第6講-同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角及平行線的判定(講義)七年級(jí)數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義(滬教版)

第6講同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角及平行線的判定模塊一：三線八角知識(shí)精講同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角(三線八角)若直線a，b被直線所截：（1）同位角：兩個(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角叫做同位角．（如）（2）內(nèi)錯(cuò)角：兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．（如）（3）同旁內(nèi)角：兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角．（如）注意：三線八角是位置關(guān)系，數(shù)量上沒(méi)有確定的關(guān)系．例題解析例1．（2020·上海靜安區(qū)·七年級(jí)期中）如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）．A．與是同位角 B．與是同位角C．與是內(nèi)錯(cuò)角 D．與是同旁內(nèi)角【答案】D【分析】根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角．內(nèi)錯(cuò)角的定義進(jìn)行判斷．【詳解】A．與不是同位角，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B．與是內(nèi)錯(cuò)角，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．與是同旁內(nèi)角，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角的定義．熟記同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角的定義是解答此題的關(guān)鍵．例2．（2020·上海閔行區(qū)·七年級(jí)期末）如圖中∠1、∠2不是同位角的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】同位角的定義：在截線的同側(cè)，并且在被截線的同一方的兩個(gè)角是同位角，依此即可求解．【詳解】A、∠1與∠2有一條邊在同一條直線上，另一條邊在被截線的同一方，是同位角，不符合題意B、∠1與∠2有一條邊在同一條直線上，另一條邊在被截線的同一方，是同位角，不符合題意；C、∠1與∠2有一條邊在同一條直線上，另一條邊在被截線的同一方，是同位角，不符合題意；D、∠1與∠2的一邊不在同一條直線上，不是同位角，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解題關(guān)鍵在于掌握判斷是否是同位角，必須符合三線八角中，在截線的同側(cè)，并且在被截線的同一方的兩個(gè)角是同位角．例3．（2019·上海市培佳雙語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)月考）如圖，與構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角的角是______；【答案】∠DEA和∠BCD．【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義解答即可．【詳解】解：∠CDE與∠DEA可以看成直線AC與直線CD被直線DE所截的內(nèi)錯(cuò)角;∠CDE與∠BCD可以看成直線DE與直線BC被直線CD所截的內(nèi)錯(cuò)角．故答案為：∠DEA和∠BCD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角的識(shí)別，掌握內(nèi)錯(cuò)角的定義是解答本題的關(guān)鍵．例4．（2019·上海蘭田中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，∠B的同位角是__________.【答案】∠ECD和∠ACD【分析】根據(jù)同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，進(jìn)行分析可得答案．【詳解】∠B的同位角是∠ECD，∠ACD，

故答案是：∠ECD和∠ACD．【點(diǎn)睛】考查了三線八角，關(guān)鍵是掌握同位角的邊構(gòu)成“F“形．例5．（2019·上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)南校七年級(jí)期中）如圖，∠的內(nèi)錯(cuò)角是_______________.【答案】；【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的概念，在截線兩側(cè)，且在兩被截線之間的角是內(nèi)錯(cuò)角．【詳解】解：由圖知，∠B和∠DAB是直線CB和DC被BE所截形成的，在截線兩側(cè)，且在兩被截線之間，所以∠B的內(nèi)錯(cuò)角是∠DAB．

