解直角三角形-2024年中考數(shù)學(xué)考試易錯題

專題08解直角三角形

易錯點1：趙爽弦圖

勾股定理專題

易錯點：

1.審題不清：例如，在解決與勾股定理相關(guān)的問題時，學(xué)生可能會忽視題目中的關(guān)鍵信息，如是否明確指

出某個角是直角，或者是否給出了直角三角形的兩條直角邊的長度。這可能導(dǎo)致錯誤的解題方向。

2.概念理解不透徹：例如，對于勾股定理及其逆定理的理解不透徹。勾股定理說的是在直角三角形中，直

角邊的平方和等于斜邊的平方。而其逆定理是，如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個

三角形是直角三角形。學(xué)生可能會在應(yīng)用這些定理時發(fā)生混淆或錯誤。

3.運算錯誤：在進行勾股定理的計算時，學(xué)生可能會因為運算錯誤（如加法、減法、乘法、除法等）而得

出錯誤的結(jié)果。

4.忽視特殊情況：例如，當直角三角形的兩條直角邊長度相等時，它同時也是一個等腰直角三角形。這種

情況下，學(xué)生可能會忽視這個特殊性質(zhì)，導(dǎo)致解題錯誤。

5.無法靈活運用：勾股定理的應(yīng)用并不僅限于求解三角形的邊長，還可以應(yīng)用于其他領(lǐng)域，如計算物體的

斜拋距離等。學(xué)生如果不能靈活運用勾股定理，就可能在一些實際問題中無法正確應(yīng)用。

易錯點1:趙爽弦圖

例：“趙爽弦圖”巧妙的利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕做，如圖所示的“趙爽弦圖”是

由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的長直角邊是12,

小正方形的面積是49,則大正方形的面積是（）

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理和求正方形的面積，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為6,則

。=12,小正方形的面積為則（a一6）2=49,可得6=5,則大正方形的面積為1+〃，即可求解.

【詳解】設(shè)直角三角形較長直角邊長為°,較短直角邊長為6,貝h=12,

又：小正方形的面積為（。-6）2,貝lj（a-b）2=49,

解得6=5,

二大正方形的面積為/+/=122+52=169.

故選：C.

變式1：如圖1,四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙

爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果

圖1中的直角三角形的長直角邊為6,短直角邊為2,圖3中陰影部分的面積為S,那么S的值為.

【答案】32

【分析】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型，關(guān)鍵在于正確找出勾股關(guān)系，利用轉(zhuǎn)換面積作差求解.利

用勾股定理，求出空白部分面積，通過間接作差得出陰影部分面積.

【詳解】解：如圖，

圖2圖3

由題意得/。=病百=2函，AB=CD=2,△48。是直角三角形,

則大正方形面積=/C2=40,

.,.△ADC面積=2x2=2,

???陰影部分的面積5=40-4x2=32，

故答案為：32

變式2:數(shù)學(xué)家波利亞說過：“為了得到一個方程，我們必須把同一個量用兩種不同的方法表示出來，即將

一個量算兩次，從而建立等量關(guān)系.”類似的，我們可以用兩種不同的方法來表示同一個圖形的面積，從而

得到一個等式.

(1)如圖1,大正方形是由兩個小正方形和兩個形狀大小完全相同的長方形拼成，請用兩種不同的方法表示圖

中大正方形的面積.

方法1：S大正方形=；方法2：$大正方形=;

根據(jù)以上信息，可以得到的等式是;

(2)如圖2,大正方形是由四個邊長分別為。，b,c的直角三角形(c為斜邊)和一個小正方形拼成，請用兩

種不同的方法分別表示小正方形的面積，并推導(dǎo)得到“，b,c之間的數(shù)量關(guān)系；

⑶在(2)的條件下，若。=3,b=4,求斜邊c的值.

【答案】(l)(a+6)2,a2+2ab+b2>(a+b)2=a2+2ab+b2；

(2)<?2+b2=c2;

(3)c=5.

【分析】(1)用整體法和分割法分別表示即可，進而得到等式；

(2)用整體法和分割法分別表示即可，進而得到；

(3)把。=3,6=4代入至I」(2)中的關(guān)系式中計算即可求解；

本題考查了完全平方公式和勾股定理的幾何背景，學(xué)會用兩種方法表示同一個圖形的面積是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：方法1：S大正方形=(。+?2,

方法2：S大正方形=1+2仍+/，

可以得到的等式是：(。+6)2=/+2仍+/,

故答案為：(a+6『，/+++=a2+2ab+b2；

(2)解：方法1：$小正方形=/，

方法2：邑、正方形=(a+6)—2ab,

c2=(0+-2ab,

??cr+b2=c2;

(3)解：把a=3,6=4代入得,

c2=3、42=25,

c=-\/25=5?

