人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊學(xué)案：1 1 2 空間向量的數(shù)量積運算

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊PAGEPAGE11.1.2空間向量的數(shù)量積運算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量的夾角.2.掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律及計算方法.3.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.4.掌握兩個向量的數(shù)量積在判斷垂直中的應(yīng)用，掌握利用向量數(shù)量積求空間兩點間的距離．導(dǎo)語在平面向量中已經(jīng)學(xué)過兩個平面向量的數(shù)量積運算，由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，因此，兩個空間向量的夾角和數(shù)量積就可以像平面向量那樣來定義．一、空間向量的夾角知識梳理定義已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉范圍0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，記作a⊥b例1(1)對于空間任意兩個非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗顯然〈a，b〉＝0?a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共線和反向共線兩種情況，即當(dāng)a∥b時，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b?〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分條件．(2)如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，求向量eq\o(AC,\s\up6(→))分別與向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(B′A′,\s\up6(→))，eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))的夾角．解連接BD(圖略)，則在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，所以〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(A′B′,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(B′A′,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝135°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD′,\s\up6(→))〉＝∠D′AC＝60°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CD′,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(B′D′,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝90°.反思感悟(1)只有兩個非零空間向量才有夾角，當(dāng)兩個非零空間向量共線同向時，夾角為0，共線反向時，夾角為π.(2)對空間任意兩個非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．跟蹤訓(xùn)練1在正四面體ABCD中，eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))的夾角等于()A．30°B．60°C．150°D．120°〖答案〗D〖解析〗〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－〈eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝180°－60°＝120°.二、空間向量的數(shù)量積運算知識梳理1．(1)空間向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(2)運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c2.向量的投影(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖②)．(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．注意點：(1)向量a，b的數(shù)量積記為a·b，而不能表示為a×b或者ab.(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實數(shù)，而不是向量，它可以是正數(shù)、負數(shù)或零，其符號由夾角θ的范圍決定．①當(dāng)θ為銳角時，a·b>0；但當(dāng)a·b>0時，θ不一定為銳角，因為θ也可能為0.②當(dāng)θ為鈍角時，a·b<0；但當(dāng)a·b<0時，θ不一定為鈍角，因為θ也可能為π.(3)空間向量的數(shù)量積運算不滿足消去律和結(jié)合律．例2如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，計算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))；(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→)).解(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1·cos60°＝eq\f(1,4)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,4).(2)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1·cos0°＝eq\f(1,2)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2).(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)|eq\o(BD,\s\up6(→))|·|eq\o(DC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1·cos120°＝－eq\f(1,4)，所以eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4).(4)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)〖eq\o(BD,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·(－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))〗＝eq\f(1,4)〖－eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))〗＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)＋\f(1,2)))＝－eq\f(1,8).反思感悟由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準(zhǔn)確．跟蹤訓(xùn)練2已知空間向量a，b，c滿足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a的值為________．〖答案〗－13〖解析〗∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13.三、利用空間向量數(shù)量積的性質(zhì)求模長問題類比平面向量數(shù)量積的性質(zhì)，給出空間向量數(shù)量積的性質(zhì)．〖提示〗(1)若a，b為非零向量，則a⊥b?a·b＝0；(2)a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(3)若a，b為非零向量，則cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)；(4)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a，b共線時等號成立)．例3如圖，已知一個60°的二面角的棱上有兩點A，B，AC，BD分別是在這兩個面內(nèi)且垂直于AB的線段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的長．解∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝120°.∵eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，且eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2|eq\o(CA,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝62＋42＋82＋2×6×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝68，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2eq\r(17)，故CD的長為2eq\r(17).反思感悟用數(shù)量積求兩點間距離的步驟(1)將兩點間的連線用向量表示；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|.跟蹤訓(xùn)練3已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且這三條棱彼此之間的夾角都是60°，則AC1的長為()A．6B.eq\r(6)C．3D.eq\r(3)〖答案〗B〖解析〗設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).由eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，得|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(6).1．知識清單：(1)空間向量的夾角、投影．(2)空間向量數(shù)量積、性質(zhì)及運算律．2．方法歸納：化歸轉(zhuǎn)化．3．常見誤區(qū)：(1)數(shù)量積的符號由夾角的余弦值決定．(2)當(dāng)a≠0時，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0．1．(多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(A1C1,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(C1A1,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(C1B,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(AD1,\s\up6(→))〖答案〗AD2．已知空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉的值為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2)D．0〖答案〗D〖解析〗eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|cos∠AOC－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|cos∠AOB＝eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OC,\s\up6(→))|－eq\f(1,2)|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.3．若a，b為空間夾角是60°的兩個單位向量，則|a－b|＝________.〖答案〗1〖解析〗|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1.∴|a－b|＝1.4．如圖，