為整數(shù)的向量，它們的模相同，但坐標不同，則稱這些向

量為“等模整向量”，例如向量”（1,3）,方=（-3,T）,即為“等模整向量”，那么模為5〃的“等模整向量”有（）

A.4個B.6個C.8個D.12個

5.（2017?四川廣元.統(tǒng)考三模）對于〃個向量…,工，若存在〃個不全為0的示數(shù)《,心,&,???,《,，使

得：《7+魚Z+匕用+…+左7=。成立；則稱向量吊,4，4,…]是線性相關的，按此規(guī)定，能使向量Z=（i,o），

Z=（L-D，Z=（2,2）線性相關的實數(shù)左&，%，則勺+4%的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

6.（2022秋?內蒙古鄂爾多斯?高三統(tǒng)考期中）對任意兩個非零的平面向量或5,定義比。/=匆，若平面

P'P

向量￡石滿足同2W＞。，的夾角8e[o,￡],且二。石和石。5都在集合,|wez｝中，則J。1（）

A.—?B.1C.—D.一

222

7.（2023?全國?高三專題練習）互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構成平面直角坐標系，但如果平面坐標系

中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.如圖，在斜坐標系中，過點尸作兩坐標軸的平行

線，其在無軸和y軸上的截距a,b分別作為點尸的x坐標和y坐標，記尸（。力），則在x軸正方向和y軸正方

向的夾角為。的斜坐標系中，下列選項錯誤的是（）

A.當6=60。時4（1,2）與43,4）距離為2名

B?點4（1,2）關于原點的對稱點為4（一1,一2）

C.向量。=（占,%）與%=（%，%）平行的充要條件是％了2=%%

D.點4（1,2）到直線％+丫-1=0的距離為加

8.（2022春?黑龍江大慶?高三大慶實驗中學校考階段練習）如圖所示，設Ox,0y是平面內相交成。，

角的兩條數(shù)軸，,區(qū)分別是與無，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系尤Oy為。斜坐標系，若

OM=x^+y^,則把有序數(shù)對（無》）叫做向量兩■的斜坐標，記為兩'=（x,y）.在。=￡的斜坐標系中，

?=-,^-p=(V3,-l).則下列結論中，錯誤的是()

①"日=；一石,，+1；②同=1；?a±b-,④5在乙上的投影為一0

(22

A.②③B.②④C.③④D.②③④

9.(2021春?上海浦東新?高一華師大二附中校考階段練習)如圖，定義小B的向量積[2司第酈強，a

為當2、B的起點相同時，由々的方向逆時針旋轉到與B方向相同時,旋轉過的最小角，對于。=(%,%),

之=(%$)，"=(七,%)的向量積有如下的五個結論：

①[丸°,//可=4"[a,可;②[a,可=[￡〃]；

③[￡,可=占%-々%；④[￡出+可=[￡,可+[￡,)]；

⑤[a,B+c]=；

其中正確結論的個數(shù)為()

a

Z「

A.1個B.2個

C.3個D.4個

10.（2022春.山西朔州.高一?？茧A段練習）定義=為兩個向量B間的“距離”，若向量B滿

足下列條件：（i）W=l；（ii）￡”；（道）對于任意的teR,恒有匹，居）士皿石），現(xiàn)給出下面結論的編號,

則以上正確的編號為（）

A.①③B.②④C.③④D.①⑤

11.（2018?湖南.統(tǒng)考一模）在實數(shù)集R中，我們定義的大小關系“〉”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我

們這平面向量集合。={-￡=（尤,y）,xe氏ye耳上也可以定義一個稱為“序”的關系，記為“〉定義如下：

對于任意兩個向量Z=（X［，X）,%=（無2，%），當且僅當“為>尤2"初'占=工2且%>%”，按上述定義的

關系“>”，給出下列四個命題：

①若4=（L0），￡=（0,1）,6=（0,0）,貝!Jq>e2>。；

②若4>的，a2>（z3,則O］>4；

③若q>的，則對于任意的ax+a>a2+a-,

④對于任意的向量￡>6，其中H=（0,0）,若%>%,則

其中正確的命題的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

a

12.（2017秋.河南鄭州?高三鄭州一中階段練習）若非零向量2萬的夾角為銳角。，且彳=cos。，則稱萬被5

b

同余已知方被*'同余”，則4_日在不上的投影是（）

13.（2022春?陜西榆林?高一榆林市第一中學?？计谥校┰O2=（%,%）￡=（［,4）,定義一種向量積：

a?b=（ax,%）區(qū)魚，4）=（她，她）?已知而二。,；［，坂=，點尸（x,y）在y=sinx的圖象上運動，

點。在y=的圖象上運動，且滿足麗=拓區(qū)而+3（其中。為坐標原點），則y=〃x）的最大值A及最

小正周期T分別為（）

A.2,7tB.2,4%

C.—,47rD.—,7i

14.（2023?河北衡水?高三河北衡水中學校考階段練習）設向量2與B的夾角為6,定義Z十心辰ind+及。s，|.