易錯點2：勾股定理的折疊問題

例：如圖，在矩形/BCD中，N3=10cm,點/是的中點，M是/。上一點，N是8C上一點，將矩形

48CD沿著折疊，點。落在點E處，點C恰好落在點尸處，若=則。M=()

A.2.5cmB.逐cmC.遍cmD.3cm

【答案】B

【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

設(shè)DM=xcm,則/M=4xcm,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得四邊形CDMN和四邊形的W關(guān)于兒W對稱，然后根

據(jù)勾股定理可得AF2+AM2=CD2+DM2,進而即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接〃尸，

設(shè)DM=xcm,

貝UAM=4xcm,

:四邊形NBCD是矩形，^5=10cm,

DC=AB=l0cm,ZA=ZD=9Q°,

由折疊可知：四邊形和四邊形EEMN關(guān)于九W對稱，

：.EMDMxcm,ND=/E=90。,DC=EF=10cm,MF=MC,

?.?尸是48的中點，

AF=g/B=5cm,

在RtdFM和RUCDM中,根據(jù)勾股定理得：

FM1=AF2+AM2-CM2=CD2+DM2,

：.AF2+AM2=CD2+DM2,

52+（4x）2=102+x2,

解得了=右（負值舍去），

?*.DM=石cm.

故選：B.

圖①圖②圖③

第一步：將長方形紙片沿對稱軸對折后展開，折出折痕E尸;

第二步:將△/EG和△BE”分別沿EG,翻折，AE,3E重合于折痕E尸上;第三步:將△GEM和

分別沿EM,EN翻折，EG,即重合于折痕E尸上.已知/8=20cm,AD=20V2cm，則必？的長是

cm.

【答案】(10亞-io)

【分析】

本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì).由矩形的性質(zhì)得到乙4=90。，AE//DF,AB=CD,圖①由折疊的性

質(zhì)得到：/E=；/B=10(cm),FD=\CD,推出四邊形/跖。是矩形，圖②由折疊的性質(zhì)得到四邊形NE4G

是正方形，因此/G=4E=10亞(cm),圖③由折疊的性質(zhì)得到=，由平行線的性質(zhì)得到

ZGME=ZMEG',因此/GEN=NGAffi,推出GA/=GE=10后(cm),由=N。-GAf-4G求解即可.

【詳解】

解：；四邊形4BCD是矩形，

NA=90°,AE//DF,AB=CD,

圖①由折疊的性質(zhì)得到：^=1^=jx20=10(cm),FD=；CD,

AE=DF,

'：AE//DF,AA=90°,

四邊形/￡/叫是矩形，

圖②由折疊的性質(zhì)得到：EA'=EA，Z4=〃=90。，

ZAEA'=90°,

四邊形/E4G是正方形，

AG=AE=10(cm),GE=41EA=10V2(cm),

圖③由折疊的性質(zhì)得到：ZGEM=AMEG',

四邊形/EFD是矩形，

GM//EF,

:.ZGME=ZMEG',

ZGEM=ZGME,

GM=GE=10y/2(cm),

:.MD=AD-GM-AG=2072-15-1011m-16)cm.

故答案為：(10C-10).

變式2：(1)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知矩形N8CD的對角線NC的垂直平分線與邊NO,8C分別交于點￡、

F.求證：四邊形NFCE是菱形；

(2)【類比應(yīng)用】如圖②，直線"分別交矩形4BCD的邊AD、BC于點、E、F,將矩形/BCD沿EF翻折,

使點。的對稱點與點/重合，點。的對稱點為若AS=6,BC=8,求四邊形48FE的周長；

(3)【拓展延伸】如圖③，直線E尸分別交平行四邊形/BCD的邊BC于點、E、F,將平行四邊形/BCD

沿E廠翻折，使點C的對稱點與點4重合，點。的對稱點為若48=6后，BC=U,ZC-45°,求EF

的長.

【答案】(1)見解析；(2)21.5；(3)2V10

【分析】(1)利用矩形和垂直平分線的性質(zhì)，證明A￡4。也△尸CO(ASA),得到N￡=C下，可證四邊形/RTE

為平行四邊形，再由斯2/C,即可證平行四邊形/FCE為菱形；

725

(2)過點尸作方4。于利用折疊的性質(zhì)和勾股定理，求出:，AF=CF=--,再由平行線的

44

759

性質(zhì)和等角對等邊的性質(zhì)，得到=證明四邊形NAFH是矩形，得到期=；,再利用勾股定理，求

42

出斯=二，即可得出四邊形4出Z的周長；

(3)過點/作NN,BC,交C3的延長線于N,過點尸作FM，于先求得3C,得出AN=BN=6,

由折疊的性質(zhì)可知：AF=CF,ZAFE=/EFC,再由等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，得出“￡=/尸=10,

證明四邊形■是矩形，通過勾股定理，AM=8,再在RtAMEE中，求出口的長即可.