故答案為：∠DAB．【點(diǎn)睛】本題考查了內(nèi)錯(cuò)角的概念，記準(zhǔn)在截線兩側(cè)，且在兩被截線之間的角是內(nèi)錯(cuò)角．注意分清截線和被截線．例6.在直線AB、CD被直線EF所截的八個(gè)角中∠1和∠5是一對(duì)________角，∠3和∠5是一對(duì)________角，∠4和∠5是一對(duì)________角．【難度】★【答案】同位角；內(nèi)錯(cuò)角；同旁內(nèi)角．【解析】同位角像字母F，內(nèi)錯(cuò)角像字母Z，同旁內(nèi)角像字母U．【總結(jié)】本題考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念及特征．例7.（1）如圖∠1和∠2是直線________與________被直線_______所截，所形成的______角；（2）∠3和∠4是直線_____與_______被直線______所截，所形成的_______角；（3）∠C的同旁內(nèi)角是_________．【難度】★【答案】（1）DC、AB、DB、內(nèi)錯(cuò)角；（2）AD、CB、DB、內(nèi)錯(cuò)角；（3）．【解析】?jī)蓚€(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角，內(nèi)錯(cuò)角像字母Z，同旁內(nèi)角像字母U．【總結(jié)】本題考查內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念及特征．例8.如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）A．∠5和∠3是同位角 B．∠1和∠4是同位角C．∠1和∠2是同旁內(nèi)角 D．∠5和∠6是內(nèi)錯(cuò)角【難度】★【答案】B【解析】?jī)蓚€(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角叫做同位角，故∠1和∠4不是同位角．【總結(jié)】本題考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念及特征．例9.如圖，與∠C是同旁內(nèi)角的有（ ）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【難度】★【答案】B【解析】∠C的同旁內(nèi)角有：∠CED、∠B、∠EDC、∠ADC共四個(gè)．【總結(jié)】本題考查同旁內(nèi)角的概念及特征．例10.如圖，同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù)是（ ）A．5對(duì) B．4對(duì) C．3對(duì) D．2對(duì)【難度】★★【答案】B【解析】?jī)蓚€(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角．【總結(jié)】本題考查同旁內(nèi)角的概念及特征．例11.如圖，∠1和∠2是同位角的是（ ）A．（1）(2) B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（4） D．（3）（4）【難度】★★【答案】C【解析】（1）（2）（4）中∠1與∠2都在截線的同旁，并且都在被截直線的同側(cè)，是同位角；（3）中∠1與∠2兩邊不在同一直線上，不是同位角，故選C．【總結(jié)】本題考查同位角的概念及特征，注意很多學(xué)生會(huì)容易誤以為（2）中的兩個(gè)角不是同位角，老師們要注意糾錯(cuò)哦．例12.指出下圖中：（1）∠C與∠D的關(guān)系；（2）∠B與∠GEF的關(guān)系；（3）∠A與∠D的關(guān)系；（4）∠AGE與∠BGE的關(guān)系；（5）∠CFD與∠AFB的關(guān)系．【難度】★★【答案】（1）同旁內(nèi)角；（2）同位角；（3）內(nèi)錯(cuò)角；（4）鄰補(bǔ)角；（5）對(duì)頂角．【解析】?jī)蓚€(gè)角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側(cè)的位置的角叫做同位角．兩個(gè)角分別在截線的兩側(cè)，且在兩條直線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．兩個(gè)角都在截線的同一側(cè)，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關(guān)系的一對(duì)角互為同旁內(nèi)角．【總結(jié)】本題考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念及特征．例13.如圖（1）直線DE、BC被直線AB所截，射線DF在∠ADE內(nèi)部，指出∠1的同位角；（2）如果∠1和∠2相等，那么∠1和∠4相等嗎?∠1和∠ADE相等嗎?為什么?【難度】★★【答案】（1）∠ADF、∠ADE；（2）．【解析】（2）因?yàn)椤?=∠2（已知）所以BC∥DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）所以∠1=∠ADE（兩直線平行，同位角相等）所以∠1不等于∠4【總結(jié)】本題考查平行線的判定及性質(zhì)的綜合運(yùn)用．例14.三條直線兩兩相交，且不交于同一點(diǎn)，則在所成的圖形中，共有多少對(duì)同位角?多少對(duì)內(nèi)錯(cuò)角?多少對(duì)同旁內(nèi)角．【難度】★★【答案】12；6；6．【解析】同位角：∠1與∠12、∠1與∠6、∠4與∠11、∠4與∠5、∠3與∠8、∠3與∠10、∠2與∠7、∠2與∠9、∠9與∠6、∠12與∠5、∠11與∠8、∠10與∠7；內(nèi)錯(cuò)角：∠2與∠5、∠4與∠9、∠3與∠6、∠3與∠12、∠10與∠5、∠9與∠8；同旁內(nèi)角：∠2與∠6、∠8與∠10、∠4與∠12、∠3與∠5、∠3與∠9、∠5與∠9．【總結(jié)】本題考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的概念及特征．模塊二：平行線的意義及基本性質(zhì)知識(shí)精講1、平行線的定義同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線．2、平行線的基本性質(zhì)（1）經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行；（2）平行線之間的距離處處相等；（3）平行于同一條直線的兩直線平行（平行的傳遞性）．