自動控制原理-2-數(shù)學(xué)模型

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2-0引言2-1微分方程的建立及線性化2-2傳遞函數(shù)2-3結(jié)構(gòu)圖2-4信號流圖2.0引言

要對自動控制系統(tǒng)進(jìn)行定量（精確）地分析和設(shè)計，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。物理量：高度、速度、溫度、壓力、流量、電壓、電流。

數(shù)學(xué)表達(dá)式：代數(shù)方程、微分方程

靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)變量之間與時間無關(guān)的靜態(tài)關(guān)系

動態(tài)數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)變量對時間的變化率，反映系統(tǒng)的動態(tài)特性控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的類型時域模型微分方程頻域模型頻率特性結(jié)構(gòu)圖=方框圖＋數(shù)學(xué)模型復(fù)（S）域模型傳遞函數(shù)建模方法：分析法、實(shí)驗法◆實(shí)驗法（黑箱法、辨識法、灰箱法）：人為施加某種測試信號，記錄基本輸出響應(yīng)，根據(jù)輸入輸出響應(yīng)辨識出數(shù)學(xué)模型。

方法--頻率特性法;最小二乘法(曲線擬合)

分析法：根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)律（定律、經(jīng)驗公式）

和結(jié)構(gòu)參數(shù)，推導(dǎo)系統(tǒng)輸入輸出之間數(shù)學(xué)

關(guān)系。

------適用于簡單的系統(tǒng)。黑匣子輸入（充分激勵）輸出（測量結(jié)果）2.1線性微分方程的建立及求解一.微分方程的建立

微分方程是控制系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型。

1、計算分析法步驟（1）確定輸入、輸出及中間變量。（2）根據(jù)各個元件的物理規(guī)律、定律，列寫各個元件的微分方程，得到一個微分方程組。若總變量數(shù)為n，應(yīng)列寫n-1個獨(dú)立方程。（忽略次要因素，使問題簡化。）（3）解方程組：消去中間變量，即得控制系統(tǒng)的輸出和輸入的微分方程。（輸出量放在方程的左邊，輸入量放在右邊；各導(dǎo)數(shù)項按降階排列。）例1.機(jī)械平移系統(tǒng)。求在外力F(t)作用下，物體的運(yùn)動軌跡。mkF(t)x(t)位移阻尼系數(shù)f阻尼器彈簧mF1(彈簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力忽略重力因素解：首先確定：輸入F(t),輸出x(t)

其次：理論依據(jù)

1.牛頓第二定律：物體所受的合外力等于物體質(zhì)量與加速度的乘積；

2.牛頓第三定律；作用力等于反作用力。單獨(dú)取出m進(jìn)行分析，這里不考慮重力的影響。mF1(彈簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力例2.RLC電路。分析在輸入電壓ur(t)作用下，電容上電壓uc(t)的變化。RLCur(t)uc(t)i(t)解：設(shè)中間變量為i(t)，ur(t)、uc(t)分別為輸入、輸出變量。依據(jù)：電學(xué)中的基爾霍夫定律機(jī)械平移系統(tǒng)的微分方程為：由（2）代入（1）得：消去中間變量i(t)，整理得：兩個例子的式子很相似，故可用電子線路來模擬機(jī)械平移系統(tǒng)?？梢?，看似完全不同的系統(tǒng)，具有相同的運(yùn)動規(guī)律，可用相同的數(shù)學(xué)模型來描述。例3：下圖是具有轉(zhuǎn)動慣量為J的轉(zhuǎn)子，與彈性系數(shù)為K

的彈性軸和阻尼系數(shù)為的阻尼器連接。假設(shè)施加的外扭矩為，則系統(tǒng)產(chǎn)生偏離平衡位置的角位移。試寫出角位移與扭矩的微分方程。

解：應(yīng)與阻力矩總和平衡，即假設(shè)初始狀態(tài)在平衡位置，扭矩（

）式中，M1——慣性體所產(chǎn)生的阻力矩，為

M2——阻尼器所產(chǎn)生的阻尼力矩，為

M3——彈性軸所產(chǎn)生的彈性阻力矩，為將M1、M2、M3代入式（

），得到描述系統(tǒng)輸出輸入關(guān)系的運(yùn)動方程式為牛頓定律二.非線性元件的線性化

1.幾種常見的非線性非線性微分方程的求解很困難。在一定條件下，可以近似地轉(zhuǎn)化為線性微分方程。2.線性化的方法（1）忽略弱非線性環(huán)節(jié)（如果元件的非線性因素較弱或者不在系統(tǒng)線性工作范圍以內(nèi)，則它們對系統(tǒng)的影響很小，就可以忽略）。（2）偏微法（小偏差法，切線法，增量線性化法）偏微法基于一種假設(shè)，就是控制系統(tǒng)只是在平衡點(diǎn)附近作微小變化。這符合閉環(huán)控制系統(tǒng)，一有偏差就產(chǎn)生控制作用，來減小或消除偏差，所以各元件工作在平衡點(diǎn)附近。