【詳解】(1)證明：..?四邊形/BCD是矩形，

AE//CF,

：.NEAO=ZFCO,

,：EF垂直平分/C,

/.ZAOE-ZCOF=90°,AO=OC,

△￡L4O^AFCO（ASA）,

AE=CF,

又?:AE//CF,

???四邊形AFCE為平行四邊形，

EF1AC,

???平行四邊形ZRSE為菱形；

（2）解：如圖，過點、F作FH_LAD于H,

由折疊可知：AF=CF,ZAFE=NEFC,

v=8,48=6,

/.AF=CF=BC—BF=8—BF,

在/中，AF2=BF2+AB2，即（8-=5尸2+36,

7

：.BF=-

4

25

??.AF=CF=—

4

IAD//BC,

NAEF=/EFC=ZAFE,

25

AE=AF=——，

4

ZB=/BAD=ZAHF=90°,

???四邊形Z①火是矩形,

7

AB=FH=6,AH=BF=—

4

：,EH=AE-AH=^-l=^9

2

EF=lEH'FH?

2

7251543725

???四邊形4BFE的周長=45+5/+/月+￡尸=6+—+—+—=—+——；

442244

(3)解：過點4作ZN_L5C,交CB的延長線于N,過點/作尸于

???四邊形是平行四邊形，ZC=45°,

：.ZABC=135°,

/ABN=45°,

ANIBC,

：.AABN=ZBAN=45°,

??AN=BN=AB=x6A/2=6,

22

由折疊的性質(zhì)可知：AF=CF=BN+BC—NF=\8—NF,ZAFE=ZEFC,

AD//BC,

：./AEF=NEFC=ZAFE,

AE=AF,

?/AF2=AN2+NF2,

：.4尸2=62+08—4/)2,

AF=10,

JAE=AF=10f

VAN//MF,AD//BC,

???四邊形/MM是平行四邊形，

ANIBCf

???四邊形ZMM是矩形，

???AN=MF=6,

在RM/AZF中，AM=4AF1-MF2=V100-36=8，

：.ME=AE-AM=10-S=29

在RtzJWFE中，EF7MF?+ME2=也+36=2屈?

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，等

腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)等知識，熟練掌握特殊的四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

易錯點3：勾股定理的證明

例：勾股定理的驗證方法很多，用面積（拼圖）證明是最常見的一種方法，如圖所示，一個直立的長方體

在桌面上慢慢地倒下，啟發(fā)人們想到勾股定理的證明方法，設(shè)/8=c,BC=a,AC=b,證明中用到的面

積相等關(guān)系是（）

A.S^ABC+S^AED二S^AFG+SREF

B.\^BCEF=^/\ABC+^/\ABF+/\AEF+84FGH

c.S梯形=^/XABC+S“BF+/\AEF

D.S^BDH-S^FGH

【答案】C

【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，等腰直角三角形的判定，表示出圖形面積的不同表達形式，建

立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.通過用兩種方法計算梯形BCEF的面積即可證明勾股定理.

【詳解】解：?.?矩形旋轉(zhuǎn)得出矩形ZG尸

LABC%4FAE,

AB=AF=c,AC=EF=b,BC=AE=a,Z.BAC=Z.AFE,

ZAFE+ZEAF=90°,

ZBAC+ZEAF=90°,

.?.段時是等腰直角三角形，

由題意知：S梯形死所=；（〃+??（Q+?=；（〃+6）2=$2+QH#,

1111

^AABC+^AABF+^^AEF=~a^+~a^+~C2=Clb+-C2,

??一/+abH——abH—/,

222

.-.a2+b~=c2

故選：C.

變式1:人們很早就發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊a,ac滿足的關(guān)系/+/=c2,我國漢代“趙爽弦圖”(如圖)就

巧妙的利用圖形面積證明了這一關(guān)系.下列幾何圖形中，可以正確的解釋直角三角形三邊這一關(guān)系的圖

有.(直接填寫圖序號)

\，臼ba:

abcacbabab

①②③④

【答案】③④/④③

【分析】本題考查了勾股定理的證明方法,解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握利用等面積法進行證明.分別求

出①②③④的面積，進行化簡即可得.