（4）同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行．（5）兩條平行線中，任意一條直線上的所有點(diǎn)到另一條直線的距離是一個(gè)定值，這個(gè)定值叫做這兩條平行線間的距離，平行線間的距離處處相等．例題解析例1.（1）在同一平面內(nèi)，兩條不重合的直線有兩種位置關(guān)系_______和________；（2）如果兩條直線都_______于同一條直線，那么這兩條直線平行．【難度】★【答案】（1）相交、平行；（2）平行．【解析】（1）同一平面內(nèi)，不重合的直線要么相交要么平行；（2）平行于同一條直線的兩直線平行．【總結(jié)】本題考查平面上直線間的位置關(guān)系及平行線的傳遞性．例2.在同一平面內(nèi)，和已知直線平行的直線（ ）A．有且只有一條 B．有無(wú)數(shù)條 C．一條也沒(méi)有 D．條數(shù)不確定【難度】★【答案】B【解析】同一平面內(nèi)和已知直線平行的直線有無(wú)數(shù)條．【總結(jié)】本題考查平面上直線間的位置關(guān)系．例3.已知兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線（ ）A．垂直 B．平行 C．相交 D．可能垂直，也可能平行【難度】★【答案】D【解析】同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行，否則可能產(chǎn)生異面垂直．【總結(jié)】本題考查平面上直線間的位置關(guān)系．例4.判斷題：（1）同位角一定相等 （ ）（2）不相交的兩條直線叫平行線 （ ）（3）過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行 （ ）（4）和已知直線平行的直線有無(wú)數(shù)條 （ ）【難度】★【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）√．【解析】（1）只有兩直線平行，同位角才相等；（2）前提是在同一平面內(nèi)，×；（3）√；（4）√．【總結(jié)】本題考查平面上直線間的位置關(guān)系．例5.下列各圖中，不能判斷直線a∥b的是（ ）【難度】★★【答案】C【解析】A可通過(guò)內(nèi)錯(cuò)角相等判斷出平行；B可以通過(guò)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行；D可以通過(guò)同位角相等兩直線平行來(lái)判斷．【總結(jié)】本題考查平行線的判定．例6.判斷題：（1）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段是平行線 （ ）（2）兩條直線不相交則必平行 （ ）（3）與已知直線平行的直線有且只有一條 （ ）（4）與已知直線垂直的直線有且只有一條 （ ）【難度】★★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）×．【解析】（1）錯(cuò)，線段有一定長(zhǎng)度可以不相交，但其延長(zhǎng)線確可能相交，只有兩線段的延長(zhǎng)線也不會(huì)相交才叫平行線；（2）前提是在同一平面內(nèi)，錯(cuò)；（3）有無(wú)數(shù)條，×；（4）有無(wú)數(shù)條，×．【總結(jié)】本題考查平面上直線間的位置關(guān)系．例7.直線AB、CD、a、b在同一平面內(nèi)，且AB∥CD，若直線a與AB、CD都相交，直線b與AB、CD也都相交，則直線a、b的位置關(guān)系是（ ）．A．垂直 B．平行 C．相交 D．相交或平行【難度】★★【答案】D【解析】可能相交也可能平行．【總結(jié)】本題考查平面上直線間的位置關(guān)系．例8.下列四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）．在同一平面內(nèi)不相交的兩條線段必平行；在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線必平行；在同一平面內(nèi)不平行的兩條線段必相交；在同一平面內(nèi)不平行的兩條直線必相交A．1 B．2 C．3 D．4【難度】★★【答案】A【解析】①錯(cuò)：線段有一定長(zhǎng)度可以不相交，但其延長(zhǎng)線卻可能相交，只有兩線段的延長(zhǎng)線也不會(huì)相交才叫平行；②錯(cuò)：可能重合；③錯(cuò)：注意題中說(shuō)的是“線段”；④正確．【總結(jié)】本題考查同一平面內(nèi)直線的位置關(guān)系．例9.如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P畫直線PE∥OA，交OB于點(diǎn)E；畫直線PF∥OB，交OA于點(diǎn)F．【難度】★★【解析】（1）首先，將三角尺的直角邊與直線OA重合，將其中一條直角邊緊靠直尺，并固定直尺；將三角尺與直線AB重合的直角邊沿直尺平行移動(dòng)至過(guò)點(diǎn)P處；沿著三角尺的直角邊畫出過(guò)點(diǎn)P的直線PE，則直線PE即為所求的平行線．同理，畫出直線PF即可．【總結(jié)】本題考查平行線的作法．例10.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，P是直線AB、CD外的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P畫出直線EF，與直線CD相交于點(diǎn)E，與直線AB平行．【難度】★★【解析】（1）首先，將三角尺的直角邊與直線AB重合，將其中一條直角邊緊靠直尺，并固定直尺；（2）將三角尺與直線AB重合的直角邊沿直尺平行移動(dòng)至過(guò)點(diǎn)P處；（3）沿著三角尺的直角邊畫出過(guò)點(diǎn)P的直線EF，則直線EF即為所求的平行線．