人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊學(xué)案：§1 2 第1課時 空間向量基本定理

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊PAGEPAGE1§1.2空間向量基本定理第1課時空間向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握空間向量基本定理.2.會用空間向量基本定理對向量進行分解.知識點一空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．思考零向量能否作為基向量？〖答案〗不能.零向量與任意兩個向量a，b都共面．知識點二空間向量的正交分解1．單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．1．只有兩兩垂直的三個向量才能作為空間的一個基底．(×)2．若{a，b，c}為空間的一個基底，則a，b，c全不是零向量．(√)3．如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則一定有a與b共線．(√)4．對于三個不共面向量a1，a2，a3，不存在實數(shù)組(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.(×)一、空間的基底例1已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，試判斷{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}能否作為空間的一個基底．解假設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))共面．則存在實數(shù)λ，μ使得eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))，∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e3不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1))此方程組無解，∴eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共面，∴{eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))}可以作為空間的一個基底．反思感悟基底的判斷思路(1)判斷一組向量能否作為空間的一個基底，實質(zhì)是判斷這三個向量是否共面，若不共面，就可以作為一個基底．(2)判斷基底時，常常依托正方體、長方體、平行六面體、四面體等幾何體，用它們從同一頂點出發(fā)的三條棱對應(yīng)的向量為基底，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)造其他向量進行相關(guān)的判斷．跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空間的一個基底，給出下列向量組：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作為空間一個基底的向量組有()A．1個 B．2個C．3個 D．0個〖答案〗B〖解析〗因為x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．如圖，令a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，c＝eq\o(AD,\s\up6(→))，則x＝eq\o(AB1,\s\up6(→))，y＝eq\o(AD1,\s\up6(→))，z＝eq\o(AC,\s\up6(→))，a＋b＋c＝eq\o(AC1,\s\up6(→)).可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故選B.(2)已知空間的一個基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m與n共線，則x＋y＝________.〖答案〗0〖解析〗因為m與n共線，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝z，,y＝－z，,1＝z.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))所以x＋y＝0.二、空間向量基本定理例2如圖，在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，點M，N分別是BC′，B′C′的中點，試用基底{a，b，c}表示向量eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→)).解連接A′N(圖略)．eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′N,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\o(A′C′,\s\up6(→)))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.延伸探究若把本例中“eq\o(AA′,\s\up6(→))＝a”改為“eq\o(AC′,\s\up6(→))＝a”，其他條件不變，則結(jié)果是什么？解因為M為BC′的中點，N為B′C′的中點，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(AC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(AC′,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC′,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋a－eq\f(1,2)c.反思感悟用基底表示向量的步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．跟蹤訓(xùn)練2如圖，四棱錐P-OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OC,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝c，E，F(xiàn)分別是PC和PB的中點，試用a，b，c表示eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(EF,\s\up6(→)).解連接BO，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)eq\o(CP,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)(eq\o(CO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a.1．下列結(jié)論錯誤的是()A．三個非零向量能構(gòu)成空間的一個基底，則它們不共面B．兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線C．若a，b是兩個不共線的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，c}構(gòu)成空間的一個基底D．若eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不能構(gòu)成空間的一個基底，則O，A，B，C四點共面〖答案〗C〖解析〗由基底的概念可知A，B，D正確，對于C，因為滿足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能構(gòu)成基底，故錯誤．2．已知a，b，c是不共面的三個向量，則能構(gòu)成空間的一個基底的一組向量是()A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2aC．a(chǎn)，2b，b－c D．c，a＋c，a－c〖答案〗C〖解析〗對于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，則3a，a－b，a＋2b共面，不能作為基底；同理可判斷B，D中的向量共面．故選C.3．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，可以作為空間一個基底的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(AB1,\s\up6(→))C.eq\o(D1A1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)) D.eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1C,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))〖答案〗C〖解析〗在長方體ABCD－A1B1C1D1中，只有C中的三個向量eq\o(D1A1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))不共面，可以作為空間的一個基底．4．正方體ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分別是AC，AB′，AD′的中點，以{eq\o(AO1,\s\up6(→))，eq\o(AO2,\s\up6(→))，eq\o(AO3,\s\up6(→))}為基底，eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AO1,\s\up6(→))＋yeq\o(AO2,\s\up6(→))＋zeq\o(AO3,\s\up6(→))，則()A．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(1,2) B．x＝y(tǒng)＝z＝1C．x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y(tǒng)＝z＝2〖答案〗B〖解析〗eq\o(AC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB′,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD′,\s\up6(→))＝eq\o(AO1,\s\up6(→))＋eq\o(AO2,\s\up6(→))＋eq\o(AO3,\s\up6(→))，對比eq\o(AC′,\s\up6(→))＝xeq\o(AO1,\s\up6(→))＋yeq\o(AO2,\s\up6(→))＋zeq\