【詳解】解：①長方形的面積：(a+6+c)c'=ac+bc+3,

^(Q+C+b+C)C211

②1----------=c+—ac+-bTc,

222

(3)(a+b)2=+4x—ub,

整理，得/+/=。2,

④((a+6Xa+b)=+,

整理，na2+b2=c2,

故答案為：③④.

變式2：綜合與實踐

勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力,千百年來，人們對它的證明頗感興趣，其中有著名的數(shù)學(xué)家，

也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者.

(1)我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖1所示的用4個全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽

弦圖”.在RtZ\/3C中，44cB=90。，若NC=b,BC=a,AB=c,請你利用這個圖形說明/.

(2)業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的Rt^ABC和RSDNE按如圖2

所示的方式放置，ZDAB=ZB=90°,AB=AD=b,BC=AE=a,AC=DE=c,連接CE,CD,用a,

b,c分別表示出梯形/BCD,四邊形NEC。，AEBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，從而證

明勾股定理.請你補充該證明過程.

【答案】(1)說明見解析；

(2)補充證明見解析.

【分析】本題考查了勾股定理的證明方法，全等三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三

角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式；

(2)先證明然后分別表示出出梯形/BCD,四邊形NEC。，的面積，再根據(jù)四邊形

的面積四邊形/ECD的面積=A8EC的面積即可求解.

【詳解】(1)..?大正方形面積為直角三角形面積為5仍，小正方形面積為他一°)2,

,12

**?/=4x—ab+(。-b)-2ab+/-2ab+f

BPc2=a2+b2;

(2)RtA^^C^RtADAE,

???AACB=ZAED,ZABC=/BAD=90°,

???NBAC+ZACB=90°=ZBAC+ZAED,

JZAFE=90°,

：.AC1DE,

直角梯形ABCD的面積=：(BC+/O)xNB=,

四邊形AECD的面積=S.+S.ACD=^ACxDE=^c2,

△BEC的面積——a(b—a)=—ab—u2,

四邊形ABCD的面積一四邊形AECD的面積3EC的面積

2

.ab+b1112

??--------------c2——ab7—a,

2222

化簡得：a2+b2=c2.

易錯點4：勾股定理的平方關(guān)系

例：如圖，在。8c中，AB=BC=AC,AE=CD,4D與5E相交于點P,于0.則5P與2。

的關(guān)系為()

A.8尸2=2802B.38尸2=4802c4BP2=3BQ?D.2BP?=3BQ?

【答案】B

【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及全等三角形的判定及性質(zhì)等知識點的綜合運用能力,

證明"DCABEA是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???/8=8C=/C,

08c是等邊三角形.

ABAC=ZC=60°.

AB=AC,AE-CD,

：.AADCABEA(SAS),

ZABE=ACAD.

'：ZCAD+ZBAD=60°,

：.ZABE+ZBAD=60°.

：.ZBPQ=60°.

?；BQ1AD,

：.ZPBQ=30°.

：.BP=2PQ,

?/ABQP=90°,

BP2-PQ2^BQ2,

:.BP2-^BP^=BQ2

：.38尸2=4802

故選：B.

變式1：如圖，己知/BCD是正方形，尸是對角線4C上一點，PBPD(填或“<”)，

延長3P,與4D于點0,與C。的延長線交于點G,〃為G。的中點，連接，則尸B、PH、"G的數(shù)量

關(guān)系為.

【答案】=HG2+PB2=PH2

【分析】利用正方形的性質(zhì)，證明△/尸3名△^尸。，得至根據(jù)7/為G。的中點，得到GH=DH,

ZGDH+ZADH=900,繼而證明△CD尸之△CBP(SSS),得到NCDP=/CAP,即可推出/他尸=90。，根據(jù)勾

股定理得到+Dp2=pH2,等量代換即可得解.

【詳解】解：???四邊形/BCD是正方形，

AD=AB,ZBAP=ZDAP=45°,

在A4PB與AAPD中，

AD=AB

<NBAP=NDAP=45°,

AP=AP

△AP3/尸。(SAS),

：.PB=PD,

???〃為G。的中點，ZADG=90°,

GH=DH,ZGDH+ZADH=90°,

ZG=ZGDH,

在RM5CG中，ZG+NCBG=90°,

在△CZ)尸與ACBP中,

PB=PD

，CD=CB,

CP=CP

.-.△CDP^ACfiP(SSS),

ZCDP=ZCBP,

ZGDH+ZCDP=90°,

ZHDP=90°,

DH2+DP2=PH2，

,:DH=GH,DP=PB,

HG2+PB-=PH2,

故答案為：=,HG2+PB1=PH2.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等

邊對等角.

