三角形中的角平分線模型（原卷版）-2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破訓(xùn)練

專題05三角形中的角平分線模型

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析T典例分析T

【模型1】如圖，已知OP平分ZAOB,過(guò)點(diǎn)P作,尸￡，08；可根據(jù)角平分線性質(zhì)證得NODP

會(huì)NOEP,從而可得ZOPD=ZOPE,OD=OE;PD=PE。

【模型拓展】與角平分線有關(guān)的輔助線作法

【輔助線作法一】

如圖，己知0P平分/Z08,點(diǎn)C是0A上的一點(diǎn)，通常情況下，在0B上取一點(diǎn)D,使得OD=OC,連接

PD,結(jié)合OP=OP,NPOC=APOD,可證得AOPCgMOPD。從而可得PC=PD,ZPCO=ZPDO,

ZCPO=NDPOo

【輔助線作法二】

如圖，已知0P平分NZ08,CP，0尸，通常情況下，延長(zhǎng)CP交0B于點(diǎn)D,結(jié)合OP=OP,ZPOC=ZPOD,

ZOPC=ZOPD=90°,可證得bOPC2bOPD。從而可得PC=PD,NPCO=ZPDO,OC=OD。

A

c

DB

【輔助線作法三】

如圖，已知OP平分NZ08,通常情況下，過(guò)點(diǎn)P作PC〃OB,根據(jù)平行線性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等;

結(jié)合=從而可得OC=尸C,ZCOP=ZCPO0

【例1】如圖，。。為/NO8的角平分線，點(diǎn)P是。C上的一點(diǎn)，尸于。，PELOB于E,尸為0c上

另一點(diǎn)，連接。REF,則下列結(jié)論：?OD=OE；②DF=FE；③NDF0=NEF0；@SADFP^SAEFP,

正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【例2】如圖，已知。C平分/MON,點(diǎn)/、3分別在射線（W,0N上，且。/=。3.

求證：△NOCgA80C.

A

【例3】請(qǐng)閱讀以下材料，并完成相應(yīng)的問(wèn)題：角平分線分線段成比例定理：如圖1,在△Z8C中，ND平

ABBD

分NBAC,貝nlI—=一下面是這個(gè)定理的部分證明過(guò)程:

ACCD

圖1圖2圖3

證明：如圖2,過(guò)C作CE,交A4的延長(zhǎng)線于…

任務(wù):

(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；

(2)如圖3,已知放△N5C中，AB=3,BC=4,ZABC=90°,AD平分/BAC,求2。的長(zhǎng).(請(qǐng)按照本題題

干的定理進(jìn)行解決)

一、單選題

1.如圖，A/3C中，AB=5BC=6,C/=10,點(diǎn)。，E分別在BC,CA±,DE//AB,F為DE中點(diǎn)、,

4F平分NB/C,則HD的長(zhǎng)為()

8

c.一D.2

5

2.如圖，平行四邊形/BCD中，/N的平分線/￡交CD于￡,若45=5,BC=3,則EC的長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.2.5D.4

3.如圖，OP平分ZMON,于點(diǎn)A,點(diǎn)0是射線。河上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.PA=PQB.PA<PQPA<PQ

4.如圖，CD,CE,CF分別是A/3C的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是（）

A.AB=2BFB.ZACE=-ZACBC.AE=BED.CDVBE

2

5.如圖，在△4SC中，ZC=90°,4D平分N3/C,DELABE,則下列結(jié)論：①AD平分NCDE；

?ZBAC=ZBDE；③DE平分NADB；?BE+AC=AB,其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)

6.如圖，N3/C=30。，40平分N8/C,DFL4B交AB于F,DE_LDF交4c于E,若/E=8,則D尸等

于（)

B

二、填空題

7.如圖，已知是△/BC的角平分線，DE〃4c交AB于點(diǎn)、E,請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使四邊形

4BD尸是菱形.

8.如圖，在平行四邊形48CZ）中，DE平分/ADC,4D=8,BE=3,則的長(zhǎng)為.

BE

9.如圖，在A4BC中，4cB的平分線交48于點(diǎn)。，DELAC于點(diǎn),E.歹為3C上一點(diǎn)，若DF=AD,

SAACD-S&CDF=6,則的面積為.

10.如圖，AB=BE,ZDBC=-Z.ABE,BD±AC,則下列結(jié)論正確的是:.（填序號(hào)）

①BC平分/DCE；②N/BE+NECD=180。；③AC=2BE+CE；?AC=2CD-CE.

E

B

11.如圖，在△NBC中，BD平分/ABC交AC于點(diǎn)、D,DE//AB,交BC于點(diǎn)、E,BE=2,則DE的長(zhǎng)是

A

12.如圖，△/BC中，AD.BD、CO分別平分△/BC的外角內(nèi)角/48C、外角/NCRAD//BC.以

下結(jié)論：①NABC=NACB；?ZADC+ZABD=90°；③BD平分/4DC；?2ZBDC=ZBAC.其中正確的結(jié)

論有.（填序號(hào)）

13.如圖，AC=BC,Z1=Z2,求證：OD平分N/08.

14.如圖，在A/BC中，4E平分/BAC,BELAE于點(diǎn)、E,延長(zhǎng)BE交/C于點(diǎn)。，點(diǎn)下是3c的中點(diǎn).若

AB=3,AC=5,求環(huán)的長(zhǎng).

A

15.已知：如圖，在△/3C中，AB=AC,ZA=100°,3D是/A8C的平分線，BD=BE.求證:

（l）4CED是等腰三角形;

(2)BD+AD=BC.

16.如圖，40為△/BC的角平分線.

圖3

⑴如圖1,若CE_L4。于點(diǎn)R交N3于點(diǎn)￡,AB=S,AC=5.貝U8E=

（2）如圖2,若NC=2/3,點(diǎn)￡在48上，S.AE=AC,AB=a,AC=b,求CO的長(zhǎng)；（用含0、6的式子表示）

（3）如圖3,8GLN。，點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上，連接CG,若4/06的面積是7,求A/BC的面積.

17.已知：如圖1,在火以48c中，ZACB=90°,ZB=60°,AD,CE是角平分線，NO與CE相交于點(diǎn)尸，

FMLAB,FNLBC,垂足分別為M,N.

【思考說(shuō)理】

(1)求證：FE=FD.

【反思提升】

（2）愛(ài)思考的小強(qiáng)嘗試將【問(wèn)題背景】中的條件“乙4c3=90?！比サ?，其他條件不變，觀察發(fā)現(xiàn)（1）中結(jié)

論（即尸￡=ED）仍成立.你認(rèn)為小強(qiáng)的發(fā)現(xiàn)正確嗎？如果不正確請(qǐng)舉例說(shuō)明，如果正確請(qǐng)僅就圖2給出

證明.

B

B

18.如圖，NM4N是一個(gè)鈍角，平分/M4N,點(diǎn)C在射線/N上，S.AB=BC,BD±AC,垂足為D

⑴求證：NB4M=NBCA；

(2)動(dòng)點(diǎn)P,。同時(shí)從/點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)。以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線/N方向勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)尸以

每秒