A(x0,y0)平衡點(diǎn)，函數(shù)在平衡點(diǎn)處連續(xù)可微，則可將函數(shù)在平衡點(diǎn)附近展開成臺勞級數(shù)

忽略二次以上的各項，上式可以寫成得到非線性元件的線性化數(shù)學(xué)模型書P28例（電感部分直接用總的磁鏈分析，更易于理解）在平衡工作點(diǎn)附近有：注意：這幾種方法只適用于一些非線性程度較低的系統(tǒng)，對于某些嚴(yán)重的非線性，如：

不能作線性化處理，一般用相平面法及描述函數(shù)法進(jìn)行分析。練習(xí)題1：兩級RC電路，研究以ur(t)為輸入電壓，電容C2上電壓uc(t)為輸出的微分方程。電磁力矩：

—安培定律電樞反電勢：

—楞次定律電樞回路：

—克?；舴蛄仄胶猓?/p>

—牛頓定律電機(jī)時間常數(shù)

電機(jī)傳遞系數(shù)消去中間變量i,Mm,Eb

可得：練習(xí)題2：電樞控制式直流電動機(jī)線性微分方程的求解（3）對輸出量的拉式變換式進(jìn)行拉式反變換，得到系統(tǒng)微分方程的解。

線性微分方程的求解方法：解析法、拉普拉斯變換法、計算機(jī)輔助求解拉普拉斯變換法求解微分方程基本步驟：（1）考慮初始條件，對微分方程中的各項進(jìn)行拉式變換，變成變量s的代數(shù)方程。（2）由變量s的代數(shù)方程求出系統(tǒng)輸出量的拉式變換式。回顧：數(shù)學(xué)工具——拉普拉斯變換與反變換⑴拉氏變換定義：設(shè)函數(shù)f(t)滿足①t<0時f(t)=0②t>0時，f(t)分段連續(xù)

則f(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作：

控制工程上函數(shù)都滿足拉氏變換要求：能量有限⑵拉氏變換基本定理線性定理位移定理

延遲定理

初值定理：

微分定理：積分定理：終值定理：

工程上典型函數(shù)的拉氏變換時域上函數(shù)：f(t)

脈沖

(t)

單位階躍

速度

加速度指數(shù)

正弦

復(fù)數(shù)（S）域：F（s）

1F(s)化成下列因式分解形式：

⑶拉氏反變換F(s)中具有不同的極點(diǎn)時，可展開為F(s)含有多重極點(diǎn)時，可展開為其余各極點(diǎn)的留數(shù)確定方法與上同。對于三階以下的系統(tǒng)也可以用待定系數(shù)法（解方程）式中，為單位階躍函數(shù)，初始條件為，，試求該微分方程的解。例1設(shè)線性微分方程為解：（1）對微分方程中的各項進(jìn)行拉式變換得（

）（2）將初始條件代入式（

），得（3）對式（2.1.3）進(jìn)行分解：式中對Y（S）進(jìn)行拉式反變換什么是運(yùn)動的模態(tài)？（P29）2.2傳遞函數(shù)

2.2.1傳遞函數(shù)的定義和主要性質(zhì)解微分方程分析系統(tǒng)的輸出響應(yīng)很麻煩。能否不解微分方程進(jìn)行系統(tǒng)分析？

--引申出新的概念---傳遞函數(shù)。定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：

在零初始條件下，并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為：性質(zhì)1傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，m≤n，且具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)。（物理可實(shí)現(xiàn)）性質(zhì)2G(s)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)，可見傳遞函數(shù)有效地描述了系統(tǒng)的固有特性。性質(zhì)3G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。性質(zhì)4傳遞函數(shù)與微分方程之間有關(guān)系。如果將置換