變式2:綜合與實踐

問題情境：小華發(fā)現(xiàn)這么一類四邊形，有一組對角之和為直角的四邊形，小華將這類四邊形命名為對余四

邊形.

(1)若四邊形是對余四邊形，則NB與/D的度數(shù)之和為.

(2)如圖1,在。。上有4,B,C三點，兒W是OO的直徑，AM,CN相交于點D四邊形/3C。是對余四

邊形嗎？若是，請給出證明；若不是，請說明理由，拓展探究：

(3)如圖2,在對余四邊形48co中，AB=BC,ZABC=60°,ZADC=30°,則線段/DCD和8。之間有

怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出你的猜想，并說明理由.

【答案】⑴90°或270°；

(2)是，證明見詳解；

⑶=m2,理由見詳解.

【分析】（1）對余四邊形的定義即可得出結(jié)果；

（2）根據(jù)對余四邊形的定義，由圓周角定理得出NA4M+/2CN=90。，說明N8CD=90。即可；

（3）將繞著點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到48”尸，連接陽，利用已知條件得出"40=90。，利用勾股

定理可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：???四邊形/BCD是對余四邊形，

4+"=90°或ZB+ZD=9Q°

4+/C=90°時，Z5+Z￡>=270°.

/3+/。=90°或270°.

證明：是。。的直徑，點/,B,C在。。上，

ZMCN=90°,/BAM+NBCM=180c

NBAM+ZBCN=90°.

^ZBAD+ZBCD=90°.

四邊形ABCD是對余四邊形.

（3）猜想：線段ND,C。和2。之間的數(shù)量關(guān)系為：AD2+CD2=BD2.理由如下:

AB=BC,

.?.將△8CD繞著點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△胡尸，連接ED,如圖，

BF=BD,AF=CD,NBDC=NBFA.

:.△BFD為等邊三角形.

\BF=BD=DF,

?/Z^DC=30°,

ZADB+ZBDC=30°.

：.NBE4+N4DB=30。.

ZFBD+ZBFA+ZADB+ZAFD+ZADF=180。，

60°+30°+ZAFD+ZADF=180°.

ZAFD+ZADF=9（P.

ZFAD=90°.

AD2+AF2=DF2.

/.AD2+CD2=BD2.

【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了對余四邊形的定義、圓周角定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判

定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理等知識；熟練掌握對余四邊形的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

銳角三角函數(shù)專題

易錯點：

1.理解意義不清：對于銳角三角函數(shù)的概念理解不夠深入，例如誤認為銳角三角函數(shù)的值與邊的長度有關(guān)，

而實際上，銳角三角函數(shù)值與角的大小有關(guān)，與邊的長度無關(guān)。

2.邊角關(guān)系對應(yīng)出錯：在解題過程中，學(xué)生可能會誤把某個邊當作某個角的鄰邊或?qū)沁?，?dǎo)致計算錯誤。

因此，在解題時，需要明確每個角和每條邊的對應(yīng)關(guān)系。

3.利用勾股定理解題漏解：當題目中沒有明確哪個角為直角時，學(xué)生可能會忽略分類討論的可能性，導(dǎo)致漏

解。因此，在解題時，需要全面考慮所有可能的情況。

4.利用勾股定理弄錯第三邊：在利用勾股定理計算時，學(xué)生可能會誤認為第三邊為斜邊，其實第三邊可能是

斜邊，也可能是直角邊。因此，在解題時，需要明確每個邊的角色和屬性。

易錯點1：特殊角的三角函數(shù)值

例：在“3C中，若三個內(nèi)角NAZB：ZC=1：2：3,則sin4sinB等于（）

A.1：2B.1：V3C.1:3D.2忑

【答案】B

【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及三角形內(nèi)角和.熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.先求

出//、N5的度數(shù)，即可計算得到結(jié)論.

【詳解】解：NB、/C的度數(shù)之比為123,1+2+3=6,

AZ^=-xl80°=30°,ZS=-xl80°=60°,

66

1h

siiL4=sin30°=-,sinB=sin60°=一

22

sirU：sinB=—

2

故選：B.

變式1：如果直線了=^^和直線y=所夾的銳角為0,那么sin。-cos。-tan6的值為.

【答案】2

4

【分析】本題考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的構(gòu)建圖形是解本題的關(guān)鍵，先畫圖

求解。=30。，再利用特殊角的三角函數(shù)值計算即可.

