人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊學案：2 3 2 兩點間的距離公式

人教A版(新教材)高中數學選擇性必修第一冊PAGEPAGE12．3.2兩點間的距離公式學習目標1.掌握兩點間的距離公式并會應用.2.會用坐標法證明簡單的平面幾何問題．導語在一條筆直的公路同側有兩個大型小區(qū)，現在計劃在公路上某處建一個公交站點C，以方便居住在兩個小區(qū)住戶的出行．如何選址能使站點到兩個小區(qū)的距離之和最?。恳?、兩點之間的距離公式問題1在數軸上已知兩點A，B，如何求A，B兩點間的距離？〖提示〗|AB|＝|xA－xB|.問題2已知平面內兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎樣求這兩點間的距離？〖提示〗(1)當P1P2與x軸平行時，|P1P2|＝|x2－x1|；(2)當P1P2與y軸平行時，|P1P2|＝|y2－y1|；(3)當P1P2與坐標軸不平行時，如圖，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).即兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).知識梳理1．點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).2．原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).注意點：(1)此公式與兩點的先后順序無關．(2)已知斜率為k的直線上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由兩點間的距離公式可得|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|，或|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.例1已知△ABC的三個頂點A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，試判斷△ABC的形狀．解方法一∵|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(1－32＋7＋32)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．反思感悟計算兩點間距離的方法(1)對于任意兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)對于兩點的橫坐標或縱坐標相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．跟蹤訓練1若點M到x軸和到點N(－4,2)的距離都等于10，則點M的坐標為________________．〖答案〗(2,10)或(－10,10)〖解析〗由點M到x軸的距離等于10可知，其縱坐標為±10.設點M的坐標為(xM，±10)．由兩點間距離公式，得|MN|＝eq\r(xM＋42＋10－22)＝10或|MN|＝eq\r(xM＋42＋－10－22)＝10，解得xM＝－10或xM＝2，所以點M的坐標為(2,10)或(－10,10)．二、坐標法的應用例2求證：三角形的中位線長度等于第三邊長度的一半．證明如圖，以A為原點，邊AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，其中D，E分別為邊AC和BC的中點．設A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，則|AB|＝|c|.又由中點坐標公式，得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)，\f(n,2)))，∴|DE|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)－\f(m,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))，∴|DE|＝eq\f(1,2)|AB|，即三角形的中位線長度等于第三邊長度的一半．反思感悟(1)用〖解析〗法解題時，雖然平面圖形的幾何性質不依賴于平面直角坐標系的建立，但不同的平面直角坐標系會使我們的計算有繁簡之分，因此在建立平面直角坐標系時必須“避繁就簡”．(2)利用坐標法解決平面幾何問題的常見步驟①建立坐標系，用坐標表示有關的量．②進行有關代數運算．③把代數運算的結果“翻譯”成幾何結論．跟蹤訓練2已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對角線為AC和BD.求證：|AC|＝|BD|.證明如圖所示，建立平面直角坐標系，設A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，則點D的坐標是(a－b，c)．∴|AC|＝eq\r(b－02＋c－02)＝eq\r(b2＋c2)，|BD|＝eq\r(a－b－a2＋c－02)＝eq\r(b2＋c2).故|AC|＝|BD|.1．知識清單：兩點間的距離公式．2．方法歸納：待定系數法、坐標法．3．常見誤區(qū)：已知距離求參數問題易漏解．1．已知點(x，y)到原點的距離等于1，則實數x，y滿足的條件是()A．x2－y2＝1 B．x2＋y2＝0C.eq\r(x2＋y2)＝1 D.eq\r(x2＋y2)＝0〖答案〗C〖解析〗由兩點間的距離公式得eq\r(x2＋y2)＝1.2．已知M(2,1)，N(－1,5)，則|MN|等于()A．5B.eq\r(37)C.eq\r(13)D．4〖答案〗A〖解析〗|MN|＝eq\r(2＋12＋1－52)＝5.3．直線y＝x上的兩點P，Q的橫坐標分別是1,5，則|PQ|等于()A．4B．4eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)〖答案〗B〖解析〗∵P(1,1)，Q(5,5)，∴|PQ|＝eq\r(42＋42)＝4eq