已知向量￡為單位向量，|@=應，卜-4=1,則2十5二（）

A.叵B.72C.?D.2A/3

22

15.（2022春?浙江金華?高一浙江金華第一中學校考期中）記min{x,y}=[*"L設Z方為平面內的非零

[x,x<y

向量，則（）

A.min｛忖+5#亍一同｝Wmin｛卜"同｝B.min^|?+fe|2j+fe2

C.min｛K+5?-同｝>min｛B"同｝D.min^|?+5|2,|^-5121<a2+b2

16.（2021.全國.高三專題練習）對于向量可（i=l,2,把能夠使得卜|月4+...+|可取到最小值的點

P稱為A（i=l，2,.”,w）的“平衡點”.如圖，矩形A3CD的兩條對角線相交于點。，延長BC至E,使得3C=CE,

聯(lián)結AE,分別交3D、CD于尸,G兩點.下列的結論中，正確的是（）

A.A、C的“平衡點”為0.

B.D、C、E的“平衡點”為。、E的中點.

C.A、F、G、E的“平衡點”存在且唯一.

D.A、B、E、。的“平衡點”必為尸

二、多選題

17.（2022春?浙江?高一期中）如圖所示，在平面上取定一點。和兩個以點O為起點的不共線向量I，工，

稱為平面上的一個仿射坐標系，記作{。：,號，向量前=最與有序數(shù)組（x,y）之間建立了一一對應關

系，有序數(shù)組（x,y）稱為次7在傷射坐標系{。：￡,號下的坐標，記作曲'=（x,y）.已知[,是夾角為。=與

的單位向量，不=。,2）,^=（2,-1）,則下列結論中正確的有（）

B.|tz|=V3

1一

C.a±bD.石在￡方向上的投影向量為-

。sin(〃石

18.（2022春.河南.高一校聯(lián)考階段練習）對任意兩個非零向量定義新運算：a?b^.已知非

零向量而滿足網(wǎng)＞3問且向量篙的夾角e若4?③刀和4G礪）都是整數(shù)，則正麗的值可

能是（）

A.2B-1C.3D.4

19.（2023?全國?高三專題練習）已知向量?，區(qū)是平面a內的一組基向量，。為a內的定點，對于a內任

意一點P,當麗=癡+其時,則稱有序實數(shù)對（X,y）為點P的廣義坐標.若點A,3的廣義坐標分別為（西,兀）,

（々,/），關于下列命題正確的是（）

A.線段42的中點的廣義坐標為

B.A,8兩點間的距離為-%『+（/%1

C.若向量函平行于向量赤，則占%=尤2%

D.若向量力垂直于向量礪，則占尤2+%%=2

20.（2022?江蘇南京?統(tǒng)考模擬預測）設“4〃是大于零的實數(shù)，向量乙=（mcosa,msina）,1=（ncos尸,〃sin￡）,

其中a,/?e[0,2萬），定義向量3）2=（冊cos^l■，而$出口而2=（Mcos，,冊sing,記0=a-力，則（）

]_1_

A.（aY-（ay=a

1J_n

B.（a）^-（by=vmncos—

1__L__n

C.（ay-（by>4dmnsin2—

4

1_12_n

D.（。戶+（W>4vmncos2—

4

21.（2022?浙江溫州?高一永嘉中學統(tǒng)考競賽）設0、A、5是平面上任意三點，定義向量的運算：

det（萬，礪）=W?麗，其中兩由向量函以點。為旋轉中心逆時針旋轉直角得到（若函為零向量，規(guī)定

兩也是零向量）.對平面向量％、b,c，下列說法正確的是（）

A.det（a,石）=det?,。）

B.對任意XeR,det（Z+篇,5）=det（￡,5）

一__det\a,c]det（c,fe）

c.若2、B為不共線向量，滿足法+超=Z（x,yeR）,則工=一,y=—萬f

det（a,。）det（a,B）

D.det（a,石）c+det伍,c）4+det（c,a）b=6

22.（2023春?湖北武漢?高一華中師大一附中?？茧A段練習）對任意兩個非零的平面向量式和A，定義

]。，=宗若平面向量苕而滿足同綱>0,萬與5的夾角。e0,：,且送B和人G都在集合

meZ,〃eZ1中.給出以下命題，其中一定正確的是（）

A.右根=1時，則10。=。0。=1

,_1

B.右根=2時，則益?！?—

2

C.若根=3時，則小5的取值個數(shù)最多為7

2

D.若根=2014時，則少。5的取值個數(shù)最多為701"4L

2

23.（2023?全國?高三專題練習）定義平面向量的一種運算如下:對任意的兩個向量：=（再,％）,%=（%，%），