【詳解】解：如圖，直線x=2與兩函數(shù)的交點分別為。（2,2⑹，￡2,手，與x軸的交點為尸（2,0）,

,ZDOF=60°,/EOF=30°,

???/。0￡=30。，即。=30。，

.夕夕,A1百61

2234

故答案為：—

4

變式2：(1)計算：(3.14-萬)°一夜一卜3|+4$畝60°；

(2)先化簡，再求值：之二1一土竺L一士，其中。=2.

QUU—1

【答案】(1)-2；(2)二；4

【分析】此題考查了實數(shù)的混合運算、絕對值、分式的化簡求值及特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵

是熟練各部分的運算，一定要細心運算.

(1)先計算零指數(shù)幕，二次根式，絕對值及特殊角的三角函數(shù)值，再計算加減即可；

(2)先根據(jù)分式的混合運算法則化簡，再將a=2代入計算即可.

【詳解】解：(1)(3.14-^)°-Vi2-|-3|+4sin60o

=1-2A/3-3+4X—

2

=1-26-3+26

=-2；

/c、3a—3a~-2a+1a

(2)+-----；---------

uuci—1

a2a

a(Q-I)?a

3aa

ci—1ci—1

_2a

_^T；

,,—t、2x2

當a=2時，原式=----=4.

2-1

易錯點2：銳角三角函數(shù)的增減性

例：sin77。，cos77°,tan77°的大小關(guān)系是()

A.tan770<cos770<sin77°B.cos770<tan770<sin77°

C.sin770<cos770<tan77°D.cos770<sin770<tan77°

【答案】D

【分析】首先根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知：sin77。和cos77。都小于1,tan77。大于1,故tan77。最大；只

需比較sin77。和cos77。，又cos77。=sinl3。，再根據(jù)正弦值隨著角的增大而增大，進行比較.

【詳解】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin77°<l,cos77°<l,tan77°>l.

又cos77o=sinl3。，正弦值隨著角的增大而增大，

sin77°>cos77o=sinl3°.

故選D.

變式1:若//是銳角，cos//>也，則NN應(yīng)滿足.

2

【答案】0°<N/<30°

【分析】首先明確cos30°=且，再根據(jù)余弦函數(shù)隨角增大而減小即可得出答案.

2

【詳解】解：：cos30°=走，余弦函數(shù)隨角增大而減小，

2

0°<ZA<30°,

故答案為：0°<ZA<30°.

【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的

關(guān)鍵.

變式2：(1)如圖，銳角的正弦和余弦都隨著銳角的確定而確定，也隨著其變化而變化，試探索隨著銳角度

數(shù)的增大，它的正弦值和余弦值的變化規(guī)律；

(2)根據(jù)你探索到的規(guī)律，試比較18。，34°,52°,65°,88。，這些角的正弦值的大小和余弦值的大?。?/p>

(3)比較大?。?在空格處填寫或“〉”或“=”)

若/a=45°,則sinacose；若/a<45°,則sinacose；若Na>45。，貝?。?/p>

sinacosa；

(4)利用互余的兩個角的正弦和余弦的關(guān)系，比較下列正弦值和余弦值的大小：sinl0°,cos30°,sin50°,

cos70°.

［答案］（1）見解析；（2）sin88°>sin65°>sin52°>sin34°>sinl8°；cos880<cos650<cos520<cos340<cosl8°；

（3）=,<,>；（4）cos30°>sin50°>cos70°>sinlO0

【分析】（i）在圖（I）中，令"4=力與=/4，用于點G，52c于點居于點C3,

有耳G>82c2>B3C3,NB［AC>AB.AC>ZB3AC.利用正弦公式求得sin/BM。>sinZB2AC>sinZS^C；

依據(jù)余弦公式得到cosZB.AC>cosZB.AC>cos/4/C；

（2）由（1）得，當角度越大時，正弦值越大；當角度越大時，余弦值越小，即可得到答案；

（3）利用概念分別得到30。、45。、60。的正弦值和余弦值，比較即可得到答案；

（4）由cos30o=sin60。,cos70°=sin20°,利用（1）的結(jié)論解答即可.

【詳解】（1）在圖（1）中，令/4=/⑦=/用，用4，/。于點￡,與于點C”層C3,4c于點G，

顯然有：Bg>BG>B3c3,ABXAC>ZB2AC>ZB3AC.

VsinZB.AC^^-,sinN8,/C=絲后，sin/%4c=昌耳，

123

AB,AB2AB3

31G〉B2c2〉B3c3

加AB2AB3.

???sinZ^AC>sinZB2AC>sinZB3AC.

在圖（2）中，RM/CK中，ZC=90°,

ArACAC

cosZBAC=——,cosZB.AC=——,cosZB.AC=——,

1}23

AB.AB2AB3

?.?AB3<AB2<AB{,

ACACAC

...--->---->----

AB.AB2AB3?