傳遞函數(shù)G(s)的零點(diǎn)極點(diǎn)形式。零點(diǎn)極點(diǎn)性質(zhì)5只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。傳遞函數(shù)G(s)的時間常數(shù)形式：傳遞函數(shù)G(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對輸出的影響。（見P32）

有什么影響？2.2.2典型元件的傳遞函數(shù)

任何一個復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個典型環(huán)節(jié)組合而成的。一、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1、比例環(huán)節(jié)：成比例的復(fù)現(xiàn)輸入信號微分方程：c(t)=K

r(t)

傳遞函數(shù)：實(shí)例有：放大器、減速機(jī)、杠桿機(jī)構(gòu)等2、慣性環(huán)節(jié)：輸出量延緩地反應(yīng)輸入量的變化規(guī)律微分方程：傳遞函數(shù)：為慣性環(huán)節(jié)時間常數(shù)。

零、極點(diǎn)圖：

RC濾波網(wǎng)絡(luò)屬于慣性環(huán)節(jié)。3.積分環(huán)節(jié)：輸出量為輸入量的積分--具有記憶功能，用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。微分方程為：傳遞函數(shù)為：為積分時間常數(shù)。

零、極點(diǎn)圖：4、微分環(huán)節(jié)：輸出量為輸入量的微分—預(yù)示輸入信號的變化趨勢，監(jiān)測系統(tǒng)的動態(tài)行為。微分方程為：傳遞函數(shù)為：一階微分方程為：

零、極點(diǎn)圖：5.振蕩環(huán)節(jié)：有兩個儲能元件，在運(yùn)動過程中能量相互交換，輸出帶有振蕩特性。RLCur(t)uc(t)i(t)微分方程為：傳遞函數(shù)為：令：稱為自然振蕩（無阻尼）角頻率為阻尼系數(shù)。

零、極點(diǎn)圖:

振蕩環(huán)節(jié)有一對位于S左半平面的共軛極點(diǎn):

彈簧－質(zhì)量－阻尼器串聯(lián)系統(tǒng)也屬于這一類:6.延遲環(huán)節(jié)：輸出端要隔一定時間后才能復(fù)現(xiàn)輸入信號微分方程為：傳遞函數(shù)為：為延遲時間當(dāng)延遲時間很小時可得：特點(diǎn)：輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一段時間。實(shí)例：管道壓力、流量、皮帶運(yùn)輸?shù)任锢砹康目刂?，其?shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。K1是單個電位器的傳遞系統(tǒng)，是兩個電位器電刷角位移之差，稱誤差角。

圖

電位器θ1θ2U(t)21qK11qK

電位器的負(fù)載效應(yīng)，一般要求1.電位器二、實(shí)例：圖測速發(fā)電機(jī)TGωU(t)永磁鐵TG～～激磁繞組U(t)(a)ω（b)輸出繞組、相互垂直轉(zhuǎn)子角速度（rad/s）輸出斜率（v/rad/s）圖直流測速發(fā)電機(jī)交流測速發(fā)電機(jī)2.測速發(fā)電機(jī)－測量角速度并將它轉(zhuǎn)換成電壓量的裝置傳遞函數(shù)例1.RC電路如圖所示，求傳遞函數(shù)則微分方程為：消去中間變量解：依據(jù)：基爾霍夫定律可用方框圖表示：對上式進(jìn)行零初始條件下的拉氏變換得：例2.雙T網(wǎng)絡(luò)，求傳遞函數(shù)解：方法一：根據(jù)基爾霍夫定理列出下列微分方程組：方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得：消去中間變量得：方法二：用復(fù)阻抗比：注意：雙T網(wǎng)絡(luò)不可看成兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)，即：與雙T網(wǎng)絡(luò)相比少一個交叉項R1C2S，這就是負(fù)載效應(yīng)。只有當(dāng)?shù)谝粋€RC網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載阻抗為無窮大時，雙T網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)才等于兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)。例3：求下圖所示運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)。圖中Rf是反饋電阻，if是反饋電流，Ri是輸入電阻，ur和ir是輸入電壓和電流，uc是輸出電壓,i0是進(jìn)入放大器的電流。urucRfRiRuεi0irif-+解：