【總結(jié)】本題考查平行線的作法，需要三角尺、直尺兩個(gè)作圖工具．例11.在同一平面內(nèi)有互不重合的五條直線a1、a2、a3、a4、a5，若a1∥a2，a2⊥a3，a3∥a4，a4⊥a5，那么a1與a5的位置關(guān)系是什么．【難度】★★★【答案】平行，見(jiàn)解析．【解析】因?yàn)閍3∥a4，a4⊥a5，所以a3⊥a5，又因?yàn)閍2⊥a3，所以a2∥a5．又因?yàn)閍1∥a2，所以a1∥a5（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．【總結(jié)】本題考查同一平面內(nèi)，兩直線的位置關(guān)系．模塊三：平行線的判定平行線的三種判定方法：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單地說(shuō)，同位角相等，兩直線平行．兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單地說(shuō)，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡(jiǎn)單地說(shuō)，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．一、單選題例1．（2019·上海市培佳雙語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)月考）如圖，不能推斷的是（）A．∠1=∠5B．∠2=∠4C．∠3=∠4+∠5D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定方法分別進(jìn)行分析即可．【詳解】A．∠1=∠5可根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得AD∥BC，故此選項(xiàng)不合題意；B．∠2=∠4可根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得AB∥DC，不能得到AD∥BC，故此選項(xiàng)符合題意；C．∠3=∠4+∠5可根據(jù)同位角相等兩直線平行得AD∥BC，故此選項(xiàng)不合題意；D．∠B+∠1+∠2=180°可根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行得AD∥BC，故此選項(xiàng)不合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2019·上海閔行區(qū)·七年級(jí)期中）如圖：，，，下列條件能得到的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得到的度數(shù)，即可判斷．【詳解】∵，，∴要使，則或即可故選B．【點(diǎn)睛】掌握平行線的判定方法：同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)均可．例3.看圖填空，并在括號(hào)里寫出適當(dāng)?shù)睦碛桑鐖D；因?yàn)椤?=__________（已知）所以AD∥BC（ ）因?yàn)椤?=∠A（已知）所以_________∥_________（ ）【難度】★★【答案】（1）∠2、同位角相等，兩直線平行；（2）AE、CD、同位角相等，兩直線平行．【解析】同位角相等兩直線平行．【總結(jié)】本題考查平行線的判定．例4.如圖，如果∠1等于它的余角，∠2的補(bǔ)角是它的3倍，那么AB與CD的關(guān)系是（ ）．A．垂直 B．平行 C．相交 D．不能確定【難度】★★【答案】B【解析】因?yàn)椤?=它的余角，所以∠1=45°，又因?yàn)椤?的補(bǔ)角是它的3倍，所以∠2=45°所以AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【總結(jié)】本題考查平行線的判定．例5.（2019·上海市培佳雙語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)月考）填寫理由：如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，，試說(shuō)明．解：∵∠1=∠2（已知）∴（______）即=∠______∵∠3=∠4，（已知）∴∠3=∠______（______）∴∠3=∠______∴（______）【分析】由∠1=∠2易得=，由等量代換可得∠3=∠DAC，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等判定．【詳解】∵∠1=∠2（已知）∴（等式的性質(zhì)）即=∠DAC∵∠3=∠4，（已知）∴∠3=∠BAE（等量代換）∴∠3=∠DAC∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，靈活運(yùn)用等量代換得到內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．例6．（2019·上海市江寧學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，AC⊥AB,EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2,試問(wèn)AC⊥DG嗎?【答案】AC⊥DG，證明見(jiàn)解析.【分析】由垂線的定義和平行線的判定可得EF∥AD,根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠2=∠3,結(jié)合已知由等量代換可得∠1=∠3,從而根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等得出AB∥DG,從而得出DG⊥AC.