即cosZB3AC>COSZB2AC>cos/B/C.

(2)由(1)得，當角度越大時，正弦值越大；當角度越大時，余弦值越小,

Jsin88°>sin65°>sin52°>sin34°>sinl8°；

cos880<cos650<cos520<cos340<cosl8°.

(3)sin45°=——，cos45°=——，

22

若Z,a=45°,則sincr=cosa；

in

Vsin30°=—,cos30o=sin60°=——，

22

???若/a<45°,貝sina<cosa；

/?i

*.*sin60°=——，cos60°=sin30°=—,

22

???若/a>45°,則sina>cosa.

故答案為：=,<,>；

(4)cos30°=sin60°,cos70°=sin20°,且sin60°>sin50°>sin20°>sinl0°,

cos30°>sin50°>cos70°>sinl0°.

【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的概念，掌握銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律以及正余弦的轉(zhuǎn)換方法是解題

的關(guān)鍵.

易錯點3：同角三角函數(shù)關(guān)系

例：我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書中，給出了這樣的一個結(jié)論：三邊分別為〃、

6、c的的面積為名《"=(，。2廿一的邊a、b、c所對的角分別是/B、

“則Smf6sincfcsin*6csin/.下列結(jié)論中正確的是()

a*12+b2-c2a2+b2-c2

A.B.cosC=

2ab2ab

a2+/-c2a2+b2-c2

C.cosC=D.cosC=

2ac2bc

【答案】A

【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進行變形解題即可.

【詳解】解：IS，\^=1^sinC,

2

,￡a2+b2-c217?廠

a2b2-=—absinC

222

2

a1+b2-c2

即a2b2-=a2b2sirfC，

2

+b2-c2

a2b2(\-

2

2+/—2

cos2C=

、2ab

a2+b2-c2

cosC=

2ab

故選：A.

【點睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡，熟悉sin2C+cos2C=l是解題的關(guān)鍵.

-tj-2sm6Z+cosa,,

變式1：已知tana=2,則「----------的值為

sina-cosa

【答案】5

【分析】分子分母同時除以cosa,化成正切代入tana=2即可得到結(jié)論.

【詳解】解：sina=q,cosa=2,

asina

??tana=一

bcosa

*.*tana=2,

sina=2cosa,

.2sina+cosa_4cosa+cosa

??■一

sina—cosa2cosa-cosa

故答案為：5.

變式2：同學(xué)們，在我們進入高中以后，還將學(xué)到下面三角函數(shù)公式：sin（a-』）=sinacos￡-cosasin/,

sin(a+,)=sinacos〃+cosasin,；cos(〃一/?)=cosacos/?+sinasin/?,

cos(a+6)=cosacos/3-sinasin0.

/7_/y

例：sinl5°=sin(45°-300)=sin450cos300-cos450sin30°=7：

⑴試仿照例題，求出cos75。的值；

(2)若已知銳角a滿足條件sini=；,求sin2a的值.

【答案】(1)固二立

4

⑵哈

【分析】(1)把75?；癁?0°+45°直接代入三角函數(shù)公式cos(a+/?)=cosacos夕-sinasin，計算即可；

(2)把2a化為a+a直接代入三角函數(shù)公式sin(a+/?)=sinacos，+cosasin，計算即可.

【詳解】(1)解：Vcos(?+/?)=cosacosj3-sinasin/3,

???cos750=cos(30°+45°)

=cos30cos45-sin30sin45°

V3V21V2

=-------X-----------------X--------

2222

"4'

(2)解：:sina=；,sin2a+cos2=1,a為銳角，

解得cosa=冬旦，

3

sin2a=sin(a+a)

=sinacosa+cosasina

c12后

=2x—x----------

33

_4A/2

~~9~'

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)

合特殊角的三角函數(shù)值來求解.

易錯點4：胡不歸

例：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線了=/+3x-4與x軸交于/、C兩點，與y軸交于點2,若P是x

軸上一動點，0(0,2),連接尸。，則尸C+回0的最小值是()

A.6B.8C.2eD.472

【答案】A

【分析】連接BC,過點尸作/W，8c垂足為〃，過點0作QHUBC垂足為〃，，先求出/,C,8的坐標,

得到△OBC為等腰直角三角形，求出尸”=孝尸C,得到尸C+回0=也仍0+尸〃），利用垂線段最短可

知，尸0+P8的最小值為登'，進而得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖，連接3C,過點P作尸垂足為H,過點。作QHUBC,垂足為H，，

令1=0,即無2+3X-4=0，

解得：x=—4或x=1,

C（-4,0）,

當x=0時，＞=一4,

「.03=00=4,NBOC=90。,

NPCH=45。,

PH=PC-sin45°=—PC,

2

V2

.:.-^-PC+PQ=PQ+PH,

即PC+立PQ=6比Q+PH）,

根據(jù)垂線段最短可知，PQ+PH的最小值為四'的長度,

???BQ=OB+OQ=4+2=6,ZQBH'=45°,

:.DH'=sin450-BQ=342,

:.6(PQ+PH)=6DH'=6,

即PC+41PQ的最小值為6.

