人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊學案：3 2 2 第2課時 雙曲線的標準方程及性質(zhì)的應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第一冊PAGEPAGE1第2課時雙曲線的標準方程及性質(zhì)的應(yīng)用學習目標1.理解直線與雙曲線的位置關(guān)系.2.會求解有關(guān)弦長問題．導語上節(jié)課我們學習了雙曲線的幾何性質(zhì)，熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是解答雙曲線基本問題的法寶，這節(jié)課我們將在已有知識的基礎(chǔ)上，進一步掌握雙曲線的標準方程、幾何性質(zhì)，并運用它們解決有關(guān)直線與雙曲線的綜合問題．一、雙曲線定義的應(yīng)用問題1思考雙曲線例5與橢圓一節(jié)中的例6比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？〖提示〗當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比值大于1時，點M的軌跡是雙曲線．知識梳理雙曲線的第二定義：當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e＝eq\f(c,a)(e>1)時，這個點的軌跡是雙曲線．二、直線與雙曲線的位置關(guān)系問題2類比直線與橢圓的位置關(guān)系可知直線與雙曲線有幾種位置關(guān)系？〖提示〗有三種位置關(guān)系，分別為相交、相切、相離三種情況．知識梳理把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．(1)Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點．(2)Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點．(3)Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點．當a＝0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點．注意點：直線與雙曲線的關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支．例1已知雙曲線x2－y2＝4，直線l：y＝k(x－1)，直線l與雙曲線有兩個不同的公共點，確定滿足條件的實數(shù)k的取值范圍．解聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，))消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)當1－k2≠0，即k≠±1時，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－3k2>0，,1－k2≠0，))得－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3)且k≠±1，此時方程(*)有兩個不同的實數(shù)解，即直線l與雙曲線有兩個不同的公共點．延伸探究若直線l與雙曲線有且只有一個公共點，確定滿足條件的實數(shù)k的取值范圍．解聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝4，,y＝kx－1，))消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*)當1－k2≠0，即k≠±1時，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－3k2＝0，,1－k2≠0，))得k＝±eq\f(2\r(3),3)，此時方程(*)有兩個相同的實數(shù)解，即直線l與雙曲線有且只有一個公共點；當1－k2＝0，即k＝±1時，直線l與雙曲線的漸近線平行，方程(*)化為2x＝5，故方程(*)只有一個實數(shù)解，即直線l與雙曲線相交，有且只有一個公共點．故當k＝±eq\f(2\r(3),3)或±1時，直線l與雙曲線有且只有一個公共點．反思感悟(1)解決直線與雙曲線的公共點問題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項系數(shù)為0時，直線與漸近線平行的特殊情況．(2)雙曲線與直線只有一個公共點的題目，應(yīng)分兩種情況討論：直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行．(3)注意對直線的斜率是否存在進行討論．跟蹤訓練1已知雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1，過點P(1,1)的直線l與雙曲線只有一個公共點，求直線l的斜率k.解(ⅰ)當直線l的斜率不存在時，l：x＝1與雙曲線相切，符合題意．(ⅱ)當直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)＋1，代入雙曲線方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.當4－k2＝0時，k＝±2，l與雙曲線的漸近線平行，l與雙曲線只有一個公共點；當4－k2≠0時，令Δ＝0，得k＝eq\f(5,2).綜上，k＝eq\f(5,2)或k＝±2或k不存在．三、弦長公式及中點弦問題例2已知雙曲線C：x2－y2＝2，過右焦點的直線交雙曲線于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為4，則弦AB的長為()A．3eq\r(2)B．4eq\r(2)C．6D．6eq\r(2)〖答案〗D〖解析〗雙曲線C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，則c2＝4，∴右焦點為F(2,0)，根據(jù)題意易得過F的直線斜率存在，設(shè)方程為y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2，,x2－y2＝2，))化簡得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，∴xA＋xB＝eq\f(－4k2,1－k2)，xAxB＝eq\f(－4k2－2,1－k2).∵線段AB中點的橫坐標為4，∴xA＋xB＝eq\f(－4k2,1－k2)＝8，解得k2＝2，∴xAxB＝eq\f(－4k2－2,1－k2)＝10，則(xA－xB)2＝(xA＋xB)2－4xAxB＝82－4×10＝24，則|AB|＝eq\r(1＋k2xA－xB2)＝eq\r(3×24)＝6eq\r(2).反思感悟雙曲線中有關(guān)弦長問題，解決方法與橢圓中類似．解決中點弦問題常用判別式法和點差法，注意所求參數(shù)的取值范圍．跟蹤訓練2已知雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,2)＝1.試問：雙曲線上是否存在被點B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直線方程；如果不存在，請說明理由．解方法一設(shè)被點B(1,1)所平分的弦所在的直線方程為y＝k(x－1)＋1，代入雙曲線方程x2－eq\f(y2,2)＝1，得(k2－2)x2－2k(k－1)x＋k2－2k＋3＝0，∴Δ＝〖－2k(k－1)〗2－4(k2－2)(k2－2k＋3)>0，解得k<eq\f(3,2).設(shè)弦的兩端點為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(2kk－1,k2－2).∵點B(1,1)是弦的中點，∴eq\f(kk－1,k2－2)＝1，∴k＝2>eq\f(3,2).故雙曲線上不存在被點B(1,1)所平分的弦．方法二設(shè)雙曲線上存在被點B平分的弦MN，且點M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)－\f(y\o\al(2,1),2)＝1，①,x\o\al(2,2)－\f(y\o\al(2,2),2)＝1，②))由①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－eq\f(1,2)(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝2，∴直線MN的方程為y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－1，,x2－\f(y2,2)＝1，))消去y，得2x2－4x＋3＝0.又Δ＝－8<0，∴直線MN與雙曲線不相交，故雙曲線上不存在被點B平分的弦．1．知識清單：(1)雙曲線的第二定義．(2)判斷直線與雙曲線交點個數(shù)．(3)弦長公式．2．方法歸納：定義法，數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：直線與雙曲線的位置關(guān)系可以通過聯(lián)立直線方程與雙曲線方程得到的方程來判斷，首先看二次項系數(shù)是否為零，若不為零，再利用Δ來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系．代數(shù)計算中的運算失誤．1．直線y＝eq\f(b,a)x＋3與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的交點個數(shù)是()A．1B．2C．1或2D．0〖答案〗A〖解析〗由題意，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，可得其漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，因為直線y＝eq\f(b,a)x＋3與雙曲線的一條漸近線y＝eq\f(b,a)x平行，所以它與雙曲線只有1個交點．2．若直線y＝kx與雙曲線4x2－y2＝16相交，則實數(shù)k的取值范圍為()A．(－2,2)B．〖－2,2)C．(－2,2〗D．〖－2,2〗〖答案〗A〖解析〗易知k≠±2，將y＝kx代入4x2－y2＝16得關(guān)于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2.3．直線y＝x－1被雙曲線2x2－y2＝3所截得的弦的中點坐標是()A．(1,2) B．(－2，－1)C．(－1，－2) D．(2,1)〖答案〗C〖解析〗將y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的中點的橫坐標為eq\f(x1＋x2,2)＝eq