11

令加油=（菁%-兀2%，%入2+%%），下面說法一定正確的是（）

A.對任意的XeR,有（砌。6=彳（006）

B.存在唯一確定的向量2使得對于任意向量￡,都有混）。=京）：=：成立

C.若￡與后垂直，貝IJ（溫力與溫阿）共線

D.若Z與石共線，則（溫聯(lián)與編（堿的模相等

三、填空題

24.（2023春?江蘇泰州?高一靖江高級中學?？茧A段練習）設向量&與石的夾角為凡定義萬與B的“向量積”，

日xB是一個向量，它的模等于卜x5卜同|5卜苗6,若a=（1,6），B=（-石，-1）,貝巾義5卜.

25.（2018春?安徽蕪湖?高一蕪湖一中?？茧A段練習）在平面斜坐標系尤Qy中，ZxOy=60°,平面上任一點p

關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若赤=肩+總（其中最分別為1,y軸方向相同的單位向量），

則p的坐標為（％y）,若P關于斜坐標系x0y的坐標為（2,-1）,則|而卜

26.（2019春?安徽蕪湖?高一校聯(lián)考期中）定義￡*方=衛(wèi)心，若）=（1,2）,石=（3,-2）,則與方向相反的

a-b

單位向量的坐標為.

27.（2022秋?湖南長沙?高三校考階段練習）已知對任意平面向量荏=（x,y）,把漏繞其起點沿逆時針方向

旋轉。角得至！J向量衣=（xcose-ysin（9,xsine+ycos6?）.如圖所示,頂角NQ=120。的等腰三角形PQR的頂點P、

Q的坐標分別為尸。,0）、Q（3,g）,則頂點R的坐標為.

28.（2022春?北京海淀?高一?？计谥校┰O平面中所有向量組成集合C,巨為C中的一個單位向量，定義

網(wǎng)司=-元+2（9短濟則下列結論中正確的有（只需填寫序號）.

①若沆、為eC,M=；

②若JteC,則尸（尸（元））=無；

③若日=（1,0）,羽=（O,l）,F（u）=v,則。有唯一解.

29.（2022春?江蘇南通?高一海安市曲塘中學?？计谥校┬☆櫷瑢W在用向量法研究解三角形面積問題時有如

下研究成果：若函=（%,%）,礪=（%,%），則入西=；卜力-馬力試用上述成果解決問題：已知A?！梗?/p>

8（2,3）,C（4,5）,則S4ABe=-------------------------

30.（2022春?上海寶山?高一上海交大附中?？茧A段練習）關于任意平面向量可實施以下6種變換，包括2

種v變換和4種卬變換

v1：模變?yōu)樵瓉淼膅倍，同時逆時針旋轉90。；

v2：模變?yōu)樵瓉淼?■倍，同時順時針旋轉90。；

“：模變?yōu)樵瓉淼膽?，同時逆時針旋轉45。；

噸：模變?yōu)樵瓉淼耐?，同時順時針旋轉45。；

叼：模變?yōu)樵瓉淼?倍，同時逆時針旋轉135。；

明：模變?yōu)樵瓉淼膽叮瑫r順時針旋轉135。.

記集合S={v15v2,“，暝，嗎,叫},若每次從集合S中隨機抽取一種變換.經(jīng)過n次抽取，依次將第i次抽取的

變換記為4?=。』,2,一〃），即可得到一個〃維有序變換序列，記為則以下判斷中正確的

序號是.

①單位向量入（1.0）經(jīng)過2022次v變換后所得向量一定與向量Z=（0,1）垂直；

②單位向量7=（1,0）經(jīng)過2022次w變換后所得向量一定與向量a=（0.1）平行；

③單位向量7=（L0）經(jīng)過變換后得到向量）=（-1,0）,則Gf中有且只有2個v變換；

④單位向量；=（L0）經(jīng)過G7變換后不可能得到向量力=（1,1）；

⑤存在“，使得單位向量7=。,0）經(jīng)過G“次變換后，得到2=（2022,2022）.

31.（2022春?湖南株洲?高一株洲二中?？茧A段練習）設V是己知平面M上素有向量的集合，對于映射

f:V^V,aEV,記M的象為了（泊.若映射了：VfV滿足：對所有次及任意實數(shù)尢〃都有

/（幾萬+〃5）=彳/（a）+〃/（5）,則/稱為平面〃上的線性變換，現(xiàn)有下列命題：

①設了是平面M上的線性變換，a.b^V,則/①+5）=/（萬）+/（5）；

②若。是平面M上的單位向量，對方eV,設/團）=日+乙則/是平面M上的線性變換;

③對之eV,設/0）=V,貝廳是平面M上的線性變換；

④設了是平面M上的線性變換，aeV,則對任意實數(shù)上均有f（新）=45）.