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)中的線段最值問題，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，特殊三角函數(shù)的應(yīng)用,

垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵得到尸。+PH的最小值為"，的長度.

變式1：如圖，在“8C中，/A4c=90。，AB=2,/C=4也，點。是8c邊上的動點，連接AD，則3/D+DC

的最小值為.

【答案】y32/102j

【分析】本題考查利用軸對稱求最小值問題，涉及解直角三角形、勾股定理等知識.作點A關(guān)于8c的對稱

點尸，連接。尸，作DEJ.4C,垂足為E,利用勾股定理求得BC=6,利用三角函數(shù)求得。。=3。E，將

34D+OC轉(zhuǎn)化為3(40+。￡),當RD、E共線時，AD+DE="+龐有最小值，最小值為EE的長,

據(jù)此求解即可.

【詳解】解：作點A關(guān)于3C的對稱點尸，連接。尸，作。垂足為￡,

；?BC7ABz+AC。=6,

21

sinC=—=

8c63

?ZF=90°-ZFAC=ZC,

cosF=cosC=^402立

BC63

AC3

/G=9C=苧

..=2/G考

CD3

CD=3DE,

:點A與點廠關(guān)于BC對稱,

AD=DF,

**?AD+DE=DF+DE,

當RD、￡共線時，AD+DE=如+小有最小值，最小值為FE的長.

在RM4在中，cosF=%=巫,

AF3

32

FE=——，

9

3232

3AD+DC=3(AD+DE)=3FE=—,即3AD+DC的最小值為y.

32

故答案為：y.

變式2：如圖，拋物線>=爾+樂_4與x軸交于點/(-1,0)1(4,0),與夕軸交于點C,連接BC.

(1)點P在8C下方的拋物線上，連接BPCP,若求點P的坐標;

(2)點N在線段OC上，若/N+'CN存在最小值力求點N的坐標及〃的值.

【答案】⑴（2+亞，&-4）或（2-百,-逝-4）；

5/?

⑵(0,-1),三.

【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、三

角形的面積、垂線段最短等知識，綜合性很強，難度適宜.

（1）可分別得到點A和點8的坐標，再代入拋物線解析式，求解得函數(shù)關(guān)系式，過點P作了軸的平行線，

交于點。，設(shè)點P的坐標為（加，機2-3機-4）,則點。的坐標為m-4）,再求解即可；

（3）作NELCB,垂足為點E,先證得△"口?為等腰直角三角形.可得

萬B

NE=NC-sin45°=—NC.AN+—CN=AN+NE.當點N,N,￡共線時，/N+NE■有最小值.最小值

22

〃為線段/E的長.再求解鄧可.

a-b-4=0

【詳解】（1）將3（4,0）坐標代入拋物線解析式得,

16。+46-4=0

4Z—1

解得

b=—3

二?拋物線的解析式為：J=X2-3X-4,

令x=0,得歹=-4,

則C（0,-4）,

設(shè)直線BC的解析式為丁=mx+n,

14加+幾=0[m=l

則”,解得.，

[n=-4[n=-4

，直線BC的解析式為y=x-4,

如圖，過點P作尸〃軸，交BC于點、D.

設(shè)點尸的坐標為（加，m2-3m-4）,則點。的坐標為（加，加-4）.

**?DP=-m2+4m.

由黑小尸=~S^BOC,得5（一加2+4加）><4=5><5><4乂4.

解得mx=2+V2,m2=2—y[2.

:.點尸的坐標為(2+?,6-4)或(2-拒，-拒-4卜

(2)如圖，作NELCB,垂足為點瓦

?.-C（0,-4）,5（4,0）,

/.OB=OC=4,

ZOCB=45°,

.?.△NCE為等腰直角三角形.

5

???NE=NC,sin45°=—NC.

2

：.AN+—CN=AN+NE.

2

當點4,N,E共線時，4N+7VE有最小值.

最小值n為線段4E的長.

???△NCE為等腰直角三角形.

/CNE=45。,

ZANO=ZCNE=4S,

「.△/ON為等腰直角三角形.

/NAO=45。,

△.?.△4BE