人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊學(xué)案：2 1 1 傾斜角與斜率

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊PAGEPAGE1第二章直線和圓的方程〖數(shù)學(xué)文化〗——了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展與應(yīng)用圓的歷史古代人最早是從太陽、從陰歷十五的月亮得到圓的概念的，那么是什么人作出第一個圓的呢？18000年前的山頂洞人用一種尖狀的石器來鉆孔，石器的尖是圓心，它的寬度的一半就是半徑，這樣以同一個半徑和圓心一圈圈地轉(zhuǎn)就可以鉆出一個圓的孔.到了陶器時代，許多陶器都是圓的.圓的陶器是將泥土放在一個轉(zhuǎn)盤上制成的.6000年前，半坡人就已經(jīng)會造圓形的房頂了.大約在6000年前，美索不達米亞人，做出了世界上第一個輪子——圓的木輪.約在4000年前，人們將圓的木輪固定在木架上，這就成了最初的車子.會作圓并且真正了解圓的性質(zhì)，卻是在2000多年前，是由我國的墨子給出圓的概念的：一中同長也.意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等.這個定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德給圓下定義要早100年.墨子〖讀圖探新〗——發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的知識1.我國古代石拱橋的杰出代表是舉世聞名的河北省趙縣的趙州橋，距今已有1400年的歷史.趙州橋是一座空腹式的圓弧形石拱橋，凈跨37m，寬9m，拱矢高度7.24m，趙州橋是當今世界上現(xiàn)存最早、保存最完善的古代敞肩石拱橋.2.同學(xué)們看過海上日出嗎？你看，太陽出來了，它穿過海平面，升的越來越高，非常美麗.我們?nèi)绻押Ｆ矫婵醋魇且粭l直線，太陽看作一個圓，那么里面隱含著豐富的平面幾何知識.3.意大利中部的比薩城內(nèi)，有一座造型古樸而又秀巧的鐘塔，這就是堪稱世界建筑史奇跡的比薩斜塔.那么經(jīng)過600多年的風(fēng)雨滄桑，比薩斜塔的傾斜度又是多少呢？你能用現(xiàn)有的知識去解決這個問題嗎？問題1：通過趙州橋你能感受到圓的曲線帶來的優(yōu)美，那么你了解的與圓有關(guān)的應(yīng)用有哪些？問題2：太陽升起的過程與海平面對應(yīng)的直線有哪些位置關(guān)系？問題3：如何測量比薩斜塔的傾斜程度？鏈接：圓在橋上的應(yīng)用只是〖解析〗幾何在日常生活中的應(yīng)用之一.事實上，無論日常生活還是航天技術(shù)的運用，用到〖解析〗幾何知識的地方還很多，而測量比薩斜塔的傾斜程度，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系等，也是〖解析〗幾何的一部分，那么為了更好地服務(wù)于人類，讓我們更好地學(xué)習(xí)〖解析〗幾何知識吧！

2.1直線的傾斜角與斜率2.1.1傾斜角與斜率課標要求素養(yǎng)要求1.在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念.3.經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.在直線的傾斜角和斜率的概念的形成過程中，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過借助圖形及向量推導(dǎo)直線的斜率計算公式，提升數(shù)學(xué)運算、邏輯推理素養(yǎng).自主梳理1.直線的傾斜角(1)直線傾斜角的定義當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.(2)直線傾斜角的取值范圍直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α＜180°}，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.2.斜率的概念及斜率公式(1)斜率的定義我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k來表示，即k＝tanα.傾斜角是90°的直線沒有斜率，傾斜角不是90°的直線都有斜率.(2)斜率公式如果直線經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).在平面直角坐標系中，傾斜角和斜率分別從形和數(shù)兩個角度刻畫了直線相對于x軸的傾斜程度.3.直線的方向向量設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點，則向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(x，y)，則k＝eq\f(y,x).自主檢驗1.思考辨析，判斷正誤(1)任一條直線都有傾斜角，都存在斜率.(×)〖提示〗傾斜角為90°的直線的斜率不存在.(2)若直線的傾斜角為α，則0°≤α≤180°.(×)〖提示〗直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°.(3)傾斜角為135°的直線的斜率為1.(×)〖提示〗傾斜角為135°的直線的斜率為－1.(4)若一條直線的傾斜角為α，則它的斜率為k＝tanα.(×)〖提示〗當直線的傾斜角α＝90°時，直線的斜率不存在.2.已知一條直線的傾斜角α＝45°，則該直線的斜率等于()A.eq\f(\r(2),2) B.－eq\f(\r(2),2) C.1 D.－1〖答案〗C〖解析〗k＝tanα＝tan45°＝1.3.若過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為45°，則y＝()A.－eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),2) C.－1 D.1〖答案〗C〖解析〗由已知，得eq\f(y＋3,4－2)＝tan45°＝1.故y＝－1.4.一條直線的斜率等于eq\f(\r(3),3)，則此直線的傾斜角等于________.〖答案〗30°〖解析〗k＝tanα＝eq\f(\r(3),3)，又0°≤α＜180°，故α＝30°.