其中的真命題是（寫出所有真命題的編號）.

32.（2021春?重慶南岸?高一重慶第二外國語學校?？茧A段練習）定義平面非零向量之間的一種運算“※”，

記海4=￡cosO+Bsin。，其中夕是非零向量。,彼的夾角，若q,e2均為單位向量，且e「e2=g,則向量eMe2

與耳※卜可的夾角的余弦值為.

33.（2021春?陜西寶雞?高一統(tǒng)考期末）設5、Qv是平面內相交成120。角的兩條數(shù)軸，1，可分別是與*軸，

y軸正方向同向的單位向量，若向量麗=則把有序數(shù)對（x,y）叫做而在坐標系xOv中的坐標.假

設加=（2,2）,則畫的大小為.

34.（2018春?浙江臺州?高一臺州中學?？计谥校┮阎蛄?及向量序列：吊%,可,…,,，…滿足如下條件：

|=2同=2嗎N=1,S.a~-a~^=d2,〃eN*）,當1C9且氏eN*時,4-a1s的最大值為.

35.（2017春?北京東城?高二統(tǒng)考期末）已知平面向量2=（九/），平面向量石=（p,q）,（其中孫〃,p,qeZ）.

定義：a?b={mp-nq,mq+np）.若2=（1,2）,b=（2,1）,貝（區(qū)B二；

若Z麗=（5,0）,且同＜5,忖＜5,則",b=（寫出一組滿足此條件的2和B即可）.

36.（2014?安徽?高考真題）已知兩個不相等的非零向量q.B.兩組向量工「工”工；：.%：工：和］均

由2個）和3個3排列而成.記S=X］—工--+t?+x＞J,+&y5，S齒表示S所有可能取值中

的最小值.則下列命題的是（寫出所有正確命題的編號）.

①S有5個不同的值.

②若3_亡則5=與H無關.

③若I”己則S—與w無關.

④若；＞4a,貝US=＞0.

⑤若問=2忖,$而?=8|萬/，則［與己的夾角為:

37.（2021春.重慶沙坪壩.高一重慶南開中學?？茧A段練習）定義：對于實數(shù)加和兩個定點/、N,在某圖

形上恰有〃個不同的點￡1=1,2,3,…,〃)，使得而.兩=機，稱該圖形滿足“"度冏合”，若在邊長為4的正

方形ABC。中，BC=2BM，DN=3NA，且該正方形滿足“4度冏合”，則實數(shù)機的取值范圍是.

38.(2022.全國?高三專題練習)定義兩個向量組X=&，E，項,F=(/,￡%)的運算

x.y=W.工+15^+05^，設［?為單位向量，向量組x=(占,工2,無3)J=(%，%，%)分別為￡可信的

一個排列，則x-y的最小值為.

39.(2022?北京順義?統(tǒng)考二模)向量集合5={&,=(元,y),x,yeR},對于任意￡,3eS，以及任意之??！唬?/p>

都有痛+(l-2)BeS,則稱集合S是“凸集”，現(xiàn)有四個命題：

②若S為“凸集”，則集合N={2*e5}也是“凸集”；

③若吊,&都是“凸集”，則AD兒也是“凸集”；

④若4,4都是“凸集”，且交集非空，則AC4也是“凸集，，.

其中，所有正確的命題的序號是.

四、解答題

40.(2022秋?河北滄州?高二校考開學考試)平面內一組基底礪,而及任一向量

OC,OC=xOA+yOB(x,y&R),若點C在直線AB上或在平行于A3的直線上，我們把直線A8以及與直線

A8平行的直線稱為“等和線”，此時x+y為定值，請證明該結論.

41.(2022秋.上海嘉定.高二上海市嘉定區(qū)第一中學?？茧A段練習)已知在平面直角坐標系中，。為坐標原

點，定義非零向量兩'=(。,力的“相伴函數(shù)”為y=asinx+6cosx(xeR),向量的=(a,b)稱為函數(shù)

y=asinx+6cos尤(xeR)的“相伴向量”；記平面內所有向量的“相伴函數(shù)”構成的集合為S

⑴已知aeR,〃(x)=cos(x+a)+2cosx,若函數(shù)為集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范圍;

(2)已知點M(a,6)滿足條件：a=3,0<bW百，若向量兩■的“相伴函數(shù)”>=g(x)在x