即：

由此導(dǎo)出：

這個結(jié)論可以推廣為：當(dāng)負(fù)反饋端作為輸入時，運(yùn)算放大器的傳遞函數(shù)等于負(fù)的反饋復(fù)阻抗與輸入復(fù)阻抗之比（自動控制中常用負(fù)極性端作為輸入端）。2-4結(jié)構(gòu)圖一.結(jié)構(gòu)圖的概念和組成1.概念將方框圖中各時間域中的變量用其拉氏變換代替，各元件的名稱換成各元件的傳遞函數(shù)，這時方框圖就變成了結(jié)構(gòu)圖。2.組成

(1)方框：有輸入信號，輸出信號，傳遞線，方框內(nèi)的函數(shù)為輸入與輸出的傳遞函數(shù)，一條傳遞線上的信號處處相同。

G(s)X(s)Y(s)

(2)比較點(diǎn)：綜合點(diǎn)，相加點(diǎn)加號常省略負(fù)號必須標(biāo)出

(3)引出點(diǎn)（線）：

一條傳遞線上的信號處處相等，引出點(diǎn)的信號與原信號相等。箭頭表示信號傳遞的方向。G(s)X(s)Y(s)X(S)二.結(jié)構(gòu)圖的繪制

1、繪制步驟

（1）將系統(tǒng)中每個環(huán)節(jié)的方程或傳函列出來（2）將每個環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖繪出來（3）按信號傳遞的方向?qū)⒎娇蜻B起來例1：繪制雙T網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖畫圖時，每個環(huán)節(jié)寫成如下形式：G(s)R(s)C(s)從左向右列方程組繪圖：ur(s)為輸入，畫在最左邊。若重新選擇一組中間變量，會有什么結(jié)果呢？(剛才中間變量為i1,u1,i2，現(xiàn)在改為I,I1,I2)選擇不同的中間變量，結(jié)構(gòu)圖也不一樣，但是整個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系是不會變的。繪圖：電磁力矩：電樞反電勢：電樞回路：力矩平衡：例2電樞控制式直流電動機(jī)直流電動機(jī)結(jié)構(gòu)圖Ur例3.分析P66習(xí)題2-15三.結(jié)構(gòu)圖的等效變換

1、三種基本連接形式（1）串聯(lián)G(s)X(s)Y(s)X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)G(s)X(s)Y(s)X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)（2）并聯(lián)(3)反饋R(s)C(s)C(s)G(s)H(s)E(s)R(s)證明：單位負(fù)反饋時：直流電動機(jī)結(jié)構(gòu)圖Ur傳遞函數(shù)：(前例2)電樞控制式直流電動機(jī)（1）分支點(diǎn)的移動(前乘，后除）

2、結(jié)構(gòu)圖的變位變換（見P47表2-1）

（2）比較點(diǎn)的移動(前除，后乘）（3）相鄰比較點(diǎn)位置可以交換（注意相鄰）相鄰引出點(diǎn)位置可以交換（4）負(fù)號可以在支路上移動補(bǔ)充結(jié)論：控制系統(tǒng)方塊圖簡化的原則

1.利用串聯(lián)、并聯(lián)和反饋的結(jié)論進(jìn)行簡化

即：三種典型結(jié)構(gòu)可直接用公式

2.解除交叉環(huán)，即變成大環(huán)路套小環(huán)路

比較點(diǎn)移向比較點(diǎn)：相鄰比較點(diǎn)之間可以互移

即：相鄰綜合點(diǎn)可互換位置、可合并…

引出點(diǎn)移向引出點(diǎn)：相鄰引出點(diǎn)之間可以互移

即：相鄰引出點(diǎn)可互換位置、可合并…

注：若比較點(diǎn)和引出點(diǎn)相鄰，之間不能互移。

錯！G1G2G3H1G1G2G3H1G2綜合點(diǎn)移動1G1G2G3H1綜合點(diǎn)越過引出點(diǎn)了！綜合點(diǎn)不能向引出點(diǎn)移動，