題型一求直線的傾斜角〖例1〗(1)設(shè)直線l過原點，其傾斜角為α，將直線l繞坐標原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)40°，得直線l1，則直線l1的傾斜角為()A.α＋40°B.α－140°C.140°－αD.當0°≤α<140°時為α＋40°，當140°≤α＜180°時為α－140°(2)已知直線l向上的方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為________.〖答案〗(1)D(2)60°或120°〖解析〗(1)根據(jù)題意，畫出圖形，如圖所示.因為0°≤α<180°，顯然A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意.通過畫圖(如圖所示)可知，當0°≤α<140°時，l1的傾斜角為α＋40°；當140°≤α<180°時，l1的傾斜角為40°＋α－180°＝α－140°.故選D.(2)有兩種情況：①如圖(1)，直線l向上的方向與x軸正向所成的角為60°，即直線l的傾斜角為60°.②如圖(2)，直線l向上的方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°.思維升華(1)解答本類題要注意根據(jù)傾斜角的概念及傾斜角的取值范圍解答.(2)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據(jù)情況分類討論.〖訓(xùn)練1〗下列命題正確的是()A.兩條不重合的直線，如果它們的傾斜角相等，那么這兩條直線平行B.若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanαC.若α，2α，3α分別為三條直線的傾斜角，則α的度數(shù)可以大于60°D.若α是直線l的傾斜角，且tanα＝eq\f(\r(2),2)，則α＝45°〖答案〗A〖解析〗0°≤α＜180°，當α＝90°，此時直線不存在斜率，B錯；α>60°時，3α>180°，與傾斜角的范圍矛盾，C錯；tan45°＝1，D錯.題型二求直線的斜率〖例2〗經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角α.(1)A(2，3)，B(4，5)；(2)C(－2，3)，D(2，－1)；(3)P(－3，1)，Q(－3，10).解(1)存在.直線AB的斜率kAB＝eq\f(5－3,4－2)＝1，即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝45°.(2)存在.直線CD的斜率kCD＝eq\f(－1－3,2－（－2）)＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝135°.(3)不存在.因為xP＝xQ＝－3，所以直線PQ的斜率不存在，傾斜角α＝90°.思維升華(1)利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項①運用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線不與x軸垂直，因為當直線與x軸垂直時，斜率是不存在的；②斜率公式與兩點P1，P2的先后順序無關(guān)，也就是說公式中的x1與x2，y1與y2可以同時交換位置.(2)在0°≤α<180°范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.傾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)〖訓(xùn)練2〗(1)直線過兩點A(1，3)，B(2，7)，求直線的斜率；(2)過原點且斜率為1的直線l，繞原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到達l′位置，求l′的斜率.解(1)由題意知兩點的橫坐標不相等，則直線存在斜率，根據(jù)直線的斜率公式得k＝eq\f(7－3,2－1)＝4.(2)直線l的斜率k＝1，所以直線l的傾斜角為45°，所以直線l′的傾斜角為45°＋90°＝135°，即l′的斜率k′＝tan135°＝－1.題型三直線的傾斜角與斜率的應(yīng)用角度1三點共線問題〖例3－1〗如果Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2m，\f(5,2)))，B(4，－1)，C(－4，－m)三點在同一條直線上，試確定常數(shù)m的值.解由于A，B，C三點所在直線不可能垂直于x軸，因此可設(shè)直線AB，BC的斜率分別為kAB，kBC，由斜率公式，得kAB＝eq\f(\f(5,2)＋1,2m－4)＝eq\f(7,4m－8)，kBC＝eq\f(－1＋m,4＋4)＝eq\f(m－1,8).∵點A，B，C在同一條直線上，∴kAB＝kBC.∴eq\f(7,4m－8)＝eq\f(m－1,8)，即m2－3m－12＝0，解得m1＝eq\f(3＋\r(57),2)，m2＝eq\f(3－\r(57),2).∴m的值是eq\f(3＋\r(57),2)或eq\f(3－\r(57),2).角度2求解范圍問題〖例3－2〗直線l過點P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，eq\r(3))為端點的線段有公共點，求直線l的斜率k和傾斜角α的范圍.解如圖所示.∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3)－0,0－1)＝－eq\r(3)，∴k∈(－∞，－eq\r(3)〗∪〖1，＋∞)，又0°≤α<180°，∴45°≤α≤120°.思維升華1.用斜率公式解決三點共線問題時，首先要估測三點中是否任意兩點的連線垂直于x軸.當任意兩點的連線垂直于x軸，且過同一點時，三點共線.否則，直線的斜率存在，只要證明過同一點的兩直線的斜率相等即可.2.(1)由傾斜角(或范圍)求斜率(或范圍)利用定義式k＝tanα(α≠90°)解決.(2)由兩點坐標求斜率運用兩點斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解.(3)涉及直線與線段有交點問題常數(shù)形結(jié)合利用公式求解.〖訓(xùn)練3〗證明A(－2，12)，B(1，3)，C(4，－6)三點在同一條直線上.證明易知直線AB，AC的斜率都存在，∵kAB＝eq\f(12－3,－2－1)＝eq\f(9,－3)＝－3，kAC＝eq\f(－6－12,4－（－2）)＝eq\f(－18,6)＝－3，∴kAB＝kAC，又AB，AC過同一點A，∴A，B，C三點共線.1.一個關(guān)系——直線的傾斜角與斜率的關(guān)系直線的斜率和傾斜角都反映了直線的傾斜程度，二者緊密相連，如下表：直線情況α的大小0°