【詳解】∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD,∴∠2=∠3,∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴AB∥DG,∵AC⊥AB,∴DG⊥AC.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、平行線的判定以及垂線的性質(zhì).根據(jù)已知條件找出平行線是解題的關(guān)鍵.例7．（2019·上海市江寧學(xué)校七年級(jí)期中）已知，如圖，DE//BC，∠ADE=∠EFC,將說(shuō)明∠1=∠2成立的理由填寫完。解:DE//BC（）∠ADE=_________（）∠ADE=∠EFC（）_____________=_____________（）DB//EF（）∠1=∠2（）【分析】根據(jù)DE//BC可得∠ADE=∠ABC，然后再證明∠ABC=∠EFC，可得DB//EF，進(jìn)而得到∠1=∠2.【詳解】DE//BC（已知）∠ADE=∠ABC（兩直線平行，同位角相等）∠ADE=∠EFC（已知）∠ABC=∠EFC（等量代換）DB//EF（同位角相等，兩直線平行）∠1=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）故答案為：已知；∠ABC，兩直線平行，同位角相等；已知；∠ABC=∠EFC，等量代換；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.例8．（2019·上海市光明中學(xué)七年級(jí)期中）如圖,已知AB∥CD,EC∥FB,∠C=(85-x)°,∠B=(3x+15)°,求∠C的度數(shù)【答案】∠C的度數(shù)為45°.【分析】由EC∥FB，可得∠B=∠BGC，再由AB∥CD，∠C+∠BGC=180°，代數(shù)條件數(shù)據(jù)，解方程即可.【詳解】解：∵EC∥FB，∴∠B=∠BGC=(3x+15)°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵AB∥CD，∴∠C+∠BGC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）代入條件得(85-x)°+(3x+15)°=180°，解得x=40；則∠C=45°.【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，熟練根據(jù)相等的角進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵.例9．（2019·上海七年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，已知∠1＝50°，∠2＝130°，∠4＝50°，∠6＝130°，試說(shuō)明a∥b，b∥c，d∥e，a∥c．【分析】由條件可分別得到∠1+∠2=180°，可證明a∥b；可求得∠4=∠3，可證明d∥e；由∠5+∠6=180°可求得∠4=∠5，可證明b∥c，由平行的傳遞性可得a∥c．【詳解】因?yàn)椤?＝50°，∠2＝130°(已知)，所以∠1+∠2＝180°．所以a∥b(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)．所以∠3＝∠1＝50°(兩直線平行，同位角相等)．又因?yàn)椤?＝50°(已知)，所以∠3＝∠4(等量代換)．所以d∥e(同位角相等，兩直線平行)．因?yàn)椤?+∠6＝180°(平角定義)，∠6＝130°(已知)，所以∠5＝50°(等式的性質(zhì))．所以∠4＝∠5(等量代換)．所以b∥c(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．因?yàn)閍∥b，b∥c(已知)，所以a∥c(平行于同一直線的兩直線平行)．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等?兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等?兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行，④a∥b，b∥c?a∥c．例10．（2019·上海七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1+∠2=90°，那么直線AB，CD的位置關(guān)系如何？【分析】運(yùn)用角平分線的定義，結(jié)合圖形可知∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，又已知∠1+∠2=90°，可得同旁內(nèi)角∠ABD和∠BDC互補(bǔ)，從而證得AB∥CD．【詳解】解：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC（已知），∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2（角平分線定義），∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC=2（∠1+∠2）=180°，∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）【點(diǎn)睛】此題考查平行線的判定，解題關(guān)鍵在于得到∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2.例11．（2019·上海蘭田中學(xué)七年級(jí)期中）看圖填空，并在括號(hào)里填上理由.如圖，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2.說(shuō)明BE∥CF的理由.理由：∵AB⊥BC(已知)，∴∠1+∠3=90°（）.同理∠2+∠4=90°.∵∠1=∠2().∴∠3=∠4（）.∴BE∥CF（）.【答案】垂直的定義,已知,等角的余角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行【分析】先根據(jù)垂直的定義得出∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，再由∠1=∠2可得出∠3=∠4，由此可得出結(jié)論．【詳解】∵AB⊥BC(已知)，∴∠1+∠3=90°（垂直的定義）.同理∠2+∠4=90°.∵∠1=∠2(已知).∴∠3=∠4（等角的余角相等）.∴BE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行）.故答案是：垂直的定義,已知,等角的余角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行.【點(diǎn)睛】考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．例12.直線a、b被直線l所截，如果∠1=∠2，那么a∥b嗎？為什么．【難度】★★★【答案】平行，見(jiàn)解析．【解析】因?yàn)椤?=∠2（已知），∠2=∠3（對(duì)頂角相等）所以∠1=∠3（等量代換）所以a∥b（同位角相等，兩直線平行）【總結(jié)】本題考查平行線的判定．例13.直線AB、CD被直線EF所截，H為CD與EF的交點(diǎn)，如果∠1=60°，∠2=30°，GH⊥CD，垂足為H，說(shuō)明AB∥CD．【難度】★★★【解析】因?yàn)镚H⊥CD（已知），所以∠DHG=90°（垂直的意義）又因?yàn)椤?=30°（已知），所以∠DHF=60°（等式性質(zhì)）所以∠EHC=60°（對(duì)頂角相等）因?yàn)椤?=60°（已知），所以∠EHC=∠1=60°（等量代換）所以AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）【總結(jié)】本題考查平行線的判定定理及垂直意義的綜合運(yùn)用．例14.已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2，說(shuō)明DF∥AE的理由．【難度】★★★【解析】因?yàn)镃D⊥DA，DA⊥AB（已知），所以∠CDA=∠DAB=90°（垂直的意義）又因?yàn)椤?=∠2（已知），所以∠FDA=∠DAE（角的和差）所以DF∥AE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【總結(jié)】本題考查平行線的判定定理的運(yùn)用．例15.根據(jù)圖中已知條件說(shuō)明AB∥CD的理由．【難度】★★★【解析】（1）因?yàn)椋訟B∥CD（同位角相等，兩直線平行）（2）60°的對(duì)頂角還是60°，30°的余角是60°，60°=60°，所以AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）因?yàn)椋?，所以∠DCA+∠CAB=180°，所以AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）【總結(jié)】本題考查平行線的判定定理的綜合運(yùn)用．例16.已知，BE、DE分別平分∠ABD、∠CDB，∠E=90°，判斷AB、CD是否平行，請(qǐng)說(shuō)明理由．【難度】★★★【答案】平行．【解析】因?yàn)椤螮=90°（已知）所以∠EBD+∠EDB=90°（三角形的內(nèi)角和等于180°）又因?yàn)锽E、DE分別平分∠ABD、∠CDB(已知）所以∠ABD+∠CDB=2∠EBD+2∠EDB=180°（角平分線意義）所以AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）【總結(jié)】本題考查平行線的判定定理的運(yùn)用．隨堂檢測(cè)1.下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的有（ ）∠1與∠2是直線AD、BC被直線AC所截的內(nèi)錯(cuò)角；∠1與∠B是直線AC、BC被直線AB所截得的同旁內(nèi)角；∠3與∠4是直線AC、CD被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角；∠2與∠4是直線AD、AC被直線CD所截得的同位角．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【難度】★【答案】A【解析】（1）錯(cuò)誤：應(yīng)是直線AB、DC被直線AC所截得的內(nèi)錯(cuò)角；正確；（3）正確；（4）正確．【總結(jié)】本題考查內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁內(nèi)角的概念．2.兩條直線被第三條直線所截，在形成的八個(gè)角中，如果∠1與∠2是同位角，∠1與∠3是內(nèi)錯(cuò)角，那么∠3與∠2是（ ）．A．同位角 B．同旁內(nèi)角 C．鄰補(bǔ)角 D．對(duì)頂角【難度】★【答案】D【解析】作圖即可得出．【總結(jié)】本題考查三線八角中各個(gè)角之間的關(guān)系．3.如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，過(guò)P點(diǎn)分別作a∥AO，b∥OB．【難度】★★【解析】（1）首先，將三角尺的直角邊與直線OA重合，將其中一條直角邊緊靠直尺，并固定直尺；（2）將三角尺與直線OA重合的直角邊沿直尺平行移動(dòng)至過(guò)點(diǎn)P處；（3）沿著三角尺的直角邊畫出過(guò)點(diǎn)P的直線a，則直線a即為所求的平行線．同理畫出直線b即可．【總結(jié)】本題考查平行線的的作法．4.如圖，已知∠C=∠B，AE平分∠DAC，說(shuō)明AE∥BC的理由．【難度】★★【解析】因?yàn)椤螪AC=∠B+∠C（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）又∠DAC=∠DAE+∠EAC（角的和差）所以∠B+∠C=∠DAE+∠EAC（等量代換）因?yàn)锳E平分∠