切記：要向同類移動！錯！綜合點(diǎn)移動2G2H1G1G3向同類移動綜合點(diǎn)移動3G2H1G1G3G11并聯(lián)2反饋3串聯(lián)G1引出點(diǎn)移動G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41引出點(diǎn)向引出點(diǎn)移動ab將引出點(diǎn)a移到引出點(diǎn)b相鄰引出點(diǎn)互換位置G1G2G3G4H3H2H1G41反饋1反饋2反饋3例:將系統(tǒng)方塊圖簡化。分支點(diǎn)A后移，比較點(diǎn)B前移。比較點(diǎn)1和2交換。2-5信號流圖及梅遜公式1、概念：信號流圖是表示一組聯(lián)立線性代數(shù)方程的圖，描繪了信號從系統(tǒng)中一點(diǎn)流向另一點(diǎn)的情況，且表明了信號之間的關(guān)系。包含了結(jié)構(gòu)圖所包含的全部信息，與結(jié)構(gòu)圖一一對應(yīng)。例：用小圓圈表示變量，帶箭頭的連線上標(biāo)上增益值。2.術(shù)語：輸入節(jié)點(diǎn)：具有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。圖中的點(diǎn)。輸出節(jié)點(diǎn)（阱，坑）：僅有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。有時信號流圖中沒有這樣的節(jié)點(diǎn)，可從某節(jié)點(diǎn)變量引出一條增益為1的支路，即可形成一輸出節(jié)點(diǎn)，如圖中的。混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如圖中的前向通路：開始于輸入節(jié)點(diǎn)，沿支路箭頭方向，每個節(jié)點(diǎn)只經(jīng)過一次，最終到達(dá)輸出節(jié)點(diǎn)的通路稱之前向通路。前向通路上各支路增益之乘積，稱為前向通路總增益用表示。回路：起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，并與其它節(jié)點(diǎn)相遇僅一次的通路?；芈分兴兄返某朔e稱為回路增益，用表示。不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時，這種回路叫做不接觸回路。在信號流圖中，可以有兩個或兩個以上不接觸回路。3.信號流圖的性質(zhì):信號流圖適用于線性系統(tǒng)。支路表示一個信號對另一個信號的函數(shù)關(guān)系，信號只能沿支路上的箭頭指向傳遞。在節(jié)點(diǎn)上可以把所有輸入支路的信號疊加，并把相加后的信號送到所有的輸出支路。具有輸入和輸出節(jié)點(diǎn)的混合節(jié)點(diǎn)，通過增加一個具有單位增益的支路把它作為輸出節(jié)點(diǎn)來處理。對于一個給定的系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的，由于描述同一個系統(tǒng)的方程可以表示為不同的形式。4.信號流圖的繪制:⑴由微分方程繪制，這與畫方塊圖差不多。⑵由系統(tǒng)方塊圖繪制。例1:繪制下圖所示系統(tǒng)方塊圖的信號流圖。

解：①用小圓圈表示各變量對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)②在比較點(diǎn)之后的引出點(diǎn)，只需在比較點(diǎn)后設(shè)置一個節(jié)點(diǎn)便可。也即可以與它前面的比較點(diǎn)共用一個節(jié)點(diǎn)。③在比較點(diǎn)之前的引出點(diǎn)B，需設(shè)置兩個節(jié)點(diǎn)，分別表示引出點(diǎn)和比較點(diǎn)，注意圖中的。5.梅遜公式：任一結(jié)構(gòu)圖中，某輸入對某輸出的傳函為式中：n：為前向通路的條數(shù)；

Pk

：為第k條前向通路增益；

Δ：為系統(tǒng)特征式，

Δ=1-（所有單獨(dú)回路增益之和）+（所有每兩個互不接觸回路增益乘積之和）-（所有三個互不接觸回路增益乘積之和）+……Δk：為第k條前向通路特征式的余子式。即將Δ中與第k條前向通路相接觸的所在項去掉后，余下部分。梅遜公式練習(xí)ehfgR(s)abcdC(s)C(s)R(s)=1––––++afbgchefhgahfced(1g)–bdabc例：用梅遜公式求下圖的傳函

注：可用梅遜公式直接對結(jié)構(gòu)圖或信號流圖求傳函。例：求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)f6.閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：++H(s)+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s)圖:

反饋控制系統(tǒng)方塊圖(1)前向通路傳遞函數(shù)--假設(shè)N(s)=0

(2)反饋回路傳遞函數(shù)--假設(shè)N(s)=0

主反饋信號B(s)與C(s)之比,反饋信號控制對象控制器C(s)輸出信號C(s)與誤差信號E(s)之比,(3)開環(huán)傳遞函數(shù),假設(shè)N(s)=0

B(s)與E(s)之比,(4)閉環(huán)傳遞函數(shù),假設(shè)N(s)=0

C(s)與輸入信號R(s)之比,++H(s)－+R(s)E(s)B(s)N(s))(1sG